历届高考中的“复数”试题

第三章 数系的扩充与复数的引入教材分析 广州市黄埔区教育局教研室 肖凌戆 数系的扩充与复数的引入是选修 12 与选修 22 的内容，是高中生的共同数学基础之一数系的 扩充过程体现了数学的发现和创造过程，同时了数学产生、发展的客观需求，复数的引入襀了中学 阶 段数系的又一次扩充 课标将复数作为数系扩充的结果引入，体现了实际需求与数学内部的矛盾在数系扩充过程中的 作用，以及数系扩充过程中数系结构与运算性质的变化这部分内容的学习，有助于学生体会理论产生 与发展的过程，认识到发展既有来自外部的动力，也有来自数学内部的动力，从而形成正确的数学观； 有助于发展学生的全新意识和创新能力 复数的内容是高中数学课程中的传统内容对于复数， 课标要求在问题情境中了解数系的扩充过 程，体会实际需求与数学内部的矛盾（数的运算规则、方程理论）在数系扩充过程中的作用，感受人类 理性思维的作用以数与现实世界的联系；理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件；了解复数的代 数表示法及其几何意义；能进行复数代数形式的四则运算，了解复数代数形式的加、减运算的几何意 义 本章内容分为 2 节，教学时间约 4 课时 第一节 数系的扩充和复数的概念 本节的主要教学内容是数系的扩充和复数的概念、复数的几何意义（几何表示和向量表示） 教学目标 （1）在问题情境中了解数系的扩充过程，体会实际需求与数学内部的矛盾（数的运算规则、方程理 论）在数系扩充过程中的作用，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系 （2）理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件 （3）了解复数的代数表示法及其几何意义 教学重点 （1）数系的扩充过程 （2）复数的概念、复数的分类和复数相等的充要条件 （3）复数的几何意义 教学难点 （1）虚数单位 的引进i （2）复数的几何意义 教学时数 本节教学，建议用 2 课时第 1 课时处理数系的扩充和复数的概念；第 2 课时研究复数的几何意 义 课标对本节内容的处理特点 数系的扩充和复数的概念， 课标与大纲教学内容相同，但在处理方式和目标定位上存在差异： （1） 课标将复数作为数系扩充的结果引入 大纲教科书先安排复数的概念，再研究复数的运 算，最后介绍数系的扩充 课标实验教科书在介绍数系扩充的思想方法的基础上引入复数的概念，力 2 求还原复数的发现与建构过程 （2） 课标强调在问题情境中了解数系的扩充过程，体会实际需求与数学内部的矛盾在数系扩充 过程中的作用，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系从这上点上看， 课标要求提高 了 （3）在复数的代数表示法及其几何意义上， 课标的教学定位是“了解” ，而大纲要求“掌握” 从这上点上看， 课标要求降低了 教学建议 1关于“数系的扩充的复数的概念”的教学建议 （1）课题的引入教学时，可从方程在给定范围内是否有解提出问题： 在自然数集 N 中，方程 10x有解吗？ 在整数集 Z 中，方程 有解吗？2 在有理数集 Q 中，方程 2 有解吗？ 在实数集 R 中，方程有解吗？ （2）回顾从自然数集 N 扩充到实数集 R 的过程帮助学生认识数系扩充的主要原因和共同特征可 让学生思考如下问题： 从自然数集 N 扩充到实数集 R 经历了几次扩充？ 每一次扩充的主要原因是什么？ 每一次扩充的共同特征是什么？ 然后师生共同归纳总结： 扩充原因： 满足实际问题解决的需要； 满足数学自身完善和发展的需要 扩充特征： 引入新的数； 原数集中的运算规则在新数集中得到保留和扩展 （3）提出新的问题：如何对实数集进行扩充，使方程 在新的数集中的解？210x （4）引入虚数单位 i （5）学习复数的概念 （6）规定复数相等的意义 （7）研究复数的分类 （8）告诉学生“两个复数只能说相等或不相等，不能比较大小”的理由： ；在 两式中，只要有一个不成立，则,abicdiacbd,acbd abicdi 如果两个复数都是实数，则可以比较大小；否则，不能比较大小 “不能比较大小”的确切含义是指：不论怎样定义两个复数之间的一个关系“” ，都不能使这种 关系同时满足实数集中大小关系的四条性质： 对于任意实数 ， 来说， ， ， 这种情况有且只有一种成立；abab 如果 ，那么 ；,cc 如果 ，那么 ； 如果 ，那么 ,0abab 2关于“复数的几何意义”的教学建议 （1）帮助学生认识复数的几何表示复数的几何表示就是指用复平面内的点 Z（ ,ab）来表示复数 zabi 明确“复平面”的概念 3 一一对应 