高中数学备课：2.3 对数函数教案苏教版必修1（精品打包）
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高中数学备课：2.3 对数函数教案苏教版必修1（精品打包）,高中数学,备课,对数,函数,教案,苏教版,必修,精品,打包
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数函数对232 .:.)(,)(,.,来研究相反的问题在我们现是细胞个数输出值的值就能求出值是分裂次数输入的值道知因此数的指数函是分裂次数胞个数细细胞分裂过程中们知道某我, 何确定分裂次数知道了细胞个数lo g,.,.l 这样就得到一个新的函数的函就是看做自变量将之对应值与都有一个惟一的值给定的对于每一个写成对数式为改我们将中的为了求 .,.l o g,.,.l o gl o g,.,. 和面两个函数就分别写成上这样表示它的函数用表示自变量仍用习惯上 .,)l o g(,l o g,010它的定义域是做叫函数一般地f u n c t i o na r i t h m i ,(l o ,.,寻找它们之间的关系并观察各组函数的图象函数的图象画两组打开几何画板单击图标?l o g,的图象有什么关系与函数时当一般地思考 10?l o g,.,有哪些性质函数你发现对数对照指数函数的性质象观察图打开几何画板单击图标xy a1a 10 a ;,: 01 定义域 ;: ;, 013 图象过点 ;,单调增函数上是在 04 ;,单调减函数上是在 0象图质性 .,.l o g,l o 那么它的反函数记作存在反函数如果一般地的反函数为也称反之的反函数称为对数函数的图象与性质接链的节本见参容内的数函反于关何画板图象见几何画板图象见几 .,l o g;l o g 10124112 44041 2l 时即时因为当解;有意义 所以函数没有意义时当 ,l 44 2 .,l 42 的定义域是 有意时即时因为当 11012 al o g,;义 所以函数没有意义时当 ,l o g, 11 xx a .,l o g 11 的定义域是xy a 7531281283431267505022 l o g,l o g,.l o g,.l o g;.l o g,.l o g:,. .,.l o 01221 2 l og.l . 834383430 22 所以又因为 .,.,.l o g 01500502 50 l og.l . . 128112810 5050 所以又因为 .,.l o 01773 7 xy.l 175750 77 所以又因为.l og,l 75167 6766 所以同理 .,间接比较或如有时可以通过中介值函数的单调性来比较如果不能直接利用对数数值的大小时在比较两个不同底的对01 33222 小节的例对照 . :,lo x 2 /051 1151 45 图象到函数得就个单位长度移的图象向左平数函数所以将对值相等对应的中值与对应的中由此可知32223333,函数图象的平移关系观察理解两个板通过操作打开的几何画单击图标 ?),(l o gl o 10 |l o g 区间并由图象写出它的单调的图象画出函数例 4 1 O 11 .|l o g,|l o g|l o g|l o g,轴对称的图象关于它是偶函数所以函数满足由于函数时当解 ,|l o g.,l o g,.l o g|l o g,如上图的图象成函数构和轴的对称图形关于再作出的图象我们先画出函数因此时当 .,|l o g,002单调增区间是的单调减区间是函数由图象可以知道 .),(.,.),(),(,.),(l o g,的形式成习惯上常改写的函数是是自变量中在记作的是函数那么就称函数与之对应的都有惟一即对任意一个也是一个函数所解得如果由函数的定义域和值域分别为函数设一般说来互为反函数与函数我们已经知道链接u n ct i o ni n v e r s 11110反函数 .,.,.,363236363的反函数是函数这样它也是一个函数中解得我们从的反函数求函数例如 .,的定义域好是它的反函数正的值域函数的值域正好是它的反函数的定义域函数.,l o ?l o g 的反函数吗你能求出 11112 xxxy用心 爱心 专心 对数函数（一） 教学目标 ： 使学生理解对数函数的概念，掌握对数函数的图象和性质，培养学生数形结合的意识 识事物之间的相互转化，了解对数函数在生产实际中的简单应用 . 