（福建专用）2013年高考数学总复习 （教材回扣夯实双基+考点突破+瞭望高考）第九章课件（打包8套）
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（福建专用）2013年高考数学总复习 （教材回扣夯实双基+考点突破+瞭望高考）第九章课件（打包8套）,福建,专用,年高,数学,复习,温习,教材,回扣,夯实,考点,突破,瞭望,高考,第九,课件,打包
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第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 第 1课时 分类加法计数原理与分步乘法计数原理 教材回扣夯实双基 基础梳理 1 分类加法计数原理 完成一件事，有 第 1类办法中有 第 2类办法中有 在第 那么完成这件事共有 N_种不同的方法，这一原理叫做_ 类加法计数原理 2 分步乘法计数原理 完成一件事，需要分成 第1步有 第 2步有 做第 那么完成这件事共有 N_种不同的方法，这一原理叫做_ 步乘法计数原理 思考探究 在解题过程中如何判定是用分类加法计数原理还是用分步乘法计数原理 ？ 提示： 如果已知的每类办法中的每一种方法都能完成这件事，应该用分类加法计数原理；如果每类办法中的每一种方法只能完成事件的一部分，就用分步乘法计数原理 课前热身 1 从 3名女同学 2名男同学中选一人 ，主持本班的 “ 勤俭节约 ， 从我做起 ” 主题班会 ， 则不同的选法种数为 ( ) A 6 B 5 C 3 D 2 答案： B 个门，购物者若从一个门进，则必须从另一个门出，则不同的走法的种数是 ( ) A 7 B 8 C 11 D 12 答案： D 3 (教材习题改编 )5个高中毕业生报考三所重点院校 ， 每人报且只报一所院校 ， 则不同的报名方法有 ( ) A 35种 B 53种 C 5 4 3种 D 5 3种 答案： A 4 已知 a 0,3,4， b 1,2,7,8，r 8,9， 则方程 (x a)2 (y b)2 _ 答案： 24 5 (2012福州质检 )甲厂生产的空调外壳形状有 3种 ， 颜色有 4种 ， 乙厂生产的空调外壳形状有 4种 ， 颜色有 5种 ，均与甲厂生产的不同 这两厂生产的空调仅从外壳的形状和颜色看 ， 共有_种不同的种类 答案： 32 考点探究讲练互动 考点突破 分类加法计数原理 分类时，首先要根据问题的特点确定一个适合于它的分类标准，然后在这个标准下进行分类； 其次分类时要注意满足一个基本要求 ， 就是完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类 ， 并且分别属于不同种类的两种方法是不同的方法 ， 只有满足这些条件 ， 才可以用分类加法计数原理 例 1 方程1 表示焦点在 y 轴上的椭圆 ， 其中 m 1 , 2 , 3 , 4 , 5 ， n 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 ， 那么这样的椭圆有多少个 ？ 【 思路分析 】 (m， n)取值个数就是椭圆个数 【 解 】 以 为五类第一类： m 1时，使 nm， 种选择；第二类： m 2时，使 nm， 种选择； 第三类： m 3时 ， 使 nm， 种选择；第四类： m 4时 ， 使 nm， 种选择；第五类： m 5时 ， 使 nm，种选择 共有 6 5 4 3 2 20种方法 ， 即有 20个符合题意的椭圆 【 名师点评 】 “ 分类 ” 的基本原则是 “ 不重不漏 ” ， 如何合理地进行分类是用好分类加法计数原理的关键 ，首先要将事件分几大类 ， 再合理地将大类分为若干小类 ， 最终用分类加法计数原理计算 变式训练 1 在 1到 20这 20个整数中 ， 任取两个相 减 ， 差大于 10， 共有几种取法 ？ 解：当被减数为 20时 ， 减数可以是 1、 2、3、 、 9， 共 9种 当被减数为 19时 ， 减数可以是 1、 2、 3、 、 8， 共 8种 当被减数是 12时 ， 减数为 1， 共 1种 ，由分类加法计数原理知 ， 共有 9 8 7 1 45种不同的取法 运用分步乘法计数原理就是将一个复杂问题的解决过程分解为若干 “ 步骤 ” ，先对每一个步骤进行分析 ， 再整合为一个完整的过程 运用该原理解题的突破口也是明确什么是 “ 完成一件事 ” 分步乘法计数原理 例 2 已知集合 M 3， 2， 1,0,1,2，P(a， b)(a， b M)表示平面上的点 ， 问： (1) (2) 【 思路分析 】 这里的 “ 完成一件事 ” 是指利用给出的元素确定一个符合条件的点的坐标 【 解 】 (1)确定平面上的点 P(a， b)可分两步完成：第一步确定 共有 6种确定方法；第二步确定 也有 6种确定方法 根据分步乘法计数原理 ，得到平面上的点的个数是 6 6 36. (2)确定第二象限的点 ， 可分两步完成：第一步确定 a， 由于 所以有 2种确定方法 由分步乘法计数原理 ， 得到第二象限点的个数是 3 2 6. 