复数的向量表示

学科：数学学科：数学 教学内容：复数的向量表示教学内容：复数的向量表示 【基础知识导引基础知识导引】 1掌握复数的几何表示法，理解复平面、实轴、虚轴等概念的意义 2理解共轭复数的概念，了解共轭复数的基本性质 3掌握复数的向量表示，理解复数 z、复平面内的点 Z 及向量之间的一一对应关 系 4理解复数的模的概念及其几何意义，掌握复数的模的计算方法 【教材内容全解教材内容全解】 1复数的几何表示是指用复平面内的点 Z(a，b)来表示复数 z=a+bi建立了直角坐标 系来表示复数的平面叫做复平面。x 轴叫实轴，y 轴叫虚轴实轴上的点都表示实数；除了 原点外，虚轴上的点都表示纯虚数任何一个复数 z=a+bi，都是由一个有序数对(a，b)惟 一确定，所以复数集与复平面内所有的点构成的集合是一一对应的 2当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数，实数 的共轭复数就是本身 由共轭复数的定义，有下列结论：(1)z 为实数 zz ； (2)z 为纯虚数 0zz ，且 z0； (3) zz )( ； (4)互为共轭复数的两个复数，在复平面内对应的点关于实轴对称 3设 z=a+bi 在复平面内对应的点为 Z，用向量可以表示复数 z。显然是由点 Z 惟一确定，因此，复数集 C 与复平面内由原点出发的向量也是一一对应的，即复数 z=a+bi，点 Z(a，b)，向量三者之间有如下对应关系： 4关于复数的模，应从以下几个方面来加深对这一概念的理解 （1）计算公式： )0(| 22 rbarbiaz 。 （2）几何意义：复数 z=a+bi 的模是点 Z(a，b)到原点的距离，即向量的模（长度） 。 （3） |zz 。 （4）复数的模是实数的绝对值概念的推广。 （5）两个不全为实数的复数不能比较大小，但任何两个复数的模是可以比较大小的。 【难题巧解点拨难题巧解点拨】 例例 1 已知复数 )()23(2 22 Rxixxxx 是 4-20i 的共轭复数，求 x 的值。 解解 因为 4-20i 的共轭复数是 4+20i，根据复数相等的定义，可得 .2023 , 42 2 2 xx xx 解之，得 x=-3。 例例 2 实数 x 分别取什么值时，复数 ixxxxz)52(6 22 对应的点 Z 在 （1）第三象限？ （2）第四象限？ （3）直线 x-y-3=0 上？ 分析分析 因为 x 是实数，所以 6 2 xx ， 152 2 xx 也是实数。若复数 z=a+bi，则 当 a0，且 b1； （2）x+y=2。 解解 （1）图 5-2 中阴影部分 （2）图 5-3 中线段 AB 例例 5 复数 z=a+bi(a，bR)，满足|z-3+i|=5。 （1）求实数 z； （2）求纯虚数 z。 分析分析 对 z 为实数与纯虚数时分别讨论，由复数模的定义，列方程求解。 解解 （1）z=a+bi(a，b)，zR，b=0。 由|z-3+i|=5，得 51)3( 22 a ， 解之，得 623a 。 因此， 623z 。 （2）z=a+bi(a，bR)，z 为纯虚数，a=0，且 b0。 由|z-3+i|=5，得 5) 1()3( 22 b ， 解之，得 b=3，或 b=-5。 因此，z=3i，或 z=-5i。 例例 6 已知 yixz2 1， iyxyxz)32(23 2 ，其中 x，yR，若 22| 1 z ， 132| 2 z ，求 z=x+yi 的值。 分析分析 根据复数模的计算公式及 22| 1 z ， 132| 2 z ，可列出关于 x，y 的方程 组，解这个方程组，可求出 x，y 的值。 解解 根据复数模的计算公式及已知条件，可得方程组 .52)32()23( , 8)2( 22 22 yxyx yx 解之，得 ; 2 , 0 y x 或 . 2 , 0 y x 所以 z=-2i，或 z=2i。 例例 7 已知复数 z0，如果zz，证明 z 为纯虚数。 证明证明 设 z=a+bi （a，bR） 。z0，a，b 不同时为零。 biaz ，由zz，则 abi=abi。 bb aa ，又 a，b 不同时为零， 0 0 b a z=a+bi （b0）为纯虚数。 例例 8 已知 z-|z|=-1+i，求复数 z。 解法解法 1 设 z=x+yi(x，yR)，依题意，可得： iyxyix1 22 ，即 iyiyxx1)( 22 。 由复数相等定义，得 . 1 , 1 22 y yxx 解之，得 . 1 , 0 y x 因此 z=i。 