湖北省武汉二中2013年高考模拟数学(理)试题(a卷)

武汉二中 2013 届高考模拟试题 数学（理工类）数学（理工类） 本试卷共 6 页，共 22 题，其中第 15、16 题为选考题，满分 150 分。考试用时 120 分钟。 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码 粘贴在答题卡上的指定位置。用统一提供的 2B 铅笔将答题卡上试卷类型 A 后的方块涂黑。 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用统一提供的 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号 涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。答在试题卷、草稿纸上无效。 3.填空题和解答题的作答：用统一提供的签字笔将答案直接答在答题卡上对应的答题区域内。 答在试卷、草稿纸上无效。 4.选考题的作答：先把所选题目的题号答在答题卡上指定的位置用统一提供的 2B 铅笔涂黑。 考生应该根据直接的选做的题目准确填涂题号，不得多选,答题答在答题卡上对应的答题区 域内，答在试题卷、草稿纸上无效。 5.考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交。 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分 ，在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的 1对于数集 A, B, 定义 A+B=x|x=a+b, aA, bB）, AB=x|x=, , 若集合 a b ,aA bB A=1, 2, 则集 合（A+A）A 中所有元素之和为（ ） A. B. CD 10 2 15 2 21 2 23 2 2某车间为了规定工时定额, 需要确定加工零件所花费的时间, 为此进行了 5 次试验, 收集数 据如下： 加工零件数 x(个)1020304050 加工时间 y(分钟)6469758290 经检验, 这组样本数据具有线性相关关系, 那么对于加工零件的个数 x 与加工时间 y 这两个 变量, 下列判断正确的是（ ） A成正相关, 其回归直线经过点（30, 76）B成正相关, 其回归直线经过点（30, 75） C成负正相关, 其回归直线经过点（30, 76）D成负相关, 其回归直线经过点（30, 75） 3 “a=2”是“”的（ ） 1 (0,),1 8 xax x A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 试卷类型：A 4. 画在同一坐标系内的曲线的交点坐标是（ )sincosyxyx与 A.B.2,1 , 2 nnZ ,1, 2 n nnZ C.D. 1 , 42 n nnZ ,1 ,nnZ 5.一个多面体的直观图和三视图如图所示, M 是 AB 的中点.一只小蜜蜂在几何体 ADFBCE 内 自由飞翔, 则它飞入几何体 FAMCD 内的概率为( ) A. B.C.D. 3 4 2 3 1 2 1 3 6. 一支足球队每场比赛获胜（得 3 分）的概率为 a, 与对手踢平（得 1 分）的概率为 b 负于对 手（得 0 分）的概率为.已知该足球队进行一场比赛得分的期望是 1, 则, , ,0,1c a b c 的最小值为（ ） 11 3ab A.B.C.D. 16 3 14 3 17 3 10 3 7. 函数的图象与轴所围成的封闭图形的面积为 （ 220 , 2cos0 2 xx f x xx x ） A.B.1C.4D. 3 2 1 2 8. 等差数列 n a的前 n 项和为 n S, 公差为 d, 已知, 1) 1(2013) 1( 8 3 8 aa 1) 1(2013) 1( 2006 3 2006 aa, 则下列结论正确的是（ ） A2013, 0 2013 Sd B2013, 0 2013 Sd 武汉二中 2013 届高考模拟试题数学（理工类） A 卷 第 3 页 共 12 页 C2013, 0 2013 SdD2013, 0 2013 Sd 9如图, 在等腰梯形 ABCD 中, AB/CD, 且 AB=2CD, 设 DAB=, （0, 2 ）, 以 A, B 为焦点且过点 D 的 双曲线的离心率为 e1, 以 C, D 为焦点且过点 A 的椭圆 的离心率为 e2, 设)(),(),(),( 211 gfgeefe则 的大致图像是 （ ） 10某学生在复习指数函数的图象时发现：在 y 轴左边, y=3x与 y=2x的图象均以 x 轴负半轴为 渐近线, 当 x=0 时, 两图象交于点（0, 1） 这说明在 y 轴的左边 y=3x与 y=2x的图象从左到 右开始时几乎一样, 后来 y=2x的图象变化加快使得 y=2x与 y=3x的图象逐渐远离, 而当 x 经过某一值 x0以后 y= 3x的图象变化加快使得 y=2x与 y=3x的图象又逐渐接近, 直到 x=0 时两图象交于点（0, 1） 那么 x0=（ ） ABC 3 1 (12)n og 22 3 1(13)ogog D 3222 1(13) 1(13)ogogogog 2 13og 2、填空题：本大题共 5 小题,每小题 5 分, 共 25 分. (一)必考题（1114 题） 11. 