【 名师点评 】 应用分步乘法计数原理要注意两点 (1)明确题目中所指的 “ 完成一件事 ”是什么事 ， 必须要经过几步才能完成这件事； (2)完成这件事需要分成若干个步骤，只有每个步骤都完成了，才算完成这件事，缺少任何一步，这件事都不可能完成 互动探究 2 本例题目条件不变 ， y 解：点 P(a， b)在直线 y a b. 因此 a和 中取同一元素，共有 6种取法，即在直线 y 个由本例 (1)得不在直线 y 6 6 30(个 ) 分类加法计数原理与分步乘法计数原理的区别在于：分类加法计数原理针对的是 “完成事件的方法种类不同 ” 问题 ， 其各种方法是相互独立的 ， 用其中任何一种方法都能做完这件事情； 两个计数原理的综合应用 分步乘法计数原理针对的是 “ 完成事件需分几个步骤 ” 问题，各个步骤中的方法相互联系，只有各个步骤都完成才能完成这件事情 例 3 某电视台连续播放 6个广告 ， 其中有 3个不同的商业广告 、 两个不同的世博会宣传广告 、 一个公益广告 ， 要求最后播放的不能是商业广告 ， 且世博会宣传广告与公益广告不能连续播放 ， 两个世博会宣传广告也不能连续播放 ， 则有多少种不同的播放方式 ？ 【 思路分析 】 先确定世博会宣传广告与公益广告的播放顺序 ， 再确定商业广告的播放顺序 【 解 】 用 1、 2、 3、 4、 5、 6表示广告的播放顺序 ， 则完成这件事有 3类方法 第一类：宣传广告与公益广告的播放顺序是 2、 4、 步完成这件事，共有 3 3 2 2 1 1 36种不同的播放方式 第二类：宣传广告与公益广告的播放顺序是 1、 4、 6， 分 6步完成这件事 ，共有 3 3 2 2 1 1 36种不同的播放方式 第三类：宣传广告与公益广告的播放顺序是 1、 3、 6，同样分 6步完成这件事，共有 3 3 2 2 1 1 36种不同的播放方式 由分类加法计数原理得： 6个广告不同的播放方式有 36 36 36 108(种 ) 【 误区警示 】 本题易出现因分类不全而得到错误答案的现象 ， 造成这种现象的原因是考虑顺序不全面 方法技巧 1 如果完成一件事有几类办法 ， 这几类办法彼此之间相互独立 ， 无论哪一类办法中的哪一种方法都能单独完成这件事 ， 求完成这件事的方法种数时就用分类加法计数原理 ， 分类加法计数原理可利用 “ 并联 ” 电路来理解 方法感悟 2 如果完成一件事情要分几个步骤 ，各个步骤都是不可缺少的 ， 需要依次完成所有的步骤 ， 才能完成这件事 ，而完成每一个步骤各有若干种不同的方法 ， 求完成这件事的方法种数时就用分步乘法计数原理 ， 分步乘法计数原理可利用 “ 串联 ” 电路理解 3 混合问题一般是先分类再分步 4 要恰当画出示意图或树状图 ， 使问题的分析更直观 、 清楚 ， 便于探索规律 失误防范 1 切实理解 “ 完成一件事 ” 的含义 ，以确定需要分类还是需要分步进行 2 分类时要做到不重不漏 3 对于复杂的计数问题 ， 可以分类 、分步综合应用 考向瞭望把脉高考 命题预测 从近几年的高考试题来看 ， 分类加法计数原理和分步乘法计数原理是考查的热点 题型为选择题 、 填空题 ， 分值在 5分左右 ，属中档题 两个计数原理较少单独考查 ，一般与排列 、 组合的知识相结合命题 预测 2013年福建高考 ， 分步乘法计数原理与分类加法计数原理仍是考查的重点 ， 同时应特别重视分类加法计数原理的应用 ， 它体现了分类讨论的思想 典例透析 例 (2011高考湖南卷 )给定 k N*， 设函数 f： N* N*满足：对于任意大于 n， f(n) n k. (1)设 k 1， 则其中一个函数 f在 n 1处的函数值为 _； (2)设 k 4， 且当 n 4时 ， 2 f(n) 3， 则不同的函数 _ 【 解析 】 (1)由题可知 f(n) N*， 而 k 1时 ， n 1则 f(n) n 1 N*， 故只须 f(1) N*， 故 f(1) a( (2)由题可知 k 4， n 4则 f(n) n4 N* ， 而 n 4 时 ， 2 f(n) 3 即f(n) 2,3 ， 即 n 1,2,3,4 ，f(n) 2,3， 由乘法原理可知 ， 不同的函数 4 16. 【 答案 】 (1)a( (2)16 【 名师点评 】 本题主要考查函数与映射的对应 ， 分步乘法计数原理和考生的抽象概括能力 ， 难度中等 ， 关键是对题意的理解 第 2课时 排列与组合 教材回扣夯实双基 基础梳理 1 排列与排列数 (1)排列 从 m(m n)个元素 ，_， 叫做从 按照一定的顺序排成一列 (2)排列数 从 m(m n)个元素的_， 叫做从 记作_. 所有不同排列的个数 组合与组合数 (1)组合 从 m(m n)个元素_， 叫做从 合成一组 (2)组合数 从 m(m n)个元素的 _， 叫做从 记作 _. 所有不同组合的个数 考探究 如何区分某一问题是排列问题还是组合问题 ？ 