教学重点 ： 对数函数的图象和性质 . 教学难点 ： 对数函数与指数函数的关系 . 教学过程 ： 来源 :学。科。网 师我们研究指数函数时，曾经讨论过细胞分裂问题 到的细胞的个数 y 是分裂次数 x 的函数，这个函数可以用指数函数 y 2 现在，我们来研究相反的问题，如果要求这种细胞经过多少次 分裂，大约可以得到 1万个， 10 万个细胞，那么，分裂次数 x 就是要得到的细胞个数 y 的函数 个函数可以写成对数的形式就是 x 如果用 x 表示自变量， y 表示函数，这个函数就是 y 这一节，我们来研究对数函数 . 一般地，当 a 0 且 a 1 时，函数 y 做对数函数 . 师这里对数函数的解析式可以由指数函数求得，对数函数的定义域、值域也就是指数函数的值域、定义域 . 即对数函数的定义域是（ 0， + )，值域是 R.来源 :学科网 师 画出下列两组 函数的图象，并观察各组函数的 图象，寻找它们 之间的关系： （ 1） y 2x， y （ 2） y（ 12 ） x， y 来源 :学科网 它们的图象关于直线 y x 对称 .来源 :学 #科 #网 所以 y 图象与 y 图象关于直线 y x 对称 们只要画出和 y y x 对称的曲线，就可以得到 y 图象，然后根据图象特征得出对数函数的性质 . a1 0a1 4321- 1- 2- 3- 6 - 4 - 2 2 4 6011- 2- 3- 2 2 4 601用心 爱心 专心 图 象 - - 1 2 3 4 5 6 7 - - 1 2 3 4 5 6 7 8011性 来源 :学科网 质 来源 : 学科网来源 :学科网 定义域：（ 0， +） 来源 :学科网 来源 :学 +科 +网 Z+X+X+K来源 :值域： R 过点（ 1， 0），即当 x 1 时， y 0 x （ 0， 1）时 y 0 x （ 1， ）时 y 0 x （ 0， 1）时 y 0 x （ 1， ）时 y 0 在（ 0， +）上是增函数 在（ 0， +）上是减函数 师接下来，我们通过例题来看一下对数函数性质的简单应用 . 例 1求下列函数的定义域 （ 1） y (2)y x) (3 )y 分析：此题主要利用对数 y 定义域（ 0， +）求解 解：（ 1）由 0，得 x 0 所以函数 y 定义域是 x|x 0 (2)由 4 x 0，得 x 4 所以函数 y= x)的定义域是 x|x 4 (3)由 9 0 得 3 x 3 所以函数 y= 定义域是 x| 3 x 3 评述：此题只是对数函数性质的简单应用，应强调学生注意书写格式 . 师为使大家进一步熟悉对数函数的图象和性质，我们来做练习 . 课本 习 y y且说明这两个函数的相同性质和不同性质 . 相同性质：两图象都位于 y 轴右方，都经过点（ 1， 0），这说明两函数的定义域都是（ 0， +），且当 x 1， y 0. 不同性质： y 图象是上升的曲线， y说明前者在（ 0， +）上是增函数，后者在（ 0， +）上是减函数 . 的定义域： （ 1） y x) （ 2） y 13） y 1 3x （ 4） y 解：（ 1）由 1 x 0 得 x 1 所求函数定义域为 x|x 1 (2）由 0，得 x 1，又 x 0 所求函数定义域为 x|x 0 且 x 1 (3)由 11 3x 01 3x 0，得 x 13 所求函数定 义域为 x|x 13 用心 爱心 专心 (4)由 x 00，得 x 0x 1 x 1 所求函数定义域为 x|x 1 要求：学生板演练习，老师讲评 . 师通过本节学习，大家应逐步掌握对数函数的图象与性质，并能利用对数函数的性质解决一些简单 问题，如求对数形式的复合函数的定义域问题 . （一 ）课本 题 1， 2 （二） 2、 例 3 （ 1）同底数的两对数如何比较大小？ （ 2）不同底数的两对数如何比较大小？ 用心 爱心 专心 对数函数（二） 教学目标 ： 使学生掌握对数函数的单调性，掌握比较同底与不同底对数大小的方法，培养学生数学应用意识；用联系的观点分析、解决问题，认识事物之间的相互转化 . 教学重点 ： 利用对数函数单调性比较同底对数大小 . 教学难点 ： 不同底数的对数比较大小 . 