2015高中数学 第2章 统计总结（打包6套）新人教A版必修3
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2015高中数学 第2章 统计总结（打包6套）新人教A版必修3,高中数学,统计,总结,打包,新人,必修
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1 2 单随机抽样 （结） 简单随机抽样的概念 例 1 下面的抽样方法是简单随机抽样吗？为什么？ (1)从无数个个体中抽取 20 个个体作为样本 (2)从 50 台冰箱中一次性抽取 5 台冰箱进行质量检查 (3)某班有 40 名同学，指定个子最高的 5 名同学参加学校组织的篮球赛 (4)一彩民选号，从装有 36 个大小、形状都相同的号签的盒子中无放回地抽出 6 个号签 自主解答 (1)不是简单随机抽样因为总体的个数 是无限的，而不是有限的 (2)不是简单随机抽样虽然 “ 一次 性 ” 抽取和 “ 逐个 ” 抽取不影响个体被抽到的可能性，但简单随机抽样的定义要求的是 “ 逐个抽取 ” (3)不是简单随机抽样因为是指定 5 名同学参加比赛，每个个体被抽到的可能性是不同的，不是等可能抽样 (4)是简单随机抽样因为总体中的个体数是有限的，并且是从总体中逐个进行抽取的，是不放回、等可能地进行抽样 能否把本题中不是简单随机抽样的改为简单随机 抽样？ 解： 在 中把 “ 无数个 ” 改为 “300” 等大于 20 具体数字； 把 “ 一次性抽取 ”改为 “ 逐个抽取 ” ； 把 “ 指定 5 名个子最高的 ” 改为 “ 随机指定 5 名同学 ” 判断一个抽样是否为简单随机抽样的依据是其四个特征： 1下列抽样方式是否是简单随机抽样？ (1)在某车间包装一种产品，在自动包装的传送带上，每隔 30 分钟抽一包产品，称其质量是否合格 (2)某班有 56 名同学，指定个子最高的 5 名同学参加学校组织的篮球赛 解：由简单随机抽样的特点可知， (1)(2)均不是简单随机抽样 2 抽签法的应用 例 2 某大学为了支援西部教育事业，现从报名的 18 名志愿者中选取 6 人组成志愿小组，请用抽签法确定志愿小组成员，写出抽样步骤 自主解答 抽样步骤是： 第一步，将 18 名志愿者编号，号码是 01,02， ， 18； 第二步，将号码分别写在同样的小纸片上，揉成团，制成号签； 第三步，将得到的号签放入一个不透明的袋子中，并充分搅匀； 第四步，从袋子中依次抽取 6 个号签，并记录上面的编号； 第五步 ，与所得号码对应的志愿者就是志愿小组的成员 键看两点：一是制签是否方便；二是个体之间差异不明显 样本容量和总体容量较小时，可用抽签法 . 2应用抽签法时应注意以下几点： (1)编号时，如果已有 编号可不必重新编号； (2)号签要求大小、形状完全相同； (3)号签要均匀搅拌； (4)要逐一不放回的抽取 2从 60 件产品中抽取 5 件进行检查，请用抽签法抽取产 品，并写出抽样过程 解：抽签法步骤： 第一步，将 60 件产品编号，号码 是 01,02， ， 60. 第二步，将号码分别写在同样的纸条上，揉成团，制成号签 第三步，将号签放入不透明的袋子中，并充分搅匀 第四步，从袋子中依次抽取 5 个号签，并记录上面的编号 第五步，与所得号码对应的产品就是要抽取的对象 随机数表法的应用 例 3 有一批机器编号为 1,2,3， ， 112，请用随机数表法抽取 10 台入样，写出抽样过程 自主解答 第一步，将原来的编号调整为 001,002， ， 112. 第二 步，在随机数表中任选一数作为开始，任选一方向作为读数方向比如，选第 9 行第 7 个数 “3”向右读 第三步，从 “3” 开始向右读，每次取三位，凡不在 001 112 中的数跳过去不读 前面已经读过的数不读，依次可得到 074,100,094,052,080,003,105,107,083,092. 3 第四步，对应原来编号为 74,100,94,52,80,3,105,107,83,92 的机器便是要抽取的对象 在利用随机数表法抽样的过程中注意： (1)编号要求数位相同； 第一个数字的抽取是随机的； 读数的方向是任意的且为事先定好的 . 3现有一批编号为 10,11， ， 99,100， ， 600 的元件，从中抽取一个容量为 6 的样本进行质量检验如何用随机数表法设计抽样方案？ 解：第一步，将元件的编号调整为 010,011， ， 099,100， ， 600. 第二步，在随机数表中任选一数作为开始，任选一方向作为读数的方向，如选第 7 行第 2 个数开始向右读 第三步，以 “4” 开 始向右读，每次取 3 位，凡不在 010 600 中的数跳过去不读，得号码175,331,572,455,068,047. 第四步，以上 号码对应的 6 个元件是所要抽取的样本 要从 10 架钢琴中抽取 4 架进行质量检验，请你设计抽样方案 解 法一： (随机数表法 ) 第一步，将 10 架钢琴编号，号码是 0,1， ， 9. 