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用心 爱心 专心 1 B 版必修 1 知识点 一、集合 1集合：某些指定的对象集在一起成为集合。 （ 1）集合中的对象称元素，若 的元素，记作 ；若 的元素，记作 ； （ 2）集合中的元素必须满足：确定性、互异性与无序性； 确定性：设 或者是 者不是 种情况必有一种且只有一种成立； 互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中不应重 复出现同一元素； 无序性：集合中不同的元素之间没有地位差异，集合不同于元素的排列顺序无关； （ 3）表示一个集合可用列举法、描述法或图示法； 列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内； 描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号 内。 具体方法：在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。 注意： 列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示法，要注意，一般集合中元素较多或有无限个元素时，不宜采用列举法 。 （ 4）常用数集及其记法： 非负整数集（或自然数集），记作 N； 正整数集，记作 N*或 N+； 整数集，记作 Z； 有理数集，记作 Q； 实数集，记作 R。 2集合的包含关系： （ 1）集合 的元素，则称 的子集（或 ），记作A B（或 ）； 集合相等：构成两个集合的元素完全一样。若 A B 且 B A，则称 B，记作 A=B；若 A B，则称 的真子集，记作 A B；（ 2）简单性质： 1） A A； 2） A；3）若 A B， B C，则 A C； 4）若集合 A是 集合 中 2n 1个真子集）； 3全集与补集： （ 1）包含了我们所要研究的各个集合的全部元素的集合称为全集，记作 U； （ 2）若 A S，则，| 且 称 的补集； 用心 爱心 专心 2 （ 3）简单性质： 1）C)=A； 2） ， 。 4交集与并集： （ 1）一般地，由属于集合 的元素所组成的集合，叫做集合 的交集。交集 | 且。 （ 2）一般地，由所有属于集合 的元素所组成的集合，称为集合 的并集。 | 或并集 。 注意：求集合的并、交、补是集合间的基本运算，运算结果仍然还是集合，区分交集与并集的关键是“且”与“或”，在处理有关交集与并集的问题时，常常从这两个字眼出发去揭 示、挖掘题设条件，结合 强数形结合的思想方法。 5集合的简单性质： （ 1） ;, （ 2） ;, （ 3） );()( （ 4） ;； （ 5）A B） =（S C（ A B） =（ 二、函数 1 函数的概念： 设 A、 B 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系 f，使对于集合 A 中的任意一个数 x，在集合 B 中都有唯一确定的数 f(x)和它对应，那么就称 f： A B 为从集合 A 到集合 作： y=f(x)， x A。其中， 叫做函数的定义域；与 数值的集合 f(x)| x A 叫做函数的 值域。 注意：（ 1）“ y=f(x)”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“ y=g(x)”； （ 2）函数符号“ y=f(x)”中的 f(x)表示与 个数，而不是 f乘 x。 2构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域 （ 1）解决一切函数问题必须认真确定该函数的定义域，函数的定义域包含三种形式： 自然型：指函数的解析式有意义的自变量 ：分式函数的分母不为零，偶次根式函数的被开方数为非负数，对数函数的真数为正数，等等）； 限制型：指命题的条件或人为对自变量 x 的限制，这是函数学习中重点， 往往也是难点，因为有时这种限制比较隐蔽，容易犯错误； 用心 爱心 专心 3 实际型：解决函数的综合问题与应用问题时，应认真考察自变量 （ 2）求函数的值域是比较困难的数学问题，中学数学要求能用初等方法求一些简单函数的值域问题。 配方法（将函数转化为二次函数）；判别式法（将函数转化为二次方程）；不等式法（运用不等式的各种性质）；函数法（运用基本函数性质，或抓住函数的单调性、函数图象等）。 