重庆市2017届中考一轮复习《4.5直角三角形与勾股定理》讲解

12999 数学网 12999 数学网 第五节 直角三角形与勾股定理 课标呈现 指引方向 1了解直角三 角形的概念， 探索并掌握直角三角形的性质定理：直角三角形的两个锐角互余，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。掌握有两个角互余的三角形是直角三角形。 2探索勾股定理及其逆定理，并能运用它们解决一些简单的实际问题。 考点梳理 夯实基础 1直角三角形的性质： （ 1）直角三角形的两个锐角 ； 【答案】互余 （ 2）勾股定理：若直角三角形的两条直角边分别为 a， b，斜边为 c，那么 ； 【答案】 3）直角三 角形斜边上的中线等于 ； 【答案】斜边的一半 （ 4）直角三角形中， 30角所对的直角边等于 【答案】斜边的一半 2直角三角形的判定： （ 1）勾股定理逆定理：如果三角形的三边 a， b， c 满足 么这个三角形是直角三角形； （ 2）如果三角形一边上的中线等于这边的 ， 那么这个三角形是直角三角形 【答案】一半 3勾股数： 可以构成直角 三角形三边的一组正整数常见的勾股数有：（ 3， 4， 5）、（ 5，12， 13）、（ 7， 24， 25）、（ 8， 15， 17）以及（ 3n， 4n， 5n）、（ 5n， 12n， 13n）、（ 7n， 24n， 25n）、（ 8n， 15n， 17n）（ n 为正整数） 考点精析 专项突破 考点一 勾股定理和勾股定理的逆定理 【例 1】（ 1）（ 2016 临沂）如图，将一矩形纸片 叠，使两个顶点 A， C 重合，折痕为 4， 8，则 面积为 _ 【 答案 】 6 解题点拨： 本题考查矩形的性质， 折叠的性质， 勾股定理等，根据勾股定理列出方程是解题的关键 先利用矩形的性质和折叠的性质 得出 B 90 ， 然后利用勾股定理列方程求出 长； 再用三角形面积公式求出三角形的面积 （ 2）（ 2016 武汉） 如图，在四边形 ， 90 ， 3， 4， 10， 5 ，则 长为 _ 12999 数学网 12999 数学网 【 答案 】 2 41 解题点拨：连接 点 D 作 上的高，交 长线于点 H在 ， 3，4， 5，又 10， 5 5 ，可知 直角三角形，且 90，易证 6， 8，从而在 易求 考点二 性质“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的运用 【例 3】 如图，在四边形 ， 足为点 E连接 点 F，点G 为 中点 2 3， 1求 长 解题点拨 ：综合考查了勾股定理、等腰三角形的判定与性质和直角三角形斜边上的中线，解题的关键是证明 3 鼹： 点 G 为 中点， 2 2 12999 数学网 12999 数学网 3， 在 ， 22 2 2 考点三 性质“直角三角形中， 30角所对的直角边等于斜边的一半”的运用 【例 4】 (2016 西宁 )如图， 分 15， 点 D， 4，则 【答案】 2 解题点拨 ：作 E，根据角平分线的性质可得 据平行线的性质可得 30，由直角三角形中 30的角所对的直 角边等于斜边的一半，可求得 可求得 课堂训练 当堂检测 1 (2016 南京 )下列长度的三条线段能组成直角三角形的是 ( ) A 3， 4， 4 B 3， 4， 5 C 3， 4， 6 D 3， 4， 7 【答案】 B 2 (2015 滨州 )如图，在直角 O 的内部有一滑动杆 端点 A 沿直线 下滑动时，端点 B 会随之自动地沿直线 左滑动，如果滑动杆从图中 滑动到 处，那么滑动杆的中点 C 所经过的路径是 ( ) A直线的一部分 B圆的一部分 C双曲线的一部 分 D抛物线的一部分 12999 数学网 12999 数学网 第 2 题 【答案】 B 3 (2016 黄冈 )如图， 在矩形 ，点 E， F 分别在边 ，且 33a，将矩形沿直线 叠，使点 C 恰好落在 上的点 P 处，则 【答案】 2 3 a 第 3 题 4 (2015 重庆 A)如 图 1，在 ， 90， 60，点 E 是 平分线上一点，过点 E 作 垂线，过点 A 作 垂线，两垂线交于点 D，连接 F 是中点， 足为 H，连接 (1)如图 1，若点 H 是 中点， 2 3 ，求 长： (2)如图 1，求证： (3)如图 2，连接 想： 否是等边三角形？