教学过程 ： 师上一节，大家学习了对数函数的图象和性质，明确了对数函数的单调性，即： 当 a 1 时， y （ 0,+）上是增函数； 当 0 a 1 时， y （ 0， +）上是减函数 . 这一节，我们主要学习对数函数单调性的应 用 . 例 1比较下列各组数中两个值的大小： （ 1） (3)7 (3)(a 0， a 1) 分析：此题主要利用对数函数的单调性比较两个同底数的对数值大小 .来源 :Z 解：（ 1）考查对数函数 y 为它的底数 2 1，所以它在（ 0， +）上是增函数，于是 源 :Z (2)考查对数函数 y 为它的底数 0 1，所以它在（ 0， +）上是减函数，于是 师通过（ 1）、（ 2）的 解答，大家可以试着总结两个同底数的对数比较大小的一般步骤： （ 1）确定所要考查的对数函数；（ 2）根据对数底数判断对数函数增减性；（ 3）比较真数大小，然后利用对数函数的增减性判断两对数值的大小 .来源 :解：（ 3）当 a 1 时， y （ 0， +）上是增函数，于是 源 :学科网 当 0 a 1 时， y （ 0， +）上是减函数，于是 述：对数函数的增减性决定于对数的底数是大于 1 还是小于 此需要对底数 a 进行讨论，体现了分类讨论的思想，要求学生逐步掌握 . 例 2比较下列各组中两个值的大小： （ 1） (2) 析：由于两个对数值不同底，故不能直接比较大小，可在两对数值中间插入一个已知数，间接比较两对数值的大小 .来源 :学科网 解：（ 1） 1， 1， 2） 0， 0， 述：例 2 仍是利用对数函数的增减性比较两个对数的大小，当不能直接比较时， 经常在两个对数中间插入 1 或 0 等，间接比较两个对数的大小，例 2（ 2）题也可与 1 比较 . 例 3求下列函数的定义域、值域： y 2 12x 14 y 2x 5） 来源 :学科网 y 4x 5） y x） （ 0 a 1） 来源 :用心 爱心 专心 解： 要使函数有意义，则须： 2 12x 14 0 即： 1 2 得 1 x 1 1 x 1 1 0 从而 2 1 1 14 2 12x 12 0 2 12x 14 14 0 y 12 定义域为 1， 1，值域为 0， 12 来源 :学科网 2x 5（ x 1） 2 4 4 对一切实数都恒成立 函数定义域为 R 从而 2x 5） 2 即函数值域为 2，） 要使函数有意义，则须： 4x 5 0 得 4x 5 0 解得 1 x 5 由 1 x 5 在此区间内 （ 4x 5） 9 0 4x 5 9 从而 4x 5） 2 即：值域为 y 2 定义域为 1， 5，值域为 2，） 要使函数有意义，则须：)2(0)(lo g)1(022 1 x 0 由： 0 a 1 时 则须 x 1， x R 综合得 1 x 0 当 1 x 0 时 （ x） 14 0 x 14 x） y 定 义域为 ( 1， 0)，值域为 ，） 来源 :学科网 课本 习 3 补充：比较下列各题中的两个值的大小 （ 1） （ 2） 3） 13 ） 21 （ 4） ：（ 1）考查函数 y 2 1， 函数 y （ 0， +）上是增函数 又 1， 0 再考查函数 y 源 :学 _科 _网 0 13 1 函数 y （ 0， +）上是减函数 用心 爱心 专心 又 1 0 0 2） 3） lo 13 ） 21来源 :学科网 4） 求：学生板演，老师讲评 师通过本节学习，大家要掌握利用对数函数的增减性比较两对数大小的方法，并要能够逐步掌握分类讨论的 思想方法 . 课本 题 3来源 :学科网 用心 爱心 专心 对数函数（三） 教学 目标 ： 使学生掌握对 数形式复合函数的单调性的判断及证明方法，掌握对数形式复合函数的奇偶性的判断及证明方法，培养学生的数学应用意识；认识事物之间的内在联系及相互转化，用联系的观点分析问题、解决问题 .来源 :教学重点 ： 函数单调性、奇偶性证明通法 . 来源 :学科网 教学难点 ： 对数运算性质、对数函数性质的应用 . 教学过程 ： 师上一节课后，我要求大家预习函数单调性，奇偶性的证明方法，现在，我们进行一下回顾 .来源 :学科网 明函数单调性的基本步骤： 假设 作差 变形 判断 说明：变形目的是为了易于判断；判断有两层含义：一是对差式正负的判断；二是对增减函数定义的判断 .来源 :Z|xx| 考查函数定义域是否关于原点对称；比较 f( x)与 f(x)或者 f(x)的关系；根据函数奇偶性定义得出结论 . 