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年高 数学 解题 技术 打包

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1 高考解题技术 （ 1） 配方在解题中的妙 用 1、 配方，向余弦定理渗透 【题 1】 在 3C，且 a b 5， 7c ，则 _ 【解析】 根据余弦定理有 2217c o ， 2 2 27 ( ) 2 7a b a b a b a b ，得 6 所以 1 3 3 3s i n 62 2 2 2S a b C 。 【评注】 余弦定理具有平方和的形式，所以解与余弦定理有关的计算题，常可通过配方法解决 . 于求分式最值 【题 2】 （ 2013年四川卷， 13 题）已知函数( ) 4 ( 0 , 0)af x x x 在3x时取得最小值，则a_。 【解析】 ,0, 2( ) 4 ( 2 ) 4x x x ， 当且仅当2( ) 0时() a ， x=3时取等号 ,故由 2 6 , 36ax a x 【评注】本题 如用均值不等式也很省事，但是，均值不等式也是来源于配方法。 3.造使用均值不等式的条件 【题 3】 （ 2011 年浙江卷， 16 题）设 , 224 1 ,x y x y 则 2的最大值是 。 【解析】 将条件式配方得： 2224 1 2 1 3 1x y x y x y x y 但是： 2 23 3 2 33 2 2 22 2 2 8y x y x y 2 （ 2） 代入（ 1）： 2232 1 2 ,8x y x y 即 225 8 22 1 , 2 , 2 1 08 5 5x y x y x y 【评注】 将求 2x+y 的最大值转化为先求其平方的最大值，从而即可运用题中的条件式，又为运用均值不等式创造条件，可谓一箭双雕。 4，配方，由二元向三元拓展 【题 4】 已知长方体的全面积为 11，其 12条棱的长度之和为 24，则这个长方体的一条对角线长是（ ） B. 14 解析 】 设长方体棱长分别为 ,体对角线长为 d. 由条件： 2 ( ) 1 1a b a c b c ， 4 ( ) 2 4 6a b c a b c . 于 是 ：2 2 2 2 2( ) 2 ( ) 3 6 1 1 2 5 , 5d a b c a b c a b b c a c d ，故选 C。 评 注 ： 未 知 数 有 三 个 ， 但 方 程 却 只 有 两 个 ， 无 法 求 出 ,用公式2 2 2 2( ) 2 2 2a b c a b c a b b c a c 整体思考达到的解题的目的，而整体思考的实质就是三个未知数的配方。 不定方程 【题 5】 （ 2013年湖北卷， 13 题）设 , , Rx y z ，且满足： 2 2 2 1x y z ， 2 3 1 4x y z ，则 x y z 。 【解析】 将条件式 2 3 1 4x y z 两边平方，并注意到 2 2 2 1x y z ， 有： 2 2 2 2 2 21 4 4 9 4 6 1 2x y z x y z x y x z y z ， 即： 2 2 21 3 1 0 5 4 6 1 2 0x y z x y x z y z ， 化简得： 2 2 2 2 2 24 4 9 1 2 4 6 9 0x x y y y y z z z z x x 也就是： 2 2 22 3 2 3 0 1x y y z z x 注意到： 2 2 22 0 , 3 2 0 , 3 0x y y z z x ，但由（ 1），只能： 2 , 3 , 3 2y x z x y z ， 代入： 2 2 2 2 11 : 1 4 1 , 0 , ,14x y z x x x 3 于是： 23,1 4 1 43 1 4 y z 【评注】 本解揭示了试题内部的结构美，仅用配方法即畅快淋漓地得到正确答案，比之用向量或柯西不等式等别有一番情趣。 小结：配方是中学数学解题中常用的基本方法，它广泛深入到高中数学各个领域之中。所以当我们进行数学式恒等或 不等变形，特别是求各类函数最值时，要不失时机地用好配方。 （本文摘自高中数学题根 配方寻根 ） 1 高考解题技术（ 2） 抽象函数的处理方法 【题 1】（ 2013，大纲理数， 4 题） 已知函数 () 1,0) ，则函数 (2 1)的定义域为（ ） A.( 1,1) B. 112，C. ( 1,0) D. 1( ,1)2【 解析 】 由已知得 1 2 1 0x ，从而 11 2x ，选 B。 评注：当 2x+1）代替时， 范围立即转化为（ 2x+1）的取值范围 【题 2】（ 1997，全国文数， 7题） 设函数 y=f（ x）定义在实数集上，则函数 y=f（ x 1）与 y=f（ 1 x）的图象关于（ ） y=0对称 x=0对称 y=1 对称 x=1对称 【 解析 】 取 ( ) 2f x x ，则 ( 1 ) 1 , ( 1 ) 3y f x x y f x x ，作出两直线的图象，如图 2，由图可知，其图象关于直线 x=1对称。 评注：可以从理论上证明函数 1与函数 1关于直线x=1 对称 . 注意到 的图象关于 y 轴对称，将它们同时右移 1单位，前者得 1的图象，后者得 1的图象，也就是 1的图象 1与函数 1关于直线 x=1对称 【题 3】 已知函数 f(x)满足 ： f(m n) f(m)f(n)， f(1) 3， 则 2 (1) (2)(1) 2 (2) (4)(3)2 (3) (6)(5) 2 (4) (8)(7)的值等于 ( ) A 36 B 24 C 18 D 12 x = 1 x + 1y = 3 2 【解析】 符合 f(m n) f(m)f(n)的函数原型是指数函数 ， f(1) 3， 3,a 得 3 2 2 4 4 6 6 8 83 5 73 3 3 3 3 3 3 3 4 3 3 2 43 3 3 3 ，故选 B. 评注：如果不用特值，本题的一般解法是： f(m n) f(m)f(n)， f(2n) f(n)f(n)， 即 f(2n) 2()且有 f(n 1) f(n)f(1) 3f(n)， 即 ( 1)() 3，则 2 (1) (2)(1) 2 (2) (4)(3) 2 (3) (6)(5) 2 (4) (8)(7) 2 ( 2 ) 2 ( 4 ) 2 ( 6 ) 2 ( 8 )( 1 ) ( 3 ) ( 5 ) ( 7 )f f f ff f f f 23 23 23 23 24，故选 B 显然，作为选择题如此计算并不划算 . 【题 4】 （ 2013 年天津卷文 7）已知函数() 上的偶函数 , 且在区间0, )单调递增 . 若 实数2 ( 2 (1)f a f , 则 ） A1,2B10,2 C,2D(0,2【 解析 】()上的偶函数，所以1 2 22( l o g ) ( l o g ) ( l o g )f a f a f a ， 从而原不等式可化为2(lo g ) (1)f a f，即2(| lo g |) (1)f a f， 而()在0,单调递增，所以2| 1a ，解得 1 22 a，选 C。 评注： 抽象函数的不等式或方程问题常借助函数的单调性解决，只需将已知条件化为 ( ) ( )f a f b 即可。 【题 5】 (2008年陕 西卷 ) 定义在 R 上的函数 () ) ( ) ( ) 2f x y f x f y x y （ ， ），(1) 2f ，则 ( 2)f 等于（ ） A 2 B 3 C 6 D 9 【 解析 】 令 0, 0，得 (0 ) 2 (0 ) 0，从而 (0) 0f ； 令 1，得 ( 2 ) 2 (1 ) 2 6 ， 令 2, 2 ，得 ( 0 ) ( 2 ) ( 2 ) 8f f f ，所以可得 ( 2) 2f 。 评注：本题的解法称为“赋值法” 可能使抽象函数具体化 3 【题 6】 （ 2012 年湖北卷）已知定义在区间 0,2上的函数 y=f(x)的图象如图 3 所示，则 y= f(2 x)的图象为（ ） 【 解析 】图 3中的函数可以记为： 0 , 11 1 , 2x 当 0,1x 时， 2 1,2x ；当 1,2x 时， 2 0,1x . 于是 1 0 , 12 1 , 22x xy f x x 。比照各图象，仅 选 B. 