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2015年高考数学一轮复习 第九章 直线与圆教师版 文（含解析）（打包7套）,年高,数学,一轮,复习,温习,第九,直线,教师版,解析,打包

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1 第 57 课 直线的方程 (1)定义： x 轴 正向 与直线 向上 的方向所成的角叫做这条直线的倾斜角 规定：当直线与 x 轴平行或重合时，倾斜角为 0 . (2)倾斜角的范围为 0, ) （ 1） 当直线的倾斜角 90 时，则直线的斜率 k ， 当直线的倾斜角 90 时，直线的斜率 不 存 在 （ 2）当 为 锐角时， 若 越 大 ， 则 斜率 k 也 越 大 ； 当 为钝角时 ， 若 越 大 ， 则 斜率 k 也越 大 3斜率公式 （ 1）过两点 () 1， () 2， 12()直线的斜率公式 : k 21 （ 2）若 斜率存在 ，则三点 A 、 B 、 C 三点共线 例 1 （ 2012 济南质检） 直线 10ax y 与连接 (2,3)A 、 ( 3,2)B 的线段相交，求 a 的取值范围 【解析】 直线 10ax y 恒过定点 (0, 1)P ， 如图 ， 要使 直线 10ax y 与线段 交，则只要直 线 l 介于直线 ,间， 3 ( 1 ) 220， 2 ( 1 ) 130 ， 又 当直线 轴时，斜率不存在， 直线 10ax y 的 斜率 2a ，或 1a a 的 取 值 范 围 是( , 2 1, ) 【变 式 】 直线 2( 1 ) 1 0x a y 的倾斜角的取值范围是 （ ） A 0, 4B 3 , )4 C 0 , ( , )42D 3 , ) , )4 2 4 【答案】 B 【解析】设直线的倾斜角为 ，则21ta n 1a ， 2 11a ， 1 ， 0, ， 3 , )4 直线与 x 轴交点的 叫做直线在 x 轴上的截 距；直线与 y 轴交点的 叫做直线在 y 轴上的截距 5直线的中点坐标公式 11( , )A x y、22( , )B x , )M x y 满足： 12121 ()21 ()2x x xy y y 6. . 直线方程的五种形式 方程 适用范围 点斜式 不垂直于 x 轴的直线 斜截式 不垂直于 x 轴的直线 两点式 不垂直于坐标轴的直线 截距式 不垂直于坐标轴且不过原点的直线 一般式 平面内所有直线都适用 【 例 2】 求适合下列条件的直线方程： （ 1）经过点 (1, 2)M ，且在两坐标轴上截距相等； （ 2） 经过点 (2,1)P ，且倾斜角等于直线 2的倾斜角的 2 倍 【解析】 （ 1） 设所求直线在 , 若 0 ，则直线过原点 (0, 0) ， 20 210k ，直线 方程为 2 若 0 时，设直线 l 的方程为 x y a ， (1, 2)M 在直线 l 上， 1 2 1a 直线方程为 10 ， 所求直线的方程为 2 或 10 （ 2） 设所求直线 的倾斜角为 ， 直线 2的倾斜角为 ， 则 ， 3 22 t a n 4t a n t a n 2 1 t a n 3k ， 所求直线的方程为 41 ( 2 )3 ，即 4 3 1 1 0 【 变式 】 （ 2013 珠海一模）设 A 、 B 是 x 轴上的两点， 点 P 的横坐标为 2 ， 且 | | | |B ，若直线 方程为 10 ，则直线 方程是（ ） A 2 7 0 B 50 C 2 4 0 D 2 1 0 【答案】 B 【解析】 点 P 在直线 10 上， 且 P 的横坐标为 2 ， (2,3)P 又 | ， 1P B P 方程是 3 ( 2 ) ，即 50 【例 3】 过点 (2,1)P 作直线 l 分别交 x 、 y 轴的正半轴于 A 、 B 两点当 面积最小时，求直线 l 的方程 【解析】 设直线 l 的方程为 1 ( 2 ) ( 0 )y k x k ， 令 0y ，解得 12，令 0x ，解得 12 ， 1( 2 , 0 ) , ( 0 , 1 2 )A B 1 1 1 1( 2 ) ( 1 2 ) 4 ( 4 ) ( ) 22A O BS k 1 1 1( 4 2 ( 4 ) ( ) ) ( 4 4 ) 422k k 当且仅当 14，即 12k时，等号成立 直线 l 的方程为 2 4 0 【 变式 】 过点 (2,1)P 作直线 l 分别交 x 、 