说明：考查函数定义域容易被学生忽视，应强调学生注意 . 师接下来，我们一起来 看例题 例 1判断下列函数的奇偶性： （ 1） f(x) x (2)f(x) 1+ x) 分析：首先要注意定义域的考查，然后严格按照奇偶性证明基本步骤进 行 . 解：（ 1）由 1 x 0 可得 1 x 1来源 :学 +科 +网 所以函数的定义域为：（ 1， 1）关于原点对称 又 f( x) x 1 x ） 1 x f(x) 即 f( x) f(x)来源 :Z#xx#所以函数 f(x) x 是奇函数 评述：此题确定定义域即解简单分式不等式，函数解析式恒等变形需利用对数的运算性质，说明判断对数形式的复合函数的奇偶性，不 能轻易直接下结论，而应注意对数式的恒等变形 . 解：（ 2）由 1+ x 0 可得 x R 所以函数的定义域为 R 关于原点对称 来源 :学科网 又 f( x) 1+ x) 1+x) ( 1+ x)1+ x 用心 爱心 专心 1+ x 1+ x) f(x) 即 f( x) f(x) 所以函数 f(x) 1+ x)是奇函数 评述：此题定义域的确定可能稍有困难，可以讲解此点，而函数解析式的变形用到了分子有理化的技巧，应要求学生掌握 .来源 :学科网 例 2（ 1）证明函数 f(x) 1)在（ 0， +）上是增函数 （ 2）问：函数 f(x) 1)在（， 0）上是减函数还是增函数？ 分析：此题目的在于让学生熟悉函数单调性证明通法，同时熟悉上一节利用对数函数单调性比较同底数对数大小的方法 . （ 1）证明：设 x1,(0,+ )，且 f( f( ) ) 0 又 y 0， +）上是增函数 . ） ) 即 f( f(函数 f(x) )在（ 0， +）上是增函数 . （ 2）是减函数，证明可以仿照上述证明过程 . 评述：此题可引导学生总结函数 f(x) )的增减性与函数 y 1 的增减性的关系，并可在课堂练习之后得出一般性的结论 . 例 3求函数 y 2x 3） 的单调区间 .来源 :学科网 解：定 义域 2x 3 0 解得 x 3 或 x 1 来源 :学科网 单调减区间是（ 3， ） 例 4 已知 y 0， 1上是 x 的减函数，求 a 的取值范围 . 解： a 0 且 a 1 函数 t 2 减函数 由 y 0， 1上 x 的减函数，知 y 增函数， a 1 由 x 1 时， 2 2 a 0，得 a 2 1 a 2 （ 1）证明函数 y )在（ 0， +）上是减函数； （ 2）判断函数 y )在（ ,0）上的增减性 . 证明：（ 1）设 0 f( f( ) ) 11 0 0 11 11 而 减函数 11 11 0 f(x 1) f( 0 即 f( f(用心 爱心 专心 函数 y )在（ 0， +）上是减函数 （ 2）设 0，则 f( f( ) ) 0， 0 而函数 y （ 0， +）上是减函数 . ） ) 即 f( f( y )在（， 0）上是增函数 . 师通过本节学习，大家能进一步熟悉对数函数的性质应用，并 掌握证明函数单调性，奇偶性的通法，提高数学应用的能力 . （一）课本 ， 5， 8 （二）补充 1.求 y (2x)的单调递减区间 . 解：先求定义域：由 2x 0,得 x(x 2) 0 x 0或 x 2 函数 y 减函数 故所求单调减区间即 t 2x 在定义域内的增区间 . 又 t 2x 的对称轴为 x 1 所求单调递减区间为（ 2， +） y 4x)的单调递增区间 解：先求定义域：由 4x 0 得 x(x 4) 0 x 0 或 x 4 又函数 y 增函数 故所求单调递增区间为 t 4x 在定义域内的单调递增区间 . t 4x 的对称轴为 x 2 所求单调递增区间为：（ 4， +） 3. 已知 y 2 0， 1上是 x 的减函数，求 a 的取值范围 . 解： a 0 且 a1 当 a 1 时，函数 t 2 0 是减函数 来源 :Z,xx,由 y 2 0， 1上是 x 的减函数，知 y t 是增函数， a 1 由 x 0， 1时， 2 2 a 0， 得 a 2, 1 a 2 当 00 是增函数 来源 :Z&xx&由 y 2 0， 1上 x 的减函数，知 y t 是减函数， 0a1 由 x 0， 1时， 2 2 1 0， 0a1 综上述， 0a1 或 1 a 2 用心 爱心 专心 对数函数的运用 教学目标 ： 使学生掌握对数形式复合函数的单调性的判断及证明方法，掌握对数形式复合函数的奇偶性的判断及证明方法，培养学生 的数学应用意识；认识事物之间的内在联系及相互转化，用联系的观点分析问题、解决问题 . 