第二步，在随机数表中任选一数作为开始，任选一方向作为读数方向比如，选第 3行第 6列的数 “2” ，向右读 第三步，从数 “2” 开始，向右读，每次读取 1 位，重复数字只记录一次，依次可得到 2,7,6,5. 第四步，以上号码对应的 4 架钢琴就是要抽取的对象 法二： (抽签法 ) 第一步，将 10 架钢琴编号，号码是 0,1， ， 9. 第二步，将号码分 别写在一张纸条上，揉成团， 制成号签 第三步，将得到的号签放入一个不透明的袋子中，并充分搅匀 第四步，从袋子中逐个抽取 4 个号签，并记录上面的编号 第五步，所得号码对应的 4 架钢琴就是要抽取的对象 4 1从某年级 500 名学生中抽取 60 名学生进行体重的统计分析，就这个问题来说，下列说法正确的是( ) A 500 名学生是总体 B每个被抽取的学生是个体 C抽取的 60 名学生的体重是一个样本 D抽取的 60 名学生的体重是样本容量 答案： C 2在简单随机抽样中，某一个个体被抽中的可能性 ( ) A与第几次抽样有关，每一次抽中的可能性要大些 B与第几次抽样无关，每次抽中的可能性都相等 C与第几次抽样有关，最后一次抽中的可能性要大些 D每个个体被抽中的可能性无法确定 解析：在简单随机抽样中，每一个个体被抽中的可能性都相等，与第几次抽样无关 答案： B 3为了解某地区高三学生升学考试数学成绩的情况，从 中抽取 50 本密封试卷，每本 30 份试卷，这个问题中的样本容量是 ( ) A 30 B 50 C 1 500 D 150 解析：样本容量为 5030 1 500 份 答案： C 4一个总体共有 30 个个体，用简单随机抽样的方法从中抽取一个容量为 7 的样本，则某个定是个体入样的可能性是 _ 解析：简单随机抽样中每个个体入样的可能性均为 该个体入样的可能性为 730. 答案： 730 5抽签法中确保样本具有代表性的关键是 _ 答案：搅拌均匀 6要从某汽车厂生产的 30 辆汽车中随机抽取 3 辆进行测试，请选择合适的抽样方法，写出抽样过程 解：其方法和步骤如下： (1)将 30 辆汽车编号，号码是 01,02， ， 30. (2)将号码分别 写在一张纸条上，揉成团，制成号 签 (3)将得到的号签放入一个不透明的袋子中，并搅拌均匀 5 (4)从袋子中依次抽取 3 个号签，并记录上面的编号 (5)所得号码对应的 3 辆汽车就是要抽取的对象 1 2 统抽样 （结） 系统抽样的概念 例 1 下列抽样问题中最适合用系统抽样法抽样的是 ( ) A从全班 48 名学生中随机抽取 8 人参加一项活动 B一个城市有 210 家百货商店，其中大型商店 20 家，中型商店 40 家，小型商店 150 家为了掌握各商店的营业情况，要从中抽取一个容量为 21 的样本 C从参加模拟考试的 1 200 名高中生中随机抽取 100 人分析试题作答情况 D从参加模拟考试的 1 200 名高中生中 随机抽取 10 人 了解某些情况 自主解答 A 总体容量较小，样本容量也较小，可采用抽签法； B 总体中的个体有明显的层次不适宜用系统抽样法； C 总体容量较大，样本容量也较大，可用系统抽样法； D 若总体容量较大，样本容量较小时可用随机数表法 答案 C 1应用系统抽样的前提条件 (1)个体较多，但均衡的总体； 当总体容量较大，样本容量也较大 时，适宜用系统抽样 统抽样方法的判断看能否保证每个个体被等可能抽到；看是否将总体分成几个均衡的部分，是不是等间距抽样，且每一个部分都有个体入样 . 1某商场想通过检查发票及销售记录的 2%来快速估计每月的销售总额并采取如下方法：从某月发票的存根中随机抽一张，如 15 号，然后按顺序往后取出 65 号， 115 号， 165 号， ，将发票上的销售额组成一个调查样本这种抽取样本的方法是 ( ) A抽签法 B随机数表法 C系统抽样法 D其他方式的抽样 解析：上述方法符合系统抽样的形式 答案： C 系统抽样的应用 例 2 为了解参加某种知识竞赛的 1 000 名学生的成绩，从中抽取一个容量为 50 的样本，那么采用什么抽样方法比较恰当？简述抽样过程 自主解答 适宜选用系统抽样，抽样过程如下： (1)随机地 将这 1 000 名学生编号为 000,001,002， ， 999. 2 (2)将总体按编号顺序均分成 50 部分，每部分包括 20 个个体 (3)在第一部分的个体编号 000,001,002， ， 019 中，利用简单随机抽样抽取一个号码，比如是 017. (4)以 017 为起 始号码，每间隔 20 抽取一个号码，这样得到一个容量为 50 的样本： 017,037,057， ，977,997. 若将 “1 000 名学生的成绩 ” 改为 “1 0 02 名学生的成绩 ” ，又该如何抽样？