y 轴的正半轴于 A 、 B 两点当 | | | |B 取最小值时，求直线 l 的方程 【解析】 设直线 l 的方程为 1 ( 2 ) ( 0 )y k x k ， 令 0y ，解得 12，令 0x ，解得 12 ， 1( 2 , 0 ) , ( 0 , 1 2 )A B 221| | | | ( ) 1 4 4P A P B 22122 2212 2 2 4 ， 4 当且仅当 221 ，即 1k 时，等号成立 直线 l 的方程为 30 第 57 课 直线的方程的课后作业 1 图中的直线1l、2l、3k、3k，则（ ） A1 2 3k k k B3 1 2k k kC3 2 1k k kD1 3 2k k k【答案】 D 2直线 3 1 0 的倾斜角为（ ） A3B3C 23D 56【答案】 B 【解析】设倾斜角为 ，则 ta n 3k ， 3 3. 已知过点 ()41， 和 ,()6 的直线 倾 斜 角为4，那么 m 的值为 ( ) A 1 B 4 C 1 或 3 D 1 或 4 解析：由斜率公式得 16t a 1m m ， 即 16 141m m ， 解得 m1 ，故选 A. 答案： A 4直线 l ： 20ax y a 在 x 轴和 y 轴上的截距相等，则 a 的值是（ ） A 1 B 1 C 2 或 1 D 2 或 1 【答案】 D 【解析】显然 0a 时，不能满足题意 在 , ,2a 2 2a ，解得 2a 或 1a 5 直线 c o s 1 0x y R 的倾斜角的取值范围是 （ ） A 0, 2B 0, ) C , 46D 3 0 , , )44【答案】 D 【解析】设直线的倾斜角为 ，则 1 t a n c o s 1 ， 0, ， 3 0 , , )44 点 P(2,1)的直线与两坐标轴围成的三角形的面积为 4，则这样的直线共有 ( ) A 1 条 B 2 条 C 3 条 D 4 条 解析： 设过点 P(2,1)的直线方程为 1，则 2a 1b 1，即 2b a S 12|a|b| 4，即 | 8， 由 2b a 8， 解得 a， b 有三组解： a 4，b 2 或 a 4 4 2，b 2 2 2或 a 4 4 2，b 2 2 2. 这样的直线有 3 条故选 C. 答案： C 7. 已知两点 (3,0)A 、 (0,4)B ，动点 ( , )Px y 在线段 运动，则 最大值是 _ 【答案】 3 【解析】线段 方程是 1 ( 0 3 )34xy x ， 224 4 34 ( 1 ) ( 3 ) ( ) 33 3 3 2xx y x x x x ， 32x时， 得最大值 3 8. 若 ( ) (2 , 3 2 )3， ， ， 1( , )2 m 的值 为 _ 解析： 由 2 33 2 m 212 3，得 m 12. 答案： 12 的三个顶点是 ,),(A B 0 3 6 0， ， ， ，求它的三条边所在的直线方程 解析：如图所示，因 的顶点 B 与 C 的坐标分别为 ,03和 ( , )60 ，故点 B 在 y 轴上，点 C 在 x 轴上，即直线 x 轴上的截距为 6 ，在 y 轴上的截距为 3，利用截距式，直线 的方程为 163， 化为一般式为 2 6 0 . 6 由于点 B 的坐标为 ,03 ，故直线 y 轴上的截距为 3，利用斜截式，得直线 y 3 . 又由顶点 4(3, )A 在其上，所以 4 3 3k 3k于是直线 方程为 7 33 ，化为一般式为 7 3 9 0 . 由 4(3, )A ， 0()6,C ， 得直线 斜率 4 0 43 ( 6 ) 9 利 用 点 斜 式 得 直 线 方 程 为 4069 () ， 化 为 一 般 式 为4 9 2 4 0 . 也可用两点式，得直线 方程为 0 ( 6 )4 0 3 ( 6 ) ，再化简即可 l 过点 ,分别交 x 轴的正方向和 y 轴的正方向于 A 、 B 两点当 B最小时 (O 为坐标原点 )，求直线 l 的方程 解析： (1)依题意， l 的斜率存在，且斜率为负。 设直线 l 的斜率为 k ，则 ()y k x k 4 1 0 令 0y ，可得 4(1 , 0)令 0x 可得 ()0, 4 4 4 44 5 ( ) 5 () 5 4 9( )O A O B k k kk k k ( 1 - ) + 所以当且仅当 4且 0k ， 即 k2 时， B 取得最小值这时 l 的方程为 2 6 0 1 第 58 课 两直线的位置关系 1. 