基于black-scholes模型的欧式期权定价研究

学号：学号：0500805008 基于 Black-ScholesBlack-Scholes 模型的欧式期权定价研究 清华大学 高 皓 指导教师：束为 （北京市商务局副局长） 摘要：摘要：期权是人们为了规避市场风险而创造出来的一种金融衍生工具。期权定价是金 融衍生工具理论研究和实际应用的核心问题。本文介绍了金融衍生品概况，利用随机过程 的知识，系统研究了基于 Black-Scholes 模型的欧式期权定价问题。文章推导出了标的资 产的价格过程，进而应用风险中性法详细解析了 Black-Scholes 模型。 关键词：关键词：期权定价，伊藤过程，Black-Scholes 模型，风险中性。 1 金融衍生品概论金融衍生品概论 1.1 金融衍生品及其市场金融衍生品及其市场 期权是最基本的金融衍生品之一。金融衍生工具（derivative instruments）又称金 融衍生品（derivatives）或金融证券（derivative securities） ，是一种金融工具，其价 格或投资回报最终取决于另一种资产，即所谓的标的资产（underlying asset）的价格。 这就是说金融衍生品的价值是由其标的资产价值衍生（derived）而得到的。其中，用来作 为标的资产的可以是债券、股票、货币等基础金融工具，也可以是其它实物资产，或者是 金融衍生品本身。 从金融工程学角度看，远期合同、期货合同和期权合同是三种最基本的衍生品。市场 上还存在的的其它衍生品，如掉期（swaps） 、按揭抵押债券（mortgage-backed securities） 、结构化债券（structured securities）等都可以看作上述三种基本衍生工 具及债券、股票的基础金融工具不同组合的产物。 金融衍生品市场是一个非常巨大的市场，表 1 和表 2 分别列出了 5 年前交易所内外交 易的金融衍生产品市值。目前全球每年的交易额超过 100 万亿美元，而全世界所有国家的 当年 GDP 总和也不过 30 万亿美元。这个市场发展极其迅猛，也对全世界的经济走势产生了 极其深远的影响。从原理上来讲，金融衍生品市场首先是规避风险的工具，通过交易使得 风险从风险厌恶者手中转移到风险喜好者手中。但在实践中取得的效果往往适得其反，越 是设计的复杂的产品，其破坏力往往就越大。1994 年墨西哥金融危机，1997 年亚洲金融风 暴都与金融衍生品市场息息相关。 金融衍生品市场非常精妙复杂，充满了不确定性，每天都在发生着惊心动魄的财富故 事，是对人类智力的挑战。目前在中国还未允许期权交易和金融期货交易，但是，中国的 金融安全、中国的发展，需要一大批金融衍生品方面的顶尖专家。前一段时间发生的“国 储铜”事件，让我们感到学习掌握金融衍生品交易的尖端技术迫在眉睫。 表 1 交易所交易的金融衍生产品市值（单位:10 亿美元） 期末名义余额名义交易额 时间1997 年 12 月 1998 年 12 月 1999 年 6 月1997 年1998 年1999 年 总计 12,202.213,549.215,097.8356,752.8387,699.292,818.0 数据来源：国际清算银行 1999 年发布的国际银行业与金融市场发展季度报告 表 2 场外市场交易的金融衍生产品期末未结清余额（单位:10 亿美元） 工具1998 年 6 月1998 年 12 月 名义本金额市场总价值名义本金额市场总价值 总计 72,1432,58080,3003,230 数据来源：国际清算银行 1999 年关于衍生品 OTC 市场的统计报告 1.2 期权的基本概念期权的基本概念 期权 (option)：是一种选择权，持有者有在约定时间以约定价格向其权提供者购买或 售出某种资产的权利，但不负有必须买进或卖出的义务。 做多方（long position）：买方。 做空方（short position）：卖方。 标的资产（underlying asset）：期权合同做多方行使权力时买入或卖出的资产。可 供选择的表弟资产有股票、债券、货币、利率等金融资产，也可以是黄金和其他一些商品。 敲定价格（strike price）：期权合同所规定的标的资产的买入或卖出价格。敲定价 格在签订期权合同时就已经固定，不再随标的资产的市场价格变化而变化。 