高中数学 任意角、弧度课件（打包2套）苏教版必修4
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任意角和弧度制 问题提出 是可以度量其大小的 的取值范围如何？ 充满了角的概念 2002年 11月 22日，在匈牙利德布勒森举行的第 36届世界体操锦标赛中，“李小鹏跳” “ 踺子后手翻转体 180度接直体前空翻转体 900度”，震惊四座，这里的转体 180度、 转体 900度就是一个角的概念 . 360 范围的角，但在实际问题中还会遇到其他角如在体操、花样滑冰、跳台跳水等比赛中，常常听到“转体 10800” 、“转体 12600” 这样的解说再如钟表的指针、拧动螺丝的扳手、机器上的轮盘等，它们按照不同方向旋转所成的角，不全是 0 3600范围内的角 有 0 360 范围内的角是不够的，我们必须将角的概念进行推广 . 知识探究（一）：角的概念的推广 思考 1：对于角的图形特点有如下两种认识：角是由平面内一点引出的两条射线所组成的图形（如图 1）；角是由平面内一条射线绕其端点从一个位置旋转到另一个位置所组成的图形（如图 2） 理？ 图 2 图 1 思考 2：如图，一条射线的端点是 O，它从起始位置 B，形成了一个角 ，其中点 O，射线 A O B 始边 终边 顶点 思考 3：在齿轮传动中，被动轮与主动轮是按相反方向旋转的 条射线绕其端点旋转，既可以按逆时针方向旋转，也可以按顺时针方向旋转 00所形成的角，与按顺时针方向旋转 600所形成的角是否相等？ 思考 4：为了区分形成角的两种不同的旋转方向，可以作怎样的规定？如果一条射线没有作任何旋转，它还形成一个角吗？ 规定： 按逆时针方向旋转形成的角叫做正角，按顺时针方向旋转形成的角叫做负角 如果一条射线没有作任何旋转，则称它形成了一个零角 . 画图表示一个大小一定的角，先画一条射线作为角的始边，再由角的正负确定角的旋转方向，再由角的绝对值大小确定角的旋转量，画出角的终边，并用带箭头的螺旋线加以标注 . A O 思考 5：度量一个角的大小，既要考虑旋转方向，又要考虑旋转量，通过上述规定，角的范围就扩展到了任意大小 . 对于 210 ， 150 ， 660 ，你能用图形表示这些角吗？你能总结一下作图的要点吗？ 思考 6：如果你的手表慢了 20分钟，应该将分钟分别旋转多少度才能将时间校准？ 120 ， 450 . 思考 7：任意两个角的数量大小可以相加、相减，如 50 80 =130 ， 50 80 = 30 ，你能解释一下这两个式子的几何意义吗？ 以 50 角的终边为始边 ， 逆时针 （ 或顺时针 ）旋转 80 所成的角 . 思考 8：一个角的始边与终边可以重合吗？如果可以，这样的角的大小有什么特点？ k360 （ kZ ） 知识探究（二）： 象限角 思考 1：为了进一步研究角的需要，我们常在直角坐标系内讨论角，并使角的顶点与原点重合 ,角的始边与 么对一个任意角，角的终边可能落在哪些位置？ x o y 思考 2：如果角的终边在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于如何象限，或称这个角为轴线角 ， 405 ， 210 , ， 450 分别是第几象限的角？ 思考 3：锐角与第一象限的角是什么逻辑关系？钝角与第二象限的角是什么逻辑关系？直角与轴线角是什么逻辑关系？ 思考 4：第二象限的角一定比第一象限的角大吗？ 象限角只能反映角的终边所在象限，不能反映角的大小 . 思考 5：在直角坐标系中， 135 角的终边在什么位置？终边在该位置的角一定是 135吗？ x y o 知识探究（三）： 终边相同的角 思考 1： 32 ， 328 ， 392 是第几象限的角？这些角有什么内在联系？ 32 392 x y o 328 思考 2：与 32 角终边相同的角有多少个？这些角与 32 角在数量上相差多少？ 思考 3：所有与 32 角终边相同的角，连同 32 角在内，可构成一个集合 S，你能用描述法表示集合 S=| = k360 ， kZ ，即任一与 终边相同的角，都可以表示成角 与整数个周角的和 . 思考 4：一般地，所有与角 终边相同的角，连同角 在内所构成的集合 思考 5：终边在 半轴， 半轴上的角分别如何表示？ = k 360 ， kZ ； = 180 k360 ， kZ ； = 90 k360 ， kZ ； = 270 k360 ， kZ . 