湖南省中考数学分类专题(12)：押轴题

一、选择题一、选择题 1.1. （20132013 年湖南长沙年湖南长沙 3 3 分）分）二次函数 y=ax2+bx+c 的图象中如图所示，则下列关系式错误 的是【 】 Aa0 Bc0 Cb24ac0 Da+b+c0 2.2. （20132013 年湖南常德年湖南常德 3 3 分）分）连接一个几何图形上任意两点间的线段中，最长的线段称为 这个几何图形的直径，根据此定义，图（扇形、菱形、直角梯形、红十字图标）中“直径” 最小的是【 】 A B C D 【答案答案】C。 【考点考点】新定义，垂径定理，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，菱形的性质，直 - 1 - 角梯形的性质，勾股定理，实数的大小比较。 3.3. （20132013 年湖南郴州年湖南郴州 3 3 分）分）如图，在 RtACB 中，ACB=90，A=25，D 是 AB 上一 点将 RtABC 沿 CD 折叠，使 B 点落在 AC 边上的 B处，则ADB等于【 】 - 2 - A25 B30 C35 D40 【答案答案】D。 【考点考点】翻折变换（折叠问题），三角形内角和定理，三角角形外角的性质。 【分析分析】在 RtACB 中，ACB=90，A=25，B=9025=65。 CDB由CDB 反折而成，CBD=B=65。 CBD 是ABD 的外角，ADB=CBDA=6525=40。 故选 D。 4.4. （20132013 年湖南衡阳年湖南衡阳 3 3 分）分）如图所示，半径为 1 的圆和边长为 3 的正方形在同一水平线 上，圆沿该水平线从左向右匀速穿过正方形，设穿过时间为 t，正方形除去圆部分的面积 为 S（阴影部分） ，则 S 与 t 的大致图象为【 】 A B C8 D 5.5. （20132013 年湖南怀化年湖南怀化 3 3 分）分）如图，已知等腰梯形 ABCD 的底角B=45，高 AE=1，上 底 AD=1，则其面积为【 】 - 3 - A4 B2 2 C1 D2 6.6. （20132013 年湖南娄底年湖南娄底 3 3 分）分）如图，O1，O2、相交于 A、B 两点，两圆半径分别为 6cm 和 8cm，两圆的连心线 O1O2的长为 10cm，则弦 AB 的长为【 】 A4.8cm B9.6cm C5.6cm D9.4cm 【答案答案】B。 【考点考点】相交两圆的性质，垂径定理，勾股定理。 【分析分析】如图，连接 AO1，AO2，设 O1O2与 AB 相交于点 C， O1，O2相交于 A、B 两点，两圆半径分别为 6cm 和 8cm，两圆的连心 线 O1O2的长为 10cm， O1O2AB。AC=AB。 设 O1C=x，则 O2C=10x，62x2=82（10x）2，解得：x=3.6。 AC2=62x2=363.62=23.04。AC=4.8cm。 弦 AB 的长为：9.6cm。故选 B。 7.7. （20132013 年湖南邵阳年湖南邵阳 3 3 分）分）如图所示，点 E 是矩形 ABCD 的边 AD 延长线上的一点，且 AD=DE，连结 BE 交 CD 于点 O，连结 AO，下列结论不正确的是【 】 - 4 - AAOBBOC BBOCEOD CAODEOD D AODBOC 【答案答案】A。 【考点考点】矩形的性质，三角形中位线定理，全等三角形的判定。 【分析分析】根据矩形的性质和全等三角形的性质找出全等三角形应用排它法求欠妥 即可： AD=DE，DOAB，OD 为ABE 的中位线。OD=OC。 在 RtAOD 和 RtEOD 中，AD=DE，OD=OD，AODEOD（HL） 。 在 RtAOD 和 RtBOC 中，AD=BC，OD=OC，AODBOC（HL） 。 BOCEOD。 综上所述，B、C、D 均正确。故选 A。 8.8. （20132013 年湖南湘潭年湖南湘潭 3 3 分）分）如图，在ABC 中，AB=AC，点 D、E 在 BC 上，连接 AD、AE， 如果只添加一个条件使DAB=EAC，则添加的条件不能为【 】 ABD=CE BAD=AE CDA=DE DBE=CD C、添加 DA=DE 无法求出DAB=EAC，故本选项正确； D、添加 BE=CD 可以利用“边角边”证明ABE 和ACD 全等，再根据全等三角形 对应角相等得到DAB=EAC，故本选项错误。 故选 C。 - 5 - 9.9. （20132013 年湖南湘西年湖南湘西 3 3 分）分）如图，在ABCD 中，E 是 AD 边上的中点，连接 BE，并延长 BE 交 CD 延长线于点 F，则EDF 与BCF 的周长之比是【 】 A1：2 B1：3 C1：4 D1：5 10.10. （20132013 年湖南益阳年湖南益阳 4 4 分）分）已知一次函数 y=x2，当函数值 y0 时，自变量 x 的取值 范围在数轴上表示正确的是【 】 A B C D 不等式的解集在数轴上表示的方法：，向右画；，向左画，在表示解集 时“”，“”要用实心圆点表示；“”，“”要用空心圆点表示。因此不等式 x2 在数轴上表示正确的是 B。故选 B。 11.11. （20132013 年湖南永州年湖南永州 3 3 分）分）我们知道，一元二次方程 x2=1 没有实数根，即不存在一 个实数的平方等于1若我们规定一个新数“i” ，使其满足 i2=1（即方程 x2=1 有一 个根为 i） 并且进一步规定：一切实数可以与新数进行四则运算，且原有运算律和运算法 - 6 - 则仍然成立，于是有 i1=i，i2=1，i3=i2i=（1）i=i，i4=（i2）2=（1）2=1，从 而对于任意正整数 n，我们可以得到 i4n+1=i4ni=（i4）ni=i，同理可得 i4n+2=1，i4n+3=i，i4n=1那么 i+i2+i3+i4+i2012+i2013的值为【 】 A0 B1 C1 Di 12.12. （20132013 年湖南岳阳年湖南岳阳 3 3 分）分）二次函数 2 yaxbxc的图象如图所示，对于下列结论： a0；b0；c0；b+2a=0；a+b+c0其中正确的个数是【 】 A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 对 称轴 b x1 2a ，b+2a=0故正确； 根据图示知，当 x=1 时，y0，即 a+b+c0故错误。 综上所述，正确的说法是，共有 3 个。故选 C。 13.13. （20132013 年湖南张家界年湖南张家界 3 3 分）分）若正比例函数 y=mx（m0） ，y 随 x 的增大而减小，则它 和二次函数 y=mx2+m 的图象大致是【 】 - 7 - A B C D 14.14. （20132013 年湖南株洲年湖南株洲 3 3 分）分）二次函数 2 y2xmx8的图象如图所示，则 m 的值是【 】 A8 B8 C8 D6 【答案答案】B。 【考点考点】抛物线与 x 轴的交点，一元二次方程根的判别式，二次函数的性质。 - 8 - 二、填空题二、填空题 1.1. （20132013 年湖南长沙年湖南长沙 3 3 分）分）如图，在梯形 ABCD 中，ADBC，B=50，C=80， AECD 交 BC 于点 E，若 AD=2，BC=5，则边 CD 的长是 2.2. （20132013 年湖南常德年湖南常德 3 3 分）分）小明在做数学题时，发现下面有趣的结果： 32=1 8+765=4 15+14+13121110=9 24+23+22+2120191817=16 根据以上规律可知第 100 行左起第一个数是 - 9 - 3.3. （20132013 年湖南郴州年湖南郴州 3 3 分）分）圆锥的侧面积为 6cm2，底面圆的半径为 2cm，则这个圆锥 的母线长为 cm 【答案答案】3。 【考点考点】圆锥的计算。 【分析分析】根据公式：圆锥的侧面积=底面周长母线长2，把相应数值代入即可求解： 设母线长为 R，底面半径是 2cm，则底面周长=4，侧面积=2R=6，R=3。 4.4. （20132013 年湖南衡阳年湖南衡阳 3 3 分）分）观察下列按顺序排列的等式： 1234 1111111 a1aaa 3243546 形形形形，试猜想第 n 个等式（n 为正整数）： an= 5.5. （20132013 年湖南怀化年湖南怀化 3 3 分）分）分解因式： 2 x3x2 . 【答案答案】x1x2。 【考点考点】因式分解（十字相乘法）。 【分析分析】因式分解常用方法有 提取公因式法； 应用公式法； 配方法； 十字 相乘法等。由题目特点，根据十字相乘法分解因式即可： 2 x3x2x1x2。 6.6. （20132013 年湖南娄底年湖南娄底 4 4 分）分）如图，是用火柴棒拼成的图形，则第 n 个图形需 根火柴棒 - 10 - 7.7. （20132013 年湖南邵阳年湖南邵阳 3 3 分）分）如图所示，将ABC 绕 AC 的中点 O 顺时针旋转 180得到 CDA，添加一个条件 ，使四边形 ABCD 为矩形 【答案答案】B=90。 【考点考点】开放型，矩形的判定，旋转的性质。 【分析分析】ABC 绕 AC 的中点 O 顺时针旋转 180得到 CDA，AB=CD，BAC=DCA。ABCD。 四边形 ABCD 为平行四边形。 当B=90时，平行四边形 ABCD 为矩形，添加的条件为B=90。 