3两个函数的相等： 函数的定义含有三个要素，即定义域 A、值域 f。 当函数的定义域及从定义域到值域的对应法则确定 之后，函数的值域也就随之确定 。 因此，定义域和对应法则为函数的两个基本条件，当且仅当两个函数的定义域和对应法则都分别相同时，这两个函数才是同一个函数。 4区间 （ 1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间； （ 2）无穷区间； （ 3）区间的数轴表示。 5映射的概念 一般地，设 A、 B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则 f，使对于集合A 中的任意一个元素 x，在集合 B 中都有唯一确定的元素 么就称对应 f：A 到集合 作“ f： A B”。 函数是建立在两个非空数集间的一种对应，若将其中的条件“非空数集”弱化为“任意两个非空集合”，按照某种法则可以建立起更为普通的元素之间的对应关系，这种的对应就叫映射。 注意：（ 1）这两个集合有先后顺序， A 到 B 的射与 B 到 A 的映射是截然不同的其中 以用汉字叙述。 （ 2）“都有唯一”什么意思？ 包含两层意思：一是必有一个；二是只有一个，也就是说有且只有一个的意思。 6 常用的函数表示法 （ 1）解析法：就是把两个变量的函数关系，用一个等式 来表示，这个等式叫做函数的解析表达式，简称解析式 ； （ 2）列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系 ； （ 3）图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系 。 7分段函数 若一个函数的定义域分成了若干个子区间，而每个子区间的解析式不同，这种函数又称分段函数； 8复合函数 若 y=f(u)， u=g(x),x(a， b)， u(m,n)，那么 y=fg(x)称为复合函数， u 称为中间变量，它的取值范围是 g(x)的值域 。 三、函数性质 1奇偶性 用心 爱心 专心 4 （ 1）定义：如果对于函数 f(x)定义域内的任意 x 都有 f( x)= f(x)，则称 f(x)为奇函数；如果对于函数 f(x)定义域内的任意 f( x)=f(x)，则称 f(x)为偶函数。 如果函数 f(x)不具有上述性质，则 f(x)不具有奇偶性 f(x)既是奇函数，又是偶函数。 注意： 1 函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质； 2 由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个 x，则 定 义域关于原点对称）。 （ 2）利用定义判断函数奇偶性的格式步骤： 1 首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称； 2 确定 f( x)与 f(x)的关系； 3 作出相应结论： 若 f( x) = f(x) 或 f( x) f(x) = 0，则 f(x)是偶函数； 若 f( x) = f(x) 或 f( x) f(x) = 0，则 f(x)是奇函数。 （ 3）简单性质： 图象的对称性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象 关于原点对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于 设 ()()D，那么在它们的公共定义域上： 奇 +奇 =奇，奇 奇 =偶，偶 +偶 =偶，偶 偶 =偶，奇 偶 =奇 2单调性 （ 1） 定义：一般地，设函数 y=f(x)的定义域为 I， 如果对于定义域 I 内的某个区间 D 内的任意两个自变量 ，那么就说 f(x)在区间 函数）； 注意： 1 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质； 2 必须是对于区间 f(x)在区间 p， q上的最大值 M，最小值 m，令 1(p+q)。 若 相离 dr 0。 4 两圆位置关系的判定方法 设两圆 圆心分别为 径分别为 21。 条公切线外离 421 条公切线外切 321 条公切线相交 22121 条公切线内切 121 无公切线内含 210 外离 外切 用心 爱心 专心 23 相交 内切 内含 判断两个圆的位置关系也可以通过联立方程组判断公共解的个数来解决。 