教学重点 ： 来源 :学科网 复合函数单调性、奇偶性的讨论方法 . 教学难点 ： 复合函数单调性、奇偶性的讨论方法 .来源 :学科网 教学过程 ： 例 1设 1，则实数 a 的取值范围是 a 23 B. 23 a 1来源 :学科网 a 23 或 a 1 23 解：由 1 (1)当 0 a 1 时，由 y 减函数，得： 0 a 23 (2)当 a 1 时，由 y 增函数，得： a 23 ， a 1 综合（ 1） (2)得： 0 a 23 或 a 1 答案： C 例 2三个数 大小顺序是 6 ：由于 1， 0 1， 0 答案： D 例 3设 0 x 1， a 0 且 a 1，试比较 |1 x)|与 |+x)|的大小 来源 :学 +科 +网 解法一：作差法 来源 :| x)| |+x)| | 1 x）| | 1+x）| 1|(| x)| |+x)|) 0 x 1， 0 1 x 1 1+x 上式 1| （ x)+x) 1| 由 0 x 1，得 0， 1| 0， | x)| |+x)| 解法二：作商法 +x) x) | x)(1+x)| 用心 爱心 专心 0 x 1 0 1 x 1+x | x)(1+x)| x)(1+x) x) 11 x 由 0 x 1 1+x 1， 0 1 1 0 (1 x)(1+x) 1 11 x 1 x 0 0 x) 11 x x)(1 x) 1 | x)| | x)| 解法三：平方后比较大小 1 x） x) x) x)1 x） x) x 1| x 0 x 1， 0 1 1， 0 1 x 1 0， x 0 x) +x) 即 | x)| |+x)| 解法四：分类讨论去掉绝对值 当 a 1 时， |1 x） | |+x)|来源 :Z#xx# x) +x) 0 1 x 1 1+x， 0 1 1来源 :学 &科 &网 0， 0 当 0 a 1 时，由 0 x 1，则有 1 x） 0， +x) 0 | x)| |+x)| | x)+x)| 0 当 a 0 且 a 1 时，总有 |1 x） | |+x)| 例 4已知函数 f(x) 1） (a 1)x 1，若 f(x)的定义域为 R，求实数 a 的取值范围 . 解：依题意 (1)(a 1)x 1 0 对一切 x R 恒成立 . 当 1 0 时，其充要条件是： 来源 :学科网 1 0 （ a 1） 2 4（ 1） 0 解得 a 1 或 a53 又 a 1， f(x) 0 满足题意， a 1 不合题意 . 所以 a 的取值范围是：（， 1（ 53 ， +） 例 5已知 f(x) 1 g(x) 2较 f(x)与 g(x)的大小 解：易知 f(x)、 g(x)的定义域均是：（ 0， 1）（ 1， +） f(x) g(x) 1 24 x). 当 x 1 时，若 34 x 1，则 x 43 ，这时 f(x) g(x). 若 34 x 1，则 1 x 43 ，这时 f(x) g(x)来源 :用心 爱心 专心 当 0 x 1 时， 0 34 x 1， x 0，这时 f(x) g(x) 故 由（ 1）、（ 2）可知：当 x (0， 1)（ 43 ， +）时， f(x) g(x) 当 x（ 1， 43 ）时， f(x) g(x) 例 6解方程： 241x 1 5)21（ 3x 1 2） 解：原方程可化为 21x 1 5)21（ 3x 1 2） 9x 1 5 4(3x 1 2) 即 9x 1 4 3x 1+3 0来源 : (3x 1 1)(3x 1 3 ) 0 3x 1 1 或 3x 1 3 x 1 或 x 2 经检验 x 1 是增根 x 2 是原方程的根 . 