用算术方法解决问题

“例谈用算术方法解决问题”唱词 小学数学 第 8 讲 例谈用算术方法解决问题 主讲：魏 洁 数学特级教师 江苏省南京市五老村小学 李 新 数学特级教师 江苏省苏州市吴江实验小学（字幕） 魏魏：老师们，大家好！了解数学课程改革历史的人都知道，应用题改革历来是数学教材 改革的重点内容之一，但以往的改革都表现为量的增减和难度的升降，改革的总体趋势是： 内容由繁难庞杂趋向于简洁明了，解法由算术解到算术解与方程解相结合，能力培养上由单 纯重视解题技巧发展为同时重视解题思路。在传统数学教材中，应用题是小学数学除了“数 与计算”之外第二大部分内容，也是教师们开展教学研究时关注度最高的一个部份。基于新 课改背景下的应用题在数学教育新理念宏观指导下从目标、内容、呈现方式到教学方式上都 有了全方位的改革，以解决问题的面貌出现。在新课改实践中一线教师们积累了很多这方面 的宝贵实验经验，今天我们以“用算术方法解决问题”的教学为例，共同来讨论研究分享关 于解决实际问题教学中的一些成果。 李：数学课程标准把应用确定为“发展性领域”中的“解决问题”，相应地，新教 材中不再单独设立“应用题”教学的教学章节，以解决问题或“用数学”的方式呈现有关内 容，这是削弱学生的数学应用了吗？课改实验初期，有不少教师对解决问题的教学提出过这 样的困惑。 幻灯片出示：（随李老师的配音同步出现，下面幻灯片的出现方式同此 ） 魏：魏：从过去的应用题教学到现在的解决实际问题，实际不是变了名称，而是变了本质。 传统应用题能积累一些常见的数量关系、发展思维、能巩固和运用计算知识、有培养解题习 惯的优点，但它往往安排在计算之后独立单元，分类过细，且人为编造的痕迹较重。解决问 题它不能和应用题划等号，它是一种新的观念，又是一种有意义的重要活动，更是一种可行 的教学方法。“解决问题”目标的实现将贯穿于数学课程的全部内容之中，在抓住“用数学” 教学的同时，充分关注问题的“感知发现提出解决”的整个过程，引导学生经历解决 “问题”的过程，形成数学应用意识，新教材中不单独设立“应用题”单元，不以专题训练 教师的困惑： 新教材中不单独设立“应用题”教学的章节，以解决问题或用数学的方式呈现 有关内容，这是削弱学生的数学应用了吗？ 2 和类型分析的形式来组织教学，将解决实际问题与数学意义的运算相结合，这不是削弱了数 学的应用，而是加强了学生数学应用能力的培养。 幻灯片出示： 李：李：从教学目标上比较，过去应用题教学，首先是学会解题，虽然这也是培养学生运用 数学知识解决实际问题，而实际效果仅仅是将运算（数量关系）放到一个人为编制的、特定 的、结构良好的解题环境中，解题的过程就是“算法化”；其次是通过解题发展学生“言必 有据、严密推理”的逻辑思维能力，却很少有猜想、预测、合情推理的机会。而新课标解决 问题的教学目标从学会解题转向培养应用意识。 幻灯片出示： 新教材把学生“解决简单的实际问题”视作帮助他们进一步掌握和应用数学基础知识和 基本技能的重要渠道，视作学生初步数学能力的具体表现。教学目标主要有这样三点： 幻灯片出示： 魏魏：从教学内容和编排上比较，传统小学数学研究的简单应用题有 11 类，归纳起来是 四种类型：比如说相差关系、相并关系、份数与总数之间的关系、倍数关系等等。这些以解 题为目的的应用题强调了文字组织的严密性，严格按照式题文字题应用题的递进关系进 行编排。若进一步分析，这些“循序渐进、环环相扣”的应用题看似十分严谨，将现实问题 高度概括化、标准化和形式化，但是其情节虽然源于生活，但往往过分“高”于学生的实际。 解决问题不能和应用题划等号，它是一种新的观念，又是一种有意义的重要活动， 更是一种可行的教学方法。 “解决问题”目标的实现贯穿于数学课程的全部内容之中。 解决问题的教学目标： 培养学生从身边的客观环境中提取数学结构的能力。即用数学的眼光观察生活， 用数学的思维去分析现象，用数学方法去解决问题，逐步形成应用数学的意识。 促进学生逐渐概括化地把握常见数量关系之间的联系，发展解决问题的策略，增 强思维的灵活性、创新性。 使学生在解决日常生活和其他学科具体问题的过程中，进一步理解运算的意义， 掌握运算的方法与技巧。 从教学目标上比较，解决问题的教学目标从学会解题转向培养应用意识。 