高中数学备课精品函数与方程课件新人教A版必修一
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高中数学备课精品函数与方程课件新人教A版必修一,高中数学,备课,精品,函数,方程,课件,新人,必修
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用心 爱心 专心 课题： 程的根与函数的零点 教学目标 ： 知识与技能 理解函数（结合二次函数）零点的概念，领会函数零点与相应方程要的关系，掌握零点存在的判定条件 过程与方法 零点存在性的判定 情感、态 度、价值观 在函数与方程的联系中体验数学中的转化思想的意义和价值 教学重点 ： 重点 零点的概念及存在性的判定 难点 零点的确定 教学程序与环节设计： 创设情境 组织探究 尝试练习 探索研究 作业回馈 课外活动 结合二次函数引入课题 二次函数的零点及零点存在性的 零点存在性为练习重点 进一步探索函数零点存在性的判定 重点放在零点的存在性判断及零点的确定上 研究二次函数在零点、零点之内及零点外的函数值符号，并尝试进行系统的总结 用心 爱心 专心 教学过程与操作设计 ： 环节 教学内容设置 师生双边互动 创 设 情 境 先来观察几个具体的一元二次方程的根及其相应的二次函数的图象： 1 方程 0322 函数 322 2 方程 0122 函数 122 3 方程 0322 函数 322 师：引导学生解方程，画函数图象，分析方程的根与图象和 x 轴交点坐标的关系，引出零点的概念 生：独立思考 完成解答，观察、思考、总结、概括得出结论，并进行交流 师：上述结论推广到一般的一元二次方程和二次函数又怎样？ 组 织 探 究 函数零点的概念： 对于函数 )( ，把使 0)( 立的实数 x 叫做函数 )( 的零点 函数零点的意义： 函数 )( 的零点就是方程 0)( 数根，亦 即函数 )( 的图象与 x 轴交点的横坐标 即： 方程 0)( 实数根 函数 )( 的图象与 x 轴有交点 函数 )( 有零点 函数零点的求法： 求函数 )( 的零点： 1 （代数法）求方程 0)( 实数根； 2 （几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数 )( 的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点 师：引导学生仔细体会左边的这段文字，感悟其中的思想方法 生：认真理解函数零点的意义，并根据函数零点的意义探索其求法： 1 代数法； 2 几何法 用心 爱心 专心 二次函数的零点： 二次函数 )0(2 ），方程 02 两不等 师：引导学生运用函数零点的意义探索二次函数零点的情况 环节 教学内容设置 师生双边互动 组 织 探 究 实根，二次函数的图象与 x 轴有两个交点，二次函数有两个零点 ），方程 02 两相等实根（二重根）， 二次函数的图象与 x 轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点 ），方程 02 实根，二次函数的图象与 x 轴无交点，二次函数无零点 生：根据函数零点的意义探索研究二次函数的零点情况，并进行交流，总结概括形成结论 零点存在性的探索： （）观察二次函数 32)( 2 图象： 1 在区间 1,2 上有零点 _； )2(f _， )1(f _, )2(f )1(f _0（或） 2 在区间 4,2 上有零点 _； )2(f )4(f _0（或） （ ）观察下面函数 )( 的图象 1 在区间 , _(有 /无 )零点； )( )(_0（或） 2 在区间 , _(有 /无 )零点； 生：分析函数，按提示探索，完成解答，并认真思考 师：引导学生结合函数图象，分析函数在区间端点上的函数值的符号情况，与函数零点是否存在之间的关系 生：结合函数图象，思考、讨论、总结归纳得出函数零点存在的条件，并进行交流、评析 师：引导学生理解函数零点存在定理，分析其中各条件的作用 用心 爱心 专心 )( )(_0（或） 3 在区间 , _(有 /无 )零点； )( )(_0（或） 由以上两步探索，你可以得出什么样的结论？ 