8.8. （20132013 年湖南湘潭年湖南湘潭 3 3 分）分）如图，根据所示程序计算，若输入 x=3，则输出结果为 - 11 - 【答案答案】2。 【考点考点】求函数值，估算无理数的大小，分类思想的应用。 【分析分析】根据31 选择左边的函数关系式进行计算即可得解： x=31， 2 y313 12 。 9.9. （20132013 年湖南湘西年湖南湘西 3 3 分）分）小明把如图所示的矩形纸板挂在墙上，玩飞镖游戏（每次飞 镖均落在纸板上） ，则飞镖落在阴影区域的概率是 10.10. （20132013 年湖南益阳年湖南益阳 4 4 分）分）下表中的数字是按一定规律填写的，表中 a 的值应是 1235813a 2358132134 【答案答案】21。 - 12 - 【考点考点】探索规律题（数字的变化类）。 【分析分析】寻找表中第一行的数字的规律： 1+2=3； 2+3=5； 3+5=8； 从第三个数起，这个数是前两个数值之和。 a=13+5=21。 11.11. （20132013 年湖南永州年湖南永州 3 3 分）分）电脑系统中有个“扫雷”游戏，要求游戏者标出所有的雷， 游戏规则：一个方块下面最多埋一个雷，如果无雷，掀开方块下面就标有数字，提醒游戏 者此数字周围的方块（最多八个）中雷的个数（实际游戏中，0 通常省略不标，为方便大 家识别与印刷，我把图乙中的 0 都标出来了，以示与未掀开者的区别） ，如图甲中的“3” 表示它的周围八个方块中仅有 3 个埋有雷图乙是张三玩游戏中的局部，图中有 4 个方块 己确定是雷（方块上标有旗子） ，则图乙第一行从左数起的七个方块中（方块上标有字母） ， 能够确定一定是雷的有 （请填入方块上的字母） - 13 - 所以 C 对应的方格肯定不是雷。 进行下一步推理： 12.12. （20132013 年湖南岳阳年湖南岳阳 4 4 分）分）夏季荷花盛开，为了便于游客领略“人从桥上过，如在河中 行”的美好意境，某景点拟在如图所示的矩形荷塘上架设小桥若荷塘周长为 280m，且桥 宽忽略不计，则小桥总长为 m 13.13. （20132013 年湖南张家界年湖南张家界 3 3 分）分）如图，OP=1，过 P 作 PP1OP，得 OP1=2；再过 P1作 P1P2OP1且 P1P2=1，得 OP2=3；又过 P2作 P2P3OP2且 P2P3=1，得 OP3=2；依此法继续 作下去，得 OP2012= 【答案答案】2013。 【考点考点】探索规律题（图形的变化类），勾股定理。 - 14 - 【分析分析】寻找规律， OP1=2，OP2=3，OP3=2=4， 根据勾股定理，同样可得 n OPn1。 2012 OP201212013。 14.14. （20132013 年湖南株洲年湖南株洲 3 3 分）分）已知 a、b 可以取2、1、1、2 中任意一个值（ab） ，则 直线 y=ax+b 的图象不经过第四象限的概率是 列表如下： 2112 2 （1，2）（1，2）（2，2） 1 （2，1）（1，1）（2，1） 1 （2，1）（1，1）（2，1） 2 （2，2）（1，2）（1，2） 所有等可能的情况数有 12 种，其中直线 y=ax+b 不经过第四象限情况数有 2 种， 直线 y=ax+b 的图象不经过第四象限的概率是 21 P 126 。 三、解答题三、解答题 1.1. （20132013 年湖南长沙年湖南长沙 1010 分）分）设 a、b 是任意两个不等实数，我们规定：满足不等式 axb 的实数 x 的所有取值的全体叫做闭区间，表示为a，b对于一个函数，如果它 的自变量 x 与函数值 y 满足：当 mxn 时，有 myn，我们就称此函数是闭区间m，n上 的“闭函数” （1）反比例函数 2013 y x 是闭区间1，2013上的“闭函数”吗？请判断并说明理由； （2）若一次函数 y=kx+b（k0）是闭区间m，n上的“闭函数” ，求此函数的解析式； - 15 - （3）若二次函数 2 147 yxx 555 是闭区间a，b上的“闭函数” ，求实数 a，b 的值 【答案答案】解：（1）反比例函数 2013 y x 是闭区间1，2013上的“闭函数” 。理由如下： 反比例函数 2013 y x 在第一象限，y 随 x 的增大而减小，且 当 x=1 时，y=2013；当 x=2013 时，y=1， 当 1x2013 时，有 1y2013，符合闭函数的定义，故反比例函 数 2013 y x 是闭区间1，2013上的“闭函数” 。 （3） 2 2 147111 yxxx2 55555 ， 该二次函数的图象开口方向向上，最小值是 11 5 ，且当 x2 时，y 随 x 的增大而减小；当 x2 时，y 随 x 的增大而增大。 