两条直线平行与垂直的判定（方法 1） (1)两条直线平行： 对于两条不重合的直线 其斜率分别为 有/2 12 当直线 斜率都不存在时 , 行 (2)两条直 线垂直 如果两条直线 为 12 121 当一条直线斜率为零，另一条直线斜率不存在时， 两直线 垂直 【 例 1】 求过两直线 2 4 0 与 20 的交点，且与直线 3 4 5 0 垂直的直线方程 【解析】 方法 1：设所求的直线方程为 4 3 0x y c ， 由02042得交点 (0,2) ， 4 0 3 2 0c ，得 6c ， 所求的直线为 0634 方法 2：设所求的直线为 0)2(42 (1 ) ( 2 ) 4 2 0 ，所求的直线与直线 3 4 5 0 垂直， 3 (1 ) 4 ( 2 ) 0 ，得 11 ，所求的直线方程为 0634 【变式】求过两直线 2 4 0 与 20 的交点，且与直线 3 4 5 0 平行的直线方程 【解析】 由02042得交点 (0,2)P ， 所求的直线与直线 3 4 5 0 平行的，所求的直线的分斜率为 43k， 所求的直线为 4 23，即 4 3 6 0 2. 两条直线平行与垂直的判定（方法 2） 设1l：1 1 1 0A x B y C +，2l：2 2 2 0A x B y C +. 12/1 2 2 1 0A B A B 且1 2 2 1 0B C B C .12 1 2 1 2 0A A B B. 为何值时，若直线1 1 1 2 2 2( ) = 0A x B y C A x B y C 恒过定点 P ，则定 2 点 P 的坐标可由方程组 1 1 12 2 200A x B y CA x B y C 求得 【例 2】 已知两直线1l： 2 2 0x m y m ，2l： 10m x y m （ 1）若1l2l，求 m 的值 ； （ 2）若1l 2l，求 m 的值 【解析】 （ 1） 当 0m 时，显然不满足1l2l， 当 0m 时，1 1k m，2, 1 ，解得 1m 或 1m ， 当 1m 时， 直线1线2 m 的值是 1 （ 2） 1l 2l， 0，解得 0m 【变式】（ 1） （ 2013 延庆一模） 已知直线01)1(:1 2:2 “2a” 是 “ 21 （ ） A充分不必要条件 B 必要不充分条件 C充分必要条件 D 既不充分也不必要条件 【答案】 A 【解析】 21 1 ( 1) 0a a a ， 0a 或 2a ， 故选 A （ 2） 已知直线 01)1(: 过定点 P ，则点 P 的坐标为 【解析】 直线 l 的方程可化为 ( 1 ) 1 0a x x y 由 1010 得 12，故直线 l 过定点 ( 1, 2)P 3 三种距离公式 (1)两点间的距离 : 点 ()P x ()P x 的距离： |2 222 1 2 1( ) ( )x x y y . 特别 地： /PP |2 21 /PP |2 21 (2)点到直线的距离 点 ()P x 直线 l ： A x B y C 0的距离： d0022|A x B y . (3) 两 条 平 行 线 间 的 距 离 ： 两 平 行 直 线1l：1 1 1 0A x B y C +，2l：2 2 2 0A x B y C + 2间的距离为 d1222|. 3 （ 4）到两平行直线1l：1 1 1 0A x B y C +，2l：2 2 2 0A x B y C +距离相等的直线0 222 02x B y +【 例 3】 已知直线 l 过点 (3,4)P 且与点 ( 2 , 2 ), ( 4 , 2 )等距离，求直线 l 的方程 【解析】 当 直线 l 和 在的直线平行时，直线 l 方程为 4 ( 3 )k x ， 即 24 ( 3 )3 ，即 2 3 1 8 0 当 直线 l 过 中点 (1,0) 时， 直线 l 方程为 40( 1)31，即 2 2 0 直线 l 的方程为 2 3 1 8 0 或 2 2 0 【变式】 已知直线1l： 80m x y n 与2l： 2 1 0x 互相平行 ， 且1l，2 ， 求直线1 【解析 】 12/ 2 8 2 08 ， 42或 42(1)当 4m 时 ， 直线1 8 0x y n ， 把2 8 2 0 ， | 2 | 51 6 6 4n ， 解得 22n 或 18n . 故所求直线1 4 1 1 0 或 2 4 9 0 . (2)当 4m 时 ， 直线1 8 0x y n ， 2 8 2 0 ， | 2 | 51 6 6 4n ， 解得 18n 或 22n . 