怎样利用函数零点存在性定理，断定函数在某给定区间上是否存在零点 环节 教学内容设置 师生互动设计 例 题 研 究 例 1求函数 62 零点个数 问题： 1）你可以想到什么方法来判断函数零点个数？ 2）判断函数的单调性，由单调性你能得该函数的单调性具有什么特性？ 例 2求函数 22 23 并画出它的大致图象 师：引导学生探索判断函 数零点的方法，指出可以借助计算机或计算器来画函数的图象，结合图象对函数有一个零点形成直观的认识 生：借助计算机或计算器画出函数的图象，结合图象确定零点所在的区间，然后利用函数单调性判断零点的个数 用心 爱心 专心 尝 试 练 习 1利用函数图象判断下列方程有没有根，有几个根： （ 1） 0532 （ 2） 3)2(2 （ 3） 442 （ 4） 5325 22 2利用函数的图象，指出下列函数零点所在的大致区间： （ 1） 53)( 3 （ 2） 3)22)( （ 3） 44)( 1 x ； （ 4） )4)(3)(2(3)( 师：结合图象考察零点所在的大致区间与个数，结合函数的单调性说明零点的个数；让学生认识到函数 的图象及基本性质（特别是单调性）在确定函数零点中的重要作用 探 究 与 发 现 1已知 24581772)( 234 请探究方程 0)( 根如果方程有根，指出每个根所在的区间（区间长度不超过 1） 2设函数 12)( x （ 1）利用计算机探求 2a 和 3a 时函数)(零点个数； （ 2）当 时，函数 )(零点是怎样分布的？ 环节 教学内容设置 师生互动设计 用心 爱心 专心 作 业 回 馈 1 教材 1（ A 组）第 1、 2 题； 2 求下列函数的零点： （ 1） 452 （ 2） 202 （ 3） )13)(1( 2 （ 4） )23)(2()( 22 3 求下列函数的零点，图象顶点的坐标，画出各自的简图，并指出 函数值在哪些区间上大于零，哪些区间上小于零： （ 1） 1231 2 （ 2） 142 2 4 已知 124)1(2)( 2 （ 1） m 为何值时，函数的图象与 x 轴有两个零点； （ 2）如果函数至少有一个零点在原点右侧，求m 的值 5 求下列函数的定义域： （ 1） 92 （ 2） 432 （ 3） 1242 课 外 活 动 研究 2 ， 02 02 02 相互关系，以零点作为研究出发点，并将研究结果尝试用一种系统的、简洁的方式总结表达 考虑列表，建议画出图象帮助分析 收 获 与 体 会 说说方程的根与函数的零点的关系，并给出判定方程在某个区产存在根的基本步骤 方程的根 和 函数的零点 X Y A M B O 10m (1,40/3) (0,10) ? 思考：一元二次方程 bx+c=0(a0)的根与二次函数y=bx+c(a0)的图象有什么关系？ 方程 2x+1=0 2x+3=0 y= 2x 3 y= 2x+1 函数 函 数 的 图 象 方程的实数根 1, x1= 无实数根 函数的图象 与 ( 1,0)、 (3,0) (1,0) 无交点 2x 3=0 x y 0 1 3 2 1 1 2 1 2 3 4 . . . . . . . . . . x y 0 1 3 2 1 1 2 5 4 3 . . . . . y x 0 1 2 1 1 2 y= 2x+3 方程 bx+c=0 (a0)的根 函数 y= c(a0)的图象 判别式 = 4 0 =0 0 函数的图象 与 x 轴的交点 有两个相等的 实数根 有实数根 x y x1 x y 0 x1 x y 0 () , () () 没有交点 两个不相等 的实数根 对于函数 y=f(x),我们把使 f(x)=0的实数 y=f(x)的零点。 函数零点的定义： 注意： 零点指的是一个实数； 零点是一个点吗 ? 