高中数学 第一章课件含视频(打包29套) 新人教A版选修2-2
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高中数学 第一章课件含视频(打包29套) 新人教A版选修2-2,高中数学,第一章,课件,视频,打包,29,新人,选修
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导数及其应用第一章 ?.:,.?高度是多少距水面的最大他度速如何求他在某时刻的示表可用函数单位度运动员相对于水面的高后已知起跳赛的瞬间照片中锁定了运动员比你看过高台跳水比赛吗10569412 !,?,., ,):(:,334之间的函数关系是位单与半径单位气球的体积我们知道 .,343么的函数表示为体积如果把半径 ,.,气球半径增加了时增加到从当空气容积 ./. 气球的平均膨胀率为 ,.,增加了气球半径时增加到当空气容量从类似地 ./. 气球的平均膨胀率为.,胀率逐渐变小了它的平均膨随着气球体积逐渐变大可以看出?,均膨胀率是多少气球的平时增加到当空气的容量从思考 21 .:,1056942 v ;/., 这段时间里在 ./., 这段时间里在 ?:,状态有什么问题吗动运动员运度描述你认为用平均速静止的吗运动员在这段时间里是并思考下面的问题里的平均速度这段时间计算运动员在探究2149650 t ,.,1212211212a n g a t ea v er a g 即表示用习惯上的到从数我们把这个式子称为函示表式子那么问题中变化率可用表示函数关系用如果上述两个问题中的平均变化率., 相乘与而不是是一个整体符号 .,;,12211类似地代替可用增量的一个看作是相对于可把.,平均变化率可表示为于是 ?,.O 12 12 12 1x 2.图导数的概念211 . ?,?,.).t a n(.,时的瞬时速度是多少比如度呢如何求运动员的瞬时速那么度在某时刻的瞬时速她他度不一定能反映运动员的平均速的速度称为我们把物体在某一时刻是不同的度运动员在不同时刻的速在高台跳水运动中2tv e l oc i ye ou si .,.,;,.,22222202200222 2222220 这段时间内在时 ,11394 2 . 11394 . t;.,. 0 5 113010 当 ;.,. 0 9 5 1130 0 10 当 ;.,. 0 9 9 5 1130 0 0 10 当 ;.,. 0 9 9 9 5 1130 0 0 0 10 当 ;.,. 0 9 9 9 9 5 1130 0 0 0 0 10 当 2222220 这段时间内在时 , 11394 2 . 11394 . t;.,. 14913010 当 ;.,. 1049130010 当 ;.,. 100491300010 当 ;.,. 1 0 0 0 4 9130 0 0 0 10 当 ;.,. 1000049130000010 当 ?, 有什么样的变化趋势平均速度时趋近于当观察 .,1132220个确定的值平均速度都趋近于一时一边趋近于还是从大于的一边从小于即无论时趋近于当我们发现 ,.,|,时的瞬时速度是员在运动因此时的瞬时速度就无限趋近于速度平均无限变小时时间间隔从物理的角度看 .,1302113220定值趋近于确平均速度时趋势近于当表示我们用为了表述方便 . 时的极限趋近于当是我们称确定值 022113 ?.? 0000 即或记作 ,d e r i v a t i v 导数.| 处的导数在关于自变量表示函数 00 .;:,求已知曲线的切线二是数求速度和加速度体的路程关于时间的函一是根据物导数的产生的两类问题直接导致了其中到的四类问题现为本章引言中提突出地表它们新的要求这些发展对数学提出了进的发展得了突飞猛文等方面取力学、航海、天世纪17.;,胀率导数就是气球的瞬时膨的关于体积气球半径就是运动员的瞬时速度的导数关于时间高度我们知道由导数的定义,的增长率等等的缩写产总值效率、点密度、国内生如的瞬时变化率导数可以描述任何事物实际上od u c is t i cD om eG r o s P .,).