提示： 区分某一问题是排列问题还是组合问题，关键是看所选出的元素与顺序是否有关，若交换某两个元素的位置对结果产生影响，则是排列问题，否则是组合问题 3 排列数 、 组合数的公式及性质 排列数 组合数 公式 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ n(n 1)(n 2) (n m 1) n ！ n m ！ n n 1 n m 1 m ！ n ！m ！ n m ！ 排列数 组合数 性 质 ( 1 ) _ _ _ ； ( 2 ) 0 ！ _ _ _ ( 1 ) _ _ _ _ _ ； ( 2 ) _ _ _ _ _ _ _ ； ( 3 ) 1n 1 备注 n ， m N*且 m n n！ 1 1 C n 课前热身 1 某段铁路所有车站共发行 132种普通车票 ，那么这段铁路共有车站数是 ( ) A 8 B 12 C 16 D 24 答案： B 2 将标号为 1,2,3,4,5,6的 6张卡片放入 3个不同的信封中 ， 若每个信封放 2张 ， 其中标号为 1,2的卡片放入同一信封 ， 则不同的放法共有 ( ) A 12种 B 18种 C 36种 D 54种 答案： B 3 已知 1,2X1,2,3,4,5， 则满足这个关系式的集合 ) A 2个 B 4个 C 6个 D 8个 答案： D 4 (2012三明质检 )在 10件产品中有三件是次品 ， 则从中任取三件恰有一件次品的取法有 _种 答案： 63 答案： 5或 6 5 若 C 2 n 511 C n 111 ，则 n _ _ _ _ _ _ _ _ . 考点探究讲练互动 考点突破 排列数与组合数公式的应用 排列数与组合数的计算问题 ， 要注意依据排列数与组合数的公式及其变形 ， 在计算过程中要注意阶乘的运算 、 组合数性质的使用 ，同时要注意含有排列数或组合数的方程都是在某个正整数范围内求解 例 1 解方程或不等式： ( 1 ) 3 2 1 6 ( 2 )1 【 思路分析 】 本题主要考查排列数公式 、 阶乘的定义及学生的运算能力 (1)是涉及含字母的排列数 ， 但因 2、 3数字比较小 ， 仍用公式 A n(n 1) (nm 1) (2)利用组合数公式即可求解 【 解 】 (1)原方程可化为： 3x(x 1)(x 2) 2(x 1)x 6x(x 1) x 3， 3(x 1)(x 2) 2(x 1) 6(x 1)， 即 3 17 x 10 0 ， 解得 x 23( 舍去 ) 或 x 5. 原方程的解为 x 5. ( 2 ) 由组合数公式得3 ！ n 3 ！n ！4 ！ n 4 ！n ！2 5 ！ n 5 ！n ！，不等式两边约去3 ！ n 5 ！n ！，得 ( n 3 ) ( n 4) 4( n 4 ) 2 5 4 ，即 11 n 1 2 0 ，解得 1 n 1 2 . 又 n N*，且 n 5 ， n 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , 1 0 , 1 1 . 【误区警示】 在解有关排列数 ( 或组合数 )的方程或不等式时，必须注意 中的 m 是非负整数，且 n m ，求出方程或不等式的解后，要进行检验，把不符合的解舍去 排列的本质是 “ 有序性 ” ， 就是 “ 元素 ”占 “ 位子 ” 问题 有限制条件的排列问题主要有： (1)“ 在与不在 ” 问题 ， 要优先考虑特殊元素和特殊位置； (2)“ 邻与不邻 ”问题 ， 要采用 “ 捆绑法 ” 和 “ 插空法 ” 排列应用题 例 2 有 3名男生 ， 4名女生 ， 在下列不同条件下 ， 求不同的排列方法总数 (1)选其中 5人排成一排； (2)排成前后两排 ， 前排 3人 ， 后排 4人； (3)全体排成一排 ， 甲不站在排头也不站在排尾； (4)全体排成一排 ， 女生必须站在一起 【 思路分析 】 (1)属无限制条件的排列问题 ， 可用直接法 (2)可采用两种方法： 先排前排 ， 再排后排； 可认为是先限制条件的排列 、 直接法排 (3)属 “ 在与不在 ” 问题 ， 可优先考虑位置 ， 也可优先考虑甲 (4)属相邻问题 ， 采用捆绑法 【解】 ( 1 ) 从 7 个人中选 5 个人来排列，有 7 6 5 4 3 2 5 2 0 种方法 ( 2 ) 分两步完成，先选 3 人排在前排，有 方法，余下 4 人排在后排，有 方法，故共有 5 0 4 0 种方法 ( 3 ) ( 优先法 ) 甲为特殊元素先排甲，有 5 种方法；其余 6 人有 方法，故共有 5 3600 种方法 ( 4 ) ( 捆绑法 ) 将女生看成一个整体，与 3 名男生在一起进行全排列，有 方法，再将 4名女生进行全排列，也有 方法，故共有 5 7 6 种方法 【 名师点评 】 求排列应用题的主要方法： (1)对无限制条件的问题 直接法； (2)对有限制条件的问题 ， 对于不同题型可采取直接法或间接法 ， 具体如下： 每个元素都有附加条件 列表法或树图法； 有特殊元素或特殊位置 优先排列法； 有相邻元素 (相邻排列 )捆绑法； 有不相邻元素 (间隔排列 )插空法 互动探究 1 本例条件不变 ， 求全体排成一排 ，男生互不相邻的排法总数 解： ( 插空法 ) 男生不相邻，而女生不作要求，所以应先排女生，有 方法，再在女生之间及首尾空出的 5 个空位中任选 3 个空位排男生，有 方法，故共有 1 4 4 0 ( 种 ) 组合中的元素具有 “ 无序性 ” ， 即 “ 不管顺序怎样合成一组 ” 在解有限制条件的组合应用题时 ， 要从分析入手 ， 明确限制条件有哪些 ， 所给元素分几类 ， 一般方法还是直接法 、 间接法 组合应用题 例 3 从 7名男生 5名女生中选取 5人 ，分别求符合下列条件的选法总数有多少种 ？ (1)A， (2)A， (3)选取 3名男生和 2名女生分别担任班长 、 体育委员等 5种不同的工作 ， 但体育委员必须由男生担任 ， 班长必须由女生担任 【 思路分析 】 (1)属于组合问题 ， 可用直接法； (2)属于组合问题 ， 可用间接法； (3)属于先选后排问题应分步完成 【解】 ( 1 ) 由于 A ， B 必须当选，那么从剩下的 10 人中选取 3 人即可，有 1 2 0 ( 种 ) ( 2 ) 全部选法有 ， A ， B 全当选有 ，故 A ， B 不全当选有 6 7 2 ( 种 ) ( 3 ) 分三步进行： 第一步，选 1 男 1 女分别担任两个职务有 第二步，选 2 男 1 女补足 5 人有 第三步，为这 3 人安排工作有 由分步乘法计数原理共有 15 14 1 2 6 0 0 种选法 【 名师点评 】 组合问题常有以下两类题型变化： (1)“ 含有 ” 或 “ 不含有 ” 某些元素的组合题型： “ 含 ” ， 则先将这些元素取出 ，再由另外元素补足； “ 不含 ” ， 则先将这些元素剔除 ， 再从剩下的元素中去选取 (2)“ 至少 ” 或 “ 最多 ” 含有几个元素的题型：解这类题必须十分重视 “ 至少 ”与 “ 最多 ” 这两个关键词的含义 ， 谨防重复与漏解 用直接法和间接法都可以求解 通常用直接法分类复杂时 ， 考虑逆向思维 ， 用间接法处理 互动探究 2 题目条件不变 ， 求符合下列条件的选法总数有多少 ？ (1)A、 (2)至少有 2名女生当选 解： ( 1 ) 从除去 A ， B 两人的 10 人中选 5 人即可， 有 2 5 2 ( 种 ) ( 2 ) 注意到 “ 至少有 2 名女生 ” 的反面是只有一名女生或没有女生，故可用间接法进行求解 有 5 9 6 种选法 变式训练 3 一个口袋内有 4个不同的红球 ， 6个不同的白球 (1)从中任取 4个 ， 使红球的个数不比白球少 ， 这样的取法有多少种 ？ (2)若取一个红球记 2分，取一个白球记 1分，从口袋中取 5个球，使总分不小于 7的取法有多少种？ 解： ( 1 ) 从中任取 4 个，使红球的个数不比白球少的方法可分为三类： 第一类：红球取 4 个的方法有 第二类：红球取 3 个，白球取 1 个的方法有16； 第三类：红球取 2 个，白球取 2 个的方法有有取法 1 1 5 ( 种 ) ( 2 ) 设取红球 x 个，取白球 y 个，依题意可知： 2 x y 7x y 5，且 0 x 4 , 0 y 6 ， 解得x 2 ， 3 ， 4y 3 ， 2 ， 1. 这样把总分不小于 7 的取法可以分为三类： 第一类：红球取 2 个，白球取 3 个的方法有 第二类：红球取 3 个，白球取 2 个的 方法有 第三类：红球取 4 个，白球取 1 个的方法有 由加法原理，满足条件的取法共有 341 8 6 ( 种 ) 排列、组合的综合应用问题 解排列 、 组合的综合应用问题 ， 要按照 “ 先选后排 ” 的原则进行 ， 即一般是先将符合要求的元素取出 (组合 )， 再对取出的元素进行排列 ，常用的分析方法有：元素分析法 、 位置分析法 、图形分析法 要根据实际问题探索分类 、 分步的技巧 ， 做到层次清楚 ， 条理分明 有 5个男生和 3个女生 ， 从中选出 5人担任 5门不同学科的课代表 ， 分别求符合下列条件的选法数： (1)有女生但人数必须少于男生； (2)某女生一定要担任语文课代表； 例 4 (3)某男生必须包括在内 ， 但不担任数学课代表； (4)某女生一定要担任语文课代表 ， 某男生必须担任课代表 ， 但不担任数学课代表 【 思路分析 】 “ 先选后排 ” ， 注意“ 选 ” 和 “ 不选 ” 应优先考虑 【解】 ( 1 ) 先取后排，先取有 23 13种，后排有 ，共 (23 13 )5 4 0 0 ( 种 ) ( 2 ) 除去该女生后先取后排：有 44 8 4 0 ( 种 ) ( 3 ) 先取后排，但先安排该男生：有 14 3 3 6 0 ( 种 ) ( 4 ) 先从除去该男生该女生的 6 人中选 3 人有，再安排该男生有 ，其余 3 人全排列有 ，共 13 3 6 0 ( 种 ) 【 名师点评 】 本题中不仅要选出 5个元素 ，还要求分排在 5个空位上 ， 因此是一道 “ 既选又排 ” 的排列与组合的综合问题 ， 该类问题的处理方法是 “ 先选后排 ” ， 同时注意特殊元素优先安排的原则 ， 若是选出 5人而没有担任 5项不同工作 ， 将是 “ 只选不排 ” 即组合问题 ， 二者是有区别的 方法技巧 1 对于有附加条件的排列组合应用题 ， 