评注：本题也可取特值 f 0 f 1 f 2=0 ， = = 1因此， x=0时， y= f(2 0)= 1，函数图象过点（ 0， 除 A， D；又 x=1时， y= f(2 1) 1，函数图象过点 (1， 1)， 排除 C。所以选 B。 【题 7】 （ 2005年福建卷） () 上的以 3为周期的奇函数，且 (2) 0f ，则方程 f(x)=0在区间（ 0， 6）内解的个数的最小值是（ ） 解析 】 因为 f(x)是奇函数，所以 f(0) 0； 因为 f(x)是以 3为周期的函数， f(2) 0，所以 f(3) f(0 3) f(0) 0 奎屯王新敞 新疆 f(5) f(2 3) f(2) 0. 又 f( 1) f(2 3) f(2) 0； f(x)是奇函数，可得 f( 1) f(1) 0。 从而 f(1) 0， f(4) f(1 3) f(1) 0. 因为 f(x)以 3为周期，所以 f( f(3) f( f(, 也就是 f( f(即 2f( 0, f( 0，从而 f( f(3) 0. 由此可见， f(x) 0在区间 (0,6)内的解至少有 7个，分别是： 1， 2， 3， 4， 5， 四个选项中没有正确答案。 【 点评 】 命题组给出的标准答案是 D，连命题人自己也忽略了两个值，可见抽象函数问题不论是 命题还是解题都应慎之又慎。 图 3 1 高考解题技术（ 3） 如何求递推数列的通项 1、代换法 【 例 1】 （ 2010年 重庆 理 卷 21题 ）在数列 a=1， 11 2 1 N *c a c n n ，其中实数 0c 。（ 1）求 2）（略） 【解析】 由 11 2 1 N *c a c n n 得 11 21 ， 令 nn c，则原数列转化为1 21b n ， 于是1 2 1 1 1( ) ( ) ( 2 1 1 ) ( 2 1 )b b b b 21 ( 1 ) ( 3 2 1 ) 112nn ，即 2 2 111 , ( 1 ) n a n c 评注 ： 这里 求出通项，仍然是使用“叠加法”，但递推式是通过换元 nn c发现的。 2.， 111, 3 2a a ，则通项 【解析】 由1 32两边加 1，得1 1 3 ( 1) ， 所以数列 1是以1 12a 首项， 3为公比的等比数列， 也就是 11 2 3 ，从而得 12 3 1 评注 ： 从递推式1 32想到两边各加上 1，得到等比形式1 1 3 ( 1) ，这种方法叫做“配凑法”，是一种重要的数学能力。 【 例 3】 （ 2008， 陕西 理 卷 ， 22题 ）已知数列 5a ，1321nn a ， 12n ， ， （ 1）求 2）略 【解析】 将已知式1321nn a 两边取倒数得，11 2 133 ， 即 11 1 1 233 ， 令11 1 1()3 得11 1 1 233 ，比较系数可得 1 ，从而 1 1是以1121 3a 为首 2 112 2 133a a a 3 1224 4 4a a a a 1 11 1 1n n nn n na a a a a aa a a 项， 13为公比的等比数列，故11 2 1 21 3 3 3 ，于是： 332nn . 评注： 原题似有 13q的等比数列之形，却又不是等比数列，也不像例 2容易配凑出等比数列，这种情况下可以使用待定系数法加工，使其补足等比数列的条件，继而用等比数列公式 求其通项。 4、 “取倒数” 【例 4】 （ 2010四月 市 已知数列 211, ,2且 2121n ,则图中第 5行所有数的和是（ ） 解析】 递推关系太复杂了，需设法将其简化。 第一步：递推关系式的右式 ,分子的次数高于分母的次数 ,且分子 为单项式 ,分母为 多项式 ,不便于推理运算 ,因此考虑取倒数 . 