看涨期权(call option)：是指期权的买方享有在规定的有效期限内按某一具体的敲定 价格买进某一特定数量的相关商品期货合约的权利，但不同时负有必须买进的义务。 看跌期权(put option)：是指期权的买方享有在规定的有效期限内按某一具体的敲定 价格卖出某一特定数量的相关商品期货合约的权利，但不同时负有必须卖出的义务。 到期日（expiration date）：期权合同所规定的有效期限或合同做多方行使权力的时 间。根据做多方在期权有效期内行使权力自由度的不同，期权有可以分为美式期权 （American-style option） ，即做多方可以在到期日前任何一天行使权力；欧式期权 （European-style option） ，即做多方只能在到期日行使权力，本文中仅研究欧式期权。 可行市场：研究金融市场有一个基本的假定，就是无套利原则，也称套利原则，这个 原则就是假定正常运行的市场没有套利机会（套利的粗略含义是，在开始时无资本，经过 资本的市场运作后，变成有非负的（随机）资金，而且有正资金的概率为正） 。因为在出现 套利机会时，大量的投机者就会涌向市场进行套利，于是经过一个相对短的时期的“混乱” 后，市场就会重返“正常” ，即回复到无套利状态。在金融衍生证券的定价理论中，并不讨 论这段短混乱时期，因此，在研究中普遍地设置无套利假定，这样的市场也称为可行市场。 套期：粗略地说，以持有某些有价证券组合来抵消某种金融衍生证券所带来的风险， 称为套期，这种套期事实上是完全套期。如果只抵消了部分风险，则称为部分套期。 1.3 期权交易过程期权交易过程 以某种证券为标的变量的欧式看涨期权，是指在t0 时甲方（一般为证券公司）与乙 方的一个合约，按此合约规定乙方有一个权利，能在时刻T以价格X（敲定价格）从甲方 买进一批这种证券，如果时间T时的市场价格低于X，乙方可以不买，而只要时间T时 T S 的市场价格高于X，乙方就得利。综合起来，乙方在时刻T净得随机收益为 T S 。因为乙方只能在最终时刻T做出选择，所以这种期权是欧式期权。max(0,) TT cSX 此外，乙方希望尽量大，以便有更多的获利。也就是有选择权的乙方盼望股票上涨，这 T S 就是看涨期权，或者买权。由于这个合约能给乙方带来的随机收益，max(0,) TT cSX 就需要乙方在t0 时刻用钱从甲方购买。这个合约在t0 时刻的价格，称为它的贴水或 保证金(premium)。问题关键是如何确定这个合约在时刻的价格。这正是本文研究的tT 问题。 1.4 Black-Scholes 期权定价模型的简述期权定价模型的简述 价格从来都是市场经济的核心内容，价格是使市场上的交易双方达成交易的最重要的 因素，价格反映了市场上的供求关系。资产定价（asset valuation）是现代财务学的一个 基本问题。 1973 年，芝加哥大学教授 Black 和 MIT 教授 Scholes 在美国“政治经济学报” （Journal of Political Economy）上发表了一篇题为“期权定价和公司负债” （The pricing of Options and Corporate Liabilities）的论文；同年，哈佛大学教授 Merton 在“贝尔经济管理科学学报”上发表了另一篇论文“期权的理性定价理论” （Theory of rational option pricing） ，奠定了期权定价的理论性基础，为财务金融学开创了一个崭 新的领域，也拉开了 100 万亿美元庞大市场的序幕。Scholes 和 Merton 由于在期权定价方 面的开拓性贡献，被授予 1997 年诺贝尔经济学奖（Black 教授 1995 年逝世未能享此殊誉， 但英名也永载史册） 。现在，期权理论与应用研究已经成为财务金融学领域最为活跃的分支， 本文的研究就是以著名的 Black-Scholes 模型展开的。 1.4.1 概念与基本假定 Black-Scholes 期权定价模型将股票期权价格的主要因素分为五个：标的资产市场价 格、执行价格、无风险利率r、标的资产价格波动率和距离到期时间。除此 t SXTt 之外，对于股票期权来说，影响其价值的参数还包括股利支付D。 在具体分析上述参数对期权价值的影响之前，我们先讨论一下期权价值的构成问题。 期权的价值等于内在价值和时间价值之和。其中，期权的内在价值(intrinsic value)是指 期权盈价的金额，即期权的做多方从执行期权合同中得到的现金收入额。