故所求直线1 4 9 0 或 2 4 1 1 0 第 58 课 两直线的位置关系 的课后作业 1.（ 2014 越秀质检） 设 ，则“ 1a ”是“直线 10ax y 与直线 10x 平 行”的 （ ） 【答案】 C 2. (2013 汕头二模）过点(1,2) 0 的直线方程为（ ） 4 A2 4 0 B2 7 0 C2 3 0 D2 5 0 【答案】 C 【解析】所求的直线的斜率为 12，所求 的直线方程为 12 ( 1)2 ，即 3 0 3. 过点 ()4和 ()5的直线与直线 y x m 平行 ， 则 值为 ( ) A 6 B. 2 C 2 D 不能确定 【解析】选 B. 直线 直线 y x m 平行 ， b 4 1， 即 1.| （ 5 4） 2（ b a） 2 2. 4 (2013 惠州调研） 已知点 (1, 2 ), (5, 6 )到直线 : 1 0l ax y 的距离相等，则实数 a 的值等于 （ ） A 2 或 1 B 2 或 1C 2 或 1 D 2 或 1 【答案】 C 【解析】222 1 5 6 111 ，得 1a 或 2a 5（ 2013 顺义二模）设,，若直线: 1 0l mx 与，与，且坐标原点积的最小值为（ ） A2B 2 C3D 4 【答案】 C 【解析】依题意可得221 3， 221 2 | |3 m n m n ， 1|6 1 6|依题意( ,0)A， 1(0, ) 1 1 1 1 1| | | | 6 32 2 2S m n m n 6. 的两点 A ， B 在直线1 2 3 0l x y ：上，点 C 在直线2 2 1 0l x y ：上，若的面积为 2，则 的长为 _ 解析： 的边 的高为 | 3 ( 1 ) | 44 1 5h， 面积为 14| | 22 5 ， 得 5. 答案： 5 5 7. (2012 哈尔滨 模拟 )若 , 1,个数成等差数列，则直线 y kx b必经过定点 解析： 因为 k ， 1 ， b 三个数成等差数列，所以 2 ，即 2 ，于是直线方程可化为 y kx k 2 ，即 ()y k x 21，故直线必过定点 (),12 线1 33( 45)l m x y m ：，2 2 5 8()l x m y ：当 m 分别为何值时，11)平行？ (2) 垂直？ 解析： （ 1） ( 3 ) ( 5 ) 8( 5 ) ( 5 3 ) 3 2 2 8 7 0( 5 ) ( 5 3 ) 3 2 ，解得 7m 当 7m 时， (2)由 ( ) 42 3 5( ) 0，得 133m 当 133m时， 设一直线过点 ()11， ， 它被两平行直线 2 1 0 ， 2 3 0 所截的线段的中点在直线 10上 ， 求其方程 【解】与 2 2 0 . 设所求直线方程为 ( ) ( )x y x y 2 2 1 0 ， 即 ( ) ( ) 1 2 2 0. 又直线过点 ()11， ， .( ) ( ) ( ) 1 1 2 1 2 0 解得 13. 所求直线方程为 2 7 5 0. 1)1(: 定点 )4,3(A ， （ 1） 问 a 为何值时， 直线 l 过点 )4,3(A ？（ 2） 直线 l 恒过定点 B ，求点 B 的坐标 （ 3） 问 a 为何值， 点 A 到直线 l 的距离最大？并求最大距离 【解析】 （ 1）把点 )4,3(A 的坐标代入直线 l 的方程， 得 3 ( 1 ) 4 1 0 ，即21a 当21线 l 过点 )4,3(A （ 2）直线 l 的方程可化为 ( 1 ) 1 0a x x y 由 1010 得 12，故直线 l 过定点 )2,1( B ， （ 3）点 A 到直线 l 的距离中，当 时， |最大 而23 1)1(23 a，得35a，这时 22| | ( 3 1 ) ( 4 2 ) 2 1 3 当35 P 到直线 l 的距离最大，最大值为 2 13 1 第 59 课 圆的方程 1圆的定义 在平面内，到 定点 的距离等于 定长 的点的轨迹叫做圆 确定一个圆最基本的要素是 圆心 和 半径 2圆的方程 圆的标准方程 圆的一般方程 方程 2 2 2( ) ( )x a y b r 022 条件 0r 0422 圆心 ， ） ( , )22半径 r 221 42 D E F圆 2 2 2( ) ( )x a y b r 的范围 x 范围 a r x a r y 范围 b r y b r 3 点00( , )M x 2 2( ) ( )x a y b r 的位置关系 位置关系 满足条件 点00( , )M x 2 2 200( ) ( )x a y b r 点00( , )M x 2 2 200( ) ( )x a y b r 点00( , )M x 2 2 200( ) ( )x a y b r 【例 1】 已知圆经过点 )3,2( A 和 )5,2( B . (1)若圆心在直线 032 ，求圆的方程； (2)若圆的面积最小，求圆的方程 . 