由 21 1 12 21 2 1 2 11 1n n n n n n n n na a a a a a a a a ； 第二步：由以上结果及122 ,知1是首项122 且公差 d=1的等差数列 渡数列”的通项公式是： 12 1 1 1 ； 第三步：我们发现1虽然不是等比数列 ,但 其比值是一个简单的一次式 乘法”求通项： 122 3 12 , 3 , , 1 ,na a a 11 2 1232 3 , !a a a a 已知1 1,a这个数列的通项公式为 1!na n（ n=1也适合）于是“水落石出” ,图中第 5行所有数的和是：1 5 3 3 5 12 4 4 26 6 6 6 6a a a a a aa a a aa a a a a 1 1 1 1 1 1 1 1 1 16! 1 ! 5 ! 2 ! 4 ! 3 ! 3 ! 4 ! 2 ! 5 ! 1 ! 6 1 5 2 0 1 5 6 6 2 ，故选 A. 3 评注： 解题前，似乎“山穷水复疑无路”，后通过先取倒数后实施叠乘，原来却是“柳暗花明又一村” . 裴波那契数列 【 例 5】 如果一对兔子每月能生一对小兔子，而每对小兔在它出生后的第 3 个月里，又能开始生一对小兔子，假定在不发生死亡的情况下，由一对初生的兔子开始， 繁殖成多少对兔子？ 【解析】 本题为 12 世纪意大利数学家裴波那契所拟，以下我们考查这道千古名题的数学含义： 由于这对小兔前两个月没有长大，不能生殖，所以前两个月的兔子数都只有一对，也就是：121. 第 3个月，已经长大的小兔可以生殖 1 对，所以第 3个月有 2对兔子； 第 4个月虽然初生的小兔不能生，但原来的大兔又可生一对，所以第 4个月有 3对兔子； 以下，每个月的兔子数都按如下规律递增：上个月的兔子（对）数，加上新生的兔子（对）数（也就是前两个月的兔子数），于是有递推关系： 21 1n n na a a n N . 显然这个数列既非等差数列，也非等比数列。但是它隐含着可用构造法配凑成等比数列的条件： 设2 1 1()n n n na a k a a ， 即 21 2n n na k a k a 比较（ 1），（ 2）得： 11，消去 k： 2 10 。解这个方程得： 152 . 根据 1k，可得：152152k 或152152k ，这两组解对应可构造两个等比数列， 一个是2 1 11 5 1 5 1 5()2 2 2n n n na a a a ，所以1152 是以 1 5 1 51 22为首项， 152为公比的等比数列，11 5 1 5()22 ， 1） 另一个为2 1 11 5 1 5 1 5()2 2 2n n n na a a a ， 所以1152 是以1 5 1 51 22为首项， 152 为公比的等比数列，11 5 1 5()22 ， （ 2） 于是（ 1）（ 2）得， 1 5 1 55 ( ) ( )22， 即 1 1 5 1 5( ) ( )225 小结： 学习递推数列的一个重要主题和目标，是找出该数列的通项。 4 具有等差特征的递推数列，常用“叠加法”求其通项； 具有等比特征的递推数列，常用“叠乘法”求其通项； 特征不明显的递推数列，可以使用代换，取倒数，构造或使用待定系数等使关系明朗后再求其通项。 （本文选 自高中数学题根专题 向地推寻根 ） 1 高考解题技术（ 4） 巧用数列中项 1. 巧用等差中项 【题 1】 （ 2010全国 4题 ）如果等差数列 ， a3+a4+2，那么 a1+ ） A 14 B 21 C 28 D 35 【解析】注意 到 4是 3和 5 的平均数 ， 则由等差数列的性质可知 a3+ 又 a3+a4+2， 从而有 32， 解之得 ， 同样地， 4也 是 1和 7、 2和 6的平均数 ，从而有 a1+a7=a2+ 所以7S= 17 44() 72 722aa a a ，故选 C 评注： 无论是 第 3， 4， 5 项， 还是前 7 项， 它们的 中项 都是 第 4 项 ， 抓住了第 4 项， 也 就抓住了本题的根 【题 2】 （ 2013 广东卷 第 12题 ） 在等差数列 ， 已知 a3+0， 则 3a5+_. 【解析】因为 5=4+62 ， 则由 等差数列 的性质可知 2a5=a4+而有 3a5+a7=a4+a5+a6+ 同样地，因为 5+6=4+7=3+8， 于是有 a1+a9=a2+a8=a3+ 所以 3a5+a7=a4+a5+a6+(a3+20 评注：进一步，我们可以将等差、等比数列性质中的项数 由 2 项 推广为 3 项 ， 甚至更多 ，