买权的内在价值 表明，由于期权损益结构的不对称性，其内在价值不会为负，至少等max(0,) Tt cSX 于 0。 图 1 欧式看涨期权的价 格（ ） 123 ttt 对于一个欧式买权、 且现在时刻t离到期日T尚有一段时间T-t，则不能简单地用现行市场价格，减去执行 t S 价格X作为其内在价值，因为它们是发生在两个不同时刻的价值量，考虑到货币的时间价 值，简单的算术加减是没有意义的，而应当将未来T时刻的价值量X按无风险利率r贴现 到当前时刻。因此，欧式买权内在价值的计算公式应当调整为 () max(0,) r T t Tt cSXe 内在价值 时间价值 期权价值 T S 123 ttt 0 1.4.2 Black-Scholes 期权定价的基本思路 期权定价的主要研究工具是随机过程的分支随机微分方程和鞅。随机微积分起源 于马尔可夫过程结构的研究。日本数学家伊藤清在探讨马尔可夫过程的内部结构时，认为 布朗运动(又称维纳过程)是最基本的扩散过程，能够用它来构造出一般的扩散运动。 Black-Scholes 考察一类特殊的扩散过程 ：，这里表示股票( )( )dS tSdtSdB t t S 价格，股票预期收益率及波动率均为常数，t代表时间，为标准布朗运(0) ( )B t 动。在无交易成本、不分股利的假设下，得出欧式看涨期权价格应满足如下微分方程 t F (r为无风险利率 ) ： Black 在1989 年曾在一 篇文章中介绍了得到 Black-Scholes 模型的全部经过。他指出，期权定价的核心在于设计 一个套期组合策略，使得期权市场投资风险为零，这是对期权定价建模思路的高度概括。 我们下面将详细讨论。 利用偏微分方程的理论求出的方程解析解 ，即著名的 Black-Scholes 期权定价公式。 下面列出了欧式买权解的表达式。 () 12 ()() r T t ttt FcS N dXeN d 其中， 2标的资产价格变动的概率标的资产价格变动的概率分布模型分布模型 从概率论的角度讲，标的资产价格的变化是一个随机过程。因此，了解和掌握这个随 机过程的基本特征，是期权定价理论首先要回答的基本问题。例如，股票价格变动服从几 何布朗运动或对数正态分布，是 Black 和 Scholes 在推导 B-S 期权定价模型时用到的最基 本的假设。本节介绍与之相关的基本概念，布朗运动、几何布朗运动、伊藤过程和伊藤定 理等。在此基础上，以股票为例，讨论标的资产价格的概率模型。 2.1 布朗运动及一般化维纳过程布朗运动及一般化维纳过程 股票价格的变化行为常用著名的布朗运动来刻画。布朗运动是马尔柯夫过程的一种特 殊形式。布朗运动最早起源于物理学，物理学中把某个粒子的运动是受到大量小分子碰撞 的结果成为布朗运动。股票价格的变化也是受着很多种因素的影响，所以形象的说，股票 价格运动的轨迹类似于布朗运动。关于这一点假设，文章中还会有比较详细的说明。 定义 布朗运动（维纳过程） 随机过程称为布朗运动（维纳过程） ，如果它满足：( ),0B t t （1）过程具有独立增量；（2）正态增量，即；（3）是一个连续函数。( ),0x t t 从下图中布朗运动的轨迹看，确实没有什么规律可言。 2 22 2 1 () 2 tttt ttttt ttt FFFF dFSSdtSdB tSSS 2 1 21/2 21/2 21 ln()()() 2 () () t S rTt X d Tt ddTt 图 2 布朗运动的轨迹 定义 一般维纳过程 设 为( ),0B t t 布朗运动，则称 为一般化的维纳过程（布朗运动） 。称为瞬时期( )( )dS tdtdB t 望漂移率（instantaneous expected draft rate ） ，为瞬时标准差，它们都是给定的 参数，是连续的维纳过程。( )B t 一般化维纳过程是最常用来刻画基础金融变量，特别是描述股票价格的变化的一种随 机过程形式。影响股票价格变化的因素主要有以下两点：股票价格随时间上涨的趋势和股 票价格的平均波动率。前者对股票价格增长的贡献取决于时间的长短；后者至取决于布朗 运动造成的随机波动。所以，股票价格的变化可以看成是两个方向上的力共同决定的。具 体地说，如果我们不计算 在内，则 ，即，这说明股票价格B( )dS tdt 0 SSt 具有线性增长的性质。