用心 爱心 专心 1 集合学习中的五大误区 集合是高中数学的基本概念，同时也是最难以理解的概念之一，尤其在解题时容易出现以下五个误区 1、符号意义不清晰 例 1 在 ； ；若 |,1,0 ，则 中，正确的叙述有几个？ 误解： 1 个（或 2 个） 正解： 是含有一个元素“ ”的非空集合，按规定 是任何非空集合的真子集，从而均正确，对于， 1,0,1,0,B ，故 正确综上，正确的叙述有 3 个 2、忽略“互异”致增解 例 2 ,1,4,1 2，求 a 误解： 由 1024 22 ，或得：或 正解： 1a 时， 中分别出现相同元素，应舍去，故 02或a 3、忽略空集漏特例 例 3 ,01|,1,3 ,求 a 误解： ,从而 311或a 正解： 当 B 时，311或a； 当 B 时， 0a 故311或a 例 4 求，若， 02|023| 22 误解： ， 21 从而 2121 ，B 或 其中 21，B 时，符合题意，得：3m 正解： 当 B 时， 3m ； 当 B 时， 2222,082 4、代表元素误理解 例 5 已知 求,1|,1| 22 误解： 由2211： 用心 爱心 专心 2 ），），（，（ 0101 正解： 集合 A 表示 12 值域 ）， 1 ，集合 B 表示 21 的定义域11 ， ，从而 11 ， 5、集合转化不等价 例 6 已知集合 012| 2 一元集，求 a 的值 误解： 集合 A 为一元集，即方程 0122 两等根，由 044 a 得 1a 正解： 当 0a 时，由 044 a 得 1a ； 当 0a 时， 21A 也符合题意 例 7 已知集合 11|2一元集，求 a 的值 误解： 由 A 得： 0 得： 正解： 当 012 x 时， 当 1x 时，由 012 1a ，此时 0111| 2 同理 1x 时， 1a 也符合题意 综上， a 145 或 用心 爱心 专心 1 集合论的诞生 集合论是德国著名数学家康托尔于 19 世纪末创立的 积分 其推进速度之快使人来不及检查和巩固它的理论基础 多迫切问题得到解决后，出现了一场重建数学基础的运动 托尔开始探讨了前人从未碰过的实数点集，这是集合论研究的开端 874 年康托尔开始一般地提出“集合”的概念 若干确定的有区别的（不论是具体的或抽象的）事物合并起来，看作一个整体，就称为一个 集合，其中各事物称为该集合的元素 873 年 12 月 7 日给戴德金的信中最早提出集合论思想的那一天定为集合论诞生日 . 康托尔的不朽功绩 前苏联数学家柯尔莫戈洛夫评价康托尔的工作时说：“康托尔的不朽功绩在于他向无穷的冒险迈进” 数学与无穷有着不解之缘，但在研究无穷的道路上却布满了陷阱 数学发展的历程中，数学家们始终以一种怀疑的眼光看待无穷，并尽可能回避这一概念 握无限的康托尔却勇敢地踏上了这条充满陷阱的不归路 而进入了一片未开垦的处女地，开辟出一个奇妙无比的新世界 限”这一数学上的潘多拉盒子 “我们把全体自然数组成的集合简称作自然数集，用字母 N 来表示 .”学过集合那一章后，同学们应该对这句话不会感到陌生 在此以前数学家们只是把无限看作永远在延伸着的，一种变化着成长着的东西 来解释 远完成不了，是潜在的，而不是实在 十八世纪数学王子高斯就持这种观点 是“我反对将无穷量作为一个实体，这在数学中是从来不允许的 是一种说话的方式”而当康托尔把全体自然数看作一个集合时，他是把无限的整体作为了一个构造完成了的东西，这样他就肯定了作为完成整体的无穷，这种观念在数学上称为实无限思想 托尔的实无限思想在当时遭到一些数学家的批评与攻击是无足为怪的 以完全前所未有的方式，继续正面探讨无穷 立了令人振奋的、意义十分深远的理论 最能显示出他独创性的是他对无穷集元素个数问题的研究 他把元素间能建立一一对应的集合称为个数相同，用他自己的概念是等势 例如同学们很容易发现自然数集与正偶数集之间存在着一一对应关系也就是说无穷集可以与它的真子 集等势，即具有相同的个数 体大于部分”相矛盾 在此意用心 爱心 专心 2 义上，自然数集与正偶数集具有了相同的个数，他将其称为可数集 而有理数集也是可数集 注 集合也是可数集时，一个很自然的想法是无穷集是清一色的，都是可数集 在 1873 年证明了实数集的势大于自然数集 且显然庞大的代数数与超越数相比而言也只成了沧海一粟，如同有人描述的那样：“点缀在平面上的代数数犹如 夜空中的繁星；而沉沉的夜空则由超越数构成 .”