方程 2x+1=0 2x+3=0 y= 2x 3 y= 2x+1 函数 函 数 的 图 象 方程的实根 1, x1= 无实根 函数的图象 与 ( 1,0)、 (3,0) (1,0) 无交点 2x 3=0 x y 0 1 3 2 1 1 2 1 2 3 4 . . . . . . . . . . x y 0 1 3 2 1 1 2 5 4 3 . . . . . y x 0 1 2 1 1 2 y= 2x+3 方程 f(x)=0有实根 函数 y=f(x)的图象与 函数 y=f(x)有零点 等价关系 课堂练习 1： 利用函数图象判断下列方程有没有根，有几个根： （ 1） 3x 5 0； （ 2） 2x(x 2) 3； （ 3） 4x 4； （ 4） 5 2x 3 5. 1(1)解：令 f(x)= 3x 5, 作出函数 f(x)的图象，如下： . . . . . x y 0 1 3 2 1 4 8 6 2 2 4 它与 以方程 3x 5 0有两个 不相等的实数根。 1(1) 3x 5 0 课堂练习 1(2)解： 2x(x 2) 3可化为 24x 3 0，令 f(x)= 24x 3 , 作出函数 f(x)的图象 ,如下： x y 0 1 3 2 1 1 2 5 4 3 . . . . . 它与 以方程2x(x 2) 3无实数根 。 1(2) 2x(x 2) 3 课堂练习 1(3)解： 4x 4可化为 4x 4 0，令 f(x)= 4x 4，作出 函数 f(x)的图象，如下： . . . . . 它与 以方程 4x 4有两个相等的实数根 。 x y 0 1 3 2 1 1 2 5 4 3 6 4 1(3) 4x 4 课堂练习 1(4)解： 52x 35可化为 2 2x 5 0， 令 f(x)=2 2x 5 , 作出函数 f(x)的图象， 如下： x y 0 1 3 2 1 1 2 1 3 3 4 3 6 5 4 4 2 2 . . . . . 它与 以 方程 52x 35有两个不 相等的实数根 。 1(4) 5 2x 3 5 课堂练习 (1)y= 0； (2)y=2 拓展： 求下列函数的零点。 评注：求函数的零点就是求相应的方程的根，一般可以借助求根公式或因式分解等办法，求出方程的根，从而得出函数的零点。 0 1 2 3 4 5 2 1 2 3 4 5 2 4 x y 探究 观察二次函数 2( ) 2 3f x x x 的图象，如右图，我们发现函数 2( ) 2 3f x x x 在区间 2 , 1上有零点。计算( 2 )f 和( 1 )积 ，你能发现这个乘积有什么特点？在区间 2 , 4上是否也具有这种特点呢？ 结论 如果函数 ()y f x 在区间 ,的图象是连续不断的一条曲 线， 并且有 ( ) ( ) 0f a f b ，那么，函数 ()y f x 在区间 ,有零点， 即存在 ,c a b ，使得 ( ) 0 ，这个 c 也就是方程 ( ) 0 的根。 a b ba 求函数 ( ) 2 6f x I n x x 的零点个数。 课堂练习 2： 1 函数 2()f x I n 的零点所在的大致区间是（ ） A 1 , 2 B 2 , 3 C 11,e 和 3 , 4 D ,e 2 若方程 22 1 0a x x 在 0 , 1 内恰有一解，则 a 的取值范围（ ） A 1a B 1a C 11 a D 01 a 分析：令 2( ) 2 1f x a x x 在 0 , 1 内恰有一解，则 ( 0 ) ( 1 ) 0 。 即 1 2 2 0a 1a 课堂小结： 课后作业： 1、求下列函数的零点： (1)y=x+7； (2)y= 2、若函数 f(x)=和 3，求 、函数零点的定义； 2、函数的零点与方程的根的关系； 3、确定函数的零点的方法。 二分法求方程的近似解 一 问题探究 问题 1:有 8坛黄酒， 7坛是正宗绍兴加饭酒 , 1坛是 仿冒的绍兴加饭酒 (添加甜味剂 设计一个方法，用最少的检验次数找出那坛仿冒 的绍兴加饭酒吗？ 问题 2:从百草园到三味书屋的电缆有 5个接点 在某处发生故障，需及时修理 缩小在两个接点之间，一般至少需要检查多少 _次 2 1 2 3 4 5 的零点函数 课题 : 二分法求方程的近似解 5,. 