当 b2 时，此二次函数 y 随 x 的增大而减小，则根据“闭函数”的定 义得， 2 2 147 aab 555 147 bba 555 ，解得， a1 b2 （不合题意，舍去）或 a2 b1 。 当 a2b 时，此时二次函数 2 147 yxx 555 的最小值是 11 5 =a，根 据“闭函数”的定义得 - 16 - 2 147 baa 555 或 2 147 bbb 555 。 a）当 2 147 baa 555 时，由于 2 1114117166 b0 2 ，解 得 2 k 3 。 又 12 12 22 12 2 xx k 3 xx 2k xx1 ， 2 k3k40，解得k4 或k1。 又 2 k 3 ，k4 。 二次函数为 23 y4x2x 2 。 设 P（0，p）是满足条件的点，则 222 PAPBAB，即 2 2222 1212 pxpxxx。 - 34 - 2 12 px x 。 2 3 p 8 。 6 p 4 。 2 2222 1212 37 ABxx2pxx21 84 。 7 AB 2 。 ABP 117642 SAB p 222416 。 在 y 轴上，存在点 P（0， 6 4 ）或（0， 6 4 ）,使ABP 是直角三角 形，ABP 的面积为 42 16 。 11.11. （20132013 年湖南娄底年湖南娄底 1010 分）分）已知：一元二次方程 2 11 xkxk0 22 （1）求证：不论 k 为何实数时，此方程总有两个实数根； （2）设 k0，当二次函数 2 11 yxkxk 22 的图象与 x 轴的两个交点 A、B 间的距离为 4 时，求此二次函数的解析式； （3）在（2）的条件下，若抛物线的顶点为 C，过 y 轴上一点 M（0，m）作 y 轴的垂线 l， 当 m 为何值时，直线 l 与ABC 的外接圆有公共点？ 【答案答案】解：（1）证明： 2 22 11 k4kk2k1k10 22 形形， 关于 x 的一元二次方程 2 11 xkxk0 22 ，不论 k 为何实数时， 此方程总有两个实数根。 （2）令 y=0，则 2 11 xkxk0 22 。 ABAB xx2kxx2k1 形， 22 ABABAB xx(xx )4x x4k8k42 k14，即 k12， - 35 - 解得 k=3 或 k=1。 k0，k=1。 此二次函数的解析式是 2 13 yxx 22 。 （3）由（2）知，抛物线的解析式是 2 13 yxx 22 ， 易求 A（1，0） ，B（3，0） ，C（1，2） ， AB=4，AC=22，BC=22。 AC2+BC2=AB2。 ABC 是等腰直角三角形AB 为斜边。 外接圆的直径为 AB=4。2m2。 （3）根据直线与圆的位置的位置关系确定 m 的取值范围。 12.12. （20132013 年湖南娄底年湖南娄底 1010 分）分）如图，在ABC 中，B=45，BC=5，高 AD=4，矩形 EFPQ 的一边 QP 在 BC 边上，E、F 分别在 AB、AC 上，AD 交 EF 于点 H （1）求证： AHEF ADBC ； （2）设 EF=x，当 x 为何值时，矩形 EFPQ 的面积最大？并求出最大面积； （3）当矩形 EFPQ 的面积最大时，该矩形 EFPQ 以每秒 1 个单位的速度沿射线 DA 匀速向上 运动（当矩形的边 PQ 到达 A 点时停止运动） ，设运动时间为 t 秒，矩形 EFPQ 与ABC 重叠 部分的面积为 S，求 S 与 t 的函数关系式，并写出 t 的取值范围 - 36 - 2 2 EFPQ 4445 SEF EQx4xx4xx5 5552 形形 ， 当 x= 5 2 时，矩形 EFPQ 的面积最大，最大面积为 5。 （3）由（2）可知，当矩形 EFPQ 的面积最大时，矩形的长为 5 2 ，宽为 45 42 52 。 在矩形 EFPQ 沿射线 AD 的运动过程中： （I）当 0t2 时，如答图所示， 设矩形与 AB、AC 分别交于点 K、N，与 AD 分别交 于点 H1，D1，此时 DD1=t，H1D1=2， - 37 - HD1=HDDD1=2t，HH1=H1D1HD1=t，AH1=AHHH1=2t。 KNEF， 1 AHKN EFAH ，即 KN2t 5 2 2 。 解得 5 KN2t 4 。 11 2 KNFEEFPQ11 11 5555 SSSKNEFHHEF EQ2tt2tt5 22 4228 形形形形 。 （II）当 2t4 时，如答图所示， 设矩形与 AB、AC 分别交于点 K、N，与 AD 交于点 D2此时 DD2=t，AD2=ADDD2=4t。 KNEF， 2 ADKN EFAH ，即 KN4t 5 2 2 。 解得 5 KN5t 4 。 2 AKN2 1155 SSKN AD5t4tt5t10 2248 。 