高中数学 同步教学（课件+课下作业）：第二章 函数 函数的单调性（打包2套）北师大版必修1
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高中数学 同步教学（课件+课下作业）：第二章 函数 函数的单调性（打包2套）北师大版必修1,高中数学,同步,教学,课件,作业,功课,第二,函数,调性,打包,北师大,必修
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1 第二章 函数 3 函数的单调性 (本栏目内容，在学生用书中以活页形式分册装订！ ) 一、选择题 (每小题 5 分，共 20 分 ) 区间 (0,2)上为增函数的是 ( ) 3 1 2x 3 【解析】 画图可知， y 1 在 (0， ) 上为增函数，从而在 (0,2)上为增函数 . 【答案】 y (a 1)x b， x R 在其定义域上是增函数，则 ( ) 1 1 0 【解析】 由 y (a 1)x b 在 ( ， ) 上是增函数，故 a 1 0， a 1. 【答案】 y b 是 R 上的减函数，那么 ( ) 无法确定 【解析】 因为 y b 在 R 上是减函数，所以对任意 有 f( f(即 k( 0，又 0，所以 k . 【答案】 f(x) 2x 6x 7 x 1， 2x 1， 1 ，则 f(x)的最大值、最小值为 ( ) 以上都不对 【解析】 本题为分段函数最值问题，其最大值为各段上最大值中的最大值，最小值为各段上最小值中的最小值 . 当 1x2 时， 82x 610 ， 当 1x1 时， 6x 78. 2 f(x) f( 1) 6， f(x)f(2) 10 【答案】 二、填空题 (每小题 5 分，共 10 分 ) 5.若 f(x)是 R 上的增函数，且 f( f(则 . 【解析】 f(x) 是 R 上的增函数， f(x 1) f( 【答案】 y 2x 的单调减区间是 ，单调增区间是 . 【解析】 由函数 y 2x 的图象知，抛物线开口向上且对称轴为 x 1， 单调减区间是 ( ， 1，单调增区间是 1， ). 【答案】 ( ， 1， 1， ) 三、解答题 (每小题 10 分，共 20 分 ) f(x) x 10,1)上为减函数 . 【证明】 设 00， f(f( f(x) x 10,1)上是减函数 . y 2x 1在区间 2,6上的最大值和最小值 . 【解析】 3 设 2,6上的任意两个实数，且 x1 f( f( 21 21 x1 由 2 ，得 0， (1)(1) 0， f( f( 0，即 f( f( 所以，函数 y 2x 1是区间 2,6上的减函数如上图 因此，函数 y 2x 1在区间 2,6的两个端点上分别取得最大值与最小值，即在 x 2 时取得最大值，最大值是 2，在 x 6 时取得最小值，最小值是 9.(10 分 )北京市的一家报刊摊点，从报社买进北京晚报的价格是每份 ，卖出的价格是每份 ，卖不掉的报纸可以以每份 的价格退回报社 按30 天计算 )里，有 20 天每天可卖出 400 份，其余 10 天每天只能卖出 250 份，但每天从报社买进的份数 必须相同，这个摊主每天从报社买进多少份，才能使每月所获的利润最大？并计算他一个月最多可赚多少元 . 【解析】 若设每天从报社买进 x(250x400 ， x N )份，则每月共可销售 (20x10250) 份，每份可获利润 ，退回报社 10(x 250)份，每份亏损 ，建立月纯利润函数 f(x)，再求 f(x)的最大值，可得一个月的最大利润 . 设每天从报社买进 x 份报纸，每月获得的总利润为 y 元，则依题意，得 y 0x 10250) 0(x 250) 625， x 250,400 . 函数 y 在 250,400上单调递增， x 400 时， y 825(元 )， 即摊主每天从报社买进 400 份时，每月所获得的利润最大，最大利润为 825 元 . 3 函数的单调性 次函数 f(x) 左向右，图象是 ，即函数值随着 f(x) ，而且其图象在区间 ( ， 0内是 ，即函数值随 ；在区间 (0， )内图象是 ，即函数值随 . f(x) x 0时， y 0是所有函数值中 f(x) x 0时， y 0是所有函数值中 . 【 答案 】 增大 抛物线 下降的 减小 上升的 增大 最大的 在函数 y f(x)的定义域内的一个区间 (1)如果对于 两数 A，当 有 ，那么，就称函数 y f(x)在区间 时也称函数 y f(x)在区间 的 . (2)如果对于任意两数 A，当 ，那么，就称函数 y f(x)在区间 时也称函数 y f(x)在区间 的 . 任意 f( f(递增f( f(调性及单调函数 (1)单调区间：如果 y f(x)在区间 或是 ，那么称 为单调区间 果函数是增加的，那么它的图象是 ；如果函数是减少的，那么它的图象是 . (2)单调性：如果函数 y f(x)在定义域的某个子集上是 或是 ，那么就称函数 y f(x)在这个 上具有单调性 . (3)单调函数：如果函数 y f(x)在 内是增加的或是减少的，那么分别称这个函数为 或 ，统称为单调函数 . 增加的 减少的A 上升的 下降的 增加的 减少的 子集 整个定义域增函数 减函数 能否将增函数 (减函数 )定义中的“任意两个值 ，改为“存在两个值 ？ 虽然 f( f(2)，但 f(x)在 上并不递增 . 【 提示 】 不能 函数单调性的判定或证明 证明函数 f ( x ) x 在 0 ， ) 上是增函数 . 