怎样作棱柱的截面.doc

怎样作棱柱的截面 陈文华棱柱的截面,是棱柱图形性质的一个重要部分。新教材对棱柱截面问题,没有详细论述,但是在例题、习题中，涉及到与截面有关的问题。可见怎样作棱柱的截面，还是必须掌握的。作棱柱的截面，在于确定截平面与棱柱有关底面和侧面的交线，这些交线通常叫截痕，即截面和棱柱有关界面相交的痕迹。依据作截痕的方法与难易程度，通通常有这样几种类型。例1（苏科版第23页例2）在长方体abcda1b1c1d1中，p为棱bb的中点，画出a1，c1，p三点所确定的平面与长方体表面的交线。作法：连结a1c1，a1p，c1p。则a1c1，a1p，c1p就是截平面与长方体ac面，ab面，cb面的交线。作法依据是公理2“如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其它公共点，这些公共点的集合是经过这个公共点的一条直线。”本题中，p是平面内的一点，又是平面a1b内的一点，所以p在平面与平面a1b的交线上。同理a1也在与平面a1b的交线上。所以a1p就是平面与平面a1b的交线。即a1p是截平面与平面a1b相交的截痕。同理，a1c1，c1p也是截痕，这三条截痕围成的a1pc1就是截面。可见在同一界面上有两个已知点，只要连接这两点，即可得到截痕。例2如图，p是正方体abcda1b1c1d1所在棱的中点，q、r是所在棱的点，作出过p、q、r的截面。作法：（1）作直线pq交da延长线于s，作直线pr交dc延长线于t。（2）连结st，交ab于e，交bc于f。（3）连结qe，rf，则五边形pqefr就是所求作的截面。说明：因为s直线pq，所以s平面，又s直线ad，而ad平面ac，所以s平面ac。所以s在平面与平面ac的交线上。同理t在平面与平面ac的交线上，所以直线st即为平面与平面ac的交线，所以ef、qe、rf都是截痕。例3如图p、q、r是正方体ac1所在棱的中点，作出过p、q、r的截面。作法：（1）pqbc=s；（2）src1c=t；（3）qtdb=m；（4）mrac=n，mrda=e；（5）pea1a=f。六边形pqtrnf即为所求。例4 如图正方体abcda1b1c1d1中，p在平面a1c1内，求作过p、b、d的截面。 就行了。作法：（1）连结b1d1，则b1d1bd。（2）在平面a1c1内，过p作efb1d+1，交b1c1于e，交c1d1于f。（3）连结be、df，则四边形bdfe即为所求。这种方法叫平行线法。如果两个平行平面中，一个平面上有截痕，另一个平面上有已知点，则根据“两平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行”，只要过已知点作出与截痕平行的直就行了。例5如图，p、q在直四棱柱ac1的棱a1d1、ab上，r在侧面bc1内，求作过p、q、r的截面。分析：p、q、r没有两点在同一平面，不能直接作出某一截痕，应考虑怎样将问题转化成r也在棱上，且与p共面。方法是把此直棱柱分成两个小棱柱，而p、r分别在相邻的两条棱上。作法：（1）分别作r、p在底面的正投影、，则辅助面将棱柱分成两个小棱柱，在小棱柱中，用“截痕法”可作出过prq的截面tqhpr；（2）延长tr交棱cc1于k，交b1c1的延长线于m，连结mp交dc1于n。（3）连结nk。则六边形phqtkn即为所求。本题中，作小棱锥时应用了p、r的射影，因此叫内部射影法。