3 新教材中虽然已经没有应用题三个字，取而代之的是“用数学”或者是“解决问题”， 但是结合数的运算等内容，将传统教材中的应用题教学内容在新的教材中间也进行了编排。 幻灯片出示： 我们认真梳理各个版本的 1-3 年级的课标教材，进行对比，可以看到新课程解决问题内 容的编排与原来应用题体系之间的这样一种关系。比如： 幻灯片出示： 结合数的运算等内容解决问题的编排备注 加减法的认识 10 以内加减法 20 以内加减法 用加法和减法解决简单的实际问题，与 加法、减法的运算意义密切结合，注重 加法和减法的多种“原型”的渗透，如 加法可以作为合并、移入、增加、继续 往前数等的模型；减法可以作为剩余、 比较、往回数、减少或加法逆运算等的 模型。 如果从类型上说，包 括求总数、求剩余 幻灯片出示： 李：李： （0000：2727：45-0045-00：3131：1010） 结合数的运算等内容解决问题的编排备注 100 以内不进位、不 退位的加减法 100 以内进位、退位 的加减法 100 以内加减混合运 算 用加法和减法解决简单的实际问题，仍 与加法、减法的运算意义密切结合，在 数的范围上拓展至 100 以内的数。 巩固求总数、求剩余， 出现求一个数比另一 个数多（少）几、求 两个数相差多少等的 实际问题 结合数的运算等内容解决问题的编排备注 乘法的认识与乘法口 诀 用乘法和除法解决简单的实际问题，与 乘法、除法的意义紧密结合，强化乘法、 包括求几个相同加数 的和，平均分，求一 从教学目标上比较，解决问题的教学目标从学会解题转向培养应用意识。 从教学内容和编排上比较，结合数的运算等内容，将传统教材中的应用题教学内容在 新的教材中间也进行了编排。 4 除法的认识与用口诀 求商 倍的认识 除法意义的理解，注重乘法和除法的多 种“原型”的渗透，如乘法可以作为相 等的数的和、面积计算、倍数、组合等 的模型；除法可以作为平均分、乘法逆 运算等的模型。 个数的几倍是多少， 求一个数是另一个数 的几倍等实际问题 结合数的运算等内容解决问题的编排备注 一位数除两位数的除 法 乘（除）加、减的两 步混合运算 万以内的加减法与混 合运算 用除法解决简单的实际问题。 用两步混合运算的知识解决实际问题， 与运算顺序的教学紧密结合。 包括乘加、乘减、除 加、除减、加减混合 等需要两步计算的实 际问题 结合数的运算等内容解决问题的编排备注 一位数乘两、三位数 的乘法 一位数除两、三位数 的除法 用乘法和除法解决简单的实际问题，与 运算意义紧密结合，计算由表内乘除法 拓展到非表内乘除法，信息的呈现越来 越丰富，出现连续多问的实际问题。 出现连乘、连除、乘 除混合等计算的实际 问题。 结合数的运算等内容解决问题的编排备注 两位数乘两位数的乘 法 在购物情境中，一位 小数的加减运算 平均数（统计） 用两位数乘两位数的乘法解决实际问题， 逐步提升解决问题的复杂性和难度 用小数加减运算解决实际问题 用平均数有关知识解决实际问题 多次巩固了以前出现 的简单的乘法应用, 以及连乘、乘加、乘 减、乘除两步的应用。 魏：（魏：（0000：1111：3333）通过刚才我们对教材的分析与阅读，我们不难看出，新课程对这些 基本的、重要的、核心的数学内容都是按照“问题情境建立模型解释与应用”的这 样叙述方式进行编排，创设了一个个学生们所熟悉的，贴近他们实际的问题情境，在通过引 导学生观察、实验、猜测、验证、推理、交流等一系列的数学活动中，逐步建立起来这一问 题的数学模式，然后再运用这一模式去解决（释）一些现象或解决一些实际问题。 5 幻灯片出示： 李：李：从内容呈现方式上比较，内容由纯文字、标准格式变成了更丰富生动与生活实际紧 密相联的主题图、表格等，这些文字、图画、表格的结合拓宽了原来问题的结构空间，使题 目结构不一定良好，情景可能复杂，数据需要从画面中获取，相应的问题需要学生自己提出， 解决的模式可能不唯一，答案也可能各不相同，等等。但这些都成为学生探索未知、获取发 展的动力，引导着学生主动进行比较、实践、猜测、证明等发现性探究活动。 幻灯片出示： 魏魏：面对解决解决问题的目标，教材内容，呈现方式上的这些变化，教师们在实际教学 中间还是遇到了很多问题。