通常从三个途径考虑： (1)以元素为主考虑 ， 即先满足特殊元素的要求 ， 再考虑其他元素； 方法感悟 (2)以位置为主考虑 ， 即先满足特殊位置的要求 ， 再考虑其他位置； (3)先不考虑附加条件 ， 计算出排列或组合数 ， 再减去不合要求的排列或组合数 2 排列 、 组合问题的求解方法与技巧 (1)特殊元素优先安排； (2)合理分类与准确分步； (3)排列 、 组合混合问题先选后排； (4)相邻问题捆绑处理； (5)不相邻问题插空处理； (6)定序问题排除法处理； (7)分排问题直排处理； (8)“ 小集团 ” 排列问题先整体后局部； (9)构造模型； (10)正难则反，等价转化 失误防范 1 解决排列 、 组合问题可遵循 “ 先组合后排列 ” 的原则 ， 区分排列 、 组合问题主要是判断 “ 有序 ” 和 “ 无序 ” ， 更重要的是弄清怎样的算法有序 ， 怎样的算法无序 ， 关键是在计算中体现 “ 有序 ” 和 “ 无序 ” 2 要能够写出所有符合条件的排列或组合 ， 尽可能使写出的排列或组合与计算的排列数相符 ， 使复杂问题简单化 ， 这样既可以加深对问题的理解 ，检验算法的正确与否 ， 又可以对排列数或组合数较小的问题的解决起到事半功倍的效果 考向瞭望把脉高考 命题预测 排列与组合问题一直是高考数学的热点内容之一从近几年的高考试题统计分析来看，对排列与组合知识的考查均以应用题的形式出现，题型为选择题、填空题，题量多是一道，分值为 4 5分，属于中档题 内容以考查排列 、 组合的基础知识为主 题目难度与课本习题难度相当 ，但也有个别题目难度较大 ， 重点考查分析 、 解决问题的能力及分类讨论的数学思想方法 预测 2013年福建高考 ， 排列 、 组合及排列与组合的综合应用仍是高考的重点 ， 同时应注意排列 、 组合与概率 、分布列等知识的结合 ， 重点考查学生的运算能力与逻辑推理能力 典例透析 例 (2011高考北京卷 )用数字 2,3组成四位数 ， 且数字 2,3至少都出现一次 ，这样的四位数共有 _个 (用数字作答 ) 【解析】 数字 2 , 3 至少都出现一次，包括以下情况： “2” 出现 1 次， “ 3 ” 出现 3 次，共可组成 ( 个 ) 四位数 “2” 出现 2 次， “ 3 ” 出现 2 次，共可组成 ( 个 ) 四位数 “2” 出现 3 次， “ 3 ” 出现 1 次，共可组成 ( 个 ) 四位数 综上所述，共可组成 14 个这样的四位数 【 答案 】 14 【 名师点评 】 本题考查排列 、 组合问题 ， 考查分类讨论思想 ， 主要考查考生的运算求解能力 第 3课时 二项式定理 教材回扣夯实双基 1 二项式定理 ( 1 ) 二项式定理 公式 ( a b )n_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _叫做二项式定理 ( 2 ) 二项展开式的通项 T k 1 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 为展开式的第 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 项 k 1 1b n N*) 础梳理 提示： 从整体看， ( a b ) b a )具体到某一项是不同的，如 ( a b )k 1项 T k 1 ( b a )k 1 项 T k 1 思考探究 在公式中 ， 交换 a， ( 2 ) 增减性与最大值：二项式系数 当 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 时，二项式系数是递增的； 当 k _ _ _ _ _ _ _ _ _ 时，二项式系数是递减的 2 二项式系数的性质 (1)对称性：与首 、 末两端 _的两个二项式系数相等 ， 即 _. C C n 等距离 k n 12 k n 12 当 n 是偶数时， _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 取得最大值 当 n 是奇数时，中间两项 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 和 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 相等，且同时取得最大值 中间一项 ( 3 ) 各二项式系数的和 ( a b ) _ _ _ _ _ _ _ _ . 