华东理工大学2013级(下)高等数学期中考试试卷(11学分)解答

华东理工大学 20132014学年第二学期 高等数学（下）11 学分课程期中考试试卷 2014.4 开课学院：理学院， 专业：大面积, 考试形式：闭卷，所需时间 120 分钟 考生姓名： 学号： 班级 任课教师 题序 一 二 三 四 五 六 总分 得分 阅卷人 注 意：试 卷 共 两 页 六 大 题 一填空题（本大题共 11小题，每小题 4分，共 44分）： 1、微分方程 的通解为 。2yxe 答： Cexxy2412 2、微分方程 的通解为 。09)(y 答： xxCy3sinco4321 3、函数 对变量 的偏导数 。zu)( xu 答： 12zx 4、设 ，其中 关于所有变量有一阶连续偏导数，)arctn(,(xyzeyfzf 则 。yu 答： 3221fzyxfxzey 5、设函数 由方程 所确定，其中 关于所有变量有一阶连续偏(,),(ff 2 导数，则 = 。zy 答： 212fx 6、设 ，则 。)(cba)()(cba 答： 1 7、函数 在点 处最大的方向导数等于 。)ln(2zyxu)1,0( 答： 2 8、微分方程 的通解 。0yxy 答： 21Cy 9、设平面 过直线 则原点到平面 距离 的范围是 。04,5:zxyLd 答： 2,0 10、设 由方程 所确定，则 。),(yxz2xyzedz 答： dedzz2 11、求一个最低阶的常系数线性齐次微分方程，使得 和 都是它的特xxcosin 解，则该常系数线性齐次微分方程为 。 答： 0)4(y 二选择题（本大题共 5小题，每小题 4分，共 20分）： 1、若连续函数 满足 ，则 （ ）)(xf 2ln)()(20dtffx )(xf （A） ； （B） ；2lnexe （C） ； （D） 。x l2 答：(B) 3 2、设有直线 与 ，则 与 的夹角为（ 18251:zyxL326:zyxL1L2 ） （A） ； （B） ； （C） ； （D） 。643 答：（C） 3、设线性无关的函数 都是方程 的特解，则下列函321,y )()( xfyqxpy 数中哪一个一定是方程 的特解 （ ）)( fqxp (A) ； (B) ；321y321y (C) ； (D) 。)( 答：（A） 4、下列哪个函数的在原点处的二重极限为 ？ ( )0 (A) ； (B) ； ,0),(22yxyxf 0 ,0),(224yxyxf (C) ； (D) 。 0 ,),(yxyxf 22, (,) 00fxyxy 答： (D) 5、函数 在 点处 （ ）442),(yxf),( （A） 和 都存在； （B） 和 都不存在；0,(f )0,(xf),(yf （C） 存在，但 不存在； （D） 不存在，但 存在。),(xf)0,y 0,yf 答：（B） 三、 （本题 10 分）求微分方程 的通解。xey23 解：（1）先求 的通解023y 事实上，其特征方程为 ，,1 故齐次方程的通解为 。xxeCy21 4 （2）再求原方程的一个特解 可令 ，则xebay)( 代入原方程可得 xa2 得到 ，所以一个特解为1, xey)2( （3）最后求原方程的通解 由方程的解结构定理知原方程的通解为 。xxxeeCy)2(21 四、 （本题 10 分）设曲线 位于 平面的第一象限内， 上任意一点 处的切LxoLM 线与 轴相交，交点记为 。已知 ，且 过点 ，求 的方程。yA|OAM)3,( 解：设 的坐标为 ，则切线 的方程为 ，M),(yxXyY 令 ，得到 点坐标为 。0X),0xy 由于 ，则 ，|OA22(|y 即 或者22xyxyx 这是一个伯努利方程，换元 ，得到2zxzd 因此，有 ，由于曲线 位于 平面的第一象限内，Cxy2Loy 故 ，又 过点 ，得到 ，x)23,(3C 所以所求曲线为 （或者 ） 。0xy 22xy 五、 （本题 8 分）设有两条直线 与 ，求过136:1zL31:2zyL 点 且与 、 都相交的直线方程。)3,10(P12 解：我们求直线的一般式方程，该直线由 与 决定的平面与 与 决定的平面P1P2 相交得到。 设过 的平面束为 ，将 代入得到1L 0)3()623( zyxzyx)3,1( ，因此由 与 决定的平面方程为 。P1L524 5 设过 的平面束为 ，将 代入得到2L 0)32()13( zyxzyx)3,1(P ，因此由 与 决定的平面方程为 。1P1L24 因此，所求直线方程为 。0245zyx 注：所求直线的点向式方程为： 。136 六、 （本题 8 分） 设函数 ， （1）求 ；（2）讨论 在 处的3 2|),(xyf)0,(,yxff ),(yxf0, 可微性。 解：（1） ，fxx ,)0,(lim),0(lim0x 类似地， 。y （2）根据可微的定义， 在 处的可微，当且仅当以下二重极限极限成),(yf, 立： 。0)(,0,lim22)0,(,( yxffzyx 而 22)0,(,( )(,li yxffzyx 223)0,(,( )(0|