(:,.,并说明它们的意义的瞬时变化率原油温度时和第计算第为单位的温度原油时如果在和加热行冷却油进对原需要品产柴油、塑胶等各种不同将原油精炼为汽油、例,根据导数的定义 22 . 6262 , 是原油温度的瞬时变化率时和第在第解 1527215272 22 ,374 2 , 33200所以 . 56 ,;/,.,的速率上升原油温度大约以附近在率下降的速原油温度大约以附近它说明在第与分别为原油温度的瞬时变化率时与第在第 ., 情况附近的变化反映了原油温度在时刻一般地 00 xxf导数的几何意义311 . ?,.,的几何意义是什么呢导数么那附近的变化情况在数反映了函处的瞬时变化率在表示函数导数我们知道0000T 1 234 ?,?,.t a n,有什么关系呢的斜率斜率与切线的割线值得关注的问题是的称为过点这个确定位置的直线定的位置趋近于确割线时趋近于点当点我们发现i n eg e n 过的切线定义有什么不此处切线定义与以前学 .,00的斜率是割线容易知道 .,00000 即的斜率线处的导数就是切在函数因此的斜率无限趋近于切线时无限趋近于点当点 .,.,2312211.,., 4 163 .,.,较曲线请描据图象根图象的数时间变化的函示跳水运动中高度随它表如图例210210569431120t 1t 2的变化情况刻画曲线在动点附近利用曲线在动点的切线 .,变化情况在上述三个时刻附近的线刻画曲处的切线在我们用曲线解10 .,.,几乎没有升降较平坦附近曲线比在所以轴平行于处的切线在曲线时当00001 .,.,附近单调递减在即函数降附近曲线下在所以的斜率处的切线在曲线时当11111102 .,.,单调递减附近也在即函数附近曲线下降在所以的斜率处的切线在曲线时当122222 03 .,t 1t 220. 30. 40. 60. 70. 90. 01. .,.,.,.,(, 它表示从图象上看在此时刻的导数药物浓度就是度的瞬时变化率血管中某一时刻药物浓解,., ,11 .,.,. 41804180以它的斜率约为处的切线作.,这些值是否正确一下验证时变化率的估计值下表给出了药物浓度瞬 417004080604020. .()(,.,t i r i v at i v 0000即的导函数有时也记作简称的们称它为我的一个函数便是变化时当样这是一个确定的数时当看到处导数的过程可以在从求函数导函数导数导数的计算21 . ?,.,如何求它的导数呢数对于函那么度体在某一时刻的瞬时速物理意义是运动物点处的切线的斜率在某导数的几何意义是曲线我们知道 .,个定值所趋于的那时趋近于就是求出当的导数求函数根据函数的定义 0 的导数函数 因为,0l i ml i m 0000 xx 所以 .,.即一直处于静止状态终为时速度始可以解释为某物体的瞬则函数表示路程关于时间的若切线的斜率都为上每一点处的图象表示函数000121021 21 的导数函数 因为,1.l i ml i m 1100 xx 所以 .,.的匀速运动时速度为可以解释为某物体做瞬则函数表示路程关于时间的若切线的斜率都为上每一点处的图象表示函数1112211 ?,?,.,有关的快慢与什么减增函数个增加得最慢哪一哪一个增加得最快这三个函数中么它们的导数分别表示什从图象上看求它们的导数义并根据导数定的图解画出函数中在同一平面直角坐标系探究0321432 的导数函数 23 .O 21 因为 22 所以 222 2 , 2 .,.也在变化切线的斜率的变化说明随着切线的斜率为处上点图象表示函数的瞬从导数作为函数在一点另一方面 ,.,;,:,增加得越来越快的增加随着时当减少得越来越慢加的增随着时当表明时变化率来看22002表示路程关于时若 2., 的导数函数. 因为11 , 220011 所以 ., 的导数函数 因为 ,1100 所以则数公式及导数的运算法基本初等函数的导221 .,表导数公式等函数的的基本初使用下面可以直接今后我们为了方便式基本初等函数的导数公 ;xf, 01 则若 ;nn 12 则若 ;xc o xs i 则若3 ;xs i xc o 则若4 ;xx 则若5 ;xx 则若6 ;a 17 则若 18 则若 ?).