探究 : 方法 1 根方程 62确度的近似解求方程 对于区间 a,b上连续不断且 f(a) f(b)0的函数 y=f(x)， 通过不断地把函数 f(x)的零点所在的区间 一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进 而得到零点近似值的方法叫做 二分法 ( 思考：下列函数中能用二分法求零点的是 _. (1) (4) 一般步骤： a,b，验证 f(a)f(b)0,给定精确度 ； f(c)； a,b)的中点 c； （ 1）若 f(c)=0，则 （ 2）若 f(a) f(c)0，则令 b= c（此时零点 (a, c) ); （ 3）若 f(c) f(b)0，则令 a= c（此时零点 ( c, b) ). :即若 |，则得到零点近似值 a(或 b)；否则重复步骤 24 一般步骤： 编写程序 用二分法求方程的近似解一般步骤： 周而复始怎么办 ? 精确度上来判断 . 定区间，找中点， 中值计算两边看 . 同号去，异号算， 零点落在异号间 . 口 诀 原因 :由于绍兴黄酒具有越陈越香的特点，再加上近年来绍兴黄酒市场销售火爆，许多人看好黄酒的升值潜力，收藏黄酒已成为一个新的投资热点 . 三 问题升华 背景 :今年元旦 ， 会稽山绍兴酒有限公司在 绍兴 日报 醒目位置刊登公告 ， 以每坛 5000元高价向 社会回购 1986年冬酿造大坛加饭酒 . 据统计 :近三年收藏黄酒的年平均回报率 程 ， 求年平均回报率 x (精确度 三 问题升华 据统计 :近三年收藏黄酒的年平均回报率 程 ，求年平均回报率 x (精确度 周而复始怎么办 ? 精确度上来判断 . 定区间，找中点， 中值计算两边看 . 同号去，异号算， 零点落在异号间 . 口 诀 智力游戏 12只球中有一只假球，假球比真球略轻 何用最少的次数称出这只假球？ a,b，验证 f(a)f(b)0,给定精确度 ； f(c)； a,b)的中点 c； （ 1）若 f(c)=0，则 （ 2）若 f(a) f(c)0，则令 b= c（此时零点 (a, c) ); （ 3）若 f(c) f(b)0，则令 a= c（此时零点 ( c, b) ). :即若 |,则得到零点近似值 a(或 b);否则重复步骤 24 用二分法求函数零点近似值 . 四 课堂小结 步骤： 五 作业 作业 1： 题 2、 3 、 4 1. 作业 2：研究性学习 . 背景： 近年来，由于绍兴酒市场需求量增大，绍兴几家 大的酿酒企业建造了容量为 50吨至 100吨的不锈钢大罐 贮酒 绍兴黄酒有一道工序是高温 (96 )杀菌添加焦糖色 (蔗糖 )配方 受热后颜色会变深，尤其是受热时间越长颜色会越深 . 大罐贮酒由于罐体大，温度迟迟降不下来，造成 (光密度 )增高，色率偏暗，达不到国家标准 能直接上市，给企业增加了生产成本 . （来源：会稽山绍兴酒有限公司 祁传林 王如良） 课题：新配方的研制 要求： 形成课题报告 . 用 二分法求方程的近似解 抛砖引玉 2能求出它的解吗？ 此方程是否有解？ 33313 33323 3333,2 7 2 2 3222232 2 3222232 2 3 2 得p q q 抛砖引玉 2能求出它的解吗？ 此方程是否有解？ 能求其近似解吗？ 怎么求？ 二分法 ： 抽丝剥茧 ,244. 判 断 是 否 达 到 精 度 ， 即 若 得 到零 点 近 似 值 （ 或 ） ； 否 则 重 复 。群策群力： 区间端点函数值符号 零点所在区间 中点值 中点函数值符号 牛刀小试： 牛刀小试： 乘胜追击： 问题 1 用二分法只能求函数 零点的 “ 近似值 ” 吗？ 问题 2 是否所有的零点都可以 用二分法求其近似解？ 确定初始区间 求中点，算其函数值 缩小区间 算长度，比精度 下结论 返 回 作业 ： 教材 9 习题 （）组第、题 （）组第题 课外活动 ： 一篇数学小论文。 1的阅读材料。 