二项展开式中，偶 数项的二项式系数的和_ _ _ _ _ _ 奇数项的二项式系数的和，即 _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 2n 等于 2n 1 课前热身 1 ( 教材习题改编 ) 在 (3x)8的展开式中的常数项是 ( ) A 7 B 7 C 2 8 D 28 答案： A 2 (2012泉州调研 )若 (x 1)4 a0则 ) A 9 B 8 C 7 D 6 答案： B 3 二项式 (a 2b)， 则它的第三项的二项式系数为 ( ) A 24 B 18 C 16 D 6 答案： D 4 ( 2 0 1 2 莆田质检 ) 在 ( x 2x)常数项为 60 ，则 n 等于 _ _ _ _ _ _ _ _ 答案： 6 5 ( x 1x)7的二项展开式中 x 的系数是_ _ _ _ _ _ _ _ ( 用数字作答 ) 答案： 35 考点探究讲练互动 考点突破 求展开式中的指定项 通项公式中含有 a， b， n， r， 15个元素 ，只要知道了其中的 4个元素 ， 就可以求出第 5个元素 ， 在求展开式中的指定项问题时 ， 一般是利用通项公式 ， 把问题转化为解方程 (或方程组 ) 这里必须注意隐含条件 n， r n. 例 1 已知在 (3x 123x) 6 项为常数项 ( 1 ) 求 n ； ( 2 ) 求含 ( 3 ) 求展开式中所有的有理项 【 思路分析 】 利用通项公式 ， 根据指定项的特点确定 注意隐含条件的应用 ( 3 ) 根据通项公式，由题意得10 2 Z ，0 r 10 ，r 2 k ( k Z) ，则 10 2 r 3 k ， 即 r 5 32k ， r Z ， k 应为偶数 k 可取 2 , 0 ， 2 ，即 r 可取 2 , 5 , 8 . 所以第 3 项，第 6 项与第 9 项为有理项，它们分别为 12)2 12)5， 12)8x 2. 【 名师点评 】 (1)解此类问题可以分两步完成：第一步是根据所给出的条件 (特定项 )和通项公式 ， 建立方程来确定指数 (求解时要注意二项式系数中 n和 即 n， 且 n r)；第二步是根据所求的指数 ， 再求所求解的项； (2)求二项展开式中的有理项，一般是根据通项公式所得到的项，其所有的未知数的指数恰好都是整数的项解这种类型的问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其属于整数，再根据数的整除性来求解 若求二项展开式中的整式项 ， 则其通项公式中同一字母的指数应是非负整数 ，求解方式与求有理项的方式一致 互动探究 1 本例题已知条件不变 ， 问： “ 这个展开式中是否含有 ” 若没有 ， 请说明理由；若有 ， 请求出 解：由例题知 n 10 ， 1 12) 2 若含 x 的一次项，则10 2 1 ， 10 2 r 3 ， 2 r 7 ， r 72，与 r Z 矛盾， 此展开式中不含 x 的一次项 变式训练 2 如果3 正整数 n 的最小值为 ( ) A 10 B 6 C 5 D 3 解析：选 C. 1 x2)n k2( 1)k k2kx2 n 5 k， 由题意知 2 n 5 k 0 ，即 n 5 n N*， k N ， n 的最小值为 5. 根据二项式系数的性质 ， 求二项展开式中系数最大的项 求展开式中系数最大项与求二项式系数最大项不同 ， 求展开式中系数最大项的步骤是：先假定第 r 1项系数最大 ， 则它比相邻两项的系数都不小 ， 列出不等式组并求解此不等式组求得 例 2 (1 2x)项与第 7项的系数相等 ， 求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项 【 思路分析 】 根据已知条件求出 n， 再根据 确定出二项式系数最大的项 【解】 T 6 2 x )5， T 7 2 x )6， 依题意有 5 6 n 8. (1 2 x )8的展开式中，二项式系数最大的项为 T 5 ( 2 x )4 1 1 2 0 设第 r 1 项系数最大，则有 2r 18 2r 12r 18 2r 1 5 r 6. r 5 或 r 6. 系数最大的项为 T 6 1 7 9 2 T 7 1 7 9 2 【 名师点评 】 在运用二项式定理时不能忽视展开式中系数的正负符号 当然还需考虑二项式系数与展开式某项的系数之间的差异：二项式系数只与二项式的指数和项数有关 ， 与二项式无关；而项的系数不仅与二项式的指数和项数有关 ， 还与二项式有关 赋值法是求展开式中的系数与系数和的常用方法 ， 注意赋值要有利于问题的解决 ， 可以取一个或几个值 ， 常赋的值为 0， 1. 赋值法在二项展开式中的应用 一般地 ， 要使展开式中项的关系变为系数的关系 ， 令 x 0可得常数项 ， 令 x 1可得所有项系数和 ， 令 x 1可得奇数次项系数之和与偶数次项系数之和的差 ， 而当二项展开式中含负值项时 ， 令 x 1则可得各项系数绝对值之和 例 3 若 (3x 1)7 求： (1) (2) (3)【 思路分析 】 所求结果与各项系数有关 ， 可以考虑用 “ 特殊值法 ” ， 即“ 赋值法 ” 整体解决 【 解 】 (1)令 x 0， 则 1； 令 x 1， 则 27128， 129. ( 2 ) 令 x 1 ， 则 a 7 a 6 a 5 a 4 a 3 a 2 a 1 a 0 ( 4)7， 由 2得： a 7 a 5 a 3 a 1 12 1 2 8 ( 4)7 8 2 5 6 . ( 3 ) 由 2得： a 6 a 4 a 2 a 0 12 1 2 8 ( 4)7 8 1 2 8 . 【 名师点评 】 若 (b)n 设 f(x) (b)n. 