四川省泸州市2017届高三第三次教学质量诊断性考试 数学理.doc

泸州市高 2014 级第三次教学质量诊断性考试 数学（理科） 第卷（共 60 分） 一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选 项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合，集合，则（ ）1Ux x 2 430Ax xx U C A A B C D3,)(3,)(, 1) (1,3) 2.复数（其中 是虚数单位）的虚部为（ ） 1 12 i z ii i A B C1 D-1 1 2 i 3.已知等比数列的公比，则其前 3 项和的值为（ ） n a 1 2 q 2 8a 3 S A24 B28 C32 D16 4.已知平面向量，则的值是（ ）( 2,1)a (1,2)b 2ab A1 B5 C D35 5.如图，一环形花坛分成四块，现有 3 种不同的花供选种，要求在每块里种一, ,A B C D 种花，且相邻的 2 块种不同的花，则不同的种法总数为（ ） A12 B24 C18 D6 6.已知抛物线的焦点为，过点且倾斜角为的直线与抛物线的准线交 2 :4C yxFF 3 C 于点，则线段的长为（ ）BFB A10 B6 C8 D4 7.设是两条不同的直线，是一个平面，则下列命题中正确的是（ ）, l m A若，则 B若，则lmmll/lmm C若，则 D若，则/lm/lm/l/m/lm 8.已知函数的图象沿轴向左平移个单位后关于轴对称，( )sin(2)() 2 f xx x 6 y 则函数的一个单调递增区间是（ ）( )f x A B C D 5 , 612 , 3 6 , 6 3 2 , 63 9.我国古代数学典籍九章算术 “盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有堩（音 gng，意为道路）厚十尺，两鼠对穿，初日各一尺，大鼠目自倍，小鼠日自半，问几何日 相逢？”现有程序框图描述，如图所示，则输出结果的值为（ ）n A4 B5 C2 D3 10.已知中，以为焦点的双曲线（）经Rt ABC 2 A ,B C 22 22 1 xy ab 0,0ab 过点，且与边交于点，若，则该双曲线的离心率为（ ）AABD2ADBD A B C D 10 2 10 5 2 5 11.已知一个三棱锥的三视图如下图所示，其中俯视图是顶角为的等腰三角形，则该三 2 3 棱锥外接球的表面积为（ ） A B C D2016817 12.已知函数与（）的图象有且只有一个公共( )lnf xxx 2 1 ( )1 2 g xaxax0a 点，则所在的区间为（ ）a A B C D 1 2 ( , ) 2 3 2 ( ,1) 3 3 ( ,2) 2 3 (1, ) 2 第卷（共 90 分） 二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上） 13. 展开式中，项的系数为 5 (1 2 )x 3 x 14.设不等式组表示的平面区域为，在区域内随机取一个点，则此点到 40 0 0 xy xy y DD 坐标原点的距离大于 2 的概率是 15.若函数， （且）的值域是，则实数的取 6,2 ( ) 3log,2 a xx f x x x 0a 1a 4,)a 值范围是 16.已知数列的前项和（） ，则数列的通项公式 n an 1 1 ( )2 2 n nn Sa * nN n a n a 三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤.） 17. 已知的三个内角的对边分别为，若.ABC, ,A B C, ,a b c2 cosbcbA （1）求证：；2AB （2）若，求边上的高.53bc4 6a BC 18. 甲，乙两台机床同时生产一种零件，其质量按测试指标划分：指标大于或等于 95 为正 品，小于 95 为次品，现随机抽取这两台车床生产的零件各 100 件进行检测，检测结果统计 如下： 测试指标 85,90)90,95)95,100)100,105)105,110) 机床甲81240328 机床乙71840296 （1）试分别估计甲机床、乙机床生产的零件为正品的概率； （2）甲机床生产一件零件，若是正品可盈利 160 元，次品则亏损 20 元；乙机床生产一件 零件，若是正品可盈利 200 元，次品则亏损 40 元，在（1）的前提下，现需生产这种零件 2 件，以获得利润的期望值为决策依据，应该如何安排生产最佳？ 19. 如图，在梯形中，平面ABCD/ABDC1ADABBC 3 ADC 平面，四边形是矩形，点在线段上.ACFE ABCDACFE1AE MEF （1）当为何值时，平面？