最新常微分方程第二版答案第6章6-2知识点复习考点归纳总结参考.doc

电大考试电大小抄电大复习资料习题621 求出常系数齐次性微分方程组的通解，其中的矩阵a分别为1） 2） 3）4） 5）解：1） 特征方程 即 矩阵a有特征根， 对应于所有的特征向量满足即。取，则 那么对应的实值解为；对应的特征向量满足即，取，则，那么对应的实值解为 。于是该方程组的通解为2）特征方程为 即矩阵a有特征根 对应的特征向量应满足取，则 即么对应的特解为 由此得所对应的两个特解为（对2x2的方程组取一个特解的实部和虚部就可，因为虚根都是成对出现的。） 它们在上线性无关，故得方程组的通解：3） 即矩阵a有特征根 ，。对应于 ，特征向量应满足 又（只能进行行变换）因此与相应的特征向量可取为，对于二重特征根，可以算出因此，方程 有二个线性无关的解为 ，注意到，就可得到 从而可行基解矩阵 因此所求通解为 ，即 4）特征方程 即 矩阵a有特征根：，对应的特征向量应满足解之得 取 则故相应的解为 相应于 的特征向量应满足取 ，那么对应的复解为分别取实部，部可得方程组的两个实解,易知它们在上是线性无关的，于是方程组的通解为 5）特征方程为矩阵a的特征根为， 对应于，相应的特征向量应满足可以算出解之得， 则那么相应的解为 对应于三重特征根，可以算出因此，方程有三个线性无关解为， ， 注意到，可得由以上结果，可得方程组的一个基解矩阵因此所求方程组的通解为 或2求出常系数非齐次线性方程组，的通解，其中：3），； 4）， ；5）， 。3）解先求对应齐次方程组的通解特征方程 ，特征根为对于二重特征根，可以算出因此方程 有二个线性无关的解 由此可得齐次线性方程组的一个基解矩阵故非齐次方程组的通解为 容易求出故 于是非齐次方程组的通解为4）先求对应齐次方程组的通解特征方程为特征根为 ， ，对应于的特征向量为 对应于的特征向量为应满足 解之得 ，令，则其相应的复值解为：分别取实部和虚部，可得齐次方程组的两个线性无关的实解, 从而可得齐次方程组的一个基解矩阵 容易求得 这个矩阵的逆的算法：这里是只能通过行变换将矩阵先变成下三角，再变成对角阵即可。自己认真算，我都能算对，大家一定可以的，复习高等代数了。我仔细算了一下，要是将齐次方程的通解写出来，再用常数变易法求出特解方程组的阶数高的时候比求矩阵的逆还复杂，所以还是建议大家用求矩阵的逆的方法来算吧。故 则 所以非齐次线性方程组的通解为(5)先求对应齐次方程组的通解特征方程特征方程根为 。对于三重特重根 ，可以算出因此方程 有三个线性无关的解 ， 由此可得齐次线性方程的一个基解矩阵 从而容易求得 又 故 故非齐次线性方程组的通解为 由于特征向量取的不同，结果肯能也不一样。但是课本答案出现肯定是不正确的。3求出微分方程组 满足初值条件 的解，其中：（1）， ， ；（2）， ， ；（3）， ， 解 （1）齐次方程组的特征方程为 特征根 ： 对于二重特征根 ，可以算出 同此方程 有二个线性无关解， 由此可得齐次方程组的一个基解矩阵从而可求得 故 所以 故非齐次线性方程组的通解为由初始条件 解之得 ， 故初值问题的解为 （2）齐次方程组的特征方程为 特征根为 ， 对应 的特征向量应满足 取，则 故 从而可得齐次方程组的一个基解矩阵容易求得 而 又 故非齐次线性方程的通解为由初始条 有 解之得 故初值问题的解为 或 (3) 齐次方程组的特征方程为特征根 对应 的特征向量应满足 取 ,则 那么相应的解为 对应 的特征向量应满足, 取 ,则那么相应的解为 从而得齐次线性方程组的基解矩阵为 容易求得 由于 又 故非齐线性方程组通解为 由初值条件 ，得 解之得 因此值问题解为 或 4.证明:常系数齐次方程组 的任何解当 时都趋于零,当仅当它的系数矩阵a的所有特征根都具有负的实部.证 必要性:设特征根为 ,与之对应的方程组的解可表为 。1）当 即 为实数时，的每一分量或者为一常向量，或者为的多项式的向量函数。此时总有当 时, 或者是常向量。那么只有当 时, ,故必为负实数.2）当 时, 为复数, 则此时 其中 的向量多项式,当时, ,那么,若使当时,有成立,只有,于是,必为负实数。充分性：若系数矩阵a的所有特征根都具有负的实部，设特征根为，与之对应的解为 （1）当时，为负数，由解的结构知，是