则有： (1) f(1)； (2) ( 1)f( 1)； ( 3 ) a 0 a 2 a 4 a 6 f 1 f 1 2； ( 4 ) a 1 a 3 a 5 a 7 f 1 f 1 2. 互动探究 3 在本例条件下求 | | | 解： (3x 1)7展开式中 ， 而 | | | ( ( 8256 ( 8128) 1 16383. 方法技巧 方法感悟 二项式定理的再认识 ( 1 ) 通项为 T r 1 a b )r 1 项，而不是第 r 项，这里 r 0 , 1 ， ， n . ( 2 ) 二项式系数与项的系数是完全不同的两个概念二项式系数是指 ， 它只与各项的项数有关，而与 a ， b 的值无关；而项的系数是指该项中除变量外的常数部分，它不仅与各项的项数有关，而且也与a ， b 的值有关，如 ( a r 1 项的二项式系数是 而该项的系数是 当然 ， 在某些二项展开式 (如 (a b)n)中 ，各项的系数与二项式系数是相等的 (3)运用通项求展开式的一些特殊项 ， 通常都是由题意列方程求出 r， 再求所需的某项；有时需先求 n， 计算时要注意 n和 失误防范 1 区别 “ 项的系数 ” 与 “ 二项式系数 ” ， 审题时要仔细 项的系数与 a， 可正可负 ， 二项式系数只与 恒为正 2 切实理解 “ 常数项 ”“ 有理项 ” (字母指数为整数 )“ 系数最大的项 ” 等概念 3 求展开式中的指定项 ， 要把该项完整写出 ， 不能仅仅说明是第几项 4 赋值法求展开式中的系数和或部分系数和 ， 常赋的值为 0， 1. 5 在化简求值时 ， 注意二项式定理的逆用 要用整体思想看待 a、 b. 考向瞭望把脉高考 命题预测 从近几年的高考试题来看 ， 考查的重点是二项式定理的通项公式 、 二项式系数及项的系数； 以考查基本概念、基础知识为主，如系数和、求某项的系数、求常数项、求有理项、求所含参数的值或范围等；难度不大，属于中档题和容易题，题型为选择题或填空题 预测 2013年福建高考 ， 求二项展开式的特定项和特定项的系数仍然是考查的重点 ， 同时应注意二项式系数性质的应用 典例透析 例 ( 2 0 1 1 高考天津卷 ) 在 ) A 析】 因为 T r 1 r2( 1)126 2 r r，令 3 r 2 ，得 r 1 ，T 2 6 124 38以 C 正确 【 答案 】 C 【 名师点评 】 本题考查了通项公式及一些指数式的简单运算 ， 试题难度较小 ， 试问展开式中有常数项吗 ？ 第 4课时 随机变量的概率 教材回扣夯实双基 基础梳理 1事件 (1)在条件 定会发生的事件，叫做相对于条件 _事件 (2)在条件 定不会发生的事件，叫做相对于条件 _事件 (3)在条件 能发生也可能不发生的事件，叫做相对于条件 _事件 必然 不可能 随机 2 概率和频率 ( 1 ) 在相同的条件 S 下重复 n 次试验，观察某一事件 A 是否出现，称 n 次试验中事件A 出现的次数 n A 为事件 A 出现的频数，称 事件 A 出现的比例 f n ( A ) _ _ _ _ _ _ _ _ 为事件A 出现的频率 2)对于给定的随机事件 A， 由于事件 )随着试验次数的增加稳定于概率 P(A)， 因此可以用频率)来估计概率 P(A) 思考探究 1 频率和概率有什么区别 ？ 提示： 频率随着试验次数的变化而变化，概率却是一个常数，它是频率的科学抽象当试验次数越来越多时，频率向概率靠近，只要次数足够多，所得频率就近似地看作随机事件的概率 定义 符号表示 包含关系 如果事件 则事件 这时称事件 (或称事件 ) _(或_) 相等关系 若 B_， 那么称事件 相等 _ 发生 一定发生 BA AB AB A B 定义 符号表示 并事件 (和事件 ) 若某事件发生当且仅 当_发 生，称此事件为事件 的并事件 (或和事件 ) _(或_) 事件 A B A B 定义 符号表 示 交事件 (积事件 ) 若某事件发生当且仅 当_发 生，则称此事件为事件 的交事件 (或积事件 ) _(或_) 事件 A B 义 符号表示 互斥事件 若 A _事 件，那么事件 互斥 A B 对立事件 若 A _事 件， A 那么称事件 互为对立事件 不可能 不可能 必然事件 思考探究 2 互斥事件与对立事件有什么区别与联系 ？ 提示： 在一次试验中，两个互斥的事件有可能都不发生，也可能有一个发生；而两个对立的事件则必有一个发生，但不可能同时发生 所以 ， 两个事件互斥 ， 它们未必对立；反之 ， 两个事件对立 ， 它们一定互斥 也就是说 ， 两个事件对立是这两个事件互斥的充分而不必要条件 4 概率的几个基本性质 (1)概率的取值范围： _. (2)必然事件的概率 P(E) _. (3)不可能事件的概率 P(F) _. 0 P(A) 1 1 0 (4)概率的加法公式 如果事件 互斥 ， 则 P(A B) _ (5)对立事件的概率 若事件 互为对立事件 ， 则A P(A B) _，P(A) _ P(A) P(B) 1 1 P(B) 思考探究 3 应用概率加法公式时应注意哪些问题 ？ 