湛江一中2015-2016学年度第一学期第二次考试

湛江一中湛江一中 2015-20162015-2016 学年度第一学期第二次考试学年度第一学期第二次考试 高二级理科数学试卷高二级理科数学试卷 考试时间：120分钟 满分：150分 一选择题：共一选择题：共 1212 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 6060 分在每个小题给出的四个选项中，只有分在每个小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的一项一项是符合题目要求的一项 1 “至多有三个”的否定为（ ） A至少有三个 B至少有四个 C 有三个 D有四个 2如果命题“ ”是假命题，则下列说法正确的是( )()pq A 均为真命题 B中至少有一个为真命题pq、pq、 C均为假命题 D至少有一个为假命题pq、pq、 3 “ ”是“ ”的（ ）1x 2 xx A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 4已知椭圆的焦点是，是椭圆上的一个动点，如果延长到，使得 12 ,F FP 1 FPQ ，那么动点的轨迹是( ) 2 PQPFQ A圆B 椭圆 C双曲线的一支 D 抛物线 5 “” 是“方程 表示的曲线为焦点在轴上的椭圆”的（ 14t 22 1 41 xy tt x ） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 6已知是抛物线的焦点，是该抛物线上的两点，则线段F 2 yx,A B3AFBF 的中点到轴的距离为( )ABy A B C D 3 4 1 5 4 7 4 7已知双曲线的焦距为，点在的渐近线上，则的方程为( ) 22 22 C:=1 xy ab 101(2 )P，CC A B C D 22 =1 205 xy 22 =1 520 xy 22 =1 8020 xy 22 =1 2080 xy 8若圆心在轴上，半径为的圆位于轴左侧，且被直线截得的弦长为x5Cy20xy ，则圆的方程是( )4C A B 22 (5)5xy 22 (5)5xy C D 22 (5)5xy 22 (5)5xy 9已知 ，则有( ) 1 ( )2(0)f xxx x f x 2 A最大值为 B最小值为 00 C最大值为 D最小值为 44 10在以为中心， 为焦点的椭圆上存在一点，满足O 12 FF、M ，则该椭圆的离心率为( ) 12 22MFMOMF A B C D 2 2 3 3 6 3 2 4 11已知为椭圆上的一点，分别为圆和圆P 22 =1 2516 xy MN、 22 31()xy 2 ()3x 上的点，则的最小值为( ) 2 4y PMPN A5 B7 C13 D15 12点在直线上，若存在过点的直线交抛物线于两点，且P:1l yxP 2 yx,A B ，则称点为“ 点” ，那么下列结论中正确的是 （ ）|PAABP A直线 上的所有点都是“ 点” B直线 上仅有有限个点是“ 点”ll C直线 上的所有点都不是“ 点”l D直线 上有无穷多个点（不是所有的点）是“ 点”l 二填空题：本大题共四小题，每小题二填空题：本大题共四小题，每小题5 5分分, ,共共2020分分 13设 满足约束条件，则的取值范围为_. , x y xy1 xy3 x0 y0 2zxy 14. 已知双曲线的右焦点的坐标为 ，则该双曲线的渐近线方程为 22 1 9 xy a ( 13,0) _. 15过焦点为的抛物线上一点向其准线作垂线，垂足为，若F 2 4yxQ ，则 Q F120 F 16 . 若关于的不等式对任意在 上恒成立，x 2 11 0 22 n xx * nN(x， 则实常数的取值范围是_ 三三. .解答题：共解答题：共 7070 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17(本小题满分 10 分) 已知命题“” ，命题“:p 2 1,20xxa ，:qxR ， 3 ” 若命题“ ”是真命题，求实数的取值范围 2 220xaxapqa 18(本小题满分 12 分) 在中，, .ABCsin1CA 1 sin 3 B （1）求的值；sin A (2)设 ，求的面积6ACABC 19(本小题满分 12 分) 已知双曲线的中心在原点，焦点 在坐标轴上，离心率为 12 FF， ，且过点点 在双曲线上2(4,10)()3Mm， (1)求双曲线方程； (2)求证：； 12 MFMF (3)求 的面积 12 FMF 20(本小题满分 12 分) 设数列的前项和，数列的前项和为，满 n an n S n Sn n T 足 2* 2, nn TSn nN （1）求的值； 1 a （2）求数列的通项公式 n a 21. (本小题满分 12 分) 如图, 直线与抛物线交于 A、B 两点, 线段 1 2 yx 2 4 1 8 yx AB 的垂直平分线与直线交于 Q 点.5y (1) 求点 Q 的坐标； (2) 当 P 为抛物线上位于线段 AB 下方 (含 A、B) 的动点时, 求面积的最大值.OPQ 22.（本小题满分 10 分）如图,在平面直角坐标系中，椭圆的标准方程为xoyC B 第 21 题图 x y O A Q P 5 4 22 1 62 xy ，直线 与轴交于点，与椭圆交于两点 lxEC,A B （1）若点的坐标为 ，点在第一象限且横坐标为，连结点与原点E 3 ,0 2 A3A 的直线交椭圆于另一点，求的面积；OCPPAB （2）是否存在点 ，使得 为E 22 11 EAEB 定值？若存在，请指出点的坐标，并求出E 该定值；若不存在，请说明理由 湛江一中2015-2016学年度第一学期第二次考试 高二级理科数学参考答案高二级理科数学参考答案 一选择题：共一选择题：共 1212 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 6060 分。在每个小题给出的四个选项中，只有分。在每个小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的一项。