而当他得出这一结论时，人们所能找到的超越数尚仅有一两个而已 而，事情并未终结 中所释放出的也不再限于可数集这一个无穷数的怪物 着不同的数量级，可分为不同的层次 他取得了成功，并且根据无穷性有无穷种的学说，对各种不同的无穷大建立了一个完整的序列，他称为“超限数” 列夫” 来表示超限数的精灵，最终他建立了关于无限的所谓阿列夫谱系 它可以无限延长下去 绘出一幅无限王国的完整图景 毫不夸张地讲，康托尔的关于无穷的这些理论，引起了反对派的不绝于耳的喧嚣 有人嘲 笑集合论是一种“疾病”，有人嘲讽超限数是“雾中之雾”，称“康托尔走进了超限数的地狱” 于他开创了一片全新的领域，提出又回答了前人不曾想到的问题，他的理论受到激烈地批驳是正常的 许我们可以把对他的反对看作是对他真正具有独创性成果的一种褒扬吧 . 用心 爱心 专心 1 公理化集合论的建立 集合论提出伊始，曾遭到许多数学家的激烈反对，康托尔本人一度成为这一激烈论争的牺牲品 得了精神分裂症，几次陷于精神崩溃 终获得了世界公认 数学家们为一切数学成果都可建立在集合论基础上的前景而陶醉了 助集合论的概念，便可以建造起整个数学的大厦 900年第二次国际数学大会上，著名数学家庞加莱就曾兴高采烈地宣布“数学已被算术化了 们可以 说绝对的严格已经达到了 .”然而这种自得的情绪并没能持续多久 合论是有漏洞的消息迅速传遍了数学界 902 年罗素得出的罗素悖论 不包含自身作为元素）的集合 是否属于 R？如果 ，则 的定义，因此 R 不应属于自身，即 ；另一方面，如果 ，则 的定义，因此 论何种情况都存在着矛盾 绝对严密的数学陷入了自相矛 盾之中 危机产生后，众多数学家投入到解决危机的工作中去 梅罗提出公理化集合论，后经改进形成无矛盾的集合论公理系统，简称 理系统 而避免了悖论的出现 理化集合论 1908 年以前由康托尔创立的集合论被称为朴素集合论 它保留了朴素集合论的有价值的成果并消除了其可能存在的悖论，因而较圆满地解决了第三次数学危机 志着著名数学家希耳伯特所表述的一种激情的胜利，他大声疾呼：没有人能把我们从康托尔为我们创造的乐园中赶出去 间已经过去了一百多年，在这一段时间里，数学又发生了极其巨大的变化，包括对上述经典集合论作出 进一步发展的模糊集合论的出现等等 因而当现在回头去看康托尔的贡献时，我们仍然可以引用当时著名数学家对他的集合论的评价作为我们的总结 . 它是对无限最深刻的洞察，它是数学天才的最优秀作品，是人类纯智力活动的最高成就之一 . 超限算术是数学思想的最惊人的产物，在纯粹理性的范畴中人类活动的最美的表现之一 . 这个成就可能是这个时代所能夸耀的最伟大的工作 . 康托尔的无穷集合论是过去两千五百年中对数学的最令人不安的独创性贡献之一 . 注：整系数一元 n 次方程的根，叫代数 数 大量无理数也是代数数 的根 相比之下，超越数很难得到 844 年给出的 用心 爱心 专心 1 康托尔简介 发疯了的数学家康托尔（ 1845 1918）是德国数学家，集合论的创始者 1845 年 3 月 3 日生于圣彼得堡，1918 年 1 月 6 日病逝于哈雷 康托尔 11 岁时移居德国，在德国读中学 1862 年 17 岁时入瑞士苏黎世大学，翌年入柏林大学，主修数学， 1866 年曾去格丁根学习一学期 1867年以数论方面的论文获博士学位 1869年在哈雷大学通过讲师资格考试，后在该大学任讲师， 1872 年任副教授， 1879 年任教授 由于研究无穷时往往推出一些合乎逻辑的但又荒谬的结果 (称为 “ 悖 论 ”) ，许多大数学家唯恐陷进去而采取退避三舍的态度在 1874 1876 年期间，不到 30 岁的年轻德国数学家康托尔向神秘的无穷宣战他靠着辛勤的汗水，成功地证明了一条直线上的点能够和一个平面上的点一一对应，也能和空间中的点一一对应这样看起来， 1 厘米长的线段内的点与太平洋面上的点，以及整个地球内部的点都 “ 一样多 ” ，后来几年，康托尔对这类 “ 无穷集合 ” 问题发表了一系列文章，通过严格证明得出了许多惊人的结论 康托尔的创造性工作与传统的数学观念发生了尖锐冲突，遭到一些人的反对、攻击甚至谩骂有人说，康托尔的集合论是一种 “ 疾病 ” ，康托尔的概念是 “ 雾中之雾 ” ，甚至说康托尔是 “ 疯子 ” 来自数学权威们的巨大精神压力终于摧垮了康托尔，使他心力交瘁，患了精神分裂症，被送进精神病医院 真金不怕火炼，康托尔的思想终于大放光彩 1897 年举行的第一次国际数学家会议上，他的成就得到承认，伟大的哲学家、数学家罗素称赞康托尔的工作 “ 可能是这个时代所能夸耀的最巨大的工作 ” 可是这时康托尔仍然神志恍惚，不能从人们的崇敬中得到安慰和喜悦1918 年 1 月 6 日，康托尔在一家精神病院去世 集合论是现代数学的基础，康托尔在研究函数论时产生了探索无穷集和超穷数 的兴趣康托尔肯定了无穷数的存在，并对无穷问题进行了哲学的讨论，最终建立了较完善的集合理论，为现代数学的发展打下了坚实的基础 康托尔创立了集合论作为实数理论，以至整个微积分理论体系的基础从而解决 17 世纪牛顿（ 1642 1727）与莱布尼茨（ 1646 1716）创立微积分理论体系之后，在近一二百年时间里，微积分理论所缺乏的逻辑基础和从 19 世纪开始，柯西（ 1789 1857）、魏尔斯特拉斯（ 1815 1897）等人进行的微 积分理论严格化所建立的极限理论克隆尼克（ 1823 1891），康托尔的老师，对康托尔表现了无微不至的关怀他用各种用得上的尖刻语言，粗暴地、连续不断地攻击康托尔达十年之久他甚至在柏林大学的学生面前公开攻击康托尔横加阻挠康托尔在柏林得到一个薪金较高、声望更大的教授职位使得康托尔想在柏林得到职位而改善其地位的任何努力都遭到挫折法国数学家彭加勒（ 1854 1912）：我个人，而且还不 只我一人，认为重要之点在于，切勿引进一些不能用有限个文字去完全定义好的东西集合论是一个有趣的 “ 病理学的情形 ” ，后一代将把（ 合论当作一种疾病，而人们已经从中恢复过来了 德国数学家魏尔（ 1885 1955）认为，康托尔关于基数的等级观点是雾上之雾菲利克斯克莱因（ 1849 1925）不赞成集合论的思想数学家 H A施瓦兹，康托尔的好友，由于反对集合论而同康托尔断交从 1884 年春天起，康托尔患了严重的忧郁症，极度沮丧，神态不安，精神病时时发作，不 得不经常住到精神病院的疗养所去变用心 爱心 专心 2 得很自卑，甚至怀疑自己的工作是否可靠他请求哈勒大学当局把他的数学教授职位改为哲学教授职位健康状况逐渐恶化， 1918 年，他在哈勒大学附属精神病院去世 流星埃伽罗华（ 1811 1832），法国数学家伽罗华 17 岁时，就着手研究数学中最困难的问题之一一般 次方程求解问题许多数学家为之耗去许多精力，但都失败了直到 1770 年，法国数学家拉格朗日对上述问题的研 究才算迈出重要的一步伽罗华在前人研究成果的基础上，利用群论的方法从系统结构的整体上彻底解决了根式解的难题他从拉 格朗日那里学习和继承了问题转化的思想，即把预解式的构成同置换群联系 起来，并在阿贝尔研究的基础上，进一步发展了他的思想，把全部问题转化成或者归结为置换群及其子群结构的分析上同时创立了具有划时代意义的数学分支 群论，数学发展史上作出了重大贡献 1829 年，他把关于群论研究所初步结果的第一批论文提交给法国科学院科学院委托当时法国最杰出的数学家柯西作为这些论文的鉴定人在 1830年 1 月 18 日柯西曾计划对伽罗华的研究成果在科学院举行一次全面的意见听取会然而，第二周当柯西向科学院宣读他自己的一篇论文时，并未介绍伽罗华的著 作 1830 年 2 月，伽罗华将他的研究成果比较详细地写成论文交上去了以参加科学院的数学大奖评选，论文寄给当时科学院终身秘书 J B傅立叶，但傅立叶在当年 5 月就去世了，在他的遗物中未能发现伽罗华的手稿 1831 年 1 月伽罗华在寻求确定方程的可解性这个问题上，又得到一个结论，他写成论文提交给法国科学院这篇论文是伽罗华关于群论的重要著作当时的数学家 S K泊松为了理解这篇论文绞尽了脑汁尽管借助于拉格朗日已证明的一个结果可以表明伽罗华所要证明的论断是正确的，但最后他还是建议科学院否定它 1832 年 5 月 30 日，临死的前一夜，他 把他的重大科研成果匆忙写成后，委托他的朋友薛伐里叶保存下来，从而使他的劳动结晶流传后世，造福人类 1832 年 5 月 31 日离开了人间死因参加无意义的决斗受重伤 1846 年，他死后 14 年，法国数学家刘维尔着手整理伽罗华的重大创作后，首次发表于刘维尔主编的数学杂志上 用心 爱心 专心 - 1 - 集合的概念 一 集合的概念： (1)集合 ：某些指定的对象集在一起就成为一个集合。其中每个对象就叫做集合的元素。 (2)集合中元素的特性 ：确定性、互异性、无序性。 (3)集合的表示方法 ：列举法、描述法、图示法、区间法。 (4） 元素与集合的关系 ：属于或不属于的关系，即对于一个元素 a 和一个集合 A 来说，则要么 ，要么 。 (5） 集合与集合的关系 ：包含于或不包含于的关系，即对于两个集合 A、 则要么 ，要么 。 注：特殊情况 ； ； 。 既可当作 的元素，也可当作 子集。 (6) 集合相等 ： A=B 且 (在证明 A、 。 （ 7） 集合的分类 ：按元素个数的多少， 可分为有限集、无限集、空集。 （ 8） 常用的数集 ：自然数集 N，正整数集 N* （或 N ），整数集 Z，有理数集 Q，实数集 R。 （ 9） 空集的定义 ：不含有任何元素的集合叫做空集。 （ 10） 重要的结论 ： 是任何集合的子集； 是任何非空集合的真子集。 注： 在解有关集合子集的问题时，要特别注意不要忽略：“ 是任何集合的子集”这点！ 二、集合的运算： （ 1）子集 ：对于两个集合 A、 B，若 的元素，则就说集合 含于集合 B，或集合 ，记作： （或 ），即集合 的子集。 （ 2）真子集 ：对于两个集合 A、 B，若 且 ，就说集合 的真子集。 注： 空集是任何的子集，即 A ；任何集合都是它本身的子集，即 ；若集合 A有 其子集有 2n ；其真子集有 12 n 个；非空真子集有 22 n 。 （ 3） 补集： 设 S 是一个集合， A 是 S 的一个子集，由 S 中所有不属于 A 的元素组成的集合，叫做 的补集。记作： （ 4） 全集 ：如果 这样的集合就可以看作一个全集，通常 （ 5） 交集 ：由所有属于集合 的元素组成的集合，叫做 的交集。 （ 9） 集合运算基本性质 ： , , ； 用心 爱心 专心 - 2 - , ； A ， ； ， ； ， )( ， )( ； U )( （ 10） 集合中的德摩根定律 ： )()( ( ， )()( ( . (11)集合中的一个重要的结论 ： . 注意：（ 1）在解集合有关问题时，一般先要对已知的集合进行化简（含有参数的集合一般可以因式分解）。 （ 2）集合间子、交、并、补运算时，注意使用数形结合的思想方法（数轴、韦恩图等）。 （ 3）在解含有参数（字母）的集合问题时，注意使用分类讨论的思想方法。 （ 4）在解集合与其他知识综合的问题时，要善于将 集合语言转化为其他语言来处理 。 用心 爱心 专心 1 集合的概念 数学系统原本非常复杂 ， 19 世纪的一大成就 ， 就是把数学系统简约了 。 这个过程的重要基础 ， 就是 康托 （ 引进的集合的概念 。 有了集合 我们便可以把整个数学建立在整数上 。 在高中阶段 ， 我们所要学习的数学概念及对象不再局限于数 。 因此 ， 在陈述新的概念及对象时 ， 我们为了避免长的叙述和语意的混淆不清 ， 我们将逐步引用所谓的集合语言 。 首先，我们来看所有满足不等式 20的数。当然，这些数必需满足 x 12。反之，任何一个小于 12或等于 12的数，都满足原不等式。因此， 如果要用文字陈述这些数时，我们必须用小于 12或等于 12的数来表述 这样的概念。如果进一步地要求这些数必为 整数 时，那么，我们必须用小 于 12或等于 12的 整数 来表述。除了用这样的文字叙述外，在数学上我们会用下列的方式了来表达后面这一概念： (a) 0, ； (b) x 于 12或等于 12的 整数 ； (c) x x 12且 、 x Z x 12或 x x 12且 x Z。 在此，不难看出 所谓的 集合方式及符号的便利性。 在 (a)中的 0, 3, 这种表示法有点混淆不清 ，这是因为每个人对其中的 可能有着不同解读方式 。所以，我们应避免此方式，尽管大家都可能看出这些已列出的数字所要表达出的规律。 根据 康托 的说法 ， 当我们把一些清晰可分的 、 客观世界中 ， 或我们思想中的事物看成 一用心 爱心 专心 2 体 时 ， 这个整体便称为 集合 ( 以上述的例子为例，我们可以把这些数当成一个集合，并且把这些数在括号 中以 (a)形式表列出来，并称此方法为集合 的 表列法 。集合中的事物称为它的 元素 ， 如果 的元素 ， 我们便用符号 x S（读作 x 属于 S）表示 ； 若 x 不是 S 的元素 ， 则以 x S（读作 x 不属于 S）表示 ； 而不包含任何元素的集合称为 空集合 ， 并记作 。 在列举时 ， 元素并没 有一定的排序 ； 若有某元素重复列举时 ， 我们可把它看成只列一次 。例如 ， 由 a、 b和 我们可用 表列法 表示 a, b, c。 因此 ， a, b, c、 b, c, a、 a, b, c, c, a 都表示同一集合 。 倘若 ， 一个集合有很多元素（或甚至有无穷多个元素）时 ， 我们不方便或者甚至根本无法列举时 ， 则可采用如 (b)或 (c)的方式 ， 把集合中元素的共同的特性来表示（称为 构造法 ）。 