用心 爱心 专心 课题： 二分法求方程的近似解 教学目标 ： 知识与技能 通过具体实例理解二分法的概念及其适用条件，了解二分法是求方程近似解的常用方法，从中体会函数与方程之间的联系及其在实际问题中的应用 过程与方法 能借助计算器用二分法求方程的近似解，并了解这一数学思想，为学习算法 做准备 情感、态度、价值观 体会数学逼近过程，感受精确与近似的相对统一 教学重点 ： 重点 通过用二分法求方程的近似解，体会函数的零点与方程根之间的联系，初步形成用函数观点处理问题的意识 难点 恰当地使用信息技术工具，利用二分法求给定精确度的方程的近似解 教学程序与环节设计： 创设情境 组织探究 探索发现 尝试练习 作业回馈 课外活动 由二分查找及高次多项式方程的求问题引入 二分法的意义、算法思想及方法步骤 体会函数零点的意义，明确二分法的适用范围 二分法的算法思想及方法步骤 ，初步应用二分法解决简单问题 二分法应用于实际 1 二分法为什么可以逼近零点的再分析； 2 追寻阿贝尔和伽罗瓦 用心 爱心 专心 教学过程与操作设计 ： 环节 教学内容设计 师生双边互动 创 设 情 境 材料一： 二分查找 ( （第六届全国青少年信息学（计算机）奥林匹克分区联赛提高组初赛试题第 15 题）某数列有 1000个各不相同的单元，由低至高按序排列；现要对该数 列进行二分法检索 (在最坏的情况下，需检索（ ）个单元。 1000 10 100 500 二分法检索 （ 二分查找或折半查找 ） 演示 材料二：高次多项式方程公式解的探索史料 由于实际问题的需要，我们经常需要寻求函数)( 的零点（即 0)( 根），对于 )(一次或二次函数，我们有熟知的公式解法（二次时，称为求根公式） 在十六世纪，已找到了三次和四次函数的求根公式，但对于高于 4 次的函数，类似的努力却一直没有成功，到了十九世纪，根据阿贝尔（ 伽罗瓦（ 研究，人们认识到高于 4 次的代数方程不存在求根公式，亦即，不存在用四则运算及根号表示的一般的公式解同时，即使对于 3 次和 4 次的代 数方程，其公式解的表示也相当复杂，一般来讲并不适宜作具体计算因此对于高次多项式函数及其它的一些函数，有必要寻求其零点的近似解的方法，这是一个在计算数学中十分重要的课题 师：从学生感兴趣的计算机编程问题，引导学生分析二分法的算法思想与方法，引入课题 生：体会二分查找的思想与 方法 师：从高次代数方程的解的探索历程，引导学生认识引入二分法的意义 组 织 探 究 二分法及步骤： 对于在区间 a ， b 上连续不断，且满足)( )( 的函数 )( ，通过不断地把函数 )(零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法 给定精度 ，用二分法求函数 )(零点近似值的步骤如下： 1确定区间 a ， b ，验证 )( )( ，给定精度 ； 师：阐述二分法的逼近原理，引导学生理解二分法的算法思想，明确二分法求函数近似零点的具体步骤 分析条件 “ )( )( ”、“精度 ”、“区间中点”及“ | 的意义 用心 爱心 专心 2求区间 a( ， )b 的中点 1x ； 3计算 )( 1 环节 呈现教学材料 师生互动设计 组 织 探 究 1 若 )( 10 ，则 1x 就是函数的零点； 2 若 )( )( 1 1 1， )25.1(f 0 )375.1(f 0 此列表的优势：计算步数明确，区间长度小于精度时，即为计算的最后一步 师：引导学生利用 二分法逐步寻求函数零点的近似值，注意规范方法、步骤与书写格式 生：根据二分法的思想与步骤独立完成解答，并进行交流、讨论、评析 师：引导学生应用函数单调性确定方程解的个数 生：认真思考，运用所学知识寻求确定方程解的个数的方法，并进行、讨论、交流、归纳、用心 爱心 专心 例 2借助计算器或计算机用二分法求方程 732 近似解（精确到 解：（略） 思考：本例除借助计算器或计算机确定方程解所在的大致区间和解的个数外，你是否还可以想到有什么方法确定方程的根的个数？ 结论：图象在闭区间 a ， b 上连续的单调函数)(在 a( ， )b 上至多有一个零点 概括、评析形成结论 环节 呈现教学材料 师生互动设计 探 究 与 发 现 1） 函数零点的性质 从“数”的角度看：即是使 0)( 实数； 从“形”的角度看：即是函数 )(图象与 若函数 )(图象在0与 x 轴相切，则零点0变号零点； 若函数 )(图象在0与 x 轴相交，则零点0 2） 用二分法求函数的变号零点 二分法的条件 )( )( 表明用二分法求函数的近似零点都是指变号零点 师：引导学生从“数”和“形”两个角度去体会函数零点的意义，掌握常见函数零点的求法，明确二分法的适用范围 尝 试 练 习 1） 教材 、 2 题； 2） 教材 1（ A 组）第 1、 2 题； 3） 求方程 3 4） 求方程 5） 探究函数 与函数 图象有无交点，如有交点，求出交点，或给出一个与交点距离不超过 点 用心 爱心 专心 作 业 回 馈 1） 教材 1（ A 组）第 36 题、（ 4 题； 2） 提高作业： 1 已知函数 124)1(2)( 2 （ 1） m 为何值时，函数的图象与 x 轴有两个交点？ （ 2）如果函数的一个零点在原点，求 m 的值 2 借助于计算机或计算器，用二分法求函数 2)( 3 零点（精确到 ； 3 用二分法求 33 的近似值（精确到 环节 呈现教学材料 师生互动设计 课 外 活 动 查找有关系资料或利用 找有关 高次代数方程的解的研究史料，追寻阿贝尔（ 伽罗瓦（ 增强探索精神，培养创新意识 收 获 与 体 会 说说方程的根与函数的零点的关系，并给出判定方程在某个区间存在根的基本步骤，及方程根的个数的判定方法； 谈谈通过学习求函数的零点和求方程的近似解，对数学有了哪些新的认识？ 函数的零点 一、问题情境 : (1)y= (2)y= 与 =0 (3)y= 与 =0 引申 :二次函数 y=bx+c (a0) 的图象和相应一元二次方程 bx+c=0(a0) 的根有何关系 ? 结论 : 二次函数图象与 就是相应方程的实数根。 问题 1： 下列二次函数的图象和相应二次方程的根有何关系？ 1、求下列方程的根 0322 122 322 有实数根；方程 0322 ；， 31 21 ；121 出下列函数的图象 322 22 22 1 3 x y 1 x y 1 x y 1 3 通过观察，你能得到上面三个一元二次方程的根与其相应的二次函数的图象有什么关系吗？ 三个一元二次方程的根就是与其相对应的二次函数与 0 0 02124,2b b a 12 2 无实数根 零点 2 42b b a 2无零点 零点 ：一般地， 使函数 y= () 值为 0 的 实数 x 称为 函数 ()y f x 的零点 二次函数零点个数的判定 : 二、讲授新知 1、函数零点的概念： 对于函数 ，我们把使 的实数 函数 的零点。 )( 0)( 0)( 函数 的零点就是方程 的实数根，也就 是函数 的图象与 )( 2、函数零点的意义： 所以： 0)( 有实数根 )( 函数 的图象与 函数 有零点 )( 例 1：求下列函数的零点： 2( 1 ) 2 0y x x 22( 2 ) ( 2 ) ( 3 2 )y x x x ( 3 ) 1)( （ 2） 可以将它与函数 的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点 （ 1） 的实数根； 0)( （ 代数法 ） （ 几何法 ） 4、函数 零点的求法： )( 例 2 已知函数 y= 1） 判断该函数零点的个数 ， 并说明理由 ; 若 f(a)f(b)”） , ) ( )f a f b（ 2）在区间 上 （有 /无）零点； 0（“ ”） , ) ( )f b f c（ 3）在区间 上 （有 /无）零点； 0（“ ”） , ) ( )f b f ca b0 y x c 有 无 2、函数 的零点所在的大致区间是（ ） 2( ) l nf x A、 (1,2) B、 (2,3) C、 (3,4) D、 (e,+) 3、若方程 在（ 0， 1）内恰有一 解，则 的取值范围是 。 22 1 0a x x f(x)=0 的实数根 函数 y=f(x) 的图象与 函数 y=f(x)的零点 数 形 四、小结： 四、小结： 2、 如果函数 ()y f x 在区间 ,的图象是连续不断的一条曲 线， 并且有 ( ) ( ) 0f a f b ，那么，函数 ()y f x 在区间 ,有零点， 即存在 ,c a b ，使得 ( ) 0 ，这个 c 也就是方程 ( ) 0 的根。 1、 ( ) ( ) 0y f x f x x对 于 函 数 ， 我 们 把 使 的 实 数 叫 做()y f x函 数 的 零点。 