若是，请证明；若不是，请说明理由， 图 1 图 2 第 4 题 12999 数学网 12999 数学网 【答案】 解： (1)在 ， 90， 60， 2 3 ， AB2312 4 3 30 点 H 是 中点， 123 在 AD332 2 在 ，根据勾股定理，得 22D+ 22(4 3) 2+ 2 13 (2)如答图 1，连接 易证： 60 (90 60 30 又点 F 是 中点，即 边上的中线， (3) 等边三角形，证明如下： 如答图 2，取 中点 M，连接 在 ， 2 中位线 2 易证 等边三角形， 60 12 30， 30， 60 12999 数学网 12999 数学网 等边三角形 图 1 图 2 第 4 题答案图 中考达标 模拟自测 A 组 基础训练 一、选择题 1 (2016 连云港 )如图 1， 分别以直角三 角形三边为边向外作等边三角形，面积分别为 2、 图 2，分别以直角三角形三个顶点为圆心，三边长为半径向外作圆心角相等的扇形，面积分别为 中 16， 45 ， 11， 14，则 ( ) A 8 B 64 C 54 D 48 图 1 图 2 第 1 题 【答案】 C 2 (2016 海南 )如 图， 中线， 45，把 着直线 折，点 的位置如果 6，那么线段 长度为 ( ) 12999 数学网 12999 数学网 A 6 B 6 2 C 2 3 D 3 2 第 2 题 【答案】 D 3如图，在 ， 90， 6， 8， 平分线，若 P， Q 分别是 的动点，则 最小值是 ( ) A 125B 4 C 245D 5 第 3 题 【答案】 C 4 (2015 泰安 )如图，矩形 ， E 是 中点，将 直 线 叠后得到 长 点 F若 6， 4 6 ，则 长为 ( ) A 2 B 4 C B D 2 3 第 4 题 【答案】 B 二、填空题 5 (2016 随州 )如图，在 ， 90， M、 N 分别是 中点，延长 点 D，使 13接 6，则 12999 数学网 12999 数学网 第 5 题 【答案】 3 6 (2016 温州 )七巧板是我们 祖先的一项卓越创造，被誉为“东方魔板”，小明利用七巧板(如图 1 所示 )中各板块的边长之间的关系拼成一个凸六边形 (如图 2 所示 )，则该凸六边形的周长是 图 1 图 2 第 6 题 【答案】 (32 2 16) 7 (2016 连云港 )如图 1，将正方形纸 片 折，使 合，折痕为 图 2，展开后再折叠一次，使点 C 与点 E 重合，折痕为 B 的对应点为点 M N若2 则 图 1 图 2 第 7 题 12999 数学网 12999 数学网 【答案】 13三、解答题 8已知，如图，在 ， 90，点 D 为 点，连接 E 为边 一点，过点 E 作 点 F，连接 中点 G，连接 (1)求证： (2)求证： 第 8 题 【答案】 证明： (1)在 R ， D 为 点 A 1 2 A 1 2 (2)延长 点 H G 为 点 12999 数学网 12999 数学网 第 8 题答案图 9 (2016 黄石 )在 ， 2 90 (1)如图 1，若点 D 关于直线 对称点为 F，求证： (2)如图 2，点 E 在 延长线上，则等式 说明理由 图 1 图 2 第 9 题 【答案】 解： (1)点 D 关于直线 对称点为 F， 90， 90 45 45 90 在 ， ? = B， 等腰直角三角形， B 45， 45 45 90， 在 ，由勾股定理得， 12999 数学网 12999 数学网 所以， (2) 理由如下：作点 D 关于 对称点 F，连接 由轴对称的性质得， 90， 90 45 45 90 在 ， ? = B， 等腰直角三角形， B 45， 45 45 90， 在 ，由勾股定理得， 所以， 第 9 题答案图 B 组 提高练习 10 (2016 东营 )在 ， 10， 2 10 ， 上的高 6，则另一边 于 ( ) 10 B 8 C 6 或 10 D 8 或 10 【答案】 C(提示：在图中，由勾股定理，得 22 2210 6- 8； CD 12999 数学网 12999 数学网 22 22(2 10 ) 6- 2； 8 2 10在图中，由勾股 定理，得22 2210 6- 8； 22 22(2 10 ) 6- 2； 2 6 )2 1 c n j y 图 图 11 (2016 资阳 )如图，在等腰 直角 ， 90， 点 O，点 D、 E 分别在边 ，且 结 点 P，给出以下结论： 等腰直角三角形： 若 1，则四边形 面积为 14，其中所有正确结论的序号是 【答案】 (提示：如图， 90， A B 45， 90， 等腰直角三角形故正确 180， D、 C、 E、O 四点共圆， 正确 1， S 12 1 1 12， S 四边形 S S S S S 12S 14，故正确 ) 12 ， 90 ， D 为直线 一动点 (点 D 不与 B， C 重合 )，以边在 侧作正方形 接 (1)观察猜想 如图 1当点 D 在线段 时， 12999 数学网 12999 数学网 位置关系为： 间的数量关系为： ； (将结论直接写在横线上 ) (2)数学思考 如图 2，当点 D 在线段 延长线上时，结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明 (3)拓展延伸 如图 3，当点 D 在线段 延长线上时，延长 点 G，连接 已知 2 2 ，14求出 长 图 1 图