【解析】 (1) 12,点为 )4,0( ， 垂线方程为 4 ，即 042 由 2 4 02 3 0 ，解得 2 圆心为 )2,1( 半径 102 r , 所求的圆的方程为 22( 1) ( 2 ) 1 0 . (2)要使圆的面积最小，则 圆的直径，所求圆的方程为： 5)4( 22 小结： 求圆的 方程的两种方法 (1)直接法：根据圆的几何性质 ， 直接求出 圆心坐标 和 半径 ， 进而写出方程 (2)待定系数法： 若已知条件与 圆心 (a， b)和 半径 r 有关 ， 则设圆的标准方程 ， 依据已知条件列出关于 a，b， r 的方程组 ，进而 求出 a， b， r 的值 ， 从而 求出 圆的方程； 若已知条件没有明确给出圆心或半径 ， 则选择圆的 一般方程 ， 依据已知条件列出关于 D，E， F 的方程组 ，进而求出 D， E， F 的值 ， 从而 求出 圆的方程 【变式】 （ 2013 江西高考） 若圆 C 经过坐 标原点和点 (4,0) ,且与直线 1y 相切 ,则圆 C 的方程是 . 【答案】 223 2 5( 2 ) ( )24 【解析】 圆 C 经过坐标原 点和点 (4,0) , 可设 圆 C 的方程为 2 2 2( 2 ) ( ) ( 0 )x y b r r ， 依题意 2 2 2( 2 2 ) ( 2 )1 ， 解得5232 圆 C 的方程为 223 2 5( 2 ) ( )24 . 【例 2】 若实数 x ， y 满足 22 4 1 0x y x ， 求：（ 1） 2） 22的取值范围 【解析】 圆的方程可化为 22( 2 ) 3 （ 1）法 1.设 y 即 y ， 直线 y 与圆 22 4 1 0x y x 有交点 2| 2 | 31，解得 33k ， 法 2. 示过点 (0,0)O 与圆 22( 2 ) 3 上的点 ( , )的直线的斜率 由图 象 知 与圆相切的直线 3 22| | 3t a n 3| O | 2 ( 3 ) O ， （ 2） 法 1. 22 4 1 0x y x ， 2241x y x 圆的方程可化为 22( 2 ) 3 ， 2( 2) 3x ，即 2 3 2 3x 当 23 时， 22m a x( ) 7 4 3 ， 当 23 时， 22m ) 7 4 3 22的范围是 7 4 3 , 7 4 3 法 2d x y， 则 d 表示圆上的点到原点的距离， 圆心 到原点的距离为 22( 2 0 ) ( 0 0 ) 2 22r d r ， 2 3 2 3d ， 27 4 3 7 4 3d ， 22的范围是 7 4 3 , 7 4 3 小结： 与圆上点 (x， y)有关代数式的最值 的 解法 常见的有两种 (1)函数思想 ： 利用已知条件将 x 与 y 消去一个量，然后转化为二次函数求解 (2)数形结合思想 ： 对于 y 的最值问题可用几何意，用数形结合去解决 【变式】 (2012 福州模拟 )若实数 x ， y 满足 22 4 1 0x y x ，则1最大值为_，最小值为 _ 【答案】 22， 22【解析】 01 ( 1) ， 1示过点 ( 1,0)P 与圆 22( 2 ) 3 上的点 ( , )的直线的斜率 由图 象 知1最大值和最小值分 别是过 P 与圆相切的直线 斜率 又 3226 ， 3226 . 即1最大值为 22，最小值为 22. 【例 3】 已知圆 224 上一定点 ()， ()为圆内一点 ， P ， Q 为圆上的动点 4 (1)求线段 点的轨迹方程； (2)若 90 ， 求线段 点的轨迹方程 【解析】 (1)设 中点为 ,()M x y ， 由中点坐标公式可知 ， P 点坐标为 () 2 2， 因为 P 点在圆 224 上 ， 所以 () 222 2 2 4. 故线段 点的轨迹方程为 ()2211. (2)设 中点为 ()N x y， ， 在 t 中 ， N ， 设 O 为坐标原 点，连接 (图略 )， 则 Q ， 所以 O P O N P N O N B 2 2 2 ， 所以 ( ) ( )x y x y 2 2 2 21 1 4. 