如果我们考虑，这种波动分为两个部分， （1），即所谓白噪BdB 声（white noise） ， （2）它被放大了倍，则有，这说明股票价格S 0 ( )SStB t 在线性增长的同时，还有随机波动的倾向，两部分的叠加就获得了如图的一般维纳过程。 图 3 一般维纳过程 最上边那条随机波 动的蓝色曲线代表股票 价格，斜向上的红色直 线代表不计随机波动影 00.511.522.53 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 响的股票价格，下面那条随机波动的绿色曲线代表没有线性增长趋势的股票价格的变动。 真实的股票价格是由线性增长和随机波动两种因素共同影响而成。 2.2 几何布朗运动几何布朗运动 早在 1900 年巴舍利耶（Bachelier）就曾经假定股票价格运动服从维纳过程，但这引 起了一个矛盾，即股票价格也有可能为负数，这与现代公司有限负债前提相矛盾。而直接 假设股票价格遵循一般维纳过程也忽略了一个事实，即投资者往往要求股票的期望收益率 是一个常数，而不管股票价格的绝对水平是多少。因此，现在通用的描述股价的适当形式 应为： ( )( )dS tSdtSdB t 或写成 定义 几何布朗运动 如果随机过程 是布朗运动，则称0),(ttB 随机过程为几何布朗运动（geometric Brown motion） ，如果 ( ),0x t t 。 ( ) ( ),0 B t x tet 下面将证明，股票价格服从几何布朗运动。0),(ttS 对于一般的金融资产，瞬时预期回报率和回报率标准差可能不是常数，而是金融 资产价格和时间的某个函数，即和，因此该金融资产价格变化规律由( , ( )t S t( , ( )t S t 下式表示 显然此式是更一般形式。由下可知，这时的是一个伊藤过程。( ), 0S ttT 23 伊藤过程和伊藤公式伊藤过程和伊藤公式 定义 伊藤过程 如果过程可以表示为 ，( ), 0S ttT ( )( , ( )( , ( )( )dS tt S t Sdtt S t SdB t 其中是二元连续函数，为布朗运动，则称( , ),( , )t st s ( ), 0B tt 为伊藤随机过程（简称伊藤过程） 。( ), 0S ttT 伊藤定理 设是由给出的伊藤过程， ( ), 0S ttT ( )( , ( )( , ( )( )dS tt S t Sdtt S t SdB t 是二次可微连续函数，( , )ff s t 具有连续偏导数 则 满足如下的( ( ), )f S t t 伊藤微分方程 2 2 , , fff tss ( ) ( ) dS t dtdB t S ( ) ( , ( )( , ( )( ) dS t t S t dtt S t dB t S 2.4 股票价格变化的股票价格变化的概率分布概率分布 有了伊藤定理这个有力工具，我们就可以分析股票价格的概率分布性质了。若记 ，则对于( )ln ( )f tS t 有 这样，由伊藤定理，有 亦即， 2 (ln )(1/2)dSdtdB 对上式两边在上积分即0, t 可 得到 2 0 0 lnln(1/2) t t SStdB 是布朗运动，因为，所以，而( )dB tdt(0,1)N( ) (0,)dB tNdt 。布朗运动的每一连续瞬间都是独立同分布的随机变量，所以有 2 (0,)dBNdt 2 0 (0,) t dBNt 因此， 2 0 ln(/)(1/2)( ) t SStB t 或 2 0exp( 1/2)( ) t SStB t 这是一个非常重要的结论，它给出了在给定当前股价的条件下，未来t时刻 0( 0)S t 股票价格服从的概率分布，即它是一个对数正态随机变量。由于这个结果是在几何布朗 t S 运动基础上推导出来的，说明这是一个问题的两个不同表示形式。因此，在研究股票价格 变动规律时，几何布朗运动和对数正态分布往往成为一个同义语，尽管在数学上它们本来 是两个不同的概念。在下文中，我们不再加以区分。 