激光原理第四章答案1

第四章 电磁场与物质的共振相互作用 1 静止氖原子的谱线中心波长为 632.8nm，设氖原子分别以 0.1c、0.4c、0.8c 42 23PS 的速度向着观察者运动，问其表观中心波长分别变为多少？ 解：根据公式 0 1 1 v v c c c 可得： 代入不同速度，分别得到表观中心波长为： 0 v v c c ，nm C 4 . 572 1 . 0 0.4 414.3 C nmnm C 9 . 210 9 . 0 2设有一台迈克尔逊干涉仪，其光源波长为。试用多普勒原理证明，当可动反射镜移动 距离 L 时，接收屏上的干涉光强周期地变化次。2 /L 证明：如右图所示，光源S发出 频率为的光，从M上反射的光为， I 它被反射并且透过M，由图中的I 1 M 所标记；透过M的光记为，它被 II 反射后又被M反射，此光记为II。 2 M 由于M和均为固定镜，所以I光的 1 M 频率不变，仍为。将看作光接收 2 M 器，由于它以速度v运动，故它感受到 的光的频率为： 因为反射光，所以它又相当于光发射器，其运动速度为v时，发出的光的频率为 2 M II 这样，I光的频率为，II光的频率为。在屏P上面，I光和II光的广场可(12 / )v c 以分别表示为： S 1 M 2 M M I I I III (1) v c 2 (1)(1)(12 ) vvv ccc 0 0 cos(2) cos 2(12 ) I II EEt v EEt c 2 因而光屏P上的总光场为 光强正比于电场振幅的平方，所以P上面的光强为 它是t的周期函数，单位时间内的变化次数为 由上式可得在时间内屏上光强亮暗变化的次数为dt (2 / )mdtc dL 因为是镜移动长度所花费的时间，所以也就是镜移动过程中屏上光dt 2 MdLmdt 2 MdL 强的明暗变化的次数。对上式两边积分，即可以得到镜移动 L 距离时，屏上面光强周期性变 2 M 化的次数S 式中和分别为镜开始移动的时刻和停止移动的时刻；和为与和相对应的 1 t 2 t 2 M 1 L 2 L 1 t 2 t 镜的空间坐标，并且有。 2 M 21 LLL 得证。 3.在激光出现以前，低气压放电灯是很好的单色光源。如果忽略自然加宽和碰撞加宽，试估 86 Kr 算在 77K 温度下它的 605.7nm 谱线的相干长度是多少，并与一个单色性的氦氖激光 8 /10 器比较。 解：这里讨论的是气体光源，对于气体光源，其多普勒加宽为 11 22 7 00 2 2 2ln27.16 10 D KTT mcM 式中，M 为原子（分子）量，。对来说，M=86，相干长度为 27 1.66 10(kg)mM 86 Kr 0 2cos(22)cos( 2) III vv EEEEttt cc 0 21 cos 22 v IIt c 2 2 vdL m cc dt 22 11 21 2222 () tL tL L SmdtdLLLL ccc 激光原理 第六版 天津理工大学理学院 3 1 2 7 1 10 2 7 7.16 10 6057 1086 89.5cm 7.16 1077 c D cM L T 对于单色性的氦氖激光器，其相干长度为 8 /10 2 63.28m / c cc L c 可见，氦氖激光器的相干长度要比低气压放电灯的相干长度要大得多。 86 Kr 4估算气体在室温(300K)下的多普勒线宽和碰撞线宽系数。并讨论在什么气 2 CO D 压范围内从非均匀加宽过渡到均匀加宽。(提示分子间的碰撞截面) 2 CO 182 10Qm 解：气体在室温(300K)下的多普勒线宽为 2 CO D 11 8 22 77 0 6 7 3 10300 7.16 107.16 10 10.6 1044 5.3 10 Hz D T M 气体的碰撞线宽系数估算,根据气体的碰撞线宽与气压 p 的关系近似为 2 CO 2 CO 可知,气体压强为时的碰撞线宽约等于碰撞线宽系数. L p1 a pp 再由和, 其中 1 L L 1 16/() b L nQk Tm 223 7.26 10 (/)np T m 可估算出其值约为 41KHz/Pa 当时，其气压为 LD 7 3 5.3 10 1290Pa 41 10 D p 所以，当气压在附近时以多普勒加宽为主，当气压比大很多时，以均匀加1290Pa1290Pa 宽为主。 