【 思路点拨 】 解答本题只需按照函数单调递增的定义加以证明 . 【解析】 设 x 1 ， x 2 0 ， ) ，且 x 1 0. f(x 1 ) f(x 2 )0， f( f(x2)f(1)，而事实上 f( 1)f(1). (3)求函数的单调区间不能忽视定义域，单调区间应是定义域的子集 . 1x (1)f(x) 3x 2； (2)f(x) 3|x|. 【解析】 (1)f (x) (x 32)214. y f(x) 是开口向下的抛物线，对称轴为 x 32. f(x) 在 ( ，32上是增函数，在32， ) 上是减函数 . (2) f(x) 3| x| 3x 3x( x 0 )( x 0 )由一次函数的单调性可得： f(x) 在 ( ， 0 上是减函数， 在 0 ， ) 上是增函数 . 函数单调性的应用 已知函数 ， x 2,5 . (1)判断该函数在区间 2,5上的单调性，并给予证明； (2)求该函数在区间 2,5上的最大值与最小值 . () 1x 【 思路点拨 】 解答本题可先利用定义证明 f(x)的单调性，在此基础上利用单调性解答最值 . 【解析】 (1)f(x) 1在区间 2,5 上是减函数 . 证明：任意取 2,5 且 则 f(1， f(1. f( f(111 ) ( 1 ). 2 5. 0 ， 1 0 ， 1 0. f( f( 0 ， f( f( f(x) 1在区间 2,5 上是减函数 . (2 ) 由 (1 ) 可知 f( x) 1在区间 2, 5 上是递减的， 故任意的 x 2, 5 均有 f( 5) f( x) f( 2) ， f( x) f( 2) 22 1 2. f( x) f( 5) 55 154. (1)运用函数单调性求最值是求解函数最值问题的重要方法，特别是当函数图象不好作或作不出来时，单调性几乎成为首选方法 . (2)函数的最值与单调性的关系 若函数在闭区间 a， b上是减函数，则 f(x)在 a， b上的最大值为f(a)，最小值为 f(b). 若函数在闭区间 a， b上是增函数，则 f(x)在 a， b上的最大值为f(b)，最小值为 f(a). 3. 已知函数 f(x) 2x 2x， x (0 ，14 (1) 判断该函数在区间 (0 ，14上的单调性，并给予证明 . (2) 求该函数在区间 (0 ，14上的最小值 . 【解析】 (1) 任取 (0 ，14且 f( f( (2) (2) ( ( 2 )0 4， 0 且 2 0 ， f( f( 0 ，即 f( f(， 函数 f(x) 在 (0 ，14上是减函数 . (2) 由 (1) 知 f(x) 在 (0 ，14上是减函数， 故任意的 x (0 ，14均有 f(x) f(14) ， f(x) f(14) 254，即 f(x) 的最小值为254. (1)定义中的关键词： “定义域 ” ，即函数的单调区间是其定义域的子集 间”紧密相关的，一个函数在不同区间可以有不同的单调性； “对于 ” ，“任意 ” ，“都有 ” ，“对于”即两个自变量 须取自给定的区间；“任意”即不能用特殊值代替；“都有”即只要 必须有 f( f( f( f( (2)函数单调性的刻画： 图形刻画，对于给定区间上的函数 y f(x)，它的图象若从左向右连续上升 (下降 )，则称函数在该区间上是单调递增 (减 )的； 定性刻画，对于给定区间上的函数 y f(x)，若函数值随自变量的增大而增大 (减小 )，则称函数在该区间上是单调递增 (减 )的 . (1)定义法 (2)图象法 . 根据函数图象的升、降情况进行判断 . (3)直接法 . 运用已知的结论，直接得到函数的单调性，如一次函数、二次函数、反比例函数的单调性均可直接说出 用到以下结论： 函数 y f(x)与函数 y f(x)的单调性相反 . 函数 f(x)恒为正或恒为负时，函数 y 与 y f(x)的单调性相反 . 在公共区间内，增函数增函数增函数，增函数减函数增函数等. 1()f(x) 是定义在 1,1 上的增函数，且 f(x 2) f(1 x) ，求 x 的取值范围 . 【错解】 f(x) 是定义在 1,1 上的增函数且 f(x 2) f(1 x) ， 所以 x 2 1 x ， 解得 x 32. 又 1 x 1 ， 故所求 x 的范围为 ( ，32) ( 1,1) ( 1,1). 【 错因 】 出现上述错误解法的原因主要为不清楚抽象函数的定义域，在抽象函数中满足函数关系式的自变量首先应在定义域内，这是一个极易被忽视也是极易出现错误的地方，也就是说变量 1x 21 ， 11 x1 ，在此基础上利用单调性的定义将“ f ” 符号脱掉 . 【正解】 由题意可知 1 x 2 1 1 1 x 1， 解得 1 x 2 又 f(x) 在 1,1 上是增函数， 且 f(x 2) f(1 x) ， x 2 1 x ，即 x 32 由 、 可知，所求自变量 x 的取值范围为 x| 1 x 32. y ( ) A. ( ， 0 B. 0， ) C. (0， ) D. ( ， ) 【 答案 】 A y f(x)定义在 2,1上，且有 f( 1) f(0)，则下列判断正确的是 ( ) A. f(x)必为 2,1上的单调增函数 B. f(x)必为 2,1上的单调减函数 C. f(x)不是 2,1上的单调减函数 D. f(x)不是 2,1上的单调增函数 【 解析 】 不能根据某两个点处的函数值的大小确定函数的单
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