一项是符合题目要求的一项。 1B 2B 3A 4A 5B 6C 7A 8B 9C 10C 11B 12A 12解:设 ，,1A m nP x x 则 ，在上， 2,21Bmxnx,A B 2 yx 2 2 21(2) nm nxmx 消去,整理得关于的方程 （1）nx 22 (41)210xmxm 恒成立， 222 (41)4(21)8850mmmm 方程（1）恒有实数解，应选 A. 第第卷卷 二填空题：本大题共四小题，每小题二填空题：本大题共四小题，每小题5 5分分 y x B P A OEF1F2 第 18 题 第 22 题图 x O y 2 F B P E A 1 F l 5 1313 1414 1515 16163,3230xy 4 3 ( 1， 16 .解：由题意得 ， ， 或 . 2 max 111 222 n xx 1 2 x 1x 又，(x，1(， 三三. .解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17解： ， :p 2 1,20xxa ， 2 1,21.xaxa ， 3 分 ，则 ， :qxR ，2220xaxa 2 24()(20)aa 得 或 . -6 分2a 1a 若“ ”是真命题，则是真命题且是真命题， -8 分pqpq 即或， 或 . 1 2 a a 1 1 a a 2a1a 10 分, 21a 18.解：（1）由 2 CA ，且CAB， 42 B A ，2 分 2 sinsin()(cossin) 42222 BBB A ， 3 分 2 11 sin(1 sin) 23 AB， 5 分 又sin0A， 3 sin 3 A 6 分 （2）由正弦定理得 sinsin ACBC BA 7 分 3 6 sin 3 3 2 1 sin 3 ACA BC B ， 9 分 又sinsin()sincoscossinCABABAB 32 2616 33333 11 分 6 116 sin63 23 2 223 ABC SACBCC 12 分 19.解：(1) ， 1 分2e 222 2, c cba a 22 ab 可设双曲线方程为 2 分 22 ()0 xy 双曲线过点， ，即 3 分(4,10)16 106 双曲线方程为 . 4 分 22 6xy (2)由(1)可知，在双曲线中 ， ，6ab2 3c 5 分 12 ( 2 3,0),(2 3,0)FF ， 6 分 12 , 32 332 3 MFMF mm kk 又点 在双曲线上， .()3Mm， 22 963mm， 7 分 12 2 1 332 332 3 MFMF mmm kk 8 分 12 MFMF (3)由(2)知 12 MFMF ， 为直角三角形又 ， 12 MFF 12 ( 2 3,0),(2 3,0)FF3 m 或，由两点间距离公式得(3, 3)M(3,3)M ， 22 1 |( 2 33)(03)24 12 3MF ， 10 分 22 1 |(2 33)(03)24 12 3MF 12 12 1 2 F MF SMF MF 11 24 12 324 12 3126 22 即的面积为 6. 12 分 12 FMF 20解：(1)当 ，由已知有1n 3 分 2 11 12 aa1 1 a （2） 时有2n 4 分 -得： 2 2nST nn 2 11 ) 1(2 nST nn 7 5 分122naS nn 再向后类推一次 6 分1) 1(22 11 naS nn -得： 则8 分222 1 nnn aaa22 1 nn aa 10 分)2(22 1 nn aa 是以 3 为首项，公比为 2 的等比数列11 分2 n a 12 分 1 232 n n a223 1 n n a 21.解：(1) 解方程组 得或 -2 分 2 1 2 1 4 8 yx yx 1 1 4 2 x y 2 2 8 4 x y 即, 从而 AB 的中点为. -3 分4, 2 ,8,4()AB2,1M 由 ,直线 AB 的垂直平分线方程 1 2 AB k( 1 12 . 2 )yx 令 , 得 -4 分5y (5,5), 5xQ (2) 直线 OQ 的方程为 , 设. -5 分0xy 2 1 ,4 8 ()P xx 点 P 到直线 OQ 的距离=, d 2 4 8 1 2 xx 328 28 1 2 xx -7 分 ,=. -8 分25OQ OPQ S 2 1 dOQ328 16 5 2 xx P 为抛物线上位于线段 AB 下方的点, 且 P 不在直线 OQ 上, 或. -10 分44 3 4x4 3 48x 函数在区间 上单调递增, 2 832yxx4,8 当时,的面积取到最大值 . -12 分8x OPQ30 22.解：（1）将3x 代入 22 1 62 xy ，解得1y ， -1 分 因点A在第一象限，从而( 3,1)A，由点E的坐标为 3 (,0) 2 ，所以 2 3 AB k，直线 PA的方程为 23 () 23 yx， y x B P A OEF1F2 第 18 题 8 联立直线PA与椭圆C的方程，解得 37 (,) 55 B ， -2 分 又PA过原点O，于是(3, 1)P ，4PA ，所以直线PA的方程为 30xy，所以点B到直线PA的距离 37 3 55 3 3 25 h ， - -4 分 13 36 3 4 255 PAB S -5 分 （2）假设存在点E，使得 22 11 EAEB 为定值，设 0 (,0)E x， 当直线AB与x轴重合时，有 2 0 2222 22 0 00 1221111 (6)(6)( 6) x EAEBxxx -6 分 当直线AB与x轴垂直时， 2222 00 1126 6 2(1) 6 xEAEBx ， -7 分 由 2 0 222 00 1226 (6)6 x xx ，解得 0 3x ， 2 0 6 2 6x ， 所以若存在点E，此时(3,0)E ， 22 11 EAEB 为定值 2 -8 分 根据对称性，只需考虑直线AB过点( 3,0)E，设 11 ( ,)A x y， 22 (,)B xy， 又设直线的方程