请写出抽样过程 解：因为 1 002 5020 2，为了保 证 “ 等距 ” 分段， 应先剔除 2 人 . (1)将 1 002 名学生用随机方式编号； (2)从总体中剔除 2 人 (剔除方法可用随机数法 )，将剩下的 1 000 名学生重新编号 (编号分别为 000,001,002， ， 999)，并分成 50 段； (3)在第一段 000,001,002， ， 019 这二十个编号中用简单随机抽样抽出一个 (如 003)作为起始号码； (4)将编号为 003,023,043， ， 983 的个体抽出，组成样本 1解决系统抽样问题中两个关键的步骤为 (1)分组的方法应依据抽取比例而定，即根据定义每组抽取一个样本 (2)起始 编号的确定应用简单随机抽样的方法，一旦起始编号确定，其他编号便随之确定了 2当总体中的个体不能被样本容量整除时，需要在总体中剔除一些个体 2某单位的在岗职工为 620 人，为了调查上班时，从家到单位的路上平均所用的时间，决定抽取 10%的职工调查这一情况，如何采用系统抽样抽取样本？ 解：用系统抽样抽取样本，样本容量是 62010% 62. 步骤是： (1)编号：把这 620 人随机编号为 001,002,003， ， 620. (2)确定分段间隔 k 62062 10，把 620 人分成 62 组，每组 10 人， 每 1 组是编号为 001 010 的 10 人，第 2 组是编号为 011 020 的 10 人，依次下去，第 62 组是编号为 611 620 的 10 人 (3)采用简单随机抽样的方法，从第 1 组 10 人中抽出一人，不妨设编号为 l(1 l10) (4)那么抽取的职工编号为 l 10k(k 0,1,2， ， 61)，得到 62 个个体作为样本，如当 l 3 时的样本编号为 003,013,023， ， 603,613. 3 从 2 004 名同学中，抽取一个容量为 20 的样本，写出用系统抽样法抽取的步骤 错解 (1)将 2 004 名同学随机方式编号； (2)从总体中剔除 4 名同学，将剩下的分成 20 段； (3)在第一段中用简单随机抽样抽取起始号码，比如 66； (4)将编号为 66,166,266,366， ， 1 866,1 966 作为样本 错因 在第二步剔除 4 名同学后没有对剩余进行从 0 000， 0 001， ， 1 999 重新编号 正解 (1)采用随机的方式给这 2 004 名同学编号为 0 001,0 002， ， 2 004. (2)利用简单随机抽样剔除 4 个个体，并对剩余的 2 000 个个体重新编号为 0 001,0 002， ， 2 000. (3)分段由于 20 2 000 1 100，故将总体分为 20 个部分 ，其中每一部分 100 个个体 (4)在第 1 部分随机抽取 1 个号码，比如 0 066 号 (5)从第 0 066 号起，每隔 100 个抽取 1 个号码，这样得到容量为 20 的样本： 0 066,0 166,0 266,0 366,0 466,0 566， 0 666， 0 766,0 866,0 966,1 066,1 166,1 266,1 366,1 466,1 566,1 666,1 766,1 866,1 966. 1在 10 000 个有机会中奖的号码 (编号为 0 000 9 999)中，有关部门按照随机抽样的方式确定后两位数字是 68 的号码为中奖号码这是运用哪种抽样方法来确定中奖号码的 ( ) A抽签法 B系统抽样法 C随机数表法 D其他抽样方法 解析：由题意，中奖号码分别为 0 068,0 168,0 268， ， 9 0 000 个中奖号码平均分成 100 组，从第一组号码中抽取出 0 068 号，其余号码是在此基础上加上 100 的整数倍得到的，可见，这是用的系统抽样法 答案： B 2用 系统抽样的方法从个体为 1 003 的总体中，抽取一个容量为 50 的样本， 在整个抽样过程中每个个体被抽到的可能性是 ( ) A. 11 000 B. 11 003 C. 501 003 析：根据系统抽样的方法可知，每个个体入样的可能性相同，均为 以每个个体入样的可能性是 501 003. 答案： C 3 (2012 山东高考 )采用系统抽样方法从 960 人中抽取 32 人做问卷调查 ，为此将他们随机编号为1,2， ， 960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为 2 人中，编号落入区间1,450的人做问卷 A，编号落入区间 451,750的人做问卷 B，其余的人做问卷 问卷 4 B 的人数为 ( ) A 7 B 9 C 10 D 15 解析：从 960 人中用系统抽样方法抽取 32 人，则每 30 人抽取一人，因为第一组抽到的号码为 9，则第二组抽到的号码为 39，第 n 组抽到的号码为 9 30(n 1) 30n 21，由 45130 n 21750 ，得 23615 n 25710 ，所以 n 16,17， ， 25，共有 25 16 1 10 人 答案： C 4采用系统抽样从含有 8 000 个个体的总体 (编号为 0 000， 0 001， ， 7 999)中抽取一个容量为50 的样本已知最后一个入样的编号为 7 894，则第一个入样的编号是 _ 解析：样本间隔 k 8 00050 894，则 7 894 49160 54，所以第一个入样编号为 0 054. 