一一对应 建立复数集 C 和复平面内所有的点所成的集合之间的一一对应关系，即 复数 复平面内的点 Z（ ,ab） zabi （2）帮助学生认识复数的向量表示复数的向量表示就是指用复平面内的向量 来表示复数OZ zi 认识复平面内的点 Z（ ,ab）与向量 的一一对应关系OZ 在相互联系中把握复数的向量表示： 复数 zabi 一一对应 一一对应 点 Z（ ,） 向量 OZ （3）用数形结合的思想方法，强化对复数几何意义的认识 在复平面内，实数与实轴上的点一一对应，纯虚数与虚轴上的点（原点除外）一一对应，非纯虚数 的虚数与象限内的点一一对应可通过一组练习题来强化这一认识 第二节 复数代数形式的四则运算 本节的主要教学内容是复数代数形式的加减运算及其几何意义，复数代数形式的乘除运算 教学目标 （1）掌握复数代数形式的加减运算法则 （2）了解复数代数形式的加减运算的几何意义 （3）理解复数代数形式的乘除运算法则 （4）体验复数问题实数化的思想方法 教学重点 （1）复数代数形式的加减运算及其几何意义 （2）复数代数形式的乘除运算 （3）复数问题实数化的思想方法复数的理解与运用 教学难点 （1）复数代数形式的加减运算的规定 （2）复数代数形式的加减运算的几何意义的理解 （3）复数代数形式的乘除运算法则的运用 教学时数 本节教学，建议用 2 课时第 1 课时处理复数代数形式的加减运算及其几何意义；第 2 课时研究复 数代数形式的乘除运算 课标对本节内容的处理特点 复数代数形式的四则运算， 课标与大纲教学内容与要求基本相同，但在目标定位上存在差异： （1） 课标要求了解复数代数形式的加减运算的几何意义，对复数的向量表示提出了要求，强化 了数形结合思想方法； （2） 课标明确强调“淡化烦琐的计算和技巧性训练，突出了复数问题实数化的思想方法 教学建议 1复数代数形式的加法和乘法的运算法则是一种规定，要让学生理解其合理性这种合理性应从数 系扩充的角度来理解：这种规定与实数加法、乘法的法则是一致的，而且实数加法、乘法的有关运算律 4 在这里仍然成立 2复数的减法、除法分别规定为复数的加法和乘法的逆运算，要让学生按照这种规定自主得出复数 减法和除法的运算法则 3复数代数形式的四则运算可以类比代数运算中的“合并同类项” “分母有理化” ，利用 ，21i 将它们归结为实数的四则运算在具体运算情境中，引入共轭复的概念，明确公式 是复数除法中“分母实数化”的基础，不必让学生专门计忆复数除法法则从2()abiab 而让学生体验复数问题实数化的思想方法 4要引领学生从平面向量的加法、减法的平行四边形或三角形法则来认识并理解复数代数形式的加 减运算的几何意义 附录一： 数系的扩充与复数的引入章末复习学案 一、本章复习要求： （1）复数的概念： 理解复数的基本概念； 理解复数相等的充要条件； 了解复数的代数表示法及其几何意义. （2）复数的四则运算： 会进行复数代数形式的四则运算； 了解复数代数形式的加、减运算的几何意义. 二、基础知识填空： 1虚数单位“i”的两条规定：i 2=-1, i 与实数在一起，可以进行通常的四则运算。 2复数的概念：形如 的数叫做_,其中 i 叫做_，a 与 b 分别叫做复数)Rb,a(i a+bi 的_部和_部。复数通常用字母_来表示。_叫做复数的代数形 式。全体复数所成的集合叫做_集。用字母_来表示。 3复数 a+bi=c+di 的充要条件是：_. 特例 a+bi=0 _. 4对于复数 a+bi，当且仅当_时，它是实数；当且仅当_时，它是纯虚数。 5建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做_,x 轴叫做_轴，y 轴叫做_轴. 实轴上的点都表示_数；除原点外，虚轴上的点都表示_数。 6复数的模：向量 的模，叫做复数 z=a+bi 的模，即 _.OZbiaz 7共轭复数：当两个复数实部_,虚部_时，这两个复数叫做共轭复数。 z=a+bi 的共轭复数记作_.虚部不为零的两个共轭复数也叫做_. 8复数加、减法法则：(a+bi)+(c+di)=_. (a+bi)-(c+di)=_. 9复数乘法法则：(a+bi)(c+di)=_. 10复数除法法则：(a+bi) (c+di)=_. 三、典型例题分析： 例 1.（2006 陕西理）复数 等于( C ) (1+i)21 i A.1i B.1+i C.1+ i D.1i 5 例 2. (2007 安徽理)若 a 为实数， - i，则 a 等于（ B ）ia21 （A） （B）- （C）2 （D）-22 例 3.（2004 广东）已知复数 z 与(z +2) 28i 均是纯虚数，则 z = . -2i 例 4.（2003 北京理科）若 且 的最小值是（ B ）|2|,1| ii则 A2 B3 C 4 D5 例 5.