故线段 点的轨迹方程为 x y x y 22 10. 第 59 课 圆的方程 的课后作业 1. 方程 表示圆 心为 的 圆，则圆的半径 （ ） A B C D 【 解 析 】 方 程 配 方 得 ， 由 于 圆 心 ， ， 因 与 圆 222的 位置关系 是 （ ） A 点在圆上 B 点在圆内 C 点在圆外 D 无法确定 【答案】 B 3.(2013 江门一模） 以 (1,0) 为圆心，且与直线 03 切的圆的方程是 （ ） A 8)1( 22 B 8)1( 22 16)1( 22 D 16)1( 22 【答案】 A 【解析】设圆的半径为 r ，则 1 0 3 222r， 圆的方程是 8)1( 22 4. （ 2013 滨州一模） 已知圆 C 经过 (5, 2 ), ( 1, 4 )两点 ， 圆心在 x 轴上 ,则圆 C 的方 程 （ ） A 22( 2 ) 1 3 B 22( 2 ) 1 7 C 22( 1) 4 0 D 22( 1) 2 0 【答案】 D 【解析】设圆心坐标为 ( ,0)则 C ,即 2 2 2 2( 5 ) 2 ( 1 ) 4 ,解得1a , 22 2 2 0x y a x (2,0)C r2 2 6 4 2222 0,2C 2r 5 半径 22(1 1 ) 4 2 5r ， 圆 C 的方程是 22( 1) 2 0 5. (2013 揭阳二模） 若直线 10ax 平分圆 22: 2 4 1 0C x y x y 的周长，则取值范围是 （ ） A 1( , 4B 1( , 8C 1(0, 4D 1(0, 8【答案】 B 【解析】 圆心 C ( 1,2) 在直线 10ax 上， 21， 211(1 2 ) 2 ( )48a b b b b ， 当 14b时， 大值 18，即 18选 B ，直线 ( 1 ) 1 0a x y a 恒过定点 C ，则以 C 为圆心，以 为半径的圆的方程为 （ ） A 22 2 4 0x y x y B 22 2 4 0x y x y C 22 2 4 0x y x y D 22 2 4 0x y x y 【解析】：将直线整理为 ，联立 ，可得， 直线 恒过定点 P（ 2）因此以 P 为圆心， 为半径的圆的方程是 化成一般式可得 2x 4y 0 ， 故选： C 7若方程 2 2 22 4 6 0x y a x a y a a 表示圆心在第四象限的圆，则实数 a 的范围为 . 【解析】由方程 可得 ， 因为圆心 在第四象限，则有 ，解得 . 故答案为 . 8. 已知 x ， y 满足 221，则 的最小值为 _ 【解析】 表示圆上的点 P(x， y)与点 Q(1,2)连线的斜率， 的最小值是直线 直线 方程为 (21)y k x ，即 20kx y k ，由50)1()1( 1,01 )1()1( 5)2()1( 22 2 2 22 4 6 0x y a x a y a a 2 2 2( ) ( 2 )x a y a a a ( , 2 )0001a01a2121 21 6 221 1，得 34k，结合图形可知 2314 ， 所求最小值为 9. 已知圆心为 C 的圆经过点 A(0， 6)， B(1， 5)， 且圆心在直线 l： x y 1 0 上 ， 求圆的标准方程 【解】 (1)法一：设圆的方程为 F 0(4F0)， 则圆心坐标为 由题意可得（ 6） 2 6E F 012（ 5） 2 D 5E F 0，D E 2 0消去 F 得D E 10 0D E 2 0 ， 解得 D 6E 4， 代入求得 F 12， 所以圆的方程为 6x 4y 12 0， 标准方程为 (x 3)2 (y 2)2 25. 法二：因为 A(0， 6)， B(1， 5)， 所以线段 中点 D 的坐标为 12， 112 ， 直线 斜率 5（ 6）1 0 1，因此线段 垂直平分线 l 的方程是 y 112 x 12 ， 即 x y 5 0. 圆心 C 的坐标是方程组x y 5 0x y 1 0的解 ， 解得 x 3y 2， 所以圆心 C 的坐标是 ( 3， 2) 圆的半径长 r | （ 0 3） 2（ 6 2） 2 5， 经过 P( 2， 4)、 Q(3， 1)两点 ， 并且在 x 轴上截得的弦长等于 6， 求圆的方程 【解】设圆的方程为 F 0， 将 P、 Q 点的坐标分别代入得2D 4E F 20，3D E F 10. 又令 y 0， 得 F 0. 