思考 6：终边在 终边在 S=| =k180 ， kZ ；终边在 =| =90 k180 ， kZ . 思考 7：第一、二、三、四象限的角的集合分别如何表示？ 第一象限： S= | k 360 90 k360 ， kZ ； 第二象限： S= | 90 k360 180 k360 ， kZ ； 第三象限： S= | 180 k360 270 k360 ， kZ ； 第四象限： S= | 90 k360 k 360 ， kZ. 思考 8：如果 是第二象限的角，那么 2 、 /2分别是第几象限的角？ 90 k360 180 k360 180 k 720 2360 k 720 45 k180 /290 k180 理论迁移 例 1 在 0 360 范围内，找出与950 12 角终边相同的角，并判定它是第几象限角 . 129 48 ，第二象限角 . S=|=45 k180 ， kZ. 315 ， ， 45 ， 225 ， 405 ， 585 . 例 2 写出终边在直线 y=，并把 360 720 的元素写出来 . 小结作业 的大小可以任意取值 . 把角放在直角坐标系中进行研究，对于一个给定的角，都有唯一的一条终边与之对应，并使得角具有代数和几何双重意义 . 0 360 范围内与已知角 终边相同的角有且只有一个 . 用 除以 360 ，若所得的商为 k，余数为 （ 必须是正数），则 即为所找的角 . 任意角 弧度制 如图 问题 1： 点旋转到 提示： 可以 问题 2：射线 时针方向都能转到 提示： 都可以转到 问题 3：两者所得到的角相同吗？ 提示： 不相同 1角的概念 一个角可以看做平面内 绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形，射线的端点称为角的 ，射线旋转的开始位置和终止位置称为角的 和 2角的分类 (1)正角 按 方向旋转所形成的角； (2)负角 按 方向旋转所形成的角； (3)零角 射线没有作任何旋转所形成的角 . 一条射线 始边 终边 顶点 逆时针 顺时针 若 为坐标原点，始边 00 ， 300 ， 160 ， 220 时，终边 90 ， 180 ，0 ， 270 ， 90 ， 180 时，终边又落在何处？ 提示： 当 00 ， 300 ， 160 ，220 时，终边 、三、三象限；当 90 ， 180 ， 0 ， 270 ， 90 时，终边 1象限角 以角的顶点为坐标原点，角的始边为 立平面直角坐标系这样，角的 (除端点外 )在第几象限，就说这个角是第几象限角 2轴线角 如果角的终边在 上，称这个角为轴线角 . 终边 坐标轴 如图，在同一坐标系中作出 60 ， 420 角 问题 1：两角的终边有何特点？ 提示： 终边相同 问题 2：两角的角度有什么等式关系？ 提示： 420 60 360 60 . 问题 3： 300 与 60 的终边有何特点？两角的角度又有什么等式关系？ 提示： 两角终边也相同， 300 60 360 . 相差 360 . 问题 4：试再写几个与 60 终边相同的角，计算出它们与60 相差的角度，并观察这些角度有什么共同特点 提示： 780 ， 1 140 ， 660 等，与 60 相差 720 ， 1 080 ， 720 ，相差的角度都是 360 的整数倍 终边相同的角 一般地，与角 终边相同的角的集合为 | k360 ， k Z (1)角的三要素：顶点、始边、终边 (2)象限角及轴线角的前提：角的顶点与原点重合，始边与 则不能判断该角为哪一个象限角 (3)终边相同的角与相等的角是两个不同的概念，两角相等，终边一定相同，但是两角终边相同时，两角不一定相等，它们相差 360 的整数倍 例 1 下列结论： 锐角都是第一象限角； 第一象限角一定不是负角； 第二象限角是钝角； 小于 180 的角是钝角、直角或锐角 其中正确的序号为 _(把正确结论的序号都写上 ) 思路点拨 根据任意角、象限角的概念进行判断，正确区分第一象限角、锐角和小于 90 的角 精解详析 锐角是大于 0 且小于 90 的角，终边落在第一象限，故是第一象限角，所以正确； 330 角是第一象限角，但它是负角，所以不正确； 480 角是第二象限角，但它不是钝角，所以不正确； 0 角小于 180 ，但它既不是钝角，也不是直角或锐角， 故不正确 答案 一点通 解决此类问题的关键在于正确理解象限角及锐角、直角、钝角、平角、周角等概念，另外需要掌握判断命题真假的技巧，判断命题为真，需要证明，而判断命题为假，只要举出反例即可 1如图，则 _， _. 