5氦氖激光器有下列三种跃迁，即的 632.8nm，的和 24 3S -2P 24 2S -2P1.1523m 的 的跃迁。求 400K 时它们的多普勒线宽，分别用、为单位 24 3S -3P3.39mGHzm -1 cm 表示。由所得结果你能得到什么启示？ 解：多普勒线宽的表达式为 4 (单位为 GHz) 1 2 7 0 7.16 10 D cT M (单位为) 1 2 2 7 0 0 7.16 10 DD T cM m 1 2 7 0 11 7.16 10 D D T cM 所以，400K 时，这三种跃迁的多普勒线宽分别为： 的 632.8nm 跃迁： 24 3S -2P 1.52GHz D 6 2.03 10 m D 21 1 5.07 10 cm D 的跃迁： 24 2S -2P1.1523m 0.83GHz D 6 3.69 10 m D 21 1 2.77 10 cm D 的跃迁： 24 3S -3P3.39m 0.28GHz D 5 1.09 10 m D 31 1 9.33 10 cm D 由此可以看出，当提及多种跃迁谱线的多普勒线宽时，应该指出是以什么作为单位的。 6考虑某二能级工作物质，能级自发辐射寿命为，无辐射跃迁寿命为。假定在 2 E s nr t=0 时刻能级上的原子数密度为，工作物质的体积为 V，自发辐射光的频率为，求： 2 E 2(0) n (1)自发辐射光功率随时间 t 的变化规律； (2)能级上的原子在其衰减过程中发出的自发辐射光子数； 2 E 激光原理 第六版 天津理工大学理学院 5 (3)自发辐射光子数与初始时刻能级上的粒子数之比，称为量子产额。 2 E 2 2 解：(1) 在现在的情况下有 可以解得： 11 () 22 ( )(0) snr t n tne 可以看出，t 时刻单位时间内由于自发辐射而减小的能级之上的粒子数密度为，这就 2/s n 是 t 时刻自发辐射的光子数密度，所以 t 时刻自发辐射的光功率为： (2) 在时间内自发辐射的光子数为：tdt 所以 (3) 量子产额为： 无辐射跃迁导致能级 2 的寿命偏短，可以由 定义一个新的寿命，这样 7二能级的波数分别为和，相应的量子数分别为和， 1 18340cm 1 2627cm 2 1J 1 2J 上能级的自发辐射概率，测出自发辐射谱线形状如图 4.1 所示。求 1 21 10As (1)中心频率发射截面； 21 (2)中心频率吸收截面。 12 222 ( ) () snr dn tnn dt 11 () 2 2 ( )(0) snr t ss nh V P th Vne 2 s n dnVdt 11 () 222 0 0 ( )(0)(0) | 1111 () snr t ss s snrsnr n tnVnV nVdte 2 2 1 11 (0) () s snr n nV 111 snr 2 s 6 (能级简并度和相应量子数的关系为，可设该工作物质的折射率 2211 21,21fJfJ 为 1.) 解。根据线型函数的定义，图中的与线型函数最大值对应，利用 0 ( ,)g K 0 (,) o g 1 ( )dcd 线型函数归一化条件的意义对应图线下方面积为 1， 0 ( ,)1gd 8.根据 4.3 节所列红宝石的跃迁几率数据，估算等于多少时红宝石对的光 13 W694.3nm 是透明的。(红宝石，激光上、下能级的统计权重，计算中可不计光的各种损耗。) 12 4ff 解：该系统是一个三能级系统，速率方程组为 其中（II）式可以改写为 因为与相比很大，这表示粒子在能级上停留的时间很短，因此可以认为能级 32 S 21 A 3 E 3 E 上的粒子数，因此有。这样做实际上是将三能级问题简化为二能级问题来求 3 0n 3/ 0dndt 解。 由(I)式可得： 代入式(V)得： 由于 3 11333231 22 2121022121332 1 123 () (I) ()( ,)() (II) l dn nWn SA dt dnf nnvNnASn S dtf nnnn 2 21210 1 (III) ()( ,) (IV) ll l Rl dNNf nnvN dtf 2 332121222121 ()() (V) dn n SBnnnAS dt 113 3 3231 nW n SA 1132 32121222121 3231 ()() nWdn SBnnnAS dtSA 21 dndn dtdt 激光原理 第六版 天津理工大学理学院 7 所以 红宝石对波长为 694.3nm 的光透明，意思是在能量密度为的入射光的作用下，红宝石介 质内虽然有受激吸收和受激辐射，但是出射光的能量密度仍然是。