例 7解方程 21）21 2) 2 解：原方程可化为： 21） ( 1)（ 21） 2 即： 1)1) 1 2 令 t 1)，则 t 2 0 解之得 t 2 或 t 1 1) 2 或 1) 1 解之得： x x 来源 :学科网 来源 :用心 爱心 专心 高中苏教版数学 数函数测试 题 一、选择题 1若 5则（ ） 5 5 5 5 答 案： 来源 :学 #科 #网 2对于 0a ， 1a ，下列命题中，正确命题的个数是（ ） 若 ，则 lo g lo 若 lo g lo 则 ； 若 22l o g l o 则 ； 若 ，则 22l o g l o 0 1 2 3 答案： 3若实数 a 满足 45a ，则 a 的取值范围是（ ） 40 (1 )5 ， ， 405， (01)， (1 )， 答案： 4已知 11l o g l o g 033，则 的关系是（ ） 1 1 来源 :学科网 01 01 答案 ： 来源 :5设函数 12 1 1()l g 1x ， ， ， 若0()1则0 ） (010)， (10 )， 用心 爱心 专心 ( 2 ) ( 1 0 ) ， ， ( 0 ) (1 0 ) ， ， 答案： 6已知 5( ) x x ，则 (2)f （ ） 来源 :学 +科 +网 Z+X+X+K 11 二、填空题 7已知 a ， b ，那么3_ 答案： 计算522 l o g 2 5 3 l o g 6 4 8 l n 1 _ 答案： 22 来源 :9方程 l g ( 4 2 ) l g 2 l g 3x x x 的解是 _ 答案： 1x 10函数 的反函数 是 _ 来源 :学 |科 |网 答案：0 . 2l o g ( 1 ) ( 1 )y x x 11函数 20 . 5l o g ( 4 3 )y x x的定义域为 _ 来源 :学科网 答案： 130144 ， ，来源 :2已知函数 ( ) x x ，则 14f， 13f， (2)f 的大小关系是 _ 用心 爱心 专心 答案： 11 ( 2 )43f f f 来源 :Z|xx|、解答题 13已知 1m ，试比较 0.9(m 与 0.8(m 的大小 解：当 m ，即 10m 时， 0 . 9 0 . 8( l g ) ( l g )；当 m ，即 10m 时，0 . 9 0 . 8( l g ) ( l g )；当 0 m，即 1 10m 时， 0 l g ) ( l g ) 14已知函数 ()y f x ， 12x ， ，若 (2 )，求 () 解： 12x ， ， 1 2 2s 设 2，则 12t ，且2 代入 (2 )，得2( ) t t 2( ) lo gf x x， 12x ， 来源 :学 _科 _网 15已知 22l o g ( 4 ) l o g ( 1 ) l o g 5 l o g ( 2 1 ) ( 0 1 )a a a ax y x y a a ， 且，求8l og 来源 :学 &科 &网 Z&X&X&K 解：由已知，得 22( 4 ) ( 1 ) 5 ( 2 1 )x y x y ，即 2 2 2 24 4 1 0 5x y x y x y ， 即 2 2 2 2( 6 9 ) ( 4 4 ) 0x y x y x y x y ， 即 22( 3 ) ( 2 ) 0x y x y 3020 ，故 128811l o g l o g 23 16 已知 ( ) l o g ( 1 ) ( 0 1 )x a a a ， 且，（ 1） 求其定义域；（ 2）解方程 1(2 ) ( )f x f x 来源 :学 _科 _网 解：（ 1）由 已知条件，知 10 ，即 1 用心 爱心 专心 故当 1a 时， 0x ，当 01a时， 0x 即当 1a 时，函数的定义域为 (0 )， ， 当 01a时，函数的定义域为 ( 0) ， （ 2）令 lo g ( 1)，同 1， lo g ( 1)，即 1 ( ) lo g ( 1 )x a 1( 2 ) ( )f x f x ， 2l o g ( 1 ) l o g ( 1 ) ， 即 2 11 2( ) 2 0 . 2 ，或 1 （舍去） 用心 爱心 专心 对 数（一） 教学目标 ： 使学生 理解对数的概念，能够进行对数式与指数式的互化。 教学重点 ： 对数的概念 教学难点 ： 对数概念的理解 教学过程 ： 引例：假设 1995 年我国的国民生产总值为 a 亿元，如每年平均增长 8%，那么经过多少年国民生产总值是 1995 年的 2 倍？ 设：经过 x 年国民生产总值是 1995 年的 2 倍 则有 a（ 1 8%） x 2a 2 用计算器或计算机作出函数图像，计算出 x 值 这是已知底数和幂的值，求指数的问题。即指数式 N 中，已知 a 和 N 求 b 的问题。