(,t:p%, .tp,t 051051有公式表根据基本初等函数导数解 ./.p, 年元所以 08005105110 10 ./.,年的速度上涨元这种商品的价格约以个年头在第因此08010?,050 .的求导问题决两个函数加、减、乘可以帮助我们解导数运算法则下面的的导数乘积与数可以看成求函数的导关于求这时时当051导数运算法则 ; 1 ; 2 032导数求函数和导数运算法则的导数公式数根据基本初等函例3223 3 2 233223 的导数是函数所以 .%;%:,x., 0801 0 05 2 8 413化率所需净化费用的瞬时变时求净化到下纯度为元单位用时所需费化到纯净度为吨水净已知将用不断增加所需净化费纯净度的提高随着水净化的经过通常是日常生活中的饮用水例 1 0 05 2 8 4 21 0 01 0 05 2 8 41 0 05 2 8 4 21 0 015 2 8 41 0 00 1 0 05 2 8 4 ./.,%,元是费用的瞬时变化率时纯净度为所以因为8455908452901 0 05 2 8 49012 ./,%,c吨元是费用的瞬时变化率时纯净度为所以因为1 3 2 1981 3 2 1981 0 05 2 8 49822 .,.%,%度也越快而且净化费用增加的速需要的净化费用就越多水的纯净度越高明这说倍的左右时净化费用变化率为度净纯约是大率化费用的变化净时右左它表示纯净度为计算可知述由上慢的快变化点附近此在表示函数在某点处的导数的大小函数259098902598 ?导数呢如何求函数思考 2 ., ,过程可表示为复合那么这个的关系记作和的关系记作与如果把 .,等等而成复合和由函数例如得到的复合经过可以看成是由两个函数我们遇到的许多函数都323222 c t io nf u nc o m p o s it e(xy,u,记作的和数那么称这个函数为函的函数可以表示成变量如果通过和对于两个函数一般地复合函数 xux 导数的乘积对的导数与对的导数等于对即 xu即的导数的乘积对导数与的对的导数等于对由此可得的导数对表示 x ny;ey;32321410502 2由复合函数求导法则有xux 22 284 .050 由复合函数求导法则有xux 050 .050050050 3由复合函数求导法则有xux 用导数在研究函数中的应31 .分的创立导致了微积期的研究数量的变化规律进行长我们可以对通过研究函数这些性质常重要的或最小值等性质是非与慢以及函数的最大值减的快了解函数的增与减、增研究函数时型化规律的重要数学模函数是描述客观世界变,.,.,数中的作用可以体会导数在研究函从中你的性质我们运用导数研究函数下面函数的单调性与导数131 . ?,别区时间的运动状态有什么段及从最高点到入水这两以运动员从起跳到最高点的图象化的函数变随时间运动员的速度表示高台跳水图的图象时间变化的函数随台跳水运动员的高度表示高图观察O b 1131 ta 2131 运动状态观察运动员在各时段的通过动画演示 th,01相应地是增函数即的增加而增加时间随离水面高度运动员从起跳到最高点我们可以发现通过观察图象 th,02相应地是减函数即的增加而减小时间随运动员离水面高度从最高点到入水?性呢这种情况是否具有一般思考 .,31 xy122334231 00 xf,x 11 xf,x ,xf,xx;,xf,附近单调递减在数函这时式的左上右下切线是处在附近单调递增在函数这时式的下右上左切线是处在处的切线的斜率在点表示函数导数如图11100000000331 正负有如下关系函数的单调性与导数的一般地 xf;xf,b,a在这个区间内单调递减那么函数如果在这个区间内单调递增那么函数如果内在某个区间00 ?有什么特征那么函数如果在某个区间内恒有 0 系何意义与其导数正负的的平均变化率的几思考某个区间上函数并单调性的定义请同学们回顾一下函数思考 xf,x,x;xf,x,x;xf,x:图象的大致形状试画出函数时或当时或当时当的下列信息已知导数例0140140411 ;xf,xf,x 在此区间内单调递增知可时当解 041 .,xf,x,x 临界点称它们为我们这两点比较特殊时或当 014 ;xf,xf,x,x 内单调递减在这两个区间可知时或当 014 .