狼兔问题的数学建模

狼追兔子的问题狼追兔子的问题 1.1 摘要： 数学建模可以使抽象的问题用数学符号和语言清楚的表达出来。针对此题是 高阶常微分方程问题。此例问题虽然问法多样，但解法基本一致，这道题狼和兔子在 运动过程中属微分方程模型与一阶常微分方程。 狼追兔子问题来源很久，早在几百年前就有人在研究他，由于数学的发展水 平不是很高和软件的局限，所以没有研究透彻。如今随着数学学科的发展和应用软件 的飞速发展，对于这个的研究已进入新阶段。 由于狼要盯着兔子追，所以狼行走的是一条曲线，且在同一时刻，曲线上狼 的位置 与兔子的位置的连线为曲线上该点处的切线。建立二者的运动微分方程，计 算它们的运动轨迹，用软件 MATLAB 求解微分方程模型。计算出兔子是否安全回到 自己的巢穴。 1.1.1 问题的来源及意义： (一) 问题重述与分析: 现有一只兔子，一只狼，兔子位于狼的正西 100 米处。 假设兔子与狼同时发现对方并一起起跑，兔子往正北 60 米处的巢穴跑，而狼在追兔 子，已知兔子、狼是匀速跑且狼的速度是兔子的两倍。问题是兔子能否安全回到巢穴？ （二）题起源于导弹跟踪问题，与狼追兔子问题在解决方法上是大致一样的。 导弹跟踪的研究对于再军事上有很重要的意义。将导弹跟踪问题能简化为狼追兔子问 题，都是高阶常微分方程模型，要涉及常微分方程，学会在实际问题中运用数学方法 建模和求解。 1.1.2问题的分析： 饿狼追兔问题一阶微分方程初值问题数值解。 兔子 它的洞在距离它现在吃草处正北方的 60 米处,在兔子的正东面 100 米处有 一头饿狼正潜伏着观察兔子多时了 兔子发现了狼的存在.兔子拼命的沿直线向洞逃跑, 兔子知道不赶快进洞命休已,狼和兔子同时启动并且死死盯着兔子扑去.兔子跑的虽然 2 快,但狼的速度是兔子速度的 2 倍.假如兔子和狼都匀速运动. 为了研究狼是否能够追 上兔子，可以先考虑求出狼追兔子形成的追击曲线，然后根据曲线来确定狼是否能够 追上兔子。 1.1.3 模型假设： 狼在追击过程中始终朝向兔子； 狼追击兔子的轨迹看作是一条光滑的曲线，即将动点 P的轨迹看作一条曲线，曲 ),(yx 线方程表示为。 )(xyy 1.1.4 模型建立: （一）问题分析（一）问题分析：1. 以 t0 时，兔子的位置作为直角坐标原点，兔子朝向狼的方向为 x 轴正向；则显然有兔子位置的横坐标。 0 1 x 2. 对狼来说，当 x100，y0，即 0 100 x y 在 t0 刚开始追击时，狼的奔跑方向朝向兔子，此时即 x 轴负方向， 则有 0 100 x y 图 1 兔子与狼的运动轨迹 y x h y=f(x) B -60 A(100,0) C(x,y) O 3 （二）（二） 建立模型：建立模型： 1变量说明 ：兔子的速度（单位：码/秒） 1 v ：狼与兔子速度的倍数； r ：狼的速度（单位：码/秒），显然有 2 v 12 rvv ：狼追击兔子的时刻（t=0 时，表示狼开始追兔子的时刻） t ：在时刻 t，兔子跑过的路程， 1 s)( 11 tss ：在时刻 t，狼跑过的路程， 2 s)( 22 tss 1、追击方向的讨论 由于狼始终朝向兔子，则在狼所在位置P点过狼的轨迹处的切线方向在距 y 轴上的 ),(yx 截为。 1 y 设切线上的动点坐标为（X，Y） ，则切线方程为 （1） )(xXyyY 在（1）中，令X0，则截距。xyyY 此时。tvy 11 则此时截距等于兔子所跑过的路程，即： ， 1 yY 从而可得 .（2）xyyyY 1 2、 狼与兔子速度关系的建模 在 t 时刻，兔子跑过的路程为 （3）tvys 111 4 由于狼的速度是兔子的 r 倍，则狼跑的路程为 （4） 112 ryrss 狼跑过的路程可以用对弧长的曲线积分知识得到，如下。 （5）dxys x 100 2 2 1 联立（2） 、 （4） 、 （5）得 （6）)(1 1 100 2 xyyrrydxy x 对（6）两边求对 x 的导数，化简得 .（7） rx y y 2 1 微分方程（7）式的初始条件有： 0 100 x y 0 100 x y 3、 是否追上的判断 要判定狼是否追上兔子，可以通过（7）式判定。 对（7）式， 当 x0，如果计算求解得到，则视为没有追上； 60y 当x0，如果计算求解得到，则视为兔子被追上； 60y 模型求解： 运用 Matlab 求解： 由微分方程得到其Matlab 函数 5 function yy=odefunlt(x,y) %以狼在追击过程中的横坐标为自变量 yy(1,1)=y(2); yy(2,1)=sqrt(1+y(2).2)./(2.*x); 主程序： tspan=100:-0.1:0.1; y0=0 0; T,Y = ode45(odefunlt,tspan,y0); n=size(Y,1); disp(狼的坐标(x=0.1) disp(Y(n,1) 1.1.5 模型结果与分析： 运行结果： 狼的坐标(x=0.1) 62.1932 通过上面运行结果可知，狼并没有追上兔子. 1.1.6 参考文献： 微分方程模型见：数学模型引论（第二版） 高等教育出版社 【书 号】 7040101645 作者：唐焕问 赫明峰 E. A. B