答案： 0 054 5下列抽 样中，是系统抽样的是 _(填上所有是系统抽样的序号 ) 电影院调查观众的某一指标，通知每排 (每排人数相等 )座号为 16 的观众留下来座谈； 搞某一市场调查，规定在商场门口随机抽 一人询问，直到调查到规定的人数为止； 工厂生产的产品，用传送带将产品送入包装车间，质检人员从传送带上每隔 5 分钟抽取一件产品进行检验； 从标有 1 15 的 15 个球中，任选 3 个作样本，按从小到大的顺序排列，随机选起点 后 5， 10(超过 15 则从 1 再数起 )号入样 解析：由系统抽样步骤可知， 符合要求 答案： 6为了了解某地区今年高一学生期末考试数学科的成绩，拟从参加考试的 15 000 名学生的数学成绩中抽取容量为 150 的样本请用系统抽样写出抽取过程 解： (1)将参加考试的 15 000 名学生随机地编号： 1,2,3， ， 15 000. (2)分段：由于样本容量与总体容量的比是 1 100，我们将 总体平均分为 150 个部分，其中每一部分包括 100 个个体 (3)在第一部分，即 1 号到 100 号用简单随机抽样，抽取一个号码，比如是 56. (4)以 56 作为起始数，然后顺次抽取 156,256,356， ， 14 956，这样就得到一个容量为 150 的样本 1 2 层抽样 （结） 分层抽样的概念 例 1 某学校有在编人员 160 人，其中行政人员 16 人，教师 112 人，后勤人员 32 人教育部门为了解学校机构改革意见，要从中抽取一个容量为 20 的样本试确定用何种方法抽取，并写出抽样过程 自主解答 因机构改革关系到各层人员的利益，故用分层抽样法为妥因为 16020 8，所以可在各层人员中按 8 1 的比例抽取 又因为 168 2， 1128 14， 328 4，所以，行政人员、教 师、后勤人员分别应抽取 2 人、 14 人、 4 人 因行政和后勤人员人数较少，可分别按 01 16 号和 01 32 号编号 ，然后用抽签法分别抽取 2 人和 4人而教师较多，所以对教师 112 人采用 000,001， ， 111 编号，用随机数法抽取 14 人这样就得到了符合要求的容量为 20 的样 本 1判断抽样方法是分层抽样，主要是依据分层抽样的特点： (1)适用于总体由差异明显的几部分组成的情况 (2)能更充分地反映了总体的情况 (3)等可能抽样，每个个体被抽到的可能性都相等 2分层抽样又称为 “ 按比例抽样 ” ，这里所说的 “ 按比例 ” 是指 (1)总体中第 样本中第 (2)样本中第 样本容量总体容量 . 1某社区有 700 户家庭，其中高收入家庭 225 户，中等收入家庭 400 户，低收入家庭 75 户，为了调查社会购买力的某项指标，要从中抽取一个容量为 100 户的样本，记作 ；某中学高二年级有 12 名足球运动员，要从中选出 3 人调查学习负担情况，记作 ；从某厂生产的 802 辆轿车中抽取 8 辆测试某项性能，记作 项应采用的抽样方法是 ( ) A 用简单随机抽样， 用系统抽样， 用分 层抽样 B 用分层抽样， 用简单随机抽样， 用系统抽样 C 用简单随机抽样， 用分层抽样， 用系统抽样 D 用分层抽样， 用系统抽样， 用简单随机抽样 解析：对于 ，总体由高收入家庭、中等收入家庭和低收入家庭差异明显的三部分组成，而所调查的 2 指标与收入情况密切相关，所以应采用分层抽样 对于 ，总体中的个体数较少，而且所调查内容对 12 名调查对象是平等的，应用简单随机抽样 对于 ，总体中的个体数较多，应用系统抽样 答案： B 分层抽样的应用 例 2 一个单位有职工 500 人，其中不到 35 岁的有 125 人， 35 岁至 49 岁的有 280 人， 50 岁及 50岁以上的有 95 人，为了了解这个单位职工与身体状态有关的某项指标，要从中抽取 100 名职工作为 样本，职工年龄与这项指标有关，应该怎样抽取？ 自主解答 用分层抽样来抽取样本，步骤是： (1)分层按年龄将 职工分成三层：不到 35 岁的职工； 35 岁至 49 岁的职工； 50 岁及 50 岁以上的职工 (2)确定每层抽取个体的个数抽样比为 100500 15，则在不到 35 岁的职工中抽 125 15 25(人 )； 在 35 岁至 49 岁的职工中抽 280 15 56(人 )； 在 50 岁及 50 岁以上的职工中抽 95 15 19(人 ) (3)在各层分别按抽签法或随机数表法抽取样本 (4)综合每层抽样，组成样本 分层 抽样的操作步骤为将总体按一定标准进行分层；计算各层的个体数与总体的个体数的比；(3)按各层的个体数占总体的比确定各层应抽取的样本容量； (4)在每一层进行抽样 (可用简单随机抽样或系统抽样 )； (5)最后将每一层抽取的样本汇总合成样本 2某政府机关有在编人员 100 人，其中副处级以上干部 10 人，一般干部 70 人， 职员 20 人上级机关为了了解政府机构改革的意见，要从中抽取一个容量为 20 的样本，试确定用何种方法抽取，请具体实施操作 解：因机构改革关系到各人的不同利益，故采用分层抽样方法 抽取比例为： 20100 15， 故： 10 15 2； 70 15 14； 20 15 4. 