所示图象的大致形状如图函数综上 431 431 ,0x,i 22323并求出单调区间判断下列函数的单调性例 所以因为解 ,所示如图上单调递增在函数因此 图 2 所以因为 ;3x,0 单调递增函数时即当 x,0 单调递减函数时即当 3 所示的图象如图函数 3 图1 ,0x, 所以因为 x,示如图内函数因此 图 13 所示的图象如图 ?,有什么体会你麻烦吗运算过程你如何求解本题义直接运用单调性的定如果不用导数的方法 23 所以因为15O 13 图 ;0 函数时即当 0 函数时即当 (,1 2 3 4 Ao Bo Co Do 2 Ao .,2况可知其他三种容器的情同理符合上述变化情况上反映在图象度增加得越来越快以后高开始阶段高度增加得慢所以水以恒速注入时上细下粗由于容器为例以容器分析 3,1解?,.,3增减快慢的情况吗你能从导数的角度解释结合图象慢还可以看出其增减的快数的增与减不仅可以看出函通过函数图象表明例思考o 图 a,0,;,平缓内或在陡峭内图象或在函数所示如图一些平缓函数的图象就反之向上或向下峭陡的图象就比较数函这时得快化内变这个范围在么函数那的绝对值较大数围内导范一某数在如果一个函一般地函数的极值与导数231 . ?,?,图 0 单调递增 0 单调递减 0 图., 值的过程形象解释利用导数找极通过动画实验 0 单调递增 0 单调递减 0 图 ;093.1,出可以看如图图象的附近函数放大 ;0th,th,at,单调递增数函时当附近在 th, 单调递减函数时当 th,th,0th,于是有连续变化且先正后负时过附近从小到大经在当这样时后减时函数值先增附近在这就是说 ?,否也有同样的性质呢对于一般的函数 ?j,i,h,g,f,e,d,c,b,c d e h i 图 图图 af,b,a右侧近的左侧附而且在点点的函数值都小附近其他它在点比的函数值点在函数以发现我们可两点为例以 bf,右侧附近的左侧而且在点大都值的函数点其他附近在点比它的函数值在点函数类似地图 ;极小值 ;极大值 .v a lu ee x t r e m 大值点统极值点极值.,的是函数的局部性质刻画点附近的大小情况极值反映了函数在某一 的极值求函数例 所以因为解 x,0 或得令:下面分两种情况讨论 ;2x,2x,0 时或即当 时即当 :xf,xf,x 的变化情况如下表变化时当 单调递增单调递减单调递增3432822,222,x ;3282f,x,并且极大值为值有极大时当因此 极小值为并且有极小值时当 4 所示的图象如图函数 ?吗极大值一定大于极小极?,!?,你有什么体会比较一下试一试值吗你能求出上述函数的极如果不用导数的方法?0 点吗的点一定是函数的极值导数值为思考22 4 图 .,x,0x,03323而非充分条件件在这点取极值的必要条是函数在一点的导数值为函数一般地极值点不是函数所以是单调递增的即函数恒有还是于无论但由虽然我们有函数对于例如值点的点不一定是函数的极导数值为 ;00是极大值那么右侧附近的左侧如果在时当解方程的极值的方法是求函数一般地 0是极小值那么右侧附近的左侧如果在 ,00000值在相应区间上所有函数数于函大不小那么值点小的最大是函数如果哪个值最小哪个值最大上某个区间我们往往更关心函数在数性质时函在解决实际问题或研究但是的值更小更大附近找不到比那么在值点小的极大是函数如果也就是说质内的性而不是函数在整个定域的局部性质一点附近极值反映的是函数在某我们知道a 1x 6x 图 ?,a,小值吗你能找出它的极图象的上函数观察区间如图 xf,xf,xf,642531是极大值的极小值是函数我们发现观察图象 ?b,小值吗上的最在区间你能找出函数探究 a 1x 2x 3图 ab 图 ?,?b,a,a,它们在的图象上的函数观察中、在图 .,a,最大值和最小值那么它必有不断的曲线续图象是一条连的上函数如果在区间一般地 .,结合图 4 x,3,0,43并且极小值为小值有极时当上在可知由例解 ,13f,40f 又则于 3,0最小值是上的最大值是在函数因此 .),0o 4 图 :b,大值与最小值的步骤如上的最在求函数一般地 ;b,的极值在求函数 .,函数值的各极值与端点处将函数 .,.,.