有的教师想创设生动的情境，让学生们在情境中间学习，但是又 担心学生受到这些情境的干扰，而忽略了数学本身知识的内在联系，造成知识与技能的不扎 实；有的老师了解解决问题教学与运算意义教学紧密结合的作用价值，但究竟如何做到“算 用结合”，把握好“算”与“用”各自的侧重心中无数；还有的教师想让学生自主探索解决 问题，突出个性化的学习，但又深深感到处理多样化与基本解法的关系之间十分棘手；有的 教师想细细分析题中的数量关系，但又怕有教法传统之嫌，让学生容易产生机械地模仿、操 练，没有了探究的欲望等等。 今天围绕这些问题，我们共同来品读两位教师的教学案例，学习他们在新课标的理念指 导下，所形成的解决问题教学的新思路和新方法。 案例 8-1（江苏省南京市五老村小学 周宇红） （字幕） 李：（李：（0000：1414：3434）解决问题的第一步是充分地、正确地理解问题，把握教材。本课教 材以汽车上、下车情境呈现问题，教学时，教师对主题图的编写意图把握很好，明确提出： 你能看图按事情发生的顺序说一说图意吗？直接引导学生进入情境、了解情境，让学生仔细 地看、充分地讲。在情境图里看到些什么，鼓励学生大胆地用自己的话按事情发生的线索说 一说，培养学生有条理地叙述。从情境中明白要解决的问题，收集用于解决问题的必要材料。 幻灯片出示：幻灯片出示： 教学内容都是按照“问题情境建立模型解释与应用”的这样叙述方式编排。 从教学目标上比较，解决问题的教学目标从学会解题转向培养应用意识。 从教学内容和编排上比较，结合数的运算等内容，将传统教材中的应用题教学内容在 新的教材中间也进行了编排。 从内容呈现方式上比较，内容由纯文字、标准格式变成了更丰富生动与生活实际紧密 相联的主题图、表格等。 明确主题图的编写意图，搜集整理信息 6 魏魏：理解主题图的意义是教师把握教学目标，有效实施课堂教学的前提。在使用主题图 的过程中间，要结合具体的教学内容，明确主题图的功能，科学地进行分类使用。在教学的 实践过程中，有老师总结出新教材在第一学段主题图的内容展示的过程中，大致有这样三种第一学段主题图的内容展示的过程中，大致有这样三种 表现形式表现形式：第一类为大场景、大容量。第一类为大场景、大容量。图中通常没有卡通“对话”等语言信息，重在为学生提 供丰富而开放的现实题材，让学生收集现实生活中的数学学习素材，培养学生收集信息的能 力，培养数感，提高学生的数学素养。 幻灯片出示： 比如说，某一教材在“认识 1、2、3、4、5 这五个数”，这时呈现的主题图是以“庆祝教 师节”为场景，让学生们用自己的眼光和视角，引导学生从不同的角度全方位地进行观察， 根据 幻灯片出示： 主题图说出用 1、2、3、4、5 表示的人或物的数量，经历了从具体到抽象再到具体的认数过 程。对于这类主题图教师就要大胆的采用“大胆开放”的策略，重在引导学生认真观察主题图， 明确主题图的编写意图，搜集整理信息 第一学段主题图的内容主要有三种不同的表现形式： 第一类为大场景、大容量。 7 充分交流得到不同的信息。 而第二类的主题图相对突出、集中，并用对话的形式呈现数学问题的有关信息。教师在 运用这类主题图时，要在深刻理解教材的基础上，根据教材的内容，象这位老师一样可以采 用“直奔主题”式的策略进行教学。重点放在如何引导学生进入图中搜集信息，提出问题，而 不必对情景中间的非数学本质的信息过份的强调和渲染。第三类为主题单一、容量较小的主 题图。对于这类主题图的使用，教师要做到收放自如、张弛有度、科学引导。 幻灯片出示： 例如：第一册在有关“8 的加减法”教学的时候，我们看到这幅图， 幻灯片出示： 可以引导学生观察， “图上画的是什么人？”， “他们在那里干什么？” 让学生提出数学问 题，说说怎样列式？学生根据图中“游泳池中有 5 个小朋友，池边有 3 个小朋友”，或者“有 5 个男同学，3 个女同学”、 “有 2 个同学用游泳圈，有 6 个同学没带游泳圈”等不同的分类标 准，从不同的角度进行观察，列出有关 8 的加减法的算式，在这之后，教师就要适时的“收 回”了，而不宜让学生再信马由缰式地回答“扎辫子的有 1 人”， “有 1 个男同学蹲着”等等这样 一些话题 ，而要引导学生学会整体地进行观察，并渗透科学的分类标准，使学生在进行观 察的同时学会数学地进行思考。 明确主题图的编写意图，搜集整理信息 第一学段主题图的内容主要有三种不同的表现形式： 第一类为大场景、大容量。