证明你的结论； FM EM /AMBDF （2）求二面角的平面角的余弦值.BEFD 20. 已知点是圆上的任意一点，点为圆的圆心，点与点C 22 :(1)16FxyFF F 关于平面直角系的坐标原点对称，线段的垂直平分线与线段交于点.F CFCFP （1）求动点的轨迹的方程；PE （2）若轨迹与轴正半轴交于点，直线交轨迹于两点，求EyM:2 3l ykxE,A B 面积的取值范围.ABM 21. 已知函数（其中为自然对数的底数）( )(1) x f xeaxe （1）设过点的直线 与曲线相切于点，求的值；(0,0)l( )f x 00 (,()xf x 0 x （2）若函数的图象与函数的图象在内有交点，求实数的 2 ( )1g xaxex( )f x(0,1)a 取值范围. 请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修 4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中，曲线（为参数）经伸缩变换后的曲 1 22cos : sin x C y 2 x x yy 线为，以坐标原点为极点，轴非负半轴为极轴建立极坐标系. 2 COx （1）求曲线的极坐标方程； 2 C （2）是曲线上两点，且，求的取值范围.,A B 2 C 3 AOB OAOB 23.选修 4-5：不等式选讲 已知函数，若的最小值为 2.( )12f xxxa( )f x （1）求实数的值；a （2）若，且均为正实数，且满足，求的最小值.0a ,m nmna 22 mn 试卷答案 一、选择题 1-5:ACBBC 6-10:DBBAD 11、12:AD 二、填空题 13. 14. 15. 16. 80 8 (1,2 2 n n n a 三、解答题 17.解： （1）因为，2 cosbcbA 所以，sinsin2sincosBCBA 因为，()CBA 所以sinsin()2sinsinBBABA 所以sinsincoscossin2sincosBBABABA 即，sincossinsincosBBABA 即，sinsin()BAB 因为，所以，0B0AAB 所以或，BAB()BAB 故；2AB （2）由及得，53bc2 cosbcbA 1 cos 3 A 由余弦定理：得， 222 2cosabcbcA 222 551 (4 6)()2 333 bbbb 解得：，6,10bc 由得， 1 cos 3 A 2 sin2 3 A 设边上的高为，则，BCh 11 sin 22 bcAah 即， 2 6 1024 6 3 h 所以. 10 3 3 h 18.解： （1）因为甲机床为正品的频率为， 403284 1005 乙机床为正品的频率约为， 402963 1004 所以估计甲、乙两机床为正品的概率分别为； 4 3 , 5 4 （2）若用甲机床生产这 2 件零件，设可能获得的利润为 320 元、140 元、-40 元，它们 1 X 的概率分别为 ， 1 4416 (320) 5525 P X 1 418 (140)2 5525 P X ， 1 111 (40) 5525 P X 所以获得的利润的期望， 1 1681 ()320140( 40)248 252525 E X 若用乙机床生产这 2 件零件，设可能获得的利润为为 400 元、160 元、-80 元，它们的 2 X 概率分别为 ， 2 339 (400) 4416 P X 2 316 (160)2 4416 P X 2 111 (80) 4416 P X ， 让你以获得的利润的期望； 2 961 ()400160( 80)280 161616 E X 若用甲、乙机床各生产 1 件零件，设可能获得的利润为 360 元、180 元、120 元、-60 3 X 元，它们的概率分别为 ， 3 4312 (360) 5420 P X 3 133 (180) 5420 P X ， 3 414 (120) 5420 P X 3 111 (60) 5420 P X 所以获得的利润的期望 ， 3 12341 ()360180120( 60)264 20202020 E X ， 231 ()()()E XE XE X 所以安排乙机床生产最佳. 19. 