2 22 2 1 () 2 ffff dfSSdtSdB StSS ( ) ( , ( )( , ( )( ) dS t t S t dtt S t dB t S 2 22 11 0, , fff tSSSS 2 22 2 2 1 () 2 1 () 2 ffff dfSSdtSdB StSS dtdB 期望值 概率密度 图 4 股票价格的概率密度分布：对数正态分布 3Black-Scholes 模型建立及求解模型建立及求解 3.1 Black-Scholes 期权定价模型概述期权定价模型概述 3.1.1 基本假设 Black 和 Scholes 在推导 Black-Scholes 模型时做了以下 7 条基本假设： （1）无风险利率r已知，且为常数，不随时间变化； （2）有两种长期存在的证券，一种是股票（标的资产） ，其价格的变化为一几何布朗 t S 运动，即 ( ) ttt dSS dtS dB t 或者说，服从对数正态分布， t S 2 0exp( 1/2)( ) t SStB t 另一种是无风险证券，它的价格过程为。 t L/ tt LtrL （3）在衍生证券的有效期内，标的股票没有红利支付； （4）期权为欧式期权； （5）对于股票市场、期权市场和资金借贷市场来说，不存在交易费用，且没有印花税； （6）投资者可以自由借入和贷出资金，借入利率和贷出利率相等，均为无风险利率。而 且所有证券都是高度可分的，即投资者可以购买任意数量的标的股票； （7）对卖空没有任何限制（如不设保证金） ，允许使用全部所得卖空衍生证券。 3.1.2 符号 在上述假设下，记 ：标的资产（股票）的市场价格； t S X：买权合同的执行价格； r：按连续复利计算的无风险利率； ：标的资产价格波动率； T：到期日； t：当前定价日； ：距离到期时间。Tt 3.1.3 结论 （1）在定价日，欧式买权的价值为()t tT t c () 12 ()() r T t tt cS N dXeN d 其中， 1/2 21 ()ddTt 是标准正态变量的累积分布函数，即( )N x ( ), (0,1)N xP XxXN （2）由买权-卖权平价公式：， ()r T t ttt pcSXe 又由，欧式卖权在定价日的价值( )()1N xNx () 12 ()() r T t tt pS NdXeNd 3.2 Black-Scholes 期权定价建模推导方法期权定价建模推导方法 我们按照 Black 和 Scholes 在 1973 年那篇奠定诺贝尔经济学奖的经典论文的思路来推 导 Black-Scholes 微分方程。 假设是期权（或者其他衍生证券）的当前价格，显然，一定是标的股票当前市场 t F t F 价格和当前定价日t的某种函数。 t S 注意到 Black-Scholes 模型的基本假设，股票价格遵循随机过程： t S tttt dSS dtS dB 因此，由伊藤定理，期权价值是标的股票价格的函数，应有： t F t S Black- Scholes 期权定 价模型采用的是典型的动态无套利均衡分析的技术。基本思路是套期保值，即交易者为减 少风险而采取的投资组合(portfolio)的策略。在上述假设下，采用一种动态交易策略，复 制欧式买权到期末的现金流。这一复制技术是在期初时购买一个有标的股票和一种无0t 风险证券构成的证券组合，然后不断地动态调整其头寸使之保持住无套利均衡关系，一直 到到期日。这样，现在时刻欧式期权的价值就一定等于复制组合在时刻的tT0t 0t 价值。这一动态过程有以下三个特点： （1）与复制一份欧式买权相对应，股票的头寸始终小于 1 股。 （2）所对应的股票头寸大小成为套头比或期权的 delta()，定义为 2 22 2 1 () 2 tttt ttttt ttt FFFF dFSSdtSdB tSSS 2 1 1/2 ln()()() 2 () t S rTt X d Tt / tt FS （3）套头比不停地发生变化，所以为了复制 1 份期权，需要随时调整复制组合 中股票的头寸，但这种调整是无成本的（自融资的） 。 具体地说，这一动态复制过程就是用期权、标的股票和一种无风险证券来构筑一个无 套利均衡的组合头寸。用份标的股票（股票价格为）的多头和无风险证券的/ tt FS t S 空头来复制一份期权（价格为） 。亦即构造如下的套期组合：在当前 t 时刻，以买入 t F t S 标的股票股，同时以卖空 1 份期权。无风险证券的空头价值记为。为使复制/ tt FS t F t L 在全过程中成立，必须始终保证以下关系： 移项整理有， 经过一段微小时间，两边的t 价值变为 而伊藤过程刻画了， t S伊藤定理刻画了，于是， t F 将前面的关系带入上式，即可得到 这是一个有趣的结果，在上面的表达式右边， 随机项不再出现。这意 t dB 味着 1 份期权的空头 和份股票的多头能实现风险的完全对冲，而的大小是动态地调整的。