高考物理一轮复习 第七章　微点突破5　动量定理和微元法（教师版）

动量定理和微元法目标要求会用微元法求解变力的冲量，并用来解决实际问题。微元法是采用无限分割方法，选取一个微小单元代表(微元)，常见为时间微元Δt，质量微元Δm等，将变量转变为恒量或者积累的处理方法。在动量定理中常见的微元积累模型是∑vΔt=x。例1(2025·浙江嘉兴市一模)在地面上一小球以初速度3m/s竖直上抛，落地速度为2.6m/s。若小球运动过程中受到的空气阻力与速率成正比，则小球在空中运动的时间为()A.0.60s B.0.56s C.0.52s D.0.50s答案B解析由题意，取竖直向下为正方向，对小球利用动量定理有mgt-∑kv·Δt=mv2-m(-v1)，由于∑kv·Δt=∑kΔx=0，可得t=v2+v1g=2.6+310s=0.例2(多选)(2025·云南昭通市模拟)雨滴在下落过程中所受的阻力是随速度变化而变化的。某物理兴趣小组的同学在AI工具的帮助下了解到，较小的雨滴(半径小于0.1mm)在初始加速下落阶段所受的空气阻力仅与雨滴的速率v成正比，而与雨滴的质量无关，即f=kv(k>0)；当阻力增大至与重力平衡时，雨滴达到收尾速度，此时雨滴受到的空气阻力将与速率的平方成正比，即f=k'v2(k'>0)。该小组的同学尝试通过实验验证雨滴在下落过程中的动力学关系。他们在足够深的竖直圆筒内注满一定浓度的液体模拟高空中的空气，用质量分别为m1和m2的甲、乙两球模拟雨滴，将两球从液面处同时由静止释放，用速度传感器得到两球的v-t图像如图所示，经时间t0两球的速度都已达到各自的稳定值v1和v2。下列判断正确的是()A.m1>m2B.0~t0时间内两球下落的高度相等C.0~t0时间内乙球所受“空气阻力”的冲量更大D.0~t0时间内两球间距增大，且增大得越来越快答案AD解析当两球的速度达到稳定值时有mg-k'v2=0，由题图可知v1>v2，所以m1>m2，故A正确；v-t图线与t轴围成的面积表示位移，所以由v-t图像可知，0~t0时间内两球下落的高度满足h1>h2，故B错误；在极短时间Δt内f可视为恒力，则在0~t0时间内有ΔIf=kvΔt=kΔx，由题图可知，0~t0时间内乙的位移较小，则“空气阻力”的冲量应较小，故C错误；由v-t图像面积差的变化可知，0~t0时间内两球间距增大，且相等时间间隔内面积差越来越大，故D正确。例3(2025·河南郑州市一模)工程师对质量为m的汽车进行性能测试，测得该款汽车综合阻力随速度变化的关系式Ff=Ff0+kv(k为常数)。现工程师为汽车提供恒定的牵引力F，使汽车由静止开始做直线运动。汽车位移为x时恰好达到最大速度。则()A.汽车速度越大，加速越快B.汽车达到的最大速度为FC.整个过程的平均速度为FD.整个过程所用时间为kxF-答案D解析汽车恒定牵引力启动过程，根据牛顿第二定律有F-(Ff0+kv)=ma，解得a=F-Ff0-kvm，随速率增大加速度减小，A错误；当汽车所受合力为零时，汽车达到最大速度，由受力平衡有F合=F-Ff0-kvm=0，解得vm=F-Ff0k，B错误；汽车恒定牵引力启动过程中，做加速度越来越小的加速运动，若汽车做匀加速运动，则v=F-Ff02k，故整个过程汽车的平均速度大于F-Ff02k，C错误；汽车从静止达到最大速度过程中，根据动量定理有Ft-∑(Ff0+kv)Δt=mvm-0，即Ft-1.(2025·陕西西安市模拟)如图所示，一木块固定在地面上，一颗子弹以初速度v0射入木块并嵌在其中，子弹在木块中受到的阻力大小与子弹的速度大小成正比，子弹在木块中运动的距离为L。子弹重力可忽略不计。则子弹的最大加速度为()A.2v022L B.2v答案D解析对子弹的运动选取非常小的一段时间，根据动量定理有kv·Δt=mΔv即kΔL=mΔv，对全程进行求和∑k·ΔL=∑mΔv，可得kL=mv0，即k=mv0L，子弹刚到达木块时，速度最大，阻力最大且F=kv0=mv02L，由牛顿第二定律有F=ma2.(2025·江苏泰州市模拟)某网球以大小为v0的速度竖直向上抛出，落回出发点的速度大小为v1。网球的速度随时间变化关系如图所示，若空气阻力大小与网球速率成正比，重力加速度为g，下列说法正确的是()A.下降过程中网球处于超重状态B.网球上升过程受阻力的冲量大于下降过程受阻力的冲量C.网球上升过程克服阻力做功等于下降过程克服阻力做功D.网球从抛出到落回出发点所用的时间t1=v答案D解析下降过程中网球加速度向下，处于失重状态，故A错误；因空气阻力大小与网球速率成正比，设空气阻力大小为Ff=kv，其中k为比例系数，设Δt是一段极短的时间，空气阻力的冲量大小为FfΔt=kvΔt，两边对时间求和∑Ff·Δt=∑kv·Δt，得If=kx，因网球上升过程与下降过程位移大小相等，由该式可知，网球上