，问题解决一些生活中的优化数本节我们运用导值的有力工具小导数是求函数最大我们知道习前面的学过通通常称为这些问题最省、效率最高等问题最大、用料生活中经常遇到求利润优化问题高汽油的使用效率何时最例 1 ?2?,1:,h/km:vL:w,的含义是什么汽油的使用效率最高汽油的消越量越大是不是汽车的速度越快思考下面两个问题根据你的生活经验的函数速度是汽车汽油的消耗量之间有一定关系单位与汽车的速度单位汽油的消耗量我们知道.,.,使汽油使用效率最高效率虑如何提高汽油的使用这就需要考行驶最长路程或每升汽油能够使汽车耗量最少即每千米路程的汽油消的使用效率最高我们希望汽油当汽车行驶路程一定时现实生活中 ,s,L:w,:的最小值问题就是求量最少每千米路程的汽车消耗求这样单位程表示汽车行驶的路单位表示汽油消耗量其中那么量每千米平均的汽油消耗表示如果用程的比值油消耗量与汽车行驶路就是研究汽单位研究汽油的使用效率.,.,;,工具导数往往是一个有力的在这个过程中使问题得到解决提出优化方案质性再通过研究相应函数的型相应的函数模建立与其和分析并对数据进行整理统计数据大量的的途径之一是通过搜集优化问题解决 )h/v)h/：L,(g，,所示的函数关系之间有如图单位行驶的平均速度与汽车单位耗量即每小时的汽油消率汽油平均消耗过程中汽车在行驶人们发现对数据进行分析、研究并通过大量的统计数据?,呢油使用效率最高的问题解决汽中的数据信息我们如何根据这个图象那么5101530 50 60 09 012o h/h/图.,v)h/L:,(g,?5101530 50 60 09 012o h/h/t/因为解的问题就转化为求这样什么表示从图象上看最小值 .g, 我们可以发现继续观察图象.h/度约为在此切点处速其斜率最小当直线与曲线相切时5101530 50 60 09 012o h/h/图 0f,h/,约为即中切线的斜率是图每千米的汽油消耗量就值上看从数此时的车速约为量最少即每千米的汽油消耗的使用效率最高要使汽油当汽车行驶距离一定时因此磁盘的最大存储量问题例 2 ?1 储、检索信息的吗你知道计算机是如何存 ?2 你知道磁盘的结构吗 ?3信息盘存储尽可能多的如何使一个圆环状的磁 .b i t,10,.,.,图.n,m,相同的比特数所有磁道具有磁盘格式化时要求要求检索的方便为了数据度不得小于每比特所占用的磁道长于磁道之间的宽度必须大为了保障磁盘的分辩率 ?)(,:m,图 ,磁盘总存储量以所道上的比特数可达到即每条磁一条磁道必须装满最内为获得最大存储量相同特数又由于每条磁道上的比 .,r, 计算的最大值为求 rf, 解得令 20最大存储量为磁盘具有最大存储量时当因此时当时当 ?,r,?,磁盘的存储量越大越小是不是此时储量那么如何计算磁盘的存正比与磁道的长度成如果每条磁道存储信息思考利润的影响饮料瓶大小对饮料公司例 3 ?,1道理吗你想从数学上知道它的一般比大包装的贵些物品市场上等量的小包装的你是否注意过 ?,2 .0,r, ?,2?,1每瓶饮料利润最小瓶子半径多大时润最大能使每瓶饮料的利瓶子半径多大时问题 23 r所以每瓶饮料的利润是由于瓶子的半径为解 ,3 ,2r;0,r时当时当时当 .,r;,r,利润越低即半径越大单调递减示它表时半径利润越高即半径越大单调递增它表示时当半径因此 .,02f, .,润最大时半径为 ?,):你有什么发现上观察图从函数的图象直接数工具们不用导我果如换一个角度 .,3r;,3f,3r,利润才为正值时当好相等成本恰饮料的利润与饮料瓶的时即瓶子半径是时当易看出图象上容从 ?,0.,请同学们自己作出回答题的问我们很容易回答开始时通过此问题的解决o 图3.,直观解释动画演示:,函数表示的数学问题优化问题的答案 用导数解决数学问题?.,.,;,定积分学知识我们需要学习新的数为此直线运动的问题速解决变的知识能否利用匀速直线运动积面直边图形转化为求面积曲边图形把求能否呢如何解决这些问题变力做功的问题物体位移、的面积、变速直线运动曲边图形的平面遇到计算平面曲线围成我们还经常会在数学和物理中等等间、速度与路程的关系运动的时我们知道了匀速直线物理中面积的直边图形等平面形、平行四边形、梯形三角我们已经知道正方形、在过去的学习中 .,I)xy,xy,2数下面研究的都是连续函如不加说明的连续函数上间那么我们就把它称为区不断的曲线上的图象是一条连续在某个区间如果函数一般地的一条连续不断的曲线上的图形都是某个区间等例如许多函数在学习过的函数中b o 图 ?,ax,?S)y,1的面积阴影部分中图所围所的平面图形与直线如何求抛物线形下面先研究一个特殊情x,?S?