(2005 上海文科)在复数范围内解方程 （ 为虚数单位） 。iz3)(|2 【思路点拨】本题考查共轭复数的模的概念和运算能力，可根据复数的代数形式进行处理. 【解】原方程化简为 ,iz1)(2 设 z=x+yi(x、yR),代入上述方程得 x 2+y2+2xi=1-i, x 2+y2=1 且 2x=-1,解得 x=- 且 y= ,3 原方程的解是 z=- i.21 四、课内基础训练： 1 （2007 福建理)复数 等于（ ）2)i1( A B C D 2ii21 2(2007 广东文、理)若复数 是纯虚数（ 是虚数单位， 是实数）则 （ ）)(bb A-2 B C. D21 3 （2006 江西理）已知复数 z 满足（ 3i ）z3i，则 z（ ） A B. C. D.32i 4i 2 34i 4 （2006 广东）若复数 满足方程 ，则 （ ）z0z3z A. B. C. D. 2i2i 5 （2006 上海理）若复数 同时满足 2 ， （ 为虚数单位） ，则 z 6(2007 海南、宁夏理) 是虚数单位， （用 的形式表示， ）i51034iabiabR， (课内基础训练答案：1.D； 2.D； 3.D； 4.D； 5. -1+i 6.1+2i) 五、课处巩固练习： 1 （2007 四川理）复数 的值是（ ）31i （A）0 (B) 1 (C) -1 (D) 1 2 （2007 山东理）若 （ 为虚数单位） ，则 的 值可能是（ ）cosinz21z 6 （A） （B） （C） （D） 6432 3 （2006 全国卷理）如果复数 是实数，则实数 （ ）2()1mim （A） （B ） （C） （D）12 4 （2005 全国卷理科）复数 = （ ）i21 3 （A） （B） （C） （D ）ii i2 5 （2000 广东，全国文科、理科，江西、天津理科） 在复平面内，把复数 对应的向量按顺时钟方向旋转 ，所得向量对应的复数是（ ）i33 （A）2 （B） （C） （D）3+32i3i 6(1992 全国理科、文科)已知复数 z 的模为 2,则z-i 的最大值为( ) (A)1 (B)2 (C) (D)3 7 （2005 北京理科）若 , ，且 为纯虚数，则实数 a 的值为 12zai34zi12z (巩固练习答案：1.A; 2.D; 3.B ; 4.A; 5.B; 6.D; 7. )38 附录二： “复数” 自测试题 一、选择题： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15题 号 答 案 1 （2007 湖南理）复数 等于（ ） 2i+ A B C D4ii 2.（2007 全国理）设复数 z 满足 ，则 z =（ ）1 (A) -2+i (B) -2-i (C) 2-i (D) 2+i 3 （2007 山东文）复数 的实部是（ ）431+i A B C3 D24 4.（2007 全国理）设 a 是实数，且 是实数，则 a（ ）21ia （A） （B）1 （C） （D）22 5.（2006 安徽理）复数 等于（ ）3i 7 A B C Dii3ii 6.（2006 北京理）在复平面内，复数 对应的点位于（ ）1i （A）第一象限 (B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限 7.（2006 四川理）复数 的虚部为（ ）3)i( （A）3. （B）3. （C）2 （D）2 8.（2006 浙江理）已知 （ ） niminmnii 是 虚 数 单 位 ， 则是 实 数 ， 其 中1 (A)1+2i (B) 1-2i (C)2+i (D) i 9 （2005 福建理科）复数 的共轭复数是（ ）iz A B C Di211i 10 （2005 广东）若 ，其中 a、bR，i 是虚数单位，则 =（ ）iia)( 2ba A0 B2 C D5 11(2005 天津理科)若复数 （aR ，i 为虚数单位位）是纯虚数，则实数 a 的值为（ ）i213 （A）-2 (B)4 (C) -6 (D)6 12 （2005 湖南理科）复数 zi i 2i 3i 4 的值是（ ） A、1 B、0 C、1 D、i 13 （2005 重庆理科） （ ）05)(i A B C Di 2205 14 （2004 北京理科）满足条件 的复数 z 在复平面上对应点的轨迹是（ ）|zii34 A. 一条直线 B. 两条直线 C. 圆 D. 椭圆 15(2004 浙江理科) 已知复数 ,且 是实数,则实数 t=（ ）iti21,21 (A) (B) (C) - (D) -4334 二、填空题： 16.（2007