所以右边这二者 的组合和与之等价的无风险证券是完全等价的。 （对于期权和股票的证券组合来说，其瞬时 收益率一定同其他短期无风险证券的收益率相同。如果该证券组合的收益率大些，套利者 就会卖出无风险证券然后购入证券组合获取无风险收益；如果该证券组合的收益率小些， 套利者就会通过卖出该证券组合购买无风险证券来获得无风险收益。 ）即两者组合的收益率 应当等于无风险收益率r，因此 / tt LLr t 即有 / tt LtrL 令并在上述关系式中展开和就得到著名的 Black-Scholes 随机微分方程：0t t L t L 对于欧式看涨期权，其边界条件为： ()max(,0) T cF tTSX 对于欧式看跌期权，其边界条件为： t ttt t F FSL S t tt t F LFS S t ttt t F LFS S 2 22 2 1 () 2 tt tt t FF LSt tS 2 22 2 1 2 ttt ttt tt FFF rSSrF tSS ()max(,0) T pF tTXS 3.3 Black-Scholes 模型的模型的风险中性定价解法风险中性定价解法 风险中性定价解法方法利用了风险中性假设，解法中具有比较深刻的金融学含义，被 现在的金融学研究者广泛采用。 3.3.1 风险中性假设 首先简要介绍在金融学中极为重要的风险中性假设。现实世界中的人往往分为风险厌 恶型、风险中性型、风险喜好型。18 世纪著名数学家 Daniel Bernoulli 在研究赌博问题 时发现，人们往往对赌博可能输掉的钱看得比可能赢到的钱重。例如，在一个掷硬币的赌 博中，假设硬币完全对称，正面朝上可以赢得 2000 元，反面朝上 1 分钱也收不回，要下多 少钱的赌注人们才会来参加？所谓公平的赌博，就是指赌博结果的预期只应当与入局前所 持有的资金量相等，我们学过的鞅就描述了公平赌博。因此，花费 元入局是一场公平的赌局。但是，对于许多人来说，不愿意2000 50%0 50%1000 花 1000 元参加这场公平的赌局，他们可能只愿意花 300 元来入局，实际上，他们是要以 700 元的预期收益作为承受风险的补偿。这些人是风险厌恶型的，在没有风险补偿时，风 险厌恶型的人拒绝公平的赌博。 定义 风险中性（risk-neutralityrisk-neutrality） 如果有人愿意无条件地参加公平的赌博，则这样的人被认为是风险中性的。 风险中性者对风险采取无所谓的态度：他们对所有资产所要求的预期收益率都是一样 的，而不管其风险如何，并不要求风险的补偿。因此，对所有资产所要求的预期收益率也 就同无风险资产的收益率相同。这就是说，风险中性的投资者投资于任何资产所要求的收 益率就是无风险收益率。 在一个假想的风险中性的世界里，所有的市场参与者都是风险中性的，那么，所有的 资产不管其风险大小或是否有风险，预期收益率都相同，都等于无风险收益率。而且，所 有资产现在的市场均衡价格都应当等于其未来收益的预期值，加上考虑到资金的时间价值， 就都是未来预期值用无风险利率折现后的现值。 风险中性假设是和无套利均衡分析紧密联系在一起的。当无风险套利机会出现时，所 有的市场参与者就都会进行套利活动，而不管其对风险的厌恶程度如何。由此出发，可以 得到这样一个推理结果：无套利均衡分析的过程和结果与市场参与者的风险偏好无关。 风险中性假设 如果对一个问题的分析过程与投资者的风险偏好无关，则可以将问题放到一个假设的 风险中性的世界里进行分析，所得的结果在真实的世界里也应当成立。 利用风险中性假设可以大大简化问题的分析，因为在风险中性的世界里，对所有的资 产都要求相同的收益率，而且，所有资产的均衡定价都可以按照风险中性概率算出未来收 益的预期值，再以无风险利率折现得到。最后，将所得的结果放回真实的世界，就获得有 意义的结果。 3.3.2 风险中性定价解法 下面应用风险中性假设来分析 Black-Scholes 微分方程。在 Black-Scholes 微分方程 中，通过动态对冲的方法，使风险由于完全的对冲而消除掉，方程中不再含有随机项， t dB 除此之外，也不再含有，这一点同样是意味深长的，股票的预期收益率中含有风险补偿， 因而会与投资者的风险偏好有关。不含（是连续计算收益率的股票在单位时间内收益 的自然对数的期望值，即预期单位时间连续计息的复利收益率） ，说明问题与投资者的风险 偏好无关。这样，风险中性假设就可以应用了。 