先来观察几个具体的一元二次方程的根及其相应的二次函数的图象 ： 一元二次方程 方程的根 二次函数 图象与 y=0 y= =0 y= 3121 0,3,0,1121 0,1无实根 无交点 =bx+c=0的根 y=bx+c(a0)的图象与 0 =0 0 一般一元二次方程与相应二次函数的关系 x1, ），（ 0） x1= 0） 无实根 无交点 对于函数 y=f(x),我们把使 f(x)=0的实数 y=f(x)的零点。 函数零点的定义： 注意： 零点指的是一个实数； 零点是一个点吗 ? 方程 f(x)=0有实数根 函数 y=f(x)的图象与 函数 y=f(x)有零点 0 1 2 3 4 5 2 1 2 3 4 5 2 4 x y 探究 观察二次函数 2( ) 2 3f x x x 的图象，如右图，我们发现函数 2( ) 2 3f x x x 在区间 2 , 1上有零点。计算( 2 )f 和( 1 )积 ，你能发现这个乘积有什么特点？在区间 2 , 4上是否也具有这种特点呢？ 结论 如果函数 ()y f x 在区间 ,的图象是连续不断的一条曲 线， 并且有 ( ) ( ) 0f a f b ，那么，函数 ()y f x 在区间 ,有零点， 即存在 ,c a b ，使得 ( ) 0 ，这个 c 也就是方程 ( ) 0 的根。 例 a b ba ：求函数 f(x)=零点的个数 x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 f(x) 习： ， 则函数的零点个数是（ ） 2 ( 0 )y a x b x c a 0 44)(1 23 42l o g)(3 3 23)(2 21 例 2： 1 函数 2()f x I n 的零点所在的大致区间是（ ） A 1 , 2 B 2 , 3 C 11,e 和 3 , 4 D ,e 在（ 0， 1）内恰有一解，求实数 22 1 0a x x 3. 方程在 （ 1）上有实根，求 0232 2, 作业本 28 f(x)=ax+,求函数 g(x)=2. 已知关于 的一个根在()内，另一根在 (1,3)内，求实数 053 2 论关于已知 86.32x y o 2 3 于 给 定 的 区 间 (a,b),a+b（ 1 ） 定 义 为 区 间 的 中 点 ，2（ 2 ） 定 义 区 间 的 长 度 。a b :艾普西隆 我们把使 0)( 于函数 )( 叫做函数 )( 的 零点 一：函数零点的概念： 思考： 1、零点是不是点？ 零点是一个实数，就是方程 f(x)=0的实根 怎样求函数 y f(x)的零点的个数？ 方程 f(x) 0 有实数根 函数 y f(x) 的图象与 函数 y f(x) 有零点 数形结合 代数法 图像法 （ 2）将 y f(x)变形，判断两图象交点个数 （ 1）求相应方程 f(x)=0的根 （ 3）利用函数的图象、性质、零点存在性条件去求 定理 如果函数 ()y f x 在区间 ,的图象是连续不断的一条曲 线， 并且有 ( ) ( ) 0f a f b ，那么，函数 ()y f x 在区间 ,有零点， 即存在 ,c a b ，使得 ( ) 0 ，这个 c 也就是方程 ( ) 0 的根。 二、零点存在性定理 思考 1：零点唯一吗？ 思考 3： 函数 y=f(x)在区间 a,b上的图象是连续不断的一条 曲线：且 f(a)f(b)0，是否在 (a,b)内函数就没有零点？ 思考 2；若只给条件 f(a) f(b)0 2.5 f( f(0 （ f( f(0 （ f( f( 3 l g ( 2 , 3 )( 0 练 习 ： 用 二 分 法 求 方 程 在内 的 近 似 解 精 确 确定初始区间 求中点，算其函数值 缩小区间 算长度，比精度 下结论 返 回 用二分法求方程的近似解一般步骤： 周而复始怎么办 ? 精确度上来判断 . 定区间，找中点， 中值计算两边看 . 同号去，异号算， 零点落在异号间 . 口 诀 二分法求方程的近似解 (1) 一 1 函数零点的定义 ： 方程 ( ) 0 有 实根 ()y f x 图象与 轴有 交点 函数 ()y f x 有 零点 。 