（这里 a 0 且 a 1） 活动设计 ：学生分析讨论，列出方程，无法求解，引起冲突，教师引导、整理，导入新课 1定义： 一般地，如果 a（ a 0 且 a 1）的 b 次幂等于 N, 就是 N，那么数 b 叫做 a 为底 N 的对数，记作 a N b， a 叫做对数的底数， N 叫做真数 。 N a N b 例如： 42 16 2 102 100 0100 2 421 2 12 10 2 2 探究 ： 负数与零没有对数（在指数式中 N 0 ） a 1 0， a a 1 对任意 a 0 且 a 1， 都有 1 a 1 0 同样易知： a a 1 对数恒等式 如果把 N 中的 b 写成 a N, 则有 a N 常用对数 我们通常将以 10 为底的对数叫做常用对数。 为了简便 ,N 的常用对数 0 N 简记作 用心 爱心 专心 例如： 05 简记作 记作 自然对数 在科学技术中常常使用以无理数 e 为底的对数，以 e 为底的对数叫自然对数，为了简便， N 的自然对数 e N 简记作 。 例如： 记作 记作 源 :学科网 2对数式与指数式的互换 例 1：将下列指数式写成对数式： （ 1） 54 625 （ 2） 2164 （ 3） 3a 27 (4) （ 13 ） m ：（ 1） 4； （ 2） 64 6； （ 3） a； （ 4） m 例 2：将下列对数式写成指数式： （ 1） 4； （ 2） 7； （ 3） 2； （ 4） ：（ 1） （ 12 ） 4 16 （ 2） 27 128； （ 3） 10 2 （ 4） 10 活动设计 ：教师示范小题（ 1），其余学生完 成，目的在于熟悉对数的定义 课本第 58 页 练习 1. 2. 3. 4 例 3计算： 81， 32， 6255解法一 ：设 x 则 9x 27 32x 33, x 32 设 x 81则 （ 4 3 ） x 81, 34x 34, x 16来源 :Z 令 x 32 132 32 , （ 2 3 ） x（ 2 3 ） 1, x 1 令 x 6255, （ 3 54 ） x 625, 5 34x 54, x 3 解法二 ： 3； 16)3(lo g 16433 44 322 = 132lo g 132 3)5(lo 5lo g 33 455 3 43 4 用心 爱心 专心 . 课时小结 定义 互换 求值 大家要在理解对数概念的基础上，掌握对数式与指数式的互化，会计算一些特殊对数值。 课本第 90 页 习题 1， 2 理解对数概念 . (三 )德育渗透目标 活实际中的应用 . 教学重点 对数的定义 . 教学难点 对数概念的理解 . 教学方法 启发式 启发学生从指数运算的需求中，提出本节的研究对象 对数，从而由指数与对数的关系认识对数，并掌握指数式与对数式的互化、而且要明确对数运算是指数运算的逆运算 . 引导学生在指数式与对数式的互化过程中，加深对于对数定 义的理解，为下一节学习对数的运算性质打好基础 . 教具准备 幻灯片三张 第一张：复习举例 (记作 ) 第二张：导入举例 (记作 ) 第三张：本节例题 (记作 ) 教学过程 师 上一单元，我们一起学习了指数与指数函数的有关知识，也就明确了如下问题：来源 :学科网 (打出幻灯片 ) 由 32可得到 (1)9 是 3 的平方 来源 :学 &科 &网 （ 2） 3 是 9 的平方根 用心 爱心 专心 来源 :学科网 师其中 (1)式中 9、 3、 2 依次叫什么名称 ? 生 (1)式中， 9 叫幂值， 3 叫幂的底数， 2 叫幂的指数 . 师 (2)式中的 9、 3、 2 依次叫什么名称 ? 生 (2)式中， 9 叫被开方数， 3 叫根式值， 2 叫根指数 . 师从上述过程不难看出， 9 与 3、 2 有一定关系，即 9=32,3 与 2、 9 之间也有一定的关系，即 3= 9 ,其中根指数为 2 时省略不写 们自然提出一个问题： 2 与 3、 9 之间是何关系， 2 能否用 3、 9 表示呢 ?这就将牵涉到我们这一节将学习的对数问题 . 师我们来看下面的问题 .(打出幻灯片 ) (说明：由于对数概念是本节重点，所以在导入新课上有所侧重 ) 假设 1995 年我国国民生产总值为 a 亿元，如果每年平均增长 8%， 那么经过多少年国民生产总值是 1995 年时的 2 倍 ? 