解法解法 2 由已知可得 z=|z|-1+i，等式两边取模，得|z|=|z|-1+i|，即 1) 1|(| 2 zz 。 解之，得|z|=1。 把|z|=1 代入原方程，得 z=i。 说明说明 本例的解法 1 是通过复数相等的条件，把复数问题转化为实数问题来解决的； 而解法 2 是直接用复数的性质来求解的，这两种解法都是解决复数问题的基本方法。 【课本习题解答课本习题解答】 练习（第 200 页） 1x=1，y=7 2A：4+3i B：3-3i C：-3+1.5i D：-2.5-3i E：5.5 F：-2 G：5i H：-5i 3各点的几何表示略。 4各点的共轭复数分别为：4+3i，-1-i，-5-12i，2 1 4 i ，-4i， 5i 。 （各复数及它 们的共轭复数的点的表示略） 5 （1）第一象限；（2）第二象限； （3）虚轴的下半轴；（4）第一、二象限。 练习（第 202 页） 1 （1）各点的向量表示略。 （2） 21)3(|3| 22 i ， 524)2(|42| 22 i ， |-2i|=2，|4|=4， 1) 2 3 () 2 1 (| 2 3 2 1 | 22 i 2因为 521| 22 1 z ， 5)3()2(| 22 2 z ， 5)2()3(| 22 3 z ， 51)2(| 22 4 z ， 所以1 Z ，2 Z ， 3 Z ，4 Z 都在以原点为圆心， 5为半径的圆上。 习题 52 1 （1）成立； （2）不成立（如|2+3i|=|3-2i|） ； （3）不成立（原点也在虚轴上） 。 2 （1）各点的几何表示略； （2）1，-i，6+8i，1-i， i 22 ，-4+6i，2 1 3 ， i 3 （各点的几何表示略） 3各复数及它们的共轭复数和向量表示略，模分别是： |1|=1，|i|=|-i|=1， |6-8i|=|6-8i|=10， 2|1|1|ii ， 6)2(2|22|22| 22 ii ， 1326)4(|64|64| 22 ii ， 2 1 3| 2 1 3| ， 3|3|3|ii 4 1316912)5(| 22 1 z ， 36108)26()6(| 22 2 z ， | 21 zz 。 5 （1）如果复数对应的点在第一象限，则 m7， 如果复数对应的点在第三象限，则 37，或 3|3cos+i3sin| B 2|sincos|i C|5+2i|-1-6i| D|cos+isin|的最大值是 2，最小值是零 5如果 z=x+yi(x，yR)，则有（ ） A |2|zyxz B |2|yxzz C |2|zyxz D |2|yxzz 6设1 z 、 Cz 2，21 zz 的一个必要不充分条件是（ ） A 0| 21 zz B21 zz C21 zz D | 21 zz 二、填空题二、填空题 7若 x+y-30-xyi 和 y-x+60i 互为共轭复数，则实数 x=_，y=_。 8若得数 z=(x-1)+(2x-1)i 的模小于 10，则实数 x 的取值范围是_。 9设 z=2+i，z 和z在复平面内对应点分别是 A 和 B，O 点是坐标原点，则AOB 的 面积是_。 10已知虚数(x-2)+yi(x，yR)的模为 3，则x y 的最大值是_。 三、解答题三、解答题 11已知 z=cos+i(1-sin)，求|z|的取值范围。 12已知 z-2|z|=-7+4i，求复数 z。 13已知复数 sincos1 1 iz ， cossin1 2 iz ，且两复数的模的平方 和不小于 2，求 的取值范围。 14已知 ixxz1 22 1 ， iaxz)( 2 2 ，对于任意实数 x，均有 | 21 zz 成立， 试求实数 a 的取值范围。 参考答案参考答案 【同步达纲练习同步达纲练习】 一、1C 2A 3A 4A 5A 6D 二、7x=15，y=4 8 2 5 4 x 92（面积单位） 10 3 三、11 sin22)sin1 (cos| 22 z ， -1sin1，02-2sin4，|z|的范围为0，2 12设 z=x+yi(x，yR)，由已知，得 iyxyix472 22 ， iyiyxx47)2( 22 ， . 4 , 7 2 22 y yxx 解之，得 ; 4 , 3 y x 或 . 4 , 3 5 y x 因此，z=3+4i，或 iz4 3 5 13 cos22sin)cos1 (| 222 1 z ， sin22cos)sin1 (| 222 2 z 。 由已知 )sin22()cos22(| 2 2 2 1 zz 2)sin(cos24 ， sin-cos1，2 2 ) 4