高中数学 子集、全集、补集课件（打包2套）苏教版必修1
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高中数学 子集、全集、补集课件（打包2套）苏教版必修1,高中数学,子集,全集,课件,打包,苏教版,必修
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1 2 子集、全集、补集 【课标要求】 1 理解集合之间包含关系的意义 2 理解子集和真子集的概念 3 了解全集与空集的意义，理解补集的概念 【核心扫描】 1 能识别给定集合的子集、求给定集合的一个子集的补集 ( 重点 ) 2 会求给定集合的一个子集的补集 ( 难点 ) 自学导引 1 如果集合 A 中 元素都是集合 B 的元素 ( 若 a A 则 a B ) ， 那么 集合 A 称 为集合 B 的子集，记为 ，读作 “ 集合 A 包含于集合 B ” 或 如果 A B ，并且 ，则称集合 A 是集合 B 的真子集，记为 ，读作 “ A 真包含于 B ” 或 “ B 真包含 A ” 任意一个 AA “集合 ” AB A B 或 B A 2 设 A S ，由 所有元素组成的集合称为 的补集，记 为 S A ( 读作 “ A 在 S 中的补集 ” ) ， 即 S A 如果集合 S 包含我们所要研究的各个集合，这时 S 可以看做一个全集，全集通常记作 U . 集合 A 相对于全集 e 表示如右图所示 S 中不属于 A 的 x | x S ，且 x A 试一试：补集有哪些主要性质？ 提示 ( 1) 若 U 是全集， A 、 B U ，则 U U ， U U ， U ( U A ) A . ( 2) 若 U A B ，则 A U B ；若 A B ，则 U A U B 等 名师点睛 1 A B 等价于对任意 x A ，都有 x B ； A B 等价于 A B ，且至少存在一元素 y B 且 y A . 特别地，若 A B ，且 B A ，则 A B ，这是证明两个集合相等的依据 2 空集是任何集合的子集，是任何非 空集合的真子集，因此，在处理 A B ( B ) 的含参数的问题时，要注意讨论 A 和 A 两种情况 3 全集是相对于研究的问题而言的，如只在整数范围内研究，则 Z 为全集，而当问题扩展到实数时，则 R 为全集补集是相对于全集而言的，同一集合相对于不同的全集的补集也不同 思路探索 求集合的子集或真子集时，可按元素个数，并根据附加条件依次书写 题型一 子集与真子集 【例 1 】 已知集合 A 1,2,3,4 ，且 A 中至少含有一个奇数，则这样的集合 A 有 _ 个 解析 1,2,3,4的真子集， 若 有 A 1， 3， 1,4，1,2， 2,3， 3,4， 1,2,4， 2,3,4 若 有 A 1,2,3， 1,3，1,3,4 故这样的集合 1个 答案 11 规律方法 分类讨论是写出所有子集的有效方法，一般按集合中元素个数的多少来划分标准，遵循由少到多的原则，可以做到不重不漏 【训练 1 】 满足 1 M 1,2 ,3, 4 时集合 M 的个数是_ 个 解析 M 1, 2 ， 1, 3 ， 1, 4 ， 1, 2,3 ， 1, 2,4 ， 1, 3,4 ， 1, 2,3 ,4 故满足条件的集合 M 的个数为 7. 答案 7 题型二 有关全集、补集的问题 【例 2 】 设 U x |2 | x | 5 ， x Z ， A x | 2 x 15 0 ，B 3, 3, 4 ，求 U A ， U B . 思路探索 首先要确定全集 U 5 ， 4 ， 3,3,4,5 ，由补集定义可求 U A 、 U B . 解 2 | x | 5 ，且 x Z ， x 的值为 5 ， 4 ， 3,3,4,5. U 5 ， 4 ， 3,3,4 ,5 2 x 15 0 的解为 5 ， 3 ， A 3,5 B 3,3,4 ， 5 ， 4,3,4 ， 5 ， 4,5 规律方法 补集的运算与应用需要紧扣补集的定义，从全集 的元素后，由所有剩下的元素组成的集合即是 在 时借助于 别是对于集合中元素较少的集合更具有优势 【 训练 2】 设全集 I 2,3， 2a 3， A|2a 1|,2， 5，求实数 解 5 ， 5 I ，且 5 A ， 故有 2 a 3 5 ， 解得 a 2 ，或 a 4. 当 a 2 时， |2 a 1| |4 1| 3 5 ，且 3 I ； 当 a 4 时， |2 a 1| | 8 1| 9 5 ，且 9 I . 故实数 a 的值为 2. 