若_. 432 4 12345234 1111,axaxaxaxaxaaa则 12. 执行如图所示的程序框图, 若输入 a 的值为 2, 则输出的 p 值是 . 13. 给出下列命题： 在锐角；sincosABCAB中，有 x y A E B C O A 函数图象关于点对称；sin 2 3 yx ,0 6 在, 则必为等边三角形； coscoscos abc ABC ABC 中，若ABC 在同一坐标系中, 函数的图象和函数的图象有三个公共点.sinyx 2 x y 其中正确命题的序号是_（写出所有正确命题的序号）. 14观察下面两个推理过程及结论： (1) 若锐角 A, B, C 满足 A+B+C=, 以角 A, B, C 分别为内角构造一个三角形, 依据正弦定 理和余弦定理可得到等式：ACBCBAcossinsin2sinsinsin 222 (2) 若锐角 A, B, C 满足 A+B+C=, 则) 22 () 22 () 22 ( CBA =, 以 22 , 22 , 22 CBA 分别为内角构造一个三角形, 依据正弦定理和余弦定理可以 得到的等式： 2 sin 2 cos 2 cos2 2 cos 2 cos 2 cos 222 ACBCBA 则：若锐角 A, B, C 满 足 A+B+C=, 类比上面推理方法, 可以得到一个等式是 . (二)选考题（请考生在第 15、16 两题中任选一题作答） 15如图, 已知圆 O 的半径为 3, AB 与圆 D 相切于 A, BO 与圆 O 相 交于 C, BC =2, 则ABC 的面积为 . 16在直角坐标系 xOy 中, 以原点为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系, 记为极径, 为极角, 圆 C: =3 cos的圆心 C 到直线 :cos=2 的距离为 . l 三、解答题 17. 如图, 已知单位圆上有四点, 1,0 ,cos ,sin,cos2 ,sin2,cos3 ,sin3, 0 3 EABC 分别设的面积为.OACABC、 12 SS和 (1)用表示；sincos， 12 SS和 (2)求的最大值及取最大值时的值. 12 cossin SS 武汉二中 2013 届高考模拟试题数学（理工类） A 卷 第 5 页 共 12 页 18. 已知数列为等比数列, 其前项和为, 已知, 且对于任意的 n an n S 14 7 16 aa 有, , 成等差；nN n S 2n S 1n S (1) 求数列的通项公式； n a (2) 已知（）, 记, 若 n bnnN 312 123 n n n bbbb T aaaa 2 (1)(1) n nm Tn 对于恒成立, 求实数的范围.2n m 19. 第 30 届夏季奥运会将于 2012 年 7 月 27 日在伦敦举行, 当地某学校招募了 8 名男志愿者和 12 名女志愿者. 将这 20 名志愿者的身高编成如下茎叶图(单位:cm): 若身高在 180cm 以上(包括 180cm)定义为“高个子”, 身高在 180cm 以下(不包括 180cm) 定义为“非高个子”, 且只有“女高个子”才能担任“礼仪小组”. (1) 如果用分层抽样的方法从“高个子”和“非高个子”中抽取 5 人, 再从这 5 人中选 2 人, 那么至少有一人是“高个子”的概率是多少? (2) 若从所有“高个子”中选 3 名志愿者, 用 X 表示所选志愿者中能担任“礼仪小组”的 人数, 试写出 X 的分布列, 并求 X 的数学期望. 武汉二中 2013 届高考模拟试题数学（理工类） A 卷 第 7 页 共 12 页 20. 如图, 平面PAC 平面ABC, ABC 是以AC为斜边的等腰直角三角形, ,E F O分别 为PA, PB, AC的中点, 16AC , 10PAPC (1) 设G是OC的中点, 证明：/ /FG平面BOE； (2) 证明：在ABO内存在一点M, 使FM 平面BOE, 并求点M到OA, OB的距 离 21. 若椭圆 C：的离心率 e 为, 且椭圆 C 的一个焦点与抛物线 y212x x2 a2 y2 b21(ab0) 的焦点重合 (1) 求椭圆 C 的方程； (2) 设点 M(2,0), 点 Q 是椭圆上一点, 当|MQ|最小时, 试求点 Q 的坐标； (3) 设 P(m,0)为椭圆 C 长轴（含端点）上的一个动点, 过 P 点斜率为 k 的直线 l 交椭圆与 A,B 两点, 若|PA|2|PB|2的值仅依赖于 k 而与 m 无关, 求 k 的值 22. 