答案： 240 120 2经过 2个小时，钟表上的时针旋转的角度为 _ 解析： 钟表的时针旋转一周是 360 ，其中每小时旋转36012 30 ，所以经过 2 个小时应旋转 60 . 答案： 60 3下列命题正确的是 _(填序号 ) 三角形的内角必是第一、二象限角 始边相同而终边不同的角一定不相等 第四象限角一定是负角 钝角比第三象限角小 解析： 只有正确对于，如 A 90 不在任何象限；对于，如 330 在第四象限但不是负角；对于，钝角不一定比第三象限角小 答案： 例 2 在 0 360 之间，求出与下列各角终边相同的角，并判断是第几象限角 (1) 736 ； (2)904 18. 思路点拨 首先写出与 终边相同的角的集合，然后取适当的整数 利用 0 360 之间与该角终边相同的角来判断角的象限 精解详析 (1) 736 3 360 344 ， 344是第四象限角 344 与 736 是终边相同的角，且 736 为第四象限角 (2)904 18 2 360 184 18， 184 18是第三象限角 184 18与 904 18是终边相同的角，且 904 18为第三象限角 一点通 (1)把任意角化为 k360 (k 360 )的形式，关键是确定 的绝对值较小 )，也可用除法要注意：正角除以 360 ，按通常的除法进行；负角除以 360 ，商是负数，其绝对值比被除数为其相反数时的商大 1，使余数为正值 (2)要求适合某种条件且与已知角终边相同的角，其方法是先求出与已知角终边相同的角的一般形式，再依条件构建不等式求出 4在 1 080 360 间，找出与 2 004 终边相同的 角，并指出它所在的象限 解： 与 2 004 终边相同的角为 k360 2 004 (k Z)， 由 1 080 k360 2 004 360 ， 得 k 7或 k 8. 故所求的角为 516 和 876 ，它们是第三象限的角 5求与 3 900 角终边相同的最小正角和最大负角，并指 出它是第几象限角 解： 设 3 900 k360 (k Z) 则当 k 10时， 3 900 10 360 300 ， 当 k 11时， 3 900 11 360 60 . 与 3 900 角终边相同的最小正角是 300 ，最大负角是 60 ，且 3 900 角是第四象限的角 . 例 3 已知 为第二象限角，问 2 ，2分别是第几象限角？ 思路点拨 由角 为第二象限角，则 的范围为 90 k 360 180 k 360 ， k Z ，在此基础上可以写出 2 ，2的范围，进而可以判断出它们所在的象限 精解详析 是第二象限角， 90 k360 180 k360 . 180 2k360 2 360 2k360 . 2 是第三或第四象限角，或是终边落在 y 轴的非正半轴上的角 同理 45 360 2 9 0 360 . 当 k 为偶数时，不妨令 k 2 n ， n Z ，则 45 n 360 290 n 360 ，此时，2为第一象限角； 当 k 为奇数时，令 k 2 n 1 ， n Z ，则 225 n 360 2270 n 360 ，此时，2为第三象限角 2为第一或第三象限角 一点通 已知角 终边所在象限， ( 1) 确定 边所在的象限，直接转化为终边相同的角即可 ( 2) 确定 求出 对 n 的取值分情况讨论：被 n 整除；被 n 除余 1 ；被 n 除余 2 ； ；被 n 除余 n 1 ； 下结论 6若 是第三象限角，则 180 是第 _象限角 解析： 是第三象限角， k360 180 k360 270 ， k Z. k360 90 180 k360 ， k Z. 180 为第四象限角 答案： 四 7 已知 是第三象限角，求2， 2 终边所在的象限 解： 因为 是第三象限角， 所以 k 360 180 k 360 270 ， k Z. 所以2的范围为 k 180 90 2 k 180 135 ， k Z ， 所以2终边落在第二或第四象限 2 的范围为 k 720 36 0 2 k 720 540 ， k Z ， 所以 2 终边落在第一或第二象限或 y 轴的正半轴 1轴线角的集合 角 终边位置 角 的集合 在 | k360， k Z 在 | k360 180， k Z 在 | k360 90， k Z 在
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