3 从副处级以上干部中抽取 2 人，从一般干部中抽取 14 人，从职员中抽取 4 人 因副处级以上干部与 职员人数都较少，他们分别按 1 10 编号与 1 20 编号 ，然后采用抽签法分别抽取 2 人和 4 人；对一般干部 70 人采用 00,01， ， 69 编号，然后用随机数法抽取 14 人 . 某校共有教师 302 名，其中老年教师 30 名，中年教师 150 名，青年教师 122 名为调查他们对新课程改革的看法，从中抽取一个 60 人 的样本请写出抽样过程 错解 把 302 名教师编号为： 1,2,3， ， 302，然后用随机数表法剔除 2 个个体，再对剩余的 300名教师重新编号为： 1,2,3， ， 0060 00 名教师分成 60 段，每段 5 名教师，先从 15 号 教师中随机抽取 1 名教师，然后从这名教师的编号开始，每隔 5 名抽取一名如：从 1 5 号中抽取的是 3 号，则抽取的这 60 名教师的编号依次为： 3,8,13,18,23， ， 298. 错因 3 个层次的教师对新课程改革的看法是有较大差别的，因此应采用分层抽样，又因为教师总人数和青年教师人数均不能被 60 整除，此时就需先从青年教师中剔除 2 个个体，再进行抽样 正解 (1)把 122 名青年教师编号，利用随机数表法剔除 2 个个体 (2)因为 60300 15， 30 15 6,150 15 30,120 15 24，所以可将老年教师 30 名，中年教师 150 名，青年教师 120 名编号后，运用随机数表法，分别从中抽 取 6,30,24 个个体，合在一起即为要抽取的 60 人样本 1分层抽样适合的总体是 ( ) A总体容量较多 B样本容量较多 C总体中个体有差异 D任何总体 答案： C 2一批灯泡 400 只，其中 20 W、 40 W、 60 W 的数目之比是 4 3 1，现用分层抽样的方法产生一个容量为 40 的样本，三种灯泡依次抽取的个数为 ( ) A 20,15,5 B 4,3,1 C 16,12,4 D 8,6,2 解析：三种灯泡依次抽取的个数为 40 48 20,40 38 15,40 18 5. 答案： A 3简单随机抽样、系统抽样、分层抽样三者的共同特点是 ( ) A将总体分成几部分，按预先设定的规则在各部分抽取 B抽样过程中每个个体被抽到的机会均等 4 C将总体分成几层，然后分层按照比例抽取 D没有共同点 答案： B 4 (2012 江苏高考 )某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比是 3 3 4，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为 50 的样本，则应从高二年级抽取 _名学生 解析：由题意得高二年级的学生人数占该学校高中人数的 310，利用分层抽样的有关知识得应从高二年级抽取 50 310 15 名学生 答案： 15 5某工厂生产 A、 B、 C 三种 不同型号的产品，产品数量之比依次为 2 3 4，现用分层抽样方法抽出一个容量为 n 的样本，样本中 A 种型号产品有 16 件那么此样本的容量 n _. 解析： 16n 22 3 4. n 72. 答案： 72 6某运输队有货车 1 200 辆，客车 800 辆从中抽取 110调查车辆的使用和保养情况请给出抽样过程 解：利用分层抽样 第一步：确定货车和客车各应抽取多少辆， 货车 1 200 110 120(辆 )，客车 800 110 80(辆 ) 第二步：用系 统抽样 法分别抽取货车 120 辆，客车 80 辆 第三步：把抽取的货车和客车组成样本 1 2 样本的频率分布估计总体分布 （结） 列频率分布表、画频率分布直方图、折线图 例 1 美国历届总统中，就任时年纪最小的是罗斯福，他于 1901 年就任，当时 年仅 42 岁；就任时年纪最大的是里根，他于 1981 年就任，当时 69 岁下面按时间顺序 (从 1789 年的华盛顿到 2009 年的奥巴马，共 44 任 )给出了历届美国总统就任时的年龄： 57,61,57,57,58,57,61,54,68,51,49,64,50,48,65,52,56,46,54,49,51,47,55,55,54,42,51,56,55,51,54,51,60,62,43,55,56,61,52,69,64,46,54,48 (1)将数据进行适当的分组，并画出相应的频率分布直方图和频率分布折线图 (2)用自己的语言描述一下历届美国总统就任时年龄的分布情况 自主解答 (1)以 4 为组距，列表如下： 分组 频数 频率 2 7 8 16 5 4 2 合计 44 2)从频率分布表中可以看出 60%左右的美国总统就任时的年龄在 50 岁至 60 岁之间， 45 岁以下以及65 岁以上就任的总统所占的比例相对较小 根据频率分布表，求美国总统就任时年龄落在区间 数占总人数的比例 解：区间 含了 两个组，两小组的频率和为 ，故而所占比例为 1在列频率分布表时，极差、组距、组数 有如下关系： (1)若 极差组距 为整数，则 极差组距 组数 2 (2)若 极差组距 不为整数，则 极差组距 的整数部分 1组数 2组距和组数的确定没有固定的标准，将数据分组时，组数力求合适，使数据的分布规律能较清楚地呈现出来，组数太多或太少都会影响了解数据的分布情况，若样本容量不超过 100，按照数据的多少常分为 5 12 组，一般样本容量越大，所分组数越多 1一个农技站为了考察某种麦穗长的分布情况，在一块试验地里抽取了 100 个麦穗，量得长度如下 (单位： 6 5 4 3 8 3 4 7 3 2 1 8 2 3 据上面的数据 列出频率分布表、绘出频率分布直方图，并估计长度在 间的麦穗在这批麦穗中所占的百分比 解：步骤是： (1)计算极差： 3.4( (2)决定组距与组数 若取组距为 0.3 于 1113，需分成 12 组，组数合适于是取定组距为 0.3 数为 12. (3)将数据分组 使分点比数据多一位小数，并且把第 1小组的起点稍微减小一点，那么所分的 12 个小组可以是： ， (4)列频率分布表 对各个小组作频数累计，然后数频数，算频率，列频率分布表，如下表所示： 3 分组 频数累计 频数 频率 1 1 2 5 正 11 正正 15 正正正正 28 正 13 正 11 正 10 2 1 计 100 5)画 频率分布直方图如图所示 从表中看到，样本数据落在 间的频率是 是可以估计，在这块地里， 间的麦穗约占 28%. 茎叶图及应用 例 2 某化肥厂甲、乙两个车间包装肥料，在自动包装传送带上每隔 30 分钟抽取一包产品，称其质量，分别记下抽查记录如下 (单位 ：千克 )： 甲： 52 51 49 48 53 48 49 乙： 60 65 40 35 25 65 60 画出茎叶图，并说明哪个车间的产品质量比较稳定 自主解答 茎叶图如图所示 (茎为十位上的数字 )： 甲 乙 2 5 3 5 9 9 8 8 4 0 4 3 2 1 5 6 0 0 5 5 由图可以看出甲车间的产品质量较集中，而乙车间的产品质量较分散，所以甲车间的产品质量比较稳定 画茎叶图时，用中间的数表示数据的十位和百位数，两边的数分别表示两组数据的个位数要先确定中间的数取数据的哪几位，填写数据时边读边填比较数据时从数据分布的对称性、中位数、稳定性等几方面来比较 绘制茎叶图的关键是分清茎和叶，一般地说数据是两位数时，十位数字为 “ 茎 ” ，个位数字为 “ 叶 ” ；如果是小数的，通常把整数部分作为 “ 茎 ” ，小数部分作为 “ 叶 ” ，解题时要根据数据的特点合理选择茎和叶 2在某电脑杂志的一篇文章中，每个句子中所含字数如下： 10,28,31,17,23,27,18,15,26,24,20,19,36,27,14,25,15,22,11,21,24,27,17,29. 在某报纸的一篇文章中，每个句子中所含字数如下： 27,39,33,24,28,19,32,41,33,27,35,12,36,41,27,13,22,23,18,46,32,22,18,32. (1)分别用茎叶图表示上述两组数据； (2)将这两组数据进行比较分析，你能得到什么结论？ 解： (1)茎叶图如图所示： 电脑杂志 报纸 9 8 7 7 5 5 4 1 0 1 2 3 8 8 9 9 8 7 7 7 6 5 4 4 3 2 1 0 2 2 2 3 4 7 7 7 8 6 1 3 2 2 2 3 3 5 6 9 4 1 1 6 (2)从茎叶图可看出：电脑杂志的文章中每个句子所含字数集中在 10 30 之间；报纸的文章中每个句子所含字数集中在 20 40 之间，且电脑杂志的文章中每个句子所 含字的平均个数比报纸的文章中每个句子所含字的平均个数要少，因此电脑杂志的文章较简明 . 频率分布直方图的应用 例 3 在学校开展的综合实践活动中，某班进行了小制作评比，作品上交时间为 5 月 1 日至 31 日，评委会把同学们上交作品的件数按 5 天一组统计，绘制了频率分布直方图 (如图所示 )，已知从左到右各长方形的高的比为 2 3 4 6 4 1，第三组的频数为 12. 5 (1)本次活动中一共有多少件作品参评？ (2)上交作品数量最多的一组有多少件？ (3)经过评比，第四组和第六组分别有 10 件， 2 件作品获奖，这两组获奖率较高的是第几组？ 