已知函数. 1ln(1) ( )(0) x f xx x (1) 试判断函数在上单调性并证明你的结论；( )f x(0,) (2) 若恒成立, 求整数的最大值；( ) 1 k f x x k (3) 求证：. 23 (11 2)(123)1(1) n n ne 2013 届高考模拟试题 数学（理工类）参考答案数学（理工类）参考答案 A 卷 一、选择题： 15 CDAAC 610 ACCDB 二填空题：本大题共 5 小题,每小题 5 分, 共 25 分. (一)必考题（1114 题） 11. 2 12 4 13. 2 2 1 3 y x (0)y (二)选考题（请考生在第 15、16 两题中任选一题作答） 15. 16. 12 52 1 三.解答题 17. 解(1)根据三角函数的定义, 知 ,2 ,3 ,xOAxOBxOC 所以, 所 xOAAOBBOC .-3 分 1 11 1 1 sin 3sin2 22 S 又因为四边形 OABC 的面积 12 SS + , 11 1 1 sin1 1 sinsin 22 所以.-6 分 2 1 sinsin2sin1cos 2 S (2)由(1)知.-9 分 12 sin1cossincos sincos12sin1 cossincossin4 SS 因为, 所以, 所以, 0 3 4412 262 sin()sin 24124 所以的最大值为, 此时的值为. -12 分 12 cossin SS 62 4 3 18. x y A E B C O A 武汉二中 2013 届高考模拟试题数学（理工类） A 卷 第 9 页 共 12 页 2 13231211 3 1411 1 1 , 2, 2 (1)(2), 11 =-+ =1+=-=- 22 1 ()5 2 nn n qS S SSSSaq qaq qa aaqa aaq 解;(1)设公比为，成等差 7 得，又（），-4分 16 所以分 （）, 1 ,() ,2 2 nnn nn n b bn an a 23 1 22 23 22n n Tn 2341 21 22 23 2(1) 22 nn n Tnn 231 22222 nn n Tn -8 分分 1 11 22 (2)(1) 22 1 2 n nn n Tnn -12 分 19. 证明： （I）如图, 连结 OP, 以 O 为坐标原点, 分别以 OB、OC、 OP 所在直线为x轴, y轴, z轴, 建立空间直角 坐 标系 Oxyz, w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 0,0,0 , (0, 8,0), (8,0,0),(0,8,0),OABC (0,0,6),(0, 4,3),PE4,0,3F, -2 分 由题意得, 0,4,0 ,G因(8,0,0),(0, 4,3)OBOE , 因此平面 BOE 的法向量为(0,3,4)n , -4 分 ( 4,4, 3FG 得0n FG , 又直线FG不在平面BOE内, 因此有/ /FG平面BOE-6 分 （II）设点 M 的坐标为 00 ,0xy, 则 00 (4, 3)FMxy , 因为FM 平面 BOE, 所以有 /FMn , 因此有 00 9 4, 4 xy , 即点 M 的坐标为 9 4,0 4 , -9 分 在平面直角坐标系xoy中, AOB的内部区域满足不等式组 0 0 8 x y xy , 经检验, 点 M 的坐标满足上述不等式组, 所以在ABO内存在一点M, 使FM 平面BOE, - 11 分 由点 M 的坐标得点M到OA, OB的距离为 9 4, 4 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m -12 分 21. 解：（1）依题意 a=5,c=3椭圆 C 的方程为：2 （2）设 Q(x,y), 5x5 |MQ|2(x2)2y2x24x416x2x24x20 对称轴 x5当 x5 时, |MQ|2达到最小值, x y z 武汉二中 2013 届高考模拟试题数学（理工类） A 卷 第 11 页 共 12 页 当|MQ|最小时, Q 的坐标为(5,0) 6 （3）设 A(x1,y1), B(x2,y2), P(m,0)(5m5), 直线 l：yk(xm) 由得 x1x2, x1x2, 8 y1y2k(x1m)k(x2m)k(x1x2)2km y1y2k2(x1m)(x2m)k2x1x2k2m(x1x2)k2m210 |PA|2|PB|2(x1m)2(x2m)2 y2 1y2 2 (x1x2)22x1x22a(x1x2)(y1y2)22y1y22y1y22a2 (k21)-12 分 |PA|2|PB|2的值仅依赖于 k 而与 m 无关 512800