由定义，买权在到期日的价格满足， T c max(0,) TT cSX 根据风险中性定价原则，只要先求出的期望值，然后再将这一发生在未来 T c T E c 时刻的期望值按无风险利率贴现到当前时刻 t，就可以得到该买权在定价日 t 的价值T () r T t tT ceE c 所以，确定的关键问题在于如何计算。 t c T E c 设P为的概率，即。则由随机变量期望值的定义 T SX() T PP SX |(1) 0 | TTTTT E cPE SSXXPPE SSXX 因此，最终归结为计算概率P和。下面分别来计算这两个量。| TT E SSX （1）求解() T PP SX 由，有和，即0 T SXlnln T SXlnlnlnln Ttt SSXS ln(/)ln(/) Ttt SSX S 因此，。()(ln(/)ln(/) TTtt PP SXPSSX S 另一方面，我们把求解 Black-Scholes 微分方程的期权定价问题先放到一个“风险中 性”的假设世界中去。在这个假想的世界里，所有市场参与者都是风险中性的，他们对于 有风险资产的收益，都是不需要风险的补偿。在这个假想的世界里，所有资产的预期收益 率都相等，即都等于无风险收益率r，即。因此，由模型假设知，服从正rln(/) Tt SS 态分布，其期望值和方差分别为 其中，换元，Tt 令 则可以化作标准正态分布形式，有 (0,1)zN 因此， 若记 22 2 11 ln()()() 22 ln() T t T t S Er S S D S 2 1/2 1 ln()() 2 T t S r S z 2 1/2 (ln()ln() 1 ln()() 2 () T tt t SX PP SS X r S P z 2 1 1/2 1/2 21 1 ln()() 2 t S r X d dd 则上式为 这样，我们求出了第一个值，即 2 ()() T PP SXN d （2）求解| TT E SSX 由于，服从对数正态分布，因此其密度函数 2 exp(1/2)( ) Tt SStB t 其中， 于是， 作变量替换 则有 1 () TT dySdS 计算积分限，当时，；当时， T S y T SX 因此， 至此， () T PP SX 和均已求出，则该期权价值| TT E SSX 2 1/2 1/21/2 11 22 1 ln()() 2 () ()1() 1()() t X r S PP z P zdNd NdN d 2 2 1( ) ()exp 22 T T LE L f S S 2 22 ln(), ( )ln()ln(0.5) , ( )ln() T Tt T LS E LESSr D LDS 2 2 2 2 2 2 |() exp( ln)exp(ln) () 1( ) exp( ) exp( 0.5) 22 1( ) exp 22 TTTTT X rt ttTTT X rt T t XT rt tT X T E SSXS f SdS S eSrSf SdS LE L LE LdS S e S LE L S edS S 22 ln( )( ) T SE LLE L y 2 * 2 1 ln( ) ln(0.5) t XE L yy S r X d * 2 * 1 11 |exp() 22 (1()() rt TTt y rtrt tt E SSXS eydy S eNyS e N d 即为所求，解毕。 3.3.3 关于风险中性解法的进一步 思考 写出 Black-Scholes 随机微分方程： 可以看出，Black-Scholes 微分方程中包 含的参数有以及时间变量，但是，反映投资者风险偏好的瞬时期望收益率却在, , t Sr 推导的过程中被消掉了。这一点再次说明了风险中性假设的合理性。一般来说，对于任何 给定的金融资产，投资者厌恶风险的程度越高，其期望得到的收益就越大。如果该项资产 不能提供足够高的期望收益率的话，投资者要么望而却步，要么不将其出售。这样，资产 的价格又会有所下降，反过来又将提高收益率。资产价格与收益率之间的如此调整达到平 衡后，所对应的收益率即为瞬时期望收益率。现在，既然 Black-Scholes 微分方程不包 含反映风险偏好的参数，风险偏好就不会对方程的解产生影响。因此，在衍生工具定价时， 可以使用任何一种风险偏好假设，其中最简单的当然是假设投资者是风险中性的。 风险中性假设大大简化了衍生工具的定价过程，因为在风险中