题型三 子集、全集、补集的综合问题 【例 3 】 ( 14 分 ) 已知集合 A x | x a ， B x |1 x 2 ( 1) 若 A R B ，求实数 a 的取值范围 ( 2) 若 B A ，问 R A R B 是否成立？ 审题指导 综合考查子集、补集的概念，以及用数轴表示不等式解集，考查运算求解能力 【 题后反思 】 子集、全集、补集的综合问题求解时一般涉及到补集的运算，可先运算再转化为集合间的包含关系问题求解，而有关不等式的解构成集合间包含关系中的参数问题，通常借助于数轴，寻找参数与已知量之间的关系转化为不等式 (组 )或方程求解 【训练 3 】 全集 U R ，若集合 A x |3 x 10 ， B x |2 x 7 ，则 ( 1) 求 U A ， U B ； ( 2) 若集合 C x | x a ， A C ，求 a 的取值范围 解 ( 1) A x |3 x 10 ， B x |2 x 7 ， 借助于数轴知 U A x | x 3 或 x 10 ， U B x | x 2 或 x 7 ( 2) 要使 A C ，只需 a 3 即可 a 的取值范围为 a | a 3 方法技巧 “ 正难则反 ” 的补集思想的运用 “ 正难则反 ” 的策略是指当某一问题从正面解决较困难时，我们可以从其反面入手解决，这种 “ 正难则反 ” 的策略运用的正是补集思想，即已知全集 U ，求子集 A ，若直接求 A 困难，可先求 U A ，再由 U ( U A ) A 求 A ，这也是转化思想的一种体现 【示例】 设集合 A x | x 2 3 x 2 0 ，集合 B x | x 2 4 x a 0 ， a 为常数 ，若 B A ，求实数 a 的取值范围 解 由已知得 A 1,2 假设 B A ，故集合 B 有两种情况，B 或 B . 当 B 时，方程 4 x a 0 无实根， 16 4 a 4. 当 B 时，若 0 ，则有 a 4 ， B 2 A 满足条件；若 0 ，则 1,2 是方程 4 x a 0 的根，但由根与系数的关系知矛盾，故 0 不成立 当 B 时， a 4. 综上所述，满足 B A ， a 的取值范围是 a 4. 满足 B A 的 a 的取值范围是 a 4. 【学习要求】 1 . 理解集合之间包含与相等的含义； 2. 理解子集与真子集的概念与意义，知道空集是任何集合的子集； 3. 了解全集的含义，理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会 求给定子集的补集； 4. 学会利用 V e n n 图解决问题 【学法指导】 通过观察身边的实例，发现集合间的基本关系，体验其现实意义；树立数形结合的思想，体会类比对发现新结论的作用；通过概念教学，提高逻辑思维能力和分析、解决问题的能力；渗透相对的观点 . 填一填 知识要点、记下疑难点 1 如果集合 A 的任意一个元素都是集合 B 的元素 ( 若 a A ，则 a B ) ，则称集合 A 是集合 B 的 _ 记为 _ _ _ ，读作 “ 集合 A 包含于集合 B ” 或 “ 集合 B 包含集合 A ” 2 若 A B 且 A B ，则有 _ 3 如果 A B 且 A B ，这时集合 A 称为集合 B 的 _ 记作_ _ _ 读作 “ A 真包含于 B ” 或 “ B 真包含 A ” 子集 AA A B 真子集 A B ( 或 B A ) 填一填 知识要点、记下疑难点 4 规定 _ 是任何集合的子集，空集是任何非空集合的_ 5 设 A S ，由 S 中 _ 的所有元素组成的集合称为 S 的子集 A 的 _ 记作 读作 “ _ _ _ _ ” ) ，即 _ _ _. 如果集合 S 包含我们所要研究的 各个集合，这时 S 可以看成一个 _ ，全集通常记作 _ 6 补集与全集的性质： ( 1) _ ； ( 2 ) U _ ；( 3) U( _. 空集 真子集 不属于 A 补集 中的补集 x |x S ，且 x A / 全集 U U A 研一研 问题探究、课堂更高效 问题情境 已知任意两个实数 a ， b ，则它们的大小关系可能是 a b ，那么对任意的两个集合 A ， B ，它们之间有什么 关系？今天我们就来研究这个问题 研一研 问题探究、课堂更高效 探究点一 两个集合的关系 问题 1 观察下面几个例子，你能发现两个集合间有什么关系了吗？ ( 1) A 1,1 ， B 1,0,1,2 ； ( 2) A N ， B R ； ( 3) A x |x 为江苏人 ， B x |x 为中国人 ； ( 4) A x |x 是两条边相等的三角形 ， B x |x 是等腰三角形 答 ( 1) 、 ( 2) 、 ( 3) 中，集合 A 的任何一个元素都是集合 B 中的元素； ( 4) 中两个集合的元素相同 研一研 问题探究、课堂更高效 问题 2 如何运用数学语言准确表达这种联系？ 答 如果集合 A 的任意一个元素都是集合 B 的元 素 ( 若 a A ，则 a B ) ，则称集合 A 是集合 B 的子集记为 A B 或 B A ，读作 “ 集合 A 包含于集合 B ” 或 “ 集合 B 包含集合 A ” 研一研 问题探究、课堂更高效 问题 3 问题 1 中 的集合 A ， B 的 “ 包含 ” 关系能不能用 V e n 答 用 V e 表示两个集合间的 “ 包含 ” 关系 A B ( 或 B A ) 如下图： 研一研 问题探究、课堂更高效 问题 4 以下式子成立吗？ ( 1) A A ； ( 2) A ； ( 3) . 答 根据集合子集的定义，上面三个式子都成立 小结 任何一个集合是它本身的子集，空集是任何集合的子集 研一研 问题探究、课堂更高效 问题 5 A B 与 B A 能否同时成立？你能举出一个例子吗？ 答 能同时成立，如： A 1 ,2 ,3 ， B 3 ,2 ,1 小结 集合与集合之间的 “ 相等 ” 关系：若 A B 且 B A ，则A B . 研一研 问题探究、课堂更高效 问题 6 对于实数 a ， b ， a b 含有 a 0 ， x R ； ( 3) S x |x 为地球人 ， A x |x 为中国人 ， B x |x 为外国人 解 ( 1) ( 2) ( 3) 中都有 A S ， B S . 可以用图表示为： 小结 两个集合 A 、 B 的关系中，有一个集合是另一个集合的子集或真子集及相等的关系由 A B 可推出 A B ，但由 A B 推不出 A B . 研一研 问题探究、课堂更高效 跟踪训练 2 观察下面几组集合，集合 A 与集合 B 具有什么关系？ ( 1) A 1,2,3 ， B 1,2,3,4, 5 ； ( 2) A x |x 3 ， B x |3 x 6 0 ； ( 3) A 正方形 ， B 四边形 ； ( 4) A 育才中学高一 ( 1 1) 班的女生 ， B 育才中学高一 ( 1 1) 班的学生 解 通过观察就会发现，这四组集合中，集合 A 都是集合 而有 A B . 研一研 问题探究、课堂更高效 探究点二 补集与全集 问题 1 在上述的例 2 中，每组的三个集合中还有哪些关系？ 答 集合 A 和集合 B 的元素合起来就是集合 S 的全部元素 问题 2 对于例 2 中的 ( 1) 若 A 1 ，那么 S 中除去元素 1 得到的集合是什么？ 答 得到的是 2 ， 1,2 研一研 问题探究、课堂更高效 问题 3 我们 把问题 2 中得 到的集合称为集合 A 在 S 中的补集，那么如何定义集合 S 的子集 A 的补集？ 答 设 A S ，由 S 中不属于 A 的所有元素组成的集合称为 的补集记作 读作 “ A 在 S 中的补集 ” ) ，即 x |x S ，且 x A 如果集合 S 包含我们所要研究的各个集合，这时 S 可以看成一个全集，全集通常记作 U . / 研一研 问题探究、课堂更高效 问题 4 如何用 V e n n 图来表示集合 U A? 答 用 V e n n 图表示集合 下图中的阴影部分 研一研 问题探究、课堂更高效 例 3 不等式组 2 x 1 03 x 6 0的解集为 A ， U R ，试求 A 及 U A ，并把它们分别表示在数轴上 解 A x |2 x 10 ，且 3 x 6 0 x |122 在数轴上分别表示如下， 小结 不等式问题通常借助数轴来研究，但要注意实心点与空心点 研一研 问题探究、课堂更高效 跟踪训练 3 已知 U x |x 是实数 ， Q x |x 是有理数 ，求 U Q. 解 因为实数包括有理数和无理数，由于 U x |x 是实数 ， Q x |x 是有理数 ，所以 U Q x |x 是无理数 . 练一练 当堂检测、目标达成落实处 1 已知集合 A 1, 0, 1 ，则在 A 的子集中，含有元素 0 的子集共有 _ 个 解析 由题意得，含有元素 0 的集合 A 的子集有： 0 , 0 , 1 , 0, 1 ， 0 , 1, 1 共 4 个 4 练一练 当堂检测、目标达成落实处 2 若 A x |x 3 ， x R ， U R ，则 U A _ _ _ _ _
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