而要使入射光的能量密度 等于出射光的能量密度，必须有为常数，即，这样式(VI)变为： 12 ()nn 21 /0dndtdndt 该式应该对于任意大小的均成立，所以只有，即时才可以。这 1212 ()0Bnn 12 nn 样由上式可得： 1321213132 ()(1/)WASAS 由于，所以 21 0S 这个时候红宝石对的光是透明的。694.3nm 12短波长(真空紫外、软 X 射线)谱线的主要加宽机构是自然加宽。试证明峰值吸收截面 。 2 0 /2 证明：峰值吸收截面为 2 12 22 0 4 H v A 而 12 1 22 H A 00 v 所以代入可以得到： 2 0 /2 得证。 13已知红宝石的密度为，其中所占比例为 0.05%(重量比)，在波长为 3 3.98g/cm 23 Cr O 11321 32121222121 3231 2()() (VI) nWdndn SBnnnAS dtdtSA 113 32121222121 3231 ()()0 nW SBnnnAS SA 5 331 13213132 7 3 10 (1/)0.3 10(1)0.318 10 s 0.5 10 WAAS 8 694.3nm 附近的峰值吸收系数为 0.4cm-1，试求其峰值吸收截面(T=300K)。 解：设的分子量为 M，阿伏加德罗常数用 NA来表示，设单位体积内的数为， 23 Cr O 3 r C 0 n 考虑到 300K 的时候，则有 210 0,nnn A 1 23 3 193 2 3.98 0.05%N M 2 3.98 0.05% 6.022 10 cm 52 2 16 3 1.58 10cm n 所以峰值吸收截面为(峰值吸收系数以来表示) m 2 12 19 121 202 0.4 cm 1.58 10 2.53 10cm mm nnn 14有光源一个，单色仪一个，光电倍增管及电源一套，微安表一块，圆柱形端面抛光红 宝石样品一块，红宝石中铬粒子数密度，694.3nm 荧光线宽 193 1.9 10 /cmn 。可用实验测出红宝石的吸收截面、发射截面及荧光寿命，试画出实验方块 11 3.3 10 Hz F 图，写出实验程序及计算公式。 解：实验方框图如下： 光源单色仪红宝石棒光电倍增管微安表 电源 实验程序以及计算公式如下： (1)测量小信号中心频率增益系数：移开红宝石棒，微安表读数为，放入红宝石棒，微 1 A 安表的读数为，由此得到小信号增益系数为 2 A 0 2 1 1lnA g lA 减小入射光光强，使小信号增益系数最大。然后维持在此光强，微调单色仪鼓轮以改变入 射波长(频率)，使小信号增益系数最大，此最大增益系数即为小信号中心频率增益系数。 0 0 ()g (2) 计算：由于，所以 2112 0,nnn ff 发射截面和吸收截面为： 激光原理 第六版 天津理工大学理学院 9 1 2112 2 1 ln A nlA 荧光寿命为： 22 0 2222 2121012 1 44ln(/) FF nlv AAA 19已知某均匀加宽二能级()饱和吸收染料在其吸收谱线中心频率=694.3nm 处 21 ff 0 的吸收截面，其上能级寿命，试求此染料的饱和光强。 -162 8.1 10cm 12 2 22 10s s I 解：若入射光频率为，光强为 I，则 0 (1) 22 21 02 0 dnnI n dth 由 ， 12 nnn 21 nnn 可以得到 2 1 () 2 nnn 代入(1)式可得 0 1 s n n I I 式中，所以有： 0 nn 348 -2 0 16119 2 6-2 16.626 103 10 W/cm 22 8.1 102.2 10694.3 10 8 10 W/cm s h I 20若红宝石被光泵激励，求激光能级跃迁的饱和光强。 