图o S.,线段的所有边都是直边图形而前者有一边是曲线段别是的主要区直边图形梯形与中的曲边图可以发现 ?(,.,中阴影部分面积呢求图逼近曲边梯形的方法比如矩形能用直边形是否也的思想启发我们以直代曲这种的面积利用多边形面积求出圆用多边形逼近圆的方法我们曾经在过去的学习中图o S .:.,.,.,1,0,图o 图o ,1,n2,n1,:n,11 个小区间分成将它等个点隔地插入上间在区间分割 n,2,1 其长度为个区间为记第轴的个点作分别过上述 S,图o 图ni 轴的直线段近似用平行于就是从图形上看值处的函数等于左端点不妨认为它近似地个常数近似等于一的值变化很小可以认为函数上在区间很小时即很大当如图记近似代替x,ni,x,n, 图o 图ni 2,1,ni,i 则有以直代曲即在局部小范围内近似地代替的面积用小矩形上间在区这样图边地代替小曲边梯形的曲 32 为中阴影部分的面积图由求和 2223 1 61 n 的近似值从而可得 可以证明 x,n,0,8,41,04 从而有趋向于时于趋向即趋向于无穷大当可以看到图等份等分成分别将区间取极限.,可以用几何画板演示的演变过程图 图1 1 1 1 的等分数区间 近似值5122561286432168423 3 2 3 5 7 4 1 3 8 2 7 9 4 3 7 2 5 5 6 1 5 7 8 7 1 0 2 7 3 4 3 3 4 3 7 5 8 7 5 0 0 5 0 0 0 0 ?,1,?S,2,1 都有作近似值处的值点上任意一在区间取可以证明.,的方法求出其面积似代替、求和、取极也可以采用分割、近我们所示的曲边梯形对如图一般地 a b o 图,.,过的路程呢经如何求其在一定时间内体的速度与时间关系如果已知物反之问题求物体运动速度的关系间已知物体运动路程与时利用导数我们解决了 ?)S)h:(1t0,h/.车的位移汽准说法是标中的理物在驶的路程汽车行说的里所这们我 ,.,精确值的趋向于无穷大就得到最后让的近似值得再求和驶路程的近似值汽车在每个小区间上行从而求得速成直线运动以认为汽车近似于作匀可变化很小由于在每个小区间上个小区间等分成即将区间题匀速直线运动的路程问化归为求程问题把求变速直线运动的路的方法以不变代变我们采取与求曲边梯形面积类似 :n,11个小区间将它分成点个分上等间隔地插入在时间区间分割 n,2,1,n2,n1, 其长度为个区间为记第,:1,n2,n1, 则显然有 2ni,t, 处函数值左端点不妨认为它近似地等于数近似地等到于常的值变化很小函数上在区间很小时即很大当近似代替就是汽车在时从物理意义看 ,于是以匀速代变速即在局部范围内作匀速行驶处的速度认为它近似地以时刻不妨上时间速度变化很小间段,2n,2,1i(ni, 2,1 得由求和 21223 261的近似值从而得到 n 2t, 并且我们有作匀速行驶处的速度以任意时刻上近似地小时时间间隔认为汽车在每个我们可以事实上?2t,0有什么关系积所围成的曲边梯形的 面和曲线与由直线汽车行驶的路程你认为过程结合求曲边梯形面积 的探究o 图,2t,0t,t,0 内所作的位移求出它在法替、求和、取极限的方、近似代那么我们也可采用分割为速度函数动如果物体做变速直线运一般地,特定形式和的极限且都可以归结为求一个、取极限得到解决，分割、近似代替、求和四步曲它们都可以通过的过程可以发现变速直线运动路程从曲边梯形面积以及求 ;曲边梯形面积 变速运动的路程 上述和式无时当作和式上任取一点在每个小区间个小区间等分成将区间用分点上连续在区间如果函数我们有一般地和的极限求这种特定形式许多问题都可以归结为事实上,n,n,2,1x,nb,b, b, e g r a td e f in it eb,即记作上的在区间这个常数叫做函数限接近某个常数定积分 x,xf,b,a,做被积式做积分变量叫叫做被积函数函数叫做积分区间区间分上限分别叫做积分下限与积与这里 ,10210中的曲边梯形的面积根据定积分的概念 0210的路程这段时间内经过中汽车在同样地?