提示： 应用互斥事件的概率加法公式，一定要注意首先确定各事件是否彼此互斥，然后求出各事件分别发生的概率，再求和 课前热身 1 随机事件 A 的频率 ) 0 1 C 01 D 0 1 答案： D 2 (2012三明质检 )一个人打靶时连续射击两次 ， 事件 “ 两次都不中靶 ” 的对立事件是 ( ) A 两次都中靶 B 至多有一次中靶 C 恰有 1次中靶 D 至少有一次中靶 答案： D 3 已知某厂的产品合格率为 90%， 抽出 10件产品检查 ， 则下列说法正确的是 ( ) A 合格产品少于 9件 B 合格产品多于 9件 C 合格产品正好是 9件 D 合格产品可能是 9件 答案： D 4 若事件 A， P(A) (A B) 则 P(B) _. 答案： (2012宁德调研 )在一个袋子中装有分别标注数字 1,2,3,4,5的五个小球 ， 这些小球除了标注的数字外完全相同 现从中随机取出 2个小球 ， 则取出的小球标注的数字之和为 3或 6的概率是 _ 答案： 310 考点探究讲练互动 考点突破 事件、事件的关系的判断 事件的判断需要对三种事件即不可能事件 、必然事件和随机事件的概念充分理解 ， 特别是随机事件要看它是否可能发生 ， 并且是在一定条件下的 ， 它不同于判断命题的真假 例 1 一口袋内装有 5个白球和 3个黑球 ,从中任取两球 记 “ 取到一白一黑 ” 为事件 “ 取到两白球 ” 为事件 取到两黑球 ” 为事件 (1)记 “ 取到 2个黄球 ” 为事件 M， 判断事件 (2)记 “ 取到至少 1个白球 ” 为事件 A， 试分析 1、 【 思路分析 】 按事件的分类和事件关系的定义解答 【 解 】 (1)事件 故为不可能事件 (2)事件 2发生 ， 则事件 故 ， ， 且 A 又 A A 故 3互斥且对立 【 名师点评 】 准确掌握随机事件 、 必然事件 、 不可能事件的概念是解题的关键 ， 应用时要特别注意看清条件 ， 在给定的条件下判断是一定发生 ， 还是不一定发生 ， 还是一定不发生 ， 来确定某一事件属于哪一类事件 应用互斥事件的概率加法公式的一般步骤是： (1)确定诸事件彼此互斥； (2)诸事件中有一个发生； (3)先求诸事件有一个发生的概率 ， 再求其和 互斥事件的概率 提醒：加法公式 P(A B) P(A) P(B)的条件是 A， 若事件 不是互斥事件 ， 则加法公式不成立 例 2 从分别写有 0,1,2,3,4,5的六张卡片中 ，任取三张 ， 并组成三位数 ， 计算： (1)这个三位数是偶数的概率； (2)这个三位数比 340小的概率 【 思路分析 】 理清每一个互斥事件是什么 【解】 ( 1 ) 分别记 “ 个位是 0 , 2 , 4 的三位数 ”为事件 A 1 ， B 1 ， C 1 ，它们的概率： P ( A 1 ) 2515， P ( B 1 ) 1425425， P ( C 1 ) 1425425. 因为事件 A 1 ， B 1 ， C 1 彼此互斥，由互斥事件的概率加法公式，三位数是偶数的概率是 P ( A 1 B 1 C 1 ) P ( A 1 ) P ( B 1 ) P ( C 1 ) 154254251325. ( 2 ) 分别记 “ 百位上的数是 1 , 2 , 3 的符合条件的三位数 ” 为事件 A 3 ， B 3 ， C 3 ，则它们的概率是 P ( A 3 ) P ( B 3 ) 2515. P ( C 3 ) 325325. 因为事件 A 3 ， B 3 ， C 3 彼此互斥，由互斥事件的概率加法公式，三位数比 3 4 0小的概率是： P ( A 3 B 3 C 3 ) P ( A 3 ) P ( B 3 ) P ( C 3 ) 2 153251325. 【 误区警示 】 对有无零及零位置不能正确计算而致误 互动探究 本例题条件不变 ， 求在三位数中 ， 各位数字之和为 3的倍数的概率 解：分别记由 “ 1,2,3； 2,3,4； 3,4,5；1,3,5； 0,2,4； 0,1,5； 0,1,2； 0,4,5排成的三位数 ” 为事件 2， 则它们的概率 P ( A 2 ) P ( B 2 ) P ( C 2 ) P ( D 2 ) 25350， P ( E 2 ) P ( F 2 ) P ( G 2 ) P ( H 2 ) 225125. 因为事件 由互斥事件的概率加法公式 ， 三位数各位数字之和为 3的倍数的概率是： P ( A 2 B 2 C 2 D 2 E 2 F 2 G 2 H 2 ) P ( A 2 ) P ( B 2 ) P ( C 2 ) P ( D 2 ) P ( E 2 ) P ( F 2 ) P ( G 2 ) P ( H 2 ) 4 350 4 12525. 明确对立事件的概率 ， 即事件 A、 A、 其中一个易求 、 另一个不易求时用 P(A) P(B) 1即可迎刃而解 对立事件的概率 提醒：应用此公式时，一定要分清事件的对立事件到底是什么事件，不能重复或遗漏，该公式常用于 “ 至多 ” 、 “ 至少 ” 型问题的探求 例 3 从 4名男生
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