如果集合 ， 我们就称 的 子集 ， 并记作 A B（ 读作 ）或 B A（读作 ） 。 如果进一步 ，我们又知道 ，也就是说 两集合有相同的元素 ，那么 我们就说 A、 合相同 ， 并记作 A=B。注意： 我们要仔细区分 1 1 (1) 我们称由所有属于 的元素所形成的集合称为 的 联集 ， 并记作 A B， 即 A B= x x A或 x B。 (2) 由 所有共同的元素所形成的集合称为 的 交集 ， 并记作 A B， 即 A B= x x A且 x B。 若 的交集不为空集合 ， 则称 A、 B 相交 ； 否则称为 A、 B 互斥 。 (3) 若将 的元素去掉所形成的集合称为 的 差集 ， 并记作 A B，即 A B= x x A， 但 x B。 (4) 假设所探讨的集合都为某个给定集合 U 的子集 ， 则称集合 U 为 宇集 ； 而称 U A 为 补集 或 余集 ， 并记作 A =U A。 用心 爱心 专心 1 集合 集合的概念 我们把所要研究的事物全体称为集合，构成集合的事物称为元素， 集合一般用大写字母 A、 B、 C表示，元素一般用小写字母 a、 b、 c表示 。 如果元素 是集合 A 中的元素，记 ，否则记 。 有限集 ：只有有限个元素的集合。 无限集 ：有无穷多个元素的集合。 空集 ：不含有任何元素的集合叫空集，记 。 集合的表示 方法 列举法 ：如 ， 描述法 ：如 ， 子集 如果集合 A 中的元素都是 B 的元素，称 A 是 B 的 子集 （或称 A 包含于 B），记 。 如： , ,则 。 并集： 用心 爱心 专心 2 集合 A 与集合 B 的元素放在一起构成的集合，称为 A 与 B 的 并集 。记 ，即 。 如： 则 : 交集： 记集合 A 与集合 B 的公共元素构成的集合，称为 A 与 B 的 交集 ，记。 如： ， 则 : 绝对值与绝对值不等式 几何意义 ：点 到原点的 距离。 几何意义 ：点 到点 的距离。 性质 ： 1） ， 2） ， 3） 用心 爱心 专心 3 4）设 ， 5） 6） 7） 例 1：解下列不等式 1） ， 2） ， 3） 4） ， 5） 解： 1） 2） 3） 或 或 4） 5） 或 区间与邻域 用心 爱心 专心 4 设 为实数 ， ， 称为以 、 为端点的 开区间 ， 称为以 、 为端点的 闭区间 ， ， 以上为有限区间 ， 以上为无穷区间 称为 点的 邻域 ， 为 对称中心 ， 为 半径 。 称为 点的去心 邻域 。 用心 爱心 专心 5 函数的定义 设有两个变量 与 ，当变量 在实数某范围任取一值时，变量 按确定的规则有确定的值与之对应， 那么称 是 的函数 ，记 。 叫 自变量 ， 叫 因变量 ， 的取值范围称为函数的 定义域 ，记 。对 称为函数 在点 的函数值，所有函数值的集合称为 值域 。记 。 说明 ： （ 1）定义中的记号 表示自变量与因变量的对应法则。 （ 2）函数的两要素：定义域与对应法则 。 与 表示同一函数； 与 表示同一函数； 与 表示不同的函数； 与 表示不同函数。 （ 3）单值函数与多值函数 对于函数 ，如果对自变量 的一个取值，函数 只有一个数值与之对应，则称函数 是 单值函数 ；如果对自变量 的一个取值，函数 有两个或更多个数用心 爱心 专心 6 值与之 对应，则称函数 是 多值函数 ；如： 是单值函数， 是多值函数。 （ 4）定义域 实际问题中建立的函数关系，其定义域要 根据实际问题来确定 ，而用数学式表达的函数，当不表示任何实际意义时，其定义域由 函数表达式来 确定 。 定义域求法 （ i） 分母不能为零； （ 偶次根号内部分不能小于零； （ 对数函数中，真数部分要大于零； （ 反三角函数 中要 。 例 2 求下列函数的定义域 1） 2) 3) 4） 解 ：（ 1） 定义域为 ： （ 2） 定义域为 ：（ 2， 3 用心 爱心 专心 7 （ 3） 定义域为 ： （ 4） 所以定义域为 ： 例 3 已知 的定义域为 ，求 的定义域 。 解 的定义域为（ 0， 1） 例 4 设 ,求 。 解 例 5 设 满足 ，求 。 用心 爱心 专心 8 解 设 ，则 ， ，即 。 例 6 已知 ，求 。 解 令 ，则 ， 函数的表示方法 公式法，表格法，图示法。 分段函数 ： 在不同区间上用不同的解析式表示的函数 如 ： 符号函数 ： 用心 爱心 专心 9 例 7 设 求（ 1） 的定义域 ； （ 2） ； （ 3） 时， 解 （ 1） 定义域为： （ 2） ， ， ， （ 3） 例 8 将函数 写成分段函数的形式。 