解：首先列出稳态时的三能级速率方程如下： (1) 3 11333132 ()0 dn nWn AS dt (2) 2 21022121332 ( ,)()0 dn nNnASn S dt (3) 123 nnnn (4) 21 nnn 由于远小于，由(1)式可得： 31 A 32 S 10 113332 nWn S 所以，由(1)(4)式可以得到： 210212113 132121 2( ,)() ()0 Id n nn ASW dth n WAS 式中，为波长为 694.3nm 的光强。由上式可得：I 0 210 0212113 22 0 0 22 0 ( ,) 12 () ()() 2 ()() (1) 2 H H S n n I hASW n I I 其中 0 132121 212113 ()n WAS n ASW 0 13 212 1 () 2 S h IW 2 2121 1 AS 21推导图 4.3 所示能级系统 20 跃迁的中心频率大信号吸收系数及饱和光强。假设该 s I 工作物质具有均匀加宽线型，吸收截面已知，。 02 10 KTh 1021 图 4.2 解：设入射光频率为跃迁的中心频率，光强为 I，可列出速率方程如下：20 02 2 n 2 f 1 n 1 f 0 n 0 f 20 21 10 1 2 0 激光原理 第六版 天津理工大学理学院 11 22 02 02 121 2110 123 1 (1) (2) (3) dnn n dth dnnn dt nnnn 式中 0 02 2 (4) f nnn f 22021 111 在稳态的情况下，应该有，由(2)式可以得到： 21 0 dndn dtdt 10 12 21 nn 因为远小于，KT 远小于，所以，这样根据式(3)、(4)可得： 10 21 10 h 1 0n (5) 2 2 02 () g nnn gg 将式(5)代入式(1)可得： 1 S n n I I 其中 022 02022 S hg I gg 中心频率大信号吸收系数为 1 m S I I 其中。 02m n 22设有两束频率分别为和，光强为及的强光沿相同方向图 4.3 0 0 1 I 2 I( )a 或沿相反方向图 4.3通过中心频率为的非均匀加宽增益介质，。试分别画出两种( )b 0 12 II 情况下反转粒子数按速度分布曲线，并标出烧孔位置。 12 图 4.3 解：若有一频率为的光沿 z 向传播，粒子的中心频率表现为。当 00(1 / ) z vc 时粒子产生受激辐射，所以产生受激辐射的粒子具有速度，同样的可 0 00 ()/ z vc 以得到，如果该光沿-z 方向传播，这个速度应该为。根据这个分析就可以得到 00 ()/ z vc 本题目中所述的两种情况下反转集居数密度按速度的分布曲线，分别见下图的(a)和(b)。 z v 图中(1)孔的深度为，(2)孔的深度为， 0 022 (/)/() s n cIII 0 011 (/)/() s n cIII (3)孔德深度为。 0 01212 (/)()/() s n cIIIII (a) 10 ),(I 20 ),(I )( 0 1 I )( 0 2 I )(a)(b 激光原理 第六版 天津理工大学理学院 13 (b) 补充用波长在 589nm 附近的可调染料激光照射一含有 13.3Pa 钠及氦气的混 5 2.66 10 Pa 合室，气室温度为，气室长度，氦气与钠蒸气原子间的碰撞截面， o 23 C=10cml -142 =10cmQ 钠蒸气的两个能级间的有关参量如下： 1 能级()： 2 1/2 3 S 11 0,2Ef 2 能级()： 2 3/2 3 P 1 22 16973cm ,4Ef 71 21 6.3 10 sA (1)求 12 跃迁的有关线宽(碰撞加宽、自然加宽、多普勒加宽)。 (2)如果激光波长调到钠原子 12 跃迁中心波长，求小信号吸收系数。 (3)在上述情况下，改变激光功率，试问激光光强 I 多大时气室的透过率 t = 0.5？ 解： (1)一个 Na 原子与氦原子间的平均碰撞时间由下式决定： L ( I ) 181 () He LNaHe KT N Q mm 式中表示单位体积内的氦原子数，和分别为氦原子和钠原子的质量。若 He N Na m He m 和分别为氦气和钠蒸气的分压强，和分别为氦原子和钠原子的原子量，则有 He P Na P He M Na M 14 24243273 2000 9.65 109.65 10m0.065 10 m 296 He He P N T 272726 272727