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年高 数学 解题 技术 打包

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2015年高考数学 解题技术（打包4套）,年高,数学,解题,技术,打包

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1 高考解题技术（ 3） 如何求递推数列的通项 1、代换法 【 例 1】 （ 2010年 重庆 理 卷 21题 ）在数列 a=1， 11 2 1 N *c a c n n ，其中实数 0c 。（ 1）求 2）（略） 【解析】 由 11 2 1 N *c a c n n 得 11 21 ， 令 nn c，则原数列转化为1 21b n ， 于是1 2 1 1 1( ) ( ) ( 2 1 1 ) ( 2 1 )b b b b 21 ( 1 ) ( 3 2 1 ) 112nn ，即 2 2 111 , ( 1 ) n a n c 评注 ： 这里 求出通项，仍然是使用“叠加法”，但递推式是通过换元 nn c发现的。 2.， 111, 3 2a a ，则通项 【解析】 由1 32两边加 1，得1 1 3 ( 1) ， 所以数列 1是以1 12a 首项， 3为公比的等比数列， 也就是 11 2 3 ，从而得 12 3 1 评注 ： 从递推式1 32想到两边各加上 1，得到等比形式1 1 3 ( 1) ，这种方法叫做“配凑法”，是一种重要的数学能力。 【 例 3】 （ 2008， 陕西 理 卷 ， 22题 ）已知数列 5a ，1321nn a ， 12n ， ， （ 1）求 2）略 【解析】 将已知式1321nn a 两边取倒数得，11 2 133 ， 即 11 1 1 233 ， 令11 1 1()3 得11 1 1 233 ，比较系数可得 1 ，从而 1 1是以1121 3a 为首 2 112 2 133a a a 3 1224 4 4a a a a 1 11 1 1n n nn n na a a a a aa a a 项， 13为公比的等比数列，故11 2 1 21 3 3 3 ，于是： 332nn . 评注： 原题似有 13q的等比数列之形，却又不是等比数列，也不像例 2容易配凑出等比数列，这种情况下可以使用待定系数法加工，使其补足等比数列的条件，继而用等比数列公式 求其通项。 4、 “取倒数” 【例 4】 （ 2010四月 市 已知数列 211, ,2且 2121n ,则图中第 5行所有数的和是（ ） 解析】 递推关系太复杂了，需设法将其简化。 第一步：递推关系式的右式 ,分子的次数高于分母的次数 ,且分子 为单项式 ,分母为 多项式 ,不便于推理运算 ,因此考虑取倒数 . 由 21 1 12 21 2 1 2 11 1n n n n n n n n na a a a a a a a a ； 第二步：由以上结果及122 ,知1是首项122 且公差 d=1的等差数列 渡数列”的通项公式是： 12 1 1 1 ； 第三步：我们发现1虽然不是等比数列 ,但 其比值是一个简单的一次式 乘法”求通项： 122 3 12 , 3 , , 1 ,na a a 11 2 1232 3 , !a a a a 已知1 1,a这个数列的通项公式为 1!na n（ n=1也适合）于是“水落石出” ,图中第 5行所有数的和是：1 5 3 3 5 12 4 4 26 6 6 6 6a a a a a aa a a aa a a a a 1 1 1 1 1 1 1 1 1 16! 1 ! 5 ! 2 ! 4 ! 3 ! 3 ! 4 ! 2 ! 5 ! 1 ! 6 1 5 2 0 1 5 6 6 2 ，故选 A. 3 评注： 解题前，似乎“山穷水复疑无路”，后通过先取倒数后实施叠乘，原来却是“柳暗花明又一村” . 裴波那契数列 【 例 5】 如果一对兔子每月能生一对小兔子，而每对小兔在它出生后的第 3 个月里，又能开始生一对小兔子，假定在不发生死亡的情况下，由一对初生的兔子开始， 繁殖成多少对兔子？ 【解析】 本题为 12 世纪意大利数学家裴波那契所拟，以下我们考查这道千古名题的数学含义： 由于这对小兔前两个月没有长大，不能生殖，所以前两个月的兔子数都只有一对，也就是：121. 第 3个月，已经长大的小兔可以生殖 1 对，所以第 3个月有 2对兔子； 第 4个月虽然初生的小兔不能生，但原来的大兔又可生一对，所以第 4个月有 3对兔子； 以下，每个月的兔子数都按如下规律递增：上个月的兔子（对）数，加上新生的兔子（对）数（也就是前两个月的兔子数），于是有递推关系： 21 1n n na a a n N . 显然这个数列既非等差数列，也非等比数列。但是它隐含着可用构造法配凑成等比数列的条件： 设2 1 1()n n n na a k a a ， 即 21 2n n na k a k a 比较（ 1），（ 2）得： 11，消去 k： 2 10 。解这个方程得： 152 . 根据 1k，可得：152152k 或152152k ，这两组解对应可构造两个等比数列， 一个是2 1 11 5 1 5 1 5()2 2 2n n n na a a a ，所以1152 是以 1 5 1 51 22为首项， 152为公比的等比数列，11 5 1 5()22 ， 1） 另一个为2 1 11 5 1 5 1 5()2 2 2n n n na a a a ， 所以1152 是以1 5 1 51 22为首项， 152 为公比的等比数列，11 5 1 5()22 ， （ 2） 于是（ 1）（ 2）得， 1 5 1 55 ( ) ( )22， 即 1 1 5 1 5( ) ( )225 小结： 学习递推数列的一个重要主题和目标，是找出该数列的通项。