自主解答 在频率分布直方图中各小长方形的面积组距 频率组距 频率，即各小 长方形的面积等于相应各组的频率，且它们的面积和等于 1. (1)依题意知第三组的频率为 42 3 4 6 4 1 为第三组的频数为 12，所以本次活动的 参评作品数为 12 15 60(件 ) (2)根据频率分布直方图，可以看出第四组上交的作品数量最多，共有： 60 62 3 4 6 4 118(件 ) (3)第四组的获奖率是 1018 59； 第六组上交的作品数量为 60 12 3 4 6 4 1 3(件 )，所以第六组的获奖率是 23 6959，故第六组的获奖率较高 频率分布直方图的性质 (1)因为小矩形的面积组距 频率组距 频率，所以各小矩形面积表示相应各组的频率，这样，频率分布直方图就以面积的形式反映了数据落在各个小组内的频率大小 (2)在频率分布直方图中，各小矩形的面积之和等于 1. (3)频数 /相应的频率样本容量 3 (2012 济宁高一检测 )为了了解高一学生的体能情况，某校抽取部分学生进行一分钟跳绳次数测试，将所得数据整理后，画出频率分布直方图 (如图所示 )，图中从左到右各小长方形面积之比为 2 4 1715 9 3，第二小组频数为 12. 6 (1)第二小组的频率是多少？样本容量是多少？ (2)若次数在 110 以上 (含 110 次 )为达标，试估计该校全体高一学生的达标率是多少？ 解： (1)由于频率分布直方图以面积的形式反映了数据落在各个小组内的频率大小，因此第二小组的频率为 42 4 17 15 9 3 又因为第二小组频率 第二小组频数 样本容量 ， 所以样本容量 第二小组频数第二小组频率 150. 故第二小组的频率是 本容量是 150. (2)由图可估计该校高一学生的达标率约为 17 15 9 32 4 17 15 9 3100% 88%. 故高一学生 达标率是 88%. 某校为了了解高三学生的身体状况，抽取了 100 名女生的体重将所得的数据整理后，画出了如图的频率分布直方图，则所抽取的女生中体重在 40 45 人数是 ( ) A 10 B 2 C 5 D 15 错解 00 2 人选 B. 错因 误认为纵轴表示频率 正解 由图可知频率 频率组距 组距， 知频率 00 10 人 7 答案 A 1 (2012 湖北高考 )容量为 20 的样本数据，分组后的频数如下表： 分组 10,20) 20,30) 30,40) 40,50) 50,60) 60,70) 频数 2 3 4 5 4 2 则样本数据落在区间 10,40)的频率为 ( ) A B D 析：求出样本数据落在区间 10,40)中的频数，再除以样本容量得频率求得该频数为 2 3 4 9，样本容量是 20，所以频率为 920 答案： B 2 100 辆汽车通过某一段公路时的时速的频率分布直方图如图所示，则时速在 60,70)的汽车大约有( ) A 30 辆 B 40 辆 C 60 辆 D 80 辆 解析： 0100 40. 答案： B 两种玉米苗中各抽 6 株，分别测得它们的株高如图所示 (单位：根据数据估计 ( ) A甲种玉米比乙种玉米不仅长得高而且长得整齐 B乙种玉米比甲种玉米不仅长得高而且长得整齐 C甲种玉米比乙种玉米长得高但长势没有乙整齐 D乙种玉米比甲种玉米长得高但长势没有甲整齐 解析：乙的平均株高为 14 27 36 38 44 456 2046 34 甲 乙 6 1 4 5 2 1 2 7 7 5 3 6 8 4 4 5 8 甲的平均株高为 16 21 22 25 35 376 1566 26 答案： D 4为了帮助班上的两名贫困生解决经济困难，班上的 20 名同学捐出了自己的零花钱，他们捐款数如下： (单位：元 )19,20,25,30,24,23,25,29,27,27,28,28,26,27,21,30,20,19,22,表彰他们的爱心制图时先计算最大值与最小值的差是 _，若取组距为 2，则应分成 _组；若第一组的起点定为 在 围内的频数为 _ 解析： 30 19 11 112 分 6 组 在 间的数有 5 个 答案： 11 6 5 5将一个容量为 n 的样本分成若干组，已知某组的频数和频率分别是 30 和 n _. 解析： 30n n 304 120. 答案： 120 6为了了解学校高一年级男生的身高情况，选取一个容量为 60 的样本 (60 名 男生的身高 )，分组情况如下 (单位： 分组 155 5) 163 5) 171 5) 179 5 频数 6 21 27 m 频率 a 1)求出表中 a， m 的值； (2)画出频率分布直方图 解： (1)由题意得： 6 21 27 m 60 m 6. a 2760 a (2)如图所示： 9 1 2 样本的数字特征估计总体的数字特征 （结） 众数、中位数、平均数的简单运用 例 1 某公司销售部有销售人员 15 人，销售部为了制定某种商品的月销售定额，统计了这 15 人某月的销售量如下： 销售量 (件 ) 1 800 510 250 210 150 120 人数 1 1 3 5 3 2 (1)求这 15 位销售人员该月销售量的平均数、中位数及众数； (2)假设销售部负责人把月销售额定为 320 件，你认为 是否合理，为什么？