假设经过 x 年国民生产总值为 1995 年时的 2 倍，根据题意有： a(1+8%)x=2a 即 师上述问题是已 知底数和幂的值，求指数的问题，也就是我们这节将要学习的对数问题 . 一般地，当 a 0 且 a 1 时 若 ,则 b 叫以 a 为底 N 的对数 . 记作： =b 其中 a 叫对数的底数， N 叫真数 . 师从上述定义我们应明确对数的底数 a 0 且 a 1， N 0，真数 N 0，也就是说，负数和零没有对数 .来源 :学科网 我们通常将以 10 为底的对数叫做常用对数，为了简便， N 的常用对数 记 作 例如： 记作 记作 师在科学技术中常常使用以无理数 e=底的对数，以 e 为底的对数叫自然对数，为了简便， N 的自然对数 记作 来源 :学科网 例如： 记作 记作 师由对数的定义，可以看出指数与对数的密切关系 们就学习指数式与对数式的互化 . 例 1将下列指数式写成对数式 来源 :(1)54=625 用心 爱心 专心 (2)241(3)3a=27 (4)(31)m= ： (1) (2) 6 (3)a (4)m 例 2将下列对数式写成指数式 (1)21 4 (2) (3) 2 (4)： (1)(21) 4=16 (2)27=128 (3)104)0 评述：例 1、例 2 目的在于让学生熟悉对数的 定义 . 师为使大家进一步熟悉对数式与指数式的互化，我们来做课堂练习 . 课本 习 对数 式 (1)23 8 （ 2） 25 32 （ 3） 21(4)3127 31 解： (1)3 (2)5 (3) 1 (4)(1)2 （ 2） 3 用心 爱心 专心 （ 3） 2 （ 4） 4 解： (1)32 9 (2)53 125 (3)21(4)3 4来源 :Z,xx,来源 :Z (1) 2） 3） 4） 5） 6） ： (1)2 (2) 4 (3) 102 100 2 (4) 10 2 (5) 104 10000 4 (6) 10 4 (1) 2） 3） 4） 5） 6） ： (1) 15 1 15 1 (2) 1 0 (3) 92 81 2 (4) 2 ( 5) 73 343 3 (6) 35 243 5 师通过本节学习，大家要能在理解对数概念的基础上，掌握对数式与指数式的互化 . （一）课本 题 (1)4x 16 用心 爱心 专心 （ 2） 3x 1 （ 3） 4x 2 （ 4） 2x 5） 3x 81 （ 6） 10x 25 （ 7） 5x 6 （ 8） 4x61解： (1)x 2)x 3)x 4)x 5)x 6)x 7)x 8)x (1)x 2)x 3)x 4)x )x 6)x ： (1)5x 27来源 :学科网 (2)8x 7 (3)4x 3 (4)7x31(5)10x 5 (6)10x 二） (1)对数的运算性质有哪些 ?来源 :学科网 (2)如何证明对数的运算性质 ? 用心 爱心 专心 对 数（二） 教学目标 ： 使学生进一步熟悉对数定义与幂的运算性质，理解对数运算性质的推导过程，熟悉对数的运算性质的内容，熟练运用对数的运算性质进而化简求值，明确对数的运算性质与幂的运算性质的区别 识事物之 间的相互联系与相互转化 . 教学重点 ： 证明对数运算性质 . 教学难点 ： 对数运算性质的证明方法与对数定义的联系 . 教学过程 ： 1对数的定义 a N b 其中 a（ 0， 1）（ 1，）与 N（ 0，） 2指数式与对数式的互化 N a N b 来源 : 负数与零没有对数 ； a 1 0， a a 1来源 :学科网 对数恒等式 a 来源 :学科网 (4) a b来源 :Z+xx+来源 :学科网 来源 : a 0， a 1， M 0， N 0，则 (1)N) (2) (3)n R) 师现在我们来证明运算性质，为了利用已知的幂的运算性质，应将对数形式根据对数的定义转化为指数形式，因此需要引进中间变量，起一定的过渡作用 . 证明： (1)设 p， q 由对数的定义得： M N ap+q 再由对数定义得 p q，即证得 2)设 p， q 由对数的定义可以得 M N q， 再由对数的定义得 p q来源 :学 |科 |网 即证得 3)设 p 由对数定义得 M n 再由对数定义得 即证得
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