综上所述，S 与 t 的函数关系式为： 2 2 5 t5 0t2 8 S 5 t5t10 2t4 8 形 。 13.13. （20132013 年湖南邵阳年湖南邵阳 8 8 分）分）如图所示，已知抛物线 y=2x24x 的图象 E，将其向右平 移两个单位后得到图象 F （1）求图象 F 所表示的抛物线的解析式： - 38 - （2）设抛物线 F 和 x 轴相交于点 O、点 B（点 B 位于点 O 的右侧） ，顶点为点 C，点 A 位于 y 轴负半轴上，且到 x 轴的距离等于点 C 到 x 轴的距离的 2 倍，求 AB 所在直线的解析式 【答案答案】解：（1）抛物线 y=2x24x=2（x+1）2+2 的图象 E，将其向右平移两个单 位后得到图象 F， 图象 F 所表示的抛物线的解析式为 y=2（x+12）2+2，即 y=2（x1）2+2。 （2）y=2（x1）2+2，顶点 C 的坐标为（1，2） 。 当 y=0 时，2（x1）2+2=0，解得 x=0 或 2。 点 B 的坐标为（2，0） 。 设 A 点坐标为（0，y） ，则 y0。 点 A 到 x 轴的距离等于点 C 到 x 轴的距离的 2 倍，y=22，解 得 y=4。 A 点坐标为（0，4） 。 设 AB 所在直线的解析式为 y=kx+b， 由题意，得 b4 2kb0 ，解得 k2 b4 。 AB 所在直线的解析式为 y=2x4。 14.14. （20132013 年湖南邵阳年湖南邵阳 1010 分）分）如图所示，在 RtABC 中，AB=BC=4，ABC=90，点 P 是 - 39 - ABC 的外角BCN 的角平分线上一个动点，点 P是点 P 关于直线 BC 的对称点，连结 PP交 BC 于点 M，BP交 AC 于 D，连结 BP、AP、CP （1）若四边形 BPCP为菱形，求 BM 的长； （2）若BMPABC，求 BM 的长； （3）若ABD 为等腰三角形，求ABD 的面积 【答案答案】解：（1）四边形 BPCP为菱形，而菱形的对角线互相垂直平分， 点 M 为 BC 的中点，BM= 1 2 BC= 1 2 4=2。 （2）ABC 为等腰直角三角形，若BMPABC， BMP必为等腰直角三角形，BM=MP。 由对称轴可知，MP=MP，PPBC，则BMP 为等腰直角三角形， BPP为等腰直角三角形，BP=BP。 CBP=45，BCP= 1 2 （18045）=67.5， BPC=180CBPBCP=1804567.5=67.5。 BPC=BCP。BP=BC=4。BP=4。 在等腰直角三角形 BMP中，斜边 BP=4，BM= 2 2 BP=2 2。 （3）ABD 为等腰三角形，有 3 种情形： 若 AD=BD，如题图所示，此时ABD 为等腰直角三角形，斜边 AB=4， ABD 11 SAD BD2 22 24 22 。 若 AD=AB，如答图所示， 过点 D 作 DEAB 于点 E，则ADE 为等腰直角三角形， - 40 - DE= 2 2 AD= 2 2 AB=2 2。 ABD 11 SAB DE42 24 2 22 ， 若 AB=BD，则点 D 与点 C 重合，可知此时点 P、点 P、点 M 均与点 C 重合， ABDABC 11 SSAB BC448 22 。 15.15. （20132013 年湖南湘潭年湖南湘潭 1010 分）分）如图，在坐标系 xOy 中，已知 D（5，4） ，B（3，0） ， 过 D 点分别作 DA、DC 垂直于 x 轴，y 轴，垂足分别为 A、C 两点，动点 P 从 O 点出发，沿 x 轴以每秒 1 个单位长度的速度向右运动，运动时间为 t 秒 （1）当 t 为何值时，PCDB； （2）当 t 为何值时，PCBC； （3）以点 P 为圆心，PO 的长为半径的P 随点 P 的运动而变化，当P 与BCD 的边（或 边所在的直线）相切时，求 t 的值 - 41 - （3）设P 的半径是 R，分为三种情况： 当P 与直线 DC 相切时， 如图 1，过 P 作 PMDC 交 DC 延长线于 M， 则 PM=OC=4=OP， 41=4，t=4 秒。 - 42 - 如图 2，当P 与 BC 相切时， BOC=90，BO=3，OC=4，由勾股定理得：BC=5。 PMB=COB=90，CBO=PBM，COBPBM。 COBC PMBP ，即 45 R3R ，解得 R=12。 121=12，t=12 秒。 如图 3，当P 与 DB 相切时， 根据勾股定理得： 22 BD242 5， PMB=DAB=90，ABD=PBM ADBMPB。 ADDB PMBP ，即 42 5 R3R ，解得 R6 512。 （6 512）1=6 512，t=6 512秒。 - 43 - 综上所述，当P 与BCD 的边（或边所在的直线）相切时，t=4 秒或 12 秒或 t=6 512秒。 （2）证PCOCBO，得出 4OP 34 ，求出 16 OP 3 即可。 （3）设P 的半径是 R，分为当P 与直线 DC 相切时，当P 与 BC 相切时， 当P 与 DB 相切时三种情况讨论即可。 16.16. （20132013 年湖南湘潭年湖南湘潭 1010 分）分）如图，在坐标系 xOy 中，ABC 是等腰直角三角形， BAC=90，A（1，0） ，B（0，2） ，抛物线 2 1 yxbx2 2 的图象过 C 点 （1）求抛物线的解析式； （2）平移该抛物线的对称轴所在直线 l当 l 移动到何处时，恰好将ABC 的面积分为相 等的两部分？ （3）点 P 是抛物线上一动点，是否存在点 P，使四边形 PACB 为平行四边形？若存在，求 出 P 点坐标；若不存在，说明理由 【答案答案】解：（1）如答图 1 所示，过点 C 作 CDx 轴于点 D，则CAD+ACD=90。 OBA+OAB=90，OAB+CAD=90， OAB=ACD，OBA=CAD。 在AOB 与CDA 中， OABACD ABAC OBACAD ， - 44 - AOBCDA（ASA） 。 CD=OA=1，AD=OB=2。 OD=OA+AD=3。 C（3，1） 。 点 C（3，1）在抛物线 2 1 yxbx2 2 上， 1 193b2 2 ，解得： 1 b 2 。 抛物线的解析式为： 2 11 yxx2 22 。 （2）在 RtAOB 中，OA=1，OB=2，由勾股定理得：AB=5。 SABC= 1 2 AB2= 5 2 。 设直线 BC 的解析式为 y=kx+b，B（0，2） ，C（3，1） ， b2 3kb1 ，解得 1 k 3 b2 。 直线 BC 的解析式为 1 yx2 3 。 同理求得直线 AC 的解析式为： 11 yx 22 。 如答图 1 所示，设直线 l 与 BC、AC 分别交于点 E、F， 则 11155 EFx2xx 32226 。 在CEF 中，CE 边上的高 h=ODx=3x 由题意得：SCEF= 1 2 SABC，即： 1 2 EFh= 1 2 SABC。 1 551 5 x3x 2 262 2 ，整理得：（3x）2=3。 解得 x=33或 x=3+3（不合题意，舍去） 。 当直线 l 解析式为 x=33时，恰好将 ABC 的面积分为相等的两部分。 （3）存在。如答图 2 所示， - 45 - 过点 C 作 CGy 轴于点 G，则 CG=OD=3，OG=1，BG=OBOG=1。 过点 A 作 APBC，且 AP=BC，连接 BP，则四边形 PACB 为平行四边形。 过点 P 作 PHx 轴于点 H， 则易证PAHBCG。 PH=BG=1，AH=CG=3，OH=AHOA=2。 P（2，1） 。 抛物线解析式为： 2 11 yxx2 22 ，当 x=2 时，y=1，即点 P 在 抛物线上。 存在符合条件的点 P，点 P 的坐标为（2，1） 。 17.17. （20132013 年湖南湘西年湖南湘西 8 8 分）分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，正比例函数 y=kx 的图象 与反比例函数 2 y x 的图象有一个交点 A（m，2） （1）求 m 的值； （2）求正比例函数 y=kx 的解析式； （3）试判断点 B（2，3）是否在正比例函数图象上，并说明理由 【答案答案】解：（1）反比例函数 2 y x 的图象过点 A（m，2） ， - 46 - 2 2 m ，解得 m=1。 （2）正比例函数 y=kx 的图象过点 A（1，2） ， 2=k1，解得 k=2。 正比例函数解析式为 y=2x。 （3）点 B（2，3）不在正比例函数图象上，理由如下： 将 x=2 代入 y=2x，得 y=22=43， 所以点 B（2，3）不在正比例函数 y=2x 的图象上。 18.18. （20132013 年湖南湘西年湖南湘西 2020 分）分）如图，已知抛物线 2 1 yxbx4 4 与 x 轴相交于 A、B 两 点，与 y 轴相交于点 C，若已知 A 点的坐标为 A（2，0） （1）求抛物线的解析式及它的对称轴方程； （2）求点 C 的坐标，连接 AC、BC 并求线段 BC 所在直线的解析式； （3）试判断AOC 与COB 是否相似？并说明理由； （4）在抛物线的对称轴上是否存在点 Q，使ACQ 为等腰三角形？若不存在，求出符合条 件的 Q 点坐标；若不存在，请说明理由 【答案答案】解：（1）抛物线 2 1 yxbx4 4 的图象经过点 A（2，0） ， - 47 - 21 2b240 4 ，解得： 3 b 2 。 