如不合理，请你制定一个较为合理的销售定额 自主解答 (1)由表格可知：平均数为 115(1 8001 5101 2503 2105 1503 120 2) 320(件 )，中位数为 210 件，众数为 210 件 (2)不合理，因为 15 人中有 13 人的销售量未达到 320件，也就是说：虽然 320 是这一组数据的平均数，但它却不能反映全体销售人员的销售水平 销售额定为 210 件更合理些，这是由于 210 既是中位数，又是众数，是大部分人都能达到的定额 位数及平均数都是描述一组数据集中趋势的量 . 何一组数据的变动都会引起平均数的变动 . 大小与这组数据中部分数据有关，当一组数据中有不少数据重复出现时，其众数往往更能反映问题 . 4中位数仅与数据的排列位置有关，某些数据的变动对中位数没有影响，中位数可能出现在所给数据中，也可能 不在所给数据中，当一组数据中个别数据较大时，用中位数描述这种趋势 1某工厂人员及工资构成如下： 人员 经理 管理人员 高级技工 工人 学徒 合计 周工资(元 ) 2 200 250 220 200 100 2 970 人数 1 6 5 10 1 23 合计 2 200 1 500 1 100 2 000 100 6 900 (1)指出这个问题中的众数、中位数、平均数 (2)这个问题中，平均数能客观地反映该工厂的工资水平吗？为什么？ 2 解： (1)由表格可知：众数为 200 元 23 个数据按从小到大 (或从大到小 )的顺序排列，排在中间的数应是第 12 个数，其值为 220， 中位数为 220 元 平均数为 (2 200 1 500 1 100 2 000 100)23 6 90023 300(元 ) (2)虽然平均数为 300 元 /周，但由表格中所列出的数据可见，只有经理在平均数以上，其余的人都在平均数以下，故用平均数不能客观真实地反映 该工厂的工资水平 . 平均数和方差的运用 例 2 在一次歌手大奖赛上，七位评委为歌手打出的分数如下： 9 4 掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均值和方差分别为 ( ) A B D 自主解答 先求平均数： 去掉 一组数： 平均数为 x 9 15( 方差为 153( ( ( 答案 D 差与标准差的区别与联系： 数据的离散程度可以通过极差、方差或标准差来描述 . 极差是数据的最大值与最小值的差，它反映了一组数据变化的最大幅度，它对一组数据中的极端值非常敏感 . 方差则反映了一组数据围 绕平均数波动的大小，为了得到以样本数据的单 位表示的波动幅度通常用标准差，即样本方差的算术平方根，是样本数据到平均数的一种平均距离 . 靠平均数不能完全反映问题还要研究方差，方差描述了数据相对平均数的离散程度，在平均数相同的情况下，方差越大，离散程度越大，数据波动性越大，稳定性越差；方差越小，数据越集中，质量越稳定 . 2从甲、乙两种玉米的苗中各抽 10 株，分别测得它们的株高如下： (单位： 甲： 25 41 40 37 22 14 19 39 21 42 乙： 27 16 44 27 44 16 40 40 16 40 3 问： (1)哪种玉米的苗长得高？ (2)哪种玉米的苗长得齐？ 解： (1) x 甲 110(25 41 40 37 22 14 19 39 21 42) 110300 30( x 乙 110(27 16 44 27 44 16 40 40 16 40) 110310 31( x 甲 x 乙 所以乙种玉米的苗长得高 (2) 110(25 30)2 (41 30)2 (40 30)2 (37 30)2 (22 30)2 (14 30)2 (19 30)2 (39 30)2 (21 30)2 (42 30)2 110(25 121 100 49 64 256 121 81 81 144) 1101 042 104.2( 110(227 2 316 2 340 2 244 2) 1031 2 1101 288 所以甲种玉米的苗长得整齐 . 频率分布与数字特征的综合应用 例 3 已知一组数据： 125 121 123 125 127 129 125 128 130 129 126 124 125 127 126 122 124 125 126 128 (1)填写下面 的频率分布表： 分组 频数累计 频数 频率 合计 (2)作出频率分布直方图； 4 (3)根据频率分布直方图或频率分布表求这组数据的众数、中位数和平均数 自主解答 (1) 分组 频数累计 频数 频率 2 3 正 8 4 3 计 20 1 (2) (3)在 的数据最多，取这个区
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