大胆开放 第二类主题图相对突出、集中，并用对话的形式呈现了数学问题的有关信息。直 奔主题 第三类为主题单一、容量较小的主题图。科学引导 8 李：李：周玉仁教授曾经指出：在解决实际问题时，学生实际上完成了两个转化。从纷乱的 实际问题中获取有用的信息，抽象成数学问题，这是第一次转化，然后分析其间的数量关系， 用数学方法求解或求近似解，并在实际中检验，这是第二个转化。 这位老师在完成第一次转化后，充分利用现实情境唤醒了学生已有的经验，进行数量关 系的分析。 幻灯片出示： 有的学生根据坐汽车时先上后下的经验，得出车上人数+上车人数-下车人数=车上现在 人数；也有的学生根据无人售票车可以同时上、下车的经验，得出车上人数-下车人数+上车 人数=车上现在人数，在分析中体会到加减混合运算的运算顺序都是从左向右依次计算的。 解决实际问题的教育价值，因为和计算教学结合起来，赋予计算以具体的意义，不仅有利于 学生体会计算的含义，也有利于学生应用知识方法，巩固知识，培养应用意识，掌握解决问 题的一般方法，实现好第二个转化。 案例 8-2（南京市五老村小学 张惠） （字幕） 李李：解决问题不只是解决他人提出的问题，还要自己提出问题并努力去解决它们。这位 老师鼓励学生大胆地提出问题，是因为她准确把握了所提问题与学生已有认知结构的联系和 距离。学生在前三册教材中解答过许多一步计算的实际问题，对常见数量之间的关系已积累 了一些认识。教学中教师让学生提问激活这些经验，在学生进入这些情景捕捉各种信息的同 时，引导他们说说除了看到的条件，还能想到些什么、还能算出些什么。帮助学生利用已有 经验构思了解决问题的有效计划。在练习中，两步计算问题中条件的关系比较复杂时，教师 还鼓励同学们通过画画、摆摆等活动，理清关系，构思有效的解答计划。 幻灯片出示: （1）鼓励学生在现实的情境中提出问题，构思解决问题的有效计划。 魏魏：求得问题的结果，并经过检验，验证答案是合理的，可以说这个实际问题就已经解 鼓励学生在现实的情境中提出问题，构思解决问题的有效计划。 明确主题图的编写意图，搜集整理信息 第一学段主题图的内容主要有三种不同的表现形式： 第一类为大场景、大容量。大胆开放 第二类主题图相对突出、集中，并用对话的形式呈现了数学问题的有关信息。直 奔主题 第三类为主题单一、容量较小的主题图。科学引导 利用学生经验分析数量关系，体会运算顺序。 9 决了。但是，教学还没有结束。教材中的那些实际问题不仅要解决它，还要通过这些问题为 今后在日常生活和继续学习更多、更复杂的问题积累经验。因此，解决问题之后的反思就显 得必不可缺少。 幻灯片出示: （1）鼓励学生在现实的情境中提出问题，构思解决问题的有效计划。 这位教师很好的抓住了这个环节，她要求学生们围绕刚才是怎样理解这个实际问题的、 怎样制订解决问题计划的等这样一些环节，组织学生进行反思。通过说一说你从情境中找到 了哪些条件，你是怎样整理这些条件的；说一说你是抓住情境中的哪些信息来确定解决问题 计划的；说一说对计算结果是不是合理你是怎样思考的，引导学生有效地进行反思。 在反思与交流中，学生之间相互了解、评价解决问题的方法，体会方法的多样性。这样 一来，既可以根据条件提出问题，也可以根据问题寻找条件，通过两种方法的比较，选择自 己喜欢的合适的一种方法。 通过以上两个案例的我们共同的学习与分析，我们可以看到，新理念之下的解决简单的 实际问题的这些教学，它不同于那些仅仅通过识别题型、回忆解法、模仿例题等非思维性的 这些活动来解决问题，而是需要学生通过观察、思考、猜测、操作、交流、推理等各种形式， 有思维成分的这些活动来解决问题。学生在解决问题中都经历了一个过程，而在这个过程中， 刚才的两位教师都没有直接告诉学生怎样算，不是把解决问题的具体方法展示给学生，让他 们仅是看清楚、听明白；而是通过组织学生开展有序的活动，鼓励学生积极地参加活动、主 动地进行探索。从两位老师的教学中，我们是不是可以概括出这样一个教学解决简单实际问 题的一般方法呢？ 幻灯片出示： 李李：在解决问题的教学中，我们还要注意以下几个方面的问题。 1情境要适切。 良好的情境要服务于教学目标，要联系教学内容选择素材，联系生活，特别是学生的生 活经验与知识水平，切不可让“情境”增加了学生学习的难度，迷糊了学生；同时，教师要