设 的两根 ， 由 | 6 有 4F 36， 由 解得 D 2， E 4， F 8， 或 D 6， E 8， F 0. 故所求圆的方程为 2x 4y 8 0， 或 6x 8y 0. 11. 若不同的四点 A(5， 0)、 B( 1， 0)、 C( 3， 3)、 D(a， 3)共圆 ， 求 a 的值 【解】设过 A、 B、 C 三点的圆的方程为 F 0， 分别代入 A、 B、 C 三点坐标得25 5D F 0，1 D F 0，9 9 3D 3E F 0，解得D 4，E 253 ，F 5. A、 B、 C 三点确定的圆的方程 为 4x 253y 5 0. D(a， 3)也在此圆上 ， 9 4a 25 5 0. a 7 或 a 3(舍去 ) 即 a 的值为 7. 1, 1)R ，点 P 为圆 22( 2 ) 1 上的一个动点，线段 中点为 R （ 1）求动点 Q 的轨迹方程 34 7 （ 2）若 ( , )动点 Q 的轨迹上的任意一点，求 2226x y x的最大值与 最小值 【解】 （ 1）设 ( , )Q x y ， ( , )P x y，则1212 ， 22 ( , )P x y为圆 22( 2 ) 1 上的一个动点， 22( 2 ) 1 22( 2 ) ( 2 2 ) 1 ，即 22( 2 ) 1 所以动点 Q 的轨迹方程为 22( 2 ) 1 （ 2） ( , )动点 Q 的轨迹上的任意一点， 22( 2 ) 1 ，即 221 ( 2 ) 2226x y x 222 1 ( 2 ) 6x x x 2 10 3 2( 5) 28x 22( 2 ) 1 ， 2( 2) 1x ，解得 13x 当 1x 时， 2226x y x取得最小值 8 ， 当 3x 时， 2226x y x取得最大值 36 从而 2226x y x的最大 值为 36 ， 最小值为 8 备用： 11 已知平面区域 002 4 0 恰好被面积最小的圆 2: ( )C x a 22()y b r及其内部所覆盖（ 1）试求圆 C 的方程；（ 2）若斜率为 1 的直线 l 与圆 C 交于不同两点 ,足B ，求直线 l 的方程 【解析】 （ 1）平面区域是以点 (0,0)O ， (0,2)P ， (4,0)Q 的三角形及其内部，且 Q 满足条件 的圆是 的外接圆， 圆心 (2,1) ，半径 5r ， 圆的方程是 22( 2 ) ( 1 ) 5 （ 2）设直线 l 的方程是 y x m ，则 B ， 圆心到 l 的距离是 102d | 2 1 | 1 022m ，解得 15m l 的方程是 15 或 15 8 9. 已知实数 x， y 满足 (x 1)2 4， 求 x 2y 的最小值与最大值 【解】设 z x 2y， 也就是 x 2y z 0. 由已知 ， 圆心 (1， 0)到该直线的距离不大于圆的半径 2， 即 |1 z|12（ 2） 2 2， 解得 1 2 5 z 1 2 5， (x 2y)1 2 5， (x 2y)1 2 5. 的 圆心在直线 y 4x 上 ， 且与 直线 l： x y 1 0 相切于点 P(3， 2)求圆的方程 【解】设所求方程为 (x (y 根据已知条件得 4 3 （ 2 1|2 r，解得1， 4，r 2 x 1)2 (y 4)2 8. 1 第 直线与圆的位置关系 1 直线与圆的位置关系 （ 1）几何法：若圆心到直线的距离为 d ，圆的半径为 r ，则 相交 ； 相切 ； 相离 （ 2）代数法：由直线方程与圆的方程联立方程组，消元得到一个一元二次方程，则 相交 0 ； 相切 0 ； 相离 0 注意：解决 直线与圆的问题 时，首选几何法 【例 1】 已知圆 C ： 22x y 8 y 1 2 0,直线 l : 20ax y a . （ 1）当 a 为何值时，直线 l 与圆 C 相切？（ 2）当 a 为何值时，直线 l 与圆 C 相交？ （ 3）当 a 为何值时，直线 l 与圆 C 相离？ 解： （ 1）圆 C 的标准方程为： 22( 4 ) 4 ，所以，圆心 (0,4)C ，半径为 2r 由2| 4 2 | 21，解得 34a4a时，直线 l 与圆 C 相切 (2）由2| 4 2 | 21，解得 34a。当 34a时，直线 l 与圆 C 相交 （ 3）由2| 4 2 | 21，解得 34a。当 34a时，直线 l 与圆 C 相离 变式： 判断直线 c o s s y r和圆 2 2 2x y r的位置关系 解 ：圆心 (0,0)O 到到线的距离为22| |c o s s i ，所以直线和圆相切 2. 