意义吗你能说说定积分的几何思考a b o 图 a,?中阴影部分的面积示图你能用定积分表根据定积分的几何意义探究 图a b M 103 的值计算利用定积分的定义例 令解 n,2,1i(ni,11 个小区间的长度为每个小区间等分成区间把分点上等间隔地插入在区间分割 n,2,1则取近似代替、作和 224 1 2333 取极限:, 性质可以得到定积分的如下由定积分的定义 ; ;1 其中 ?3 吗性质义解释你能从定积分的几何意思考.,曲边梯形面积的过程逼近以直代曲解释利用几何画板,11033义计算请你尝试利用定积分几乎不可能.?,?,效的有没有更那么直接用定义计算 ?b,表示、你能分别用内的位移为设这个物体在时间段的速度时刻它在任意由导数的概念可知运动规律是物体的一个作变速直线运动的如图探究 0t 1 h 1图 来求位移由我们还可以利用定积分另一方面 即处的函数值之差处与在是函数物体的位移显然 t,t,t,t,t,t,t,t:nb,每个小区间的长度均为个小区间等分成将区间用分点 tv,tv,t,t,i1物体所作的位移作匀速运动体近似地以速度可以认为物的变化很小上在很小时当 1 图 Ct a i于是的斜率等于切线导数的几何意义知由点处的切线是点为对应的上与设曲线图从几何意义上看得物体总位移结合图 ,b,a,t,n, 的分划就越细区间越小即越大显然 1由定积分的定义有的近似程度就越好与 1i ba ba 有结合 分就是物体的位移上的定积在区间那么律是物体的运动规如果作变速直线运动的上式表明 即记成我们常常把为了方便 又叫做这个结论叫做那么并且上的连续函数是区间如果一般地),c a lc u lu h e o r e u n d a m e n t a(b, 微积分基本定理L e i b n i zN e w to n(莱布尼兹公式牛顿)rm 31 221 计算下列定积分例 , 因为解 2121| ,2因为1 23131 2 31312x1|x .x i n,i n,i n:22020 计算下列定积分例 00 |xc o i n,xs i o s 因为解 ;20 22|xc o ;2c o o s 202 |xc o 0 :0,还可能是也可能取负值定积分的值可能取正值可以发现 ;,),36.1( .,),46.1(o 图o 2图 ,.,成果分中最重要、最辉煌的微积分基本定理是微积可以毫无夸张地说科学远的成为一门影响深来使微积分学蓬勃发展起它分学中最重要的定理微积分基本定理是微积积分的一种方法同时它也提供了计算定在联系积分之间的内和定导数微积分基本定理揭示了o 2图,., .,的交点的横坐标我们需要求出两条曲线积分的上、下限为了确定出被积函数和积进而可以用定积分求面个曲边梯形面积的差面积可以转化为两所求图形的以看出从图中可图首先画草图分析o 2,xy,22xy, 及得交点的横坐标为 10210O A B B 曲边梯形曲边梯形所求图形面积为因此1031023 o 2 .,限为了确定出被积函数和和分成两部分还需把所求图形的面积不同的是与例问题化为求曲边梯形的面积所求图形面积问题转把法并设图首先画出草图分析o 0244,解方程组 交点与曲线得直线 所求图形的面积为故的交点为轴与 ,21 848440 o 0244图1,?并比较一下这些解法写出你的解法请如果有本题还有其他解法吗思考.,以及积分的上、下限被积函数再借助图形直观确定出草图一般要先画出它的平面图形的面积时在利用定积分求由上面例题可以发现 b,s,即上的定积分间在时间区等于其速度函数程所经过的路作变速直线运动的物体我们知道.m o 10 20 30 40 50 6010
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