解： （1）当时，平面，证明如下： 1 2 FM EM /AMBDF 在梯形中，设，连接，ABCDACBDOFO 因为，1ADBC 0 60ADC 所以，又，2DC 1AB 因为,AOBCDO 因此，:2:1CO AO 所以，因为是矩形， 1 2 FMAO EMCO ACFE 所以四边形是平行四边形，AOFM 所以，/AMOF 又平面，平面，OF BDFAM BDF 所以平面；/AMBDF （2）在平面内过点作，ABCDCGCCD 因为平面平面，且交线为，ACFE ABCDAC 则平面，即，CF ABCDCFGCCFDC 以点为原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，C,CD CG CF, ,x y z 则， 13 ( ,0) 22 B(2,0,0)D 33 ( ,1) 22 E(0,0,1)F 所以，(1,0,1)BE 13 (,1) 22 BF 13 (,1) 22 DE ( 2,0,1)DF 设平面的法向量为，则，BEF( , , )mx y z 0 0 m BE m BF ，取， 0 13 0 22 xz xyz (1,3, 1)m 同理可得平面的法向量，DEF(1,3,2)n 所以， 210 cos, 105 2 2 m n m n m n 因为二面角是锐角，所以其余弦值是.BEFD 10 10 20.解： （1）由题意知圆的圆心为，半径为 4，F( 1,0)F 所以， 42PFPFCFFF 由椭圆的定义知，动点的轨迹是以为焦点，4 为长轴长的椭圆，P ,F F 设椭圆的方程为（） ，且焦距为，则：E 22 22 1 xy ab 0ab2c(0)c ，即， 222 24 1 a c abc 2 1 3 a c c 故椭圆的方程为；E 22 1 43 xy （2）把直线，:2 3l ykx 代入椭圆方程消去得：，y 22 (34)16 3360kxkx 由得：或，0 3 2 k 3 2 k 因为直线与椭圆相交于两点， 11 ( ,)A x y 22 (,)B xy 则， 12 2 16 3 34 k xx k 12 2 36 34 x x k 因为点，直线 与轴交于点(0, 3)Mly(0,2 3)D 的面积ABM 1212 13 22 ABM SMDxxxx 22 121212 33 ()()4 22 xxxxx x 2 2 222 316 34 366 49 () 2343443 kk kkk ， 2 2 663 12 22 12 49 49 k k 当且仅当，即时取等号， 2 2 12 49 49 k k 21 2 k 满足 21 2 k 0 所心面积的取值范围是.ABM 3 (0, 2 21.解： （1）因为函数，所以，( )(1) x f xeax ( ) (1) x fxea 故直线 的斜率为，l 0 0 ()(1) x fxea 点的切线 的方程为， 00 (,()xf xl 0 00 ()(1)() x yf xeaxx 因直线过，(0,0) 所以， 0 00 ()(1)() x xeax 即 00 00 (1)(1) xx eaxeax 解之得， 0 1x （2）令，所以， 2 ( )( )( )(1)1 x h xf xg xeaxaex ( ) 21 x h xeaxae 设，则，( )21 x k xeaxae ( ) 2 x k xea 因函数的图象与函数的图象在内有交点， 2 ( )1g xaxex( )f x(0,1) 设为在内的一个零点， 0 x( )h x(0,1) 由，( )0, (1)0h xh 所以在和上不可能单增，也不可能单减，( )h x 0 (0,)x 0 (,1)x 所以在和上均存在零点，( )k x 0 (0,)x 0 (,1)x 即在上至少有两个零点，( )k x(0,1) 当时，在上递增，不可能有两个及以上零点； 1 2 a ( ) 0k x ( )k x(0,1)( )k x 当时，在上递减，不可能有两个及以上零点； 2 e a ( ) 0h x ( )k x(0,1)( )k x 当时，令，得， 1 22 e a ( ) 0k x ln(2 )(0,1)xa 在上递减，在上递增，( )k x(0,ln(2 )a(ln(2 ),1)a 所以 1 (ln(2 )22 ln(2 )(1)32 ln(2 ) 1() 22 e kaaaaeaaaaea 设，则， 3 ( )ln1(1) 2 xxxxexe 1 ( )ln 2 xx 令，得， ( ) 0xxe 当时，递增，1xe ( ) 0x( )x 当时，递减，exe ( ) 0x( )x 所以， max ( )10xee 恒成立，(ln(2 )0ka 若有两个零点，则有，( )k x(ln(2 )0ka(0)0k(1)0k 由，得，(0)20kae(1)10ka 21ea 当，设的两个零点为，则在递增，在递减，在21ea( )k x 12 ,x x( )h x 1 (0,)x 12 ( ,)x x 递增， 2 (,1)x ， 1 ()( )0h xh x 2 ()(1)0h xh 所以在内有零点，( )h x 12 ( ,)x x 即函数的图象与函数的图象在内有交点， 2 ( )