抛物线解析式为 2 13 yxx4 42 。 又 2 2 13125 yxx4x3 4244 ， 对称轴方程为：x=3。 （4）存在。 抛物线的对称轴方程为：x=3，可设点 Q（3，t） ，则可求得： 22 222222 AC242 5AQ5t25tCQ3t4t49形形 。 当 AQ=CQ 时，有 2 2 25tt49，即 25+t2=t28t+16+9，解 得 t=0。 Q1（3，0） 。 当 AC=AQ 时，有 2 2 525t，即 t2=5，此方程无实数根， 此时ACQ 不能构成等腰三角形。 - 48 - 当 AC=CQ 时，有 2 2 5t49，整理得：t28t+5=0，解得： t411。 点 Q 坐标为：Q2（3，411） ，Q3（3，411） 。 综上所述，存在点 Q，使ACQ 为等腰三角形，点 Q 的坐标为： Q1（3，0） ，Q2（3，411） ，Q3（3，411） 19.19. （20132013 年湖南益阳年湖南益阳 1212 分）分）如图 1，在ABC 中，A=36，AB=AC，ABC 的平分线 BE 交 AC 于 E （1）求证：AE=BC； （2）如图（2） ，过点 E 作 EFBC 交 AB 于 F，将AEF 绕点 A 逆时针旋转角 （0 144）得到AEF，连结 CE，BF，求证：CE=BF； （3）在（2）的旋转过程中是否存在 CEAB？若存在，求出相应的旋转角 ；若不存在， 请说明理由 - 49 - 如图：当点 E 的像 E与点 M 重合时，则四边形 ABCM 为等腰梯形， BAM=ABC=72，又BAC=36。 =CAM=36。 当点 E 的像 E与点 N 重合时， 由 ABl 得，AMN=BAM=72， AM=AN，ANM=AMN=72。 MAN=180272=36。 =CAN=CAM+MAN=72。 当旋转角为 36或 72时，CEAB。 20.20. （20132013 年湖南益阳年湖南益阳 1010 分）分）阅读材料：如图 1，在平面直角坐标系中，A、B 两点的坐 标分别为 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，AB 中点 P 的坐标为（xp，yp） 由 xpx1=x2xp，得 - 50 - 12 p xx x 2 ，同理 12 p yy y 2 ，所以 AB 的中点坐标为 1212 xxyy 22 形 由勾股定 理得 22 2 2121 ABxxyy，所以 A、B 两点间的距离公式为 22 2121 AB(xx )(yy ) 注：上述公式对 A、B 在平面直角坐标系中其它位置也成立 解答下列问题： 如图 2，直线 l：y=2x+2 与抛物线 y=2x2交于 A、B 两点，P 为 AB 的中点，过 P 作 x 轴的垂 线交抛物线于点 C （1）求 A、B 两点的坐标及 C 点的坐标； （2）连结 AB、AC，求证ABC 为直角三角形； （3）将直线 l 平移到 C 点时得到直线 l，求两直线 l 与 l的距离 【答案答案】解：（1）由 2 y2x2 y2x ，解得： 12 12 1515 xx 22 y35y35 形。 A，B 两点的坐标分别为：A（ 15 2 ，35） ， B（ 15 2 ，35） 。 P 是 A，B 的中点，由中点坐标公式得 P 点坐标为（ 1 2 ，3） 。 又PCx 轴交抛物线于 C 点，将 x= 1 2 代入 y=2x2中得 y= 1 2 ， C 点坐标为（ 1 2 ， 1 2 ） 。 - 51 - （2）证明：由两点间距离公式得： 2 2 1515 AB35355 22 ， 15 PC3 22 ， PC=PA=PB。 PAC=PCA，PBC=PCB。 PAC+PCB=90，即ACB=90。ABC 为直角三角形。 （3）如图，过点 C 作 CGAB 于 G，过点 A 作 AHPC 于 H， 则 H 点的坐标为（ 1 2 ，35） 。 PAC 11 SAP CGPC AH 22 。 1515 CGAH 222 。 又直线 l 与 l之间的距离等于点 C 到 l 的距离 CG，直线 l 与 l之间 的距离为 5 2 。 - 52 - 21.21. （20132013 年湖南永州年湖南永州 1010 分）分）如图，已知二次函数 2 2 yxm4m（m0）的图象与 x 轴交于 A、B 两点 （1）写出 A、B 两点的坐标（坐标用 m 表示） ； （2）若二次函数图象的顶点 P 在以 AB 为直径的圆上，求二次函数的解析式； （3）设以 AB 为直径的M 与 y 轴交于 C、D 两点，求 CD 的长 【答案答案】解：（1） 2 2 yxm4m，当 y=0 时， 2 2 xm4m0。 