解 用心 爱心 专心 10 例 9 设 ， 则 时， 的表达式为 。 函数的简单性质 . 单调性 设 在 内有定义 ,如果对于 且 ， 有 ,则称 在 内 单调增加 ； 如果有 ，则称 在 内 单调减少 。 单调增加、单调减少统称单调 。 如果 在整个定义域内单调，称 为 单调函数 。 如： 在 单调减，在 单调增，所以不是单调函数。 都是单调函数。 用心 爱心 专心 11 . 有界性 设 在区间 有定义，如果存在数 ，使对于一切 ，有 成立， 则称 在区间 有上界 ， 是 在区间 的一个上界 。如果存在数 ，使对于一切 ，有 ， 则称 在区间 有下界， 是 在区间 的一个下界 。 设 在区间 有定义，如果存在正数 ，使对于一切 ，有 成立，则称 在区间 有界，否则称在 为无界。 如果 在它的整个定义域内有界，称 为 有界函数 。 用心 爱心 专心 12 如： 在区间 1， 2有界，在（ 0， 1）无界，它不是有界函数。 是有界函数，因为对一切 有 。 用心 爱心 专心 13 是有界函数。 显然，函数 在区间 有界的充分必要条件是：它在区间 既有上界又有下界。 . 奇偶性 设 的定义域关于原点对称，如果对定义域中任何 ，有 ，称 为偶函数，如果有 ，称 为奇函数 。 偶函数的图形关于 轴对称，奇函数的图形关于原点对称 。 用心 爱心 专心 14 例 10 判断下列函数的奇偶性 （ 1） （ 2） （ 3） （ 4） （ 5） 解 （ 1） 所以是奇函数； （ 2）是偶函数； （ 3）是非奇非偶函数； （ 4） 所以是奇函数； （ 5）是偶函数 奇函数奇函数为 偶函数 ，奇函数偶函数为 奇函数 ，偶函数偶函数为 偶函数 。 用心 爱心 专心 15 例 11 设 在 内有定义， ，则 为奇函数， 为偶函数， 。 . 周期性 对函数 ，如果存在正数 ，使对于定义域中的 有 ，称 为 周期函数 ，使此式成立的最小正数 ，称为 最小正周期 。 如： 是周期为 的周期函数， 是周期为 的周期函数。 如果 是以 T 为最小正周期的函数，则 的最小正周期为 。 用心 爱心 专心 16 如： 的最小正周期是 。 、反函数 给定函数 ，如果变量 在值域内每取定一值时， 在定义域内有一值与之对应，则得到一个定义域为 的值域， 为自变量， 为因变量的函数 ，称其为 的 反函数 ，记 习惯上用 作自变量， 作因变量，所以 的反函数记作 图形特点 ： 的图形与其反函数 的图形关于直线 对称 。 例 12 求下列函数的反函数 （ 1） （ 2） （ 3） （ 4） 用心 爱心 专心 17 （ 5） 解 （ 1） ，所以反函数为 。 （ 2） ，所以反函数为 。 （ 3） ，所以反函数为 。 （ 4） ， ， ， 所以反函数为 。 （ 5） ， ， 所以反函数为 。 用心 爱心 专心 1 集合论的诞生 集合论是德国著名数学家康托尔于 19 世纪末创立的 积分 其推进速度之快使人来不及检查和巩固它的理论基础 多迫切问题得到解决后，出现了一场重建数学基础的运动 托尔开始探讨了前人从未碰过的实数点集，这是集合论研究的开端 874 年康托尔开始一般地提出“集合”的概念 若干确定的有区别的（不论是具体的或抽象的）事物合并起来，看作一个整体，就称为一个 集合，其中各事物称为该集合的元素 873 年 12月 7 日给戴德金的信中最早提出集合论思想的那一天定为集合论诞生日 . 康托尔的不朽功绩 前苏联数学家柯尔莫戈洛夫评价康托尔的工作时说：“康托尔的不朽功绩在于他向无穷的冒险迈进” 数学与无穷有着不解之缘，但在研究无穷的道路上却布满了陷阱 数学发展的历程中，数学家们始终以一种怀疑的眼光看待无穷，并尽可能回避这一概念 握无限的康托尔却勇敢地踏上了这条充满陷阱的不归路 而进入了一片未开垦的处女地，开辟出一个奇妙无比的新世界 限”这一数学上的潘多拉盒子 “我们把全体自然数组成的集合简称作自然数集，用字母 N 来表示 .”学过集合那一章后，同学们应该对这句话不会感到陌生 在此以前数学家们只是把无限看作永远在延伸着的，一种变化着成长着的东西 来解释 远完成不了，是潜在的，而不是实在 十八世纪数学王子高斯就持这种观点 是“我反对将无穷量作为一个实体，这在数学中是从来不允许的 是一种说话的方式”而当康托尔把全体自然数看作一个集合时，他是把无限的整体作为了一个构造完成了的东西，这样