2 函数变号零点与不变号零点（二重零点）性质 ： （ 1）定理 ：如果函数 ()y f x 在区间 , 的图象 是连续不间断的一条曲线，并且有 ( ) ( ) 0f a f b那么函数 ()y f x 在区间 ( , )存在 ( , )c a b 使得 ( ) 0 ,这个 ( ) 0的实数根。 （ 2）连续函数 变号了一定有零点（能证明 f(x)单调 则有且只有一个零点）；不变号不一定无零点（如 二重零点）：在相邻两个零点之间所有的函数值 保持同号。 3（ 1）一次函数 y=ax+ 一定为变号零点 （ 2）二次函数 的零点： 24 题型一： 求零点 ：即为求解方程的根。 题型二： 求零点个数及所在区间： , ( )x f x , ) ( ) 0f a f b()y f x( , )y f x , , 利用计算器或计算机作 的对应值表 上连续，并且有 ，那么函数 在区间 内至少有一个实数 在 上的单调性，则在 有且只有一个零点、再在其它区间内同理去寻找。 、若在区间 根、若能证明 解二： 试探着找到两个 少 有一个）；再证单调增函数即可得有且只有一个。 解三： 构造两个易画函数，画图，看图象交点 个数，很实用。 题型三： 已知零点范围确定相关字母的范围： 控制二次函数图象的四个手段： a 的正负； 对称轴范围；判别式大于小于等于 0；某些函 数值（乘积）正负。 5 用二分法求函数 ()点近似值的步骤： 1确定区间 , 证 ( ) ( ) 0f a f b给定精确度 ； 2求区间 ( , ) 23计算 )( （ 1）若 )(0，则 算终止； 0)()( 0 （ 2）若 ，则令 b=c（此时零点 ）； 0)()( 0 （ 3）若 则令 a=c（此时零点 。 (用列表更清楚 ) )判断是否达到精确度 ：即若 ，则得到零点近似值 ；否则重复 24。 说明： 用二分法求函数的零点近似值的方法仅对 函数的变号零点适合，对函数的不变号零点不适 用；用二分法求函数的零点近似值必须用上节的 三种方法之一先求出零点所在的区间。 例 1借助计算器或计算机用二分法求方程 2 3 7x x的近似解（精确到 32 22y x x x 例 2求函数 的零点，并画出它的图象。 32()f x a x b x c x d ( , 0 )b ( 0 , 1 )b (1 , 2 )b ( 2 , )b 例 3已知函数 的图象如图所示，则 A B C D 1 2 2( ) ( 3 ) 1f x m x m x 0 , 1 ( 0 ,1 )( , 1 )( , 1 例 4已知函数 的图象与 轴的交点至少有一个在原点右侧，则实数 的取值范围是（ ） B C D A 二分法求方程的近似解 (2) 问题 1 算一算： 查找线路电线、水管、气管等管道线路故障 定义 ：每次取中点，将区间一分为二，再经比较， 按需要留下其中一个小区间的方法叫二分法， 也叫对分法，常用于： 在一个风雨交加的夜里，从某水库闸房 到防洪指挥部的电话线路发生了故障，这上一 条 10何迅速查出故障所在？ 要把故障可能发生的范围缩小到 50 100一两根电线杆附近， 要检查多少次？ 方法分析： 实验设计、资料查询； 是方程求根的常用方法！ 7次 温故知新 若函数 f(x)在闭区间 a,b上的图像是 连续曲线 ， 并且 在闭区间 a,b端点的函数值符号相反，即 f(a)f(b)0,f(5)0,f(5)0,即 f(2)f(5)0,所以在区间 2,5内有方程的解， 于是再取 2,5的中点 如果取到某个区间的中点 恰好使 f(0, 则 所求的一个解；如果区间 中点的函数总不为 0，那么， 不断重复上述操作， 动手实践 例 1。借助计算器或计算机用二分法求方程 的近似解（精确到 2 3 7x x动手练：书本 习 2 算法图 利用二分法求方程实数解的过程 选定初始区间 取区间的中点 中点函数值为 0 M N 结束 是 否 是 函数值符号相反的区间 2.“M”的意思是 取新区间，其中 一个端点是原区 间端点，另一个 端点是原区间的中点 3.“N
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