解得 x1=m，x2=3m。 m0，A、B 两点的坐标分别是（m，0） ， （3m，0） 。 （2）A（m，0） ，B（3m，0） ，m0， AB3mm4m ，圆的半径为 1 2 AB=2m。 OM=AMOA=2mm=m。 抛物线的顶点 P 的坐标为：（m，2m） 。 二次函数 2 2 yxm4m（m0）的顶点 P 的坐标为：（m，4m2） ， - 53 - 2m=4m2，解得 m1= 1 2 ，m2=0（舍去） 。 二次函数的解析式为 2 1 yx1 2 ，即 2 3 yxx 4 。 （3）如图，连接 CM， 在 RtOCM 中， COM=90，CM=2m=2 1 2 =1，OM=m= 1 2 ， 2 222 13 OCCMOM1 22 。 CD=2OC=3。 【考点考点】二次函数综合题，二次函数的性质，曲线上点的坐标与方程的关系，勾股定理， 垂径定理。 22.22. （20132013 年湖南永州年湖南永州 1010 分）分）如图，已知 ABBD，CDBD （1）若 AB=9，CD=4，BD=10，请问在 BD 上是否存在 P 点，使以 P、A、B 三点为顶点的三 角形与以 P、C、D 三点为顶点的三角形相似？若存在，求 BP 的长；若不存在，请说明理由； （2）若 AB=9，CD=4，BD=12，请问在 BD 上存在多少个 P 点，使以 P、A、B 三点为顶点的 三角形与以 P、C、D 三点为顶点的三角形相似？并求 BP 的长； （3）若 AB=9，CD=4，BD=15，请问在 BD 上存在多少个 P 点，使以 P、A、B 三点为顶点的 三角形与以 P、C、D 三点为顶点的三角形相似？并求 BP 的长； - 54 - （4）若 AB=m，CD=n，BD=l，请问 m，n，l 满足什么关系时，存在以 P、A、B 三点为顶点 的三角形与以 P、C、D 三点为顶点的三角形相似的一个 P 点？两个 P 点？三个 P 点？ 【答案答案】解：（1）存在 P 点，使以 P、A、B 三点为顶点的三角形与以 P、C、D 三点为顶点 的三角形相似。 理由是：设 BP=x， ABBD，CDBD，B=D=90。 当 ABBP CDPD 或 ABBP PDCD 时，使以 P、A、B 三点为顶点的三角形与 以 P、C、D 三点为顶点的三角形相似。 若 ABBP CDPD ，则 9x 410x ，解得：x= 90 13 。 若 ABBP PDCD ，则 9x 10x4 ，即 x210x+36=0，=（10） 241360，此方程无解。 存在 P 点，使以 P、A、B 三点为顶点的三角形与以 P、C、D 三点为顶 点的三角形相似，此时 BP 的值为 90 13 。 - 55 - （3）在 BD 上存在 3 个 P 点，使以 P、A、B 三点为顶点的三角形与以 P、C、D 三点为顶点的三角形相似。 理由是：设 BP=x， ABBD，CDBD，B=D=90。 当 ABBP CDPD 或 ABBP PDCD 时，使以 P、A、B 三点为顶点的三角形与 以 P、C、D 三点为顶点的三角形相似。 若 ABBP CDPD ，则 9x 415x ，解得：x= 135 13 。 若 ABBP PDCD ，则 9x 15x4 ，即 x215x+36=0，解得： x1=3，x2=12。 存在 3 个点 P ，使以 P、A、B 三点为顶点的三角形与以 P、C、D 三 点为顶点的三角形相似，此时 BP 的值为 135 13 或 3 或 12。 （4）设 BP=x， ABBD，CDBD，B=D=90。 当 ABBP CDPD 或 ABBP PDCD 时，使以 P、A、B 三点为顶点的三角形与 以 P、C、D 三点为顶点的三角形相似。 若 ABBP CDPD ，则 mx nlx ，解得：x= ml mn 。 - 56 - 若 ABBP PDCD ，则 mx lxn ，即 x2lx+mn=0。 =（l）241mn=l24mn， 当 l24mn0 时，方程没有实数根；当 l24mn=0 时，方程有 2 个 相等的实数根；当 l24mn0 时，方程有 2 个不相等的实数根。 当 l24mn0 时，存在以 P、A、B 三点为顶点的三角形与以 P、C、D 三点为顶点的三角形相似的一个 P 点； 当 l24mn=0 时，存在以 P、A、B 三点为顶点的三角形与以 P、C、D 三点为顶点的三角形相似的两个 P 点； 当 l24mn0 时，存在以 P、A、B 三点为顶点的三角形与以 P、C、D 三点为顶点的三角形相似的三个 P 点。 （2）存在 P 点，使以 P、A、B 三点为顶点的三角形与以 P、C、D 三点为顶点的三角形相似， 设 BP=x，根据B=D=90和相似三角形的判