直线与圆相交 半径、弦心距、半弦长构成一个直角三角形 若圆心到弦的距离为 d ，圆的半径是 r ，弦长是 l ， 则 l 222 【例 2】 已知圆 C ： 22x y 8 y 1 2 0,直线 l : 20ax y a 与圆 C 相交于 A 、 B 两点，且 22时，求直线 l 的方程 . 解： 圆 C 的标准方程为： 22( 4 ) 4 ，所以，圆心 (0,4)C ，半径为 2r r 当直线 l 与圆 C 相交，且 22时， 圆心 (0,4)C 到直线 l 的距离22| 4 2 | 4 ( 2 )1 ,解得 1a 或 7a . 此时直线 l 的方程为 20或 7 14 0 . 变式： 若 ()a b c c 2 2 220，则直线 ax by c 0 被圆 221 所截得的弦长为 （ ) B 1 C. 22 D. 2 解析：因为圆心 ,00 到直线 ax by c 0 的距离22| | | | 222 | | 所以直线被圆所截的半弦长为 2221 ( )，所以弦长为 2 . 答案： D 【例 3】求过点 (2,3)P 向圆 C ： 22( 1) 1所引的切线方程 【解析】 22(2 1) 3 1 ，点 (2,3)P 在圆 C 外，切线有两条 设过点 (2,3)P 的切线方程为 3 ( 2)y k x ，即 3 2 0kx y k 21 0 3 2 11 ，得 43k，切线方程为 4 3 1 0 当过点 (2,3)P 的直线的 斜 率不存在时，方程为 2x ， 圆心 (1,0) 到直线 2x 的距离等于 1 ，该直线与圆相切， 所求的切线方程是 4 3 1 0 ，或 2x 变式： 求过点 (1, 2)P 向圆 C ： 225所引的切线方程 解：圆心 (0,0)C ， 221 ( 2 ) 5 ，点 (1, 2)P 在圆 C 上，切线有一条 20 210 ， 切线 112k ， 所以，切线方程为 12 ( 1)2 ，即 2 5 0 【例 4】 已知：过点 (0,1)A 且斜率为 k 的直线与圆 22: ( 2 ) ( 3 ) 1C x y 相交于 , 1）求实数 k 取值范 围；（ 2）求证： N 为定值 3 解：（ 1）法 l 的方程为 1y ， 将其代入圆 22: ( 2 ) ( 3 ) 1C x y ，得 22(1 ) 4 (1 ) 7 0k x k x 由题意，得 221 6 (1 ) 2 8 (1 ) 0 ，解得 4 7 4 733k法二： 直线 l 的方程为 1y ，即 10kx y . 又圆心到直线距离22| 2 3 1 | | 2 2 |11 ， 2| 2 2 | 11， 解得 4 7 4 733k(2)证明：设过 A 点的圆的切线为 T 为切点 则 2| |A T A M A N ， ( ) ( ) 220 2 1 3 1 7 ， 错误 !未找到引用源。 . 根据向量的运算： | | | | c o s 0 7A M A N A M A N 为定值 第 直线与圆的位置关系 的课后作业 1. 设 A、 B 为直线 y x 与圆 1 的两个交点，则 | ( ) A 1 B. 2 C. 3 D 2 解析： 利用直线过圆心，则所截弦长恰为直径长求解由于直线 y x 过圆心 (0,0)，所以弦长 | 2R 2. 答案： D 2（ 2013 高考） 垂直于直线 1且与圆 221相切于第一象限的直线方程是 （ ） A 20 B 10 C 10 D 20 【答案】 A 【解析】 设所求的直线为 0x y c ， 圆心到直线 0x y c 的距离 12， 2c （舍去），或 2c 3. (2013 广州一模）直线 3 4 9 0 与圆 22( 1) 1的位 置关系是（ ） A相离 B相切 C直线与圆相交且过圆心 D直线与圆相交但不过圆心 【答案】 A 【解析】圆心 (1,0) 到直线 3 4 9 0 的距离为 3 1 4 0 9 655d ， ，故直线与圆相离 4 4（ 2013 重庆高考） 设 P 是圆 22( 3 ) ( 1 ) 4 上的动点 ,Q 是直线 3x 上的动点 , 则 最小值为 （ ） A 6 B 4 C 3 D 2 【答案】 B 【解析】圆心到直线的距离为 3 ( 3) 6d ， 最小值为 4 5若直线 3 ( 1)与圆221) 1 相交于 A 、 B 两点，则 值为（ ） A 2 B 1 C 12D 与 k 有关的数值 【答案】 A 【解析】圆心 ( 1