复数中的方程问题

复数中的方程问题（教师版）复数中的方程问题（教师版） 【知识梳理】 1.一元二次方程 2 0( , ,0)axbxca b cR a (1)方程有两个不相等的实数根;0 2 1,2 4 2 bbac x a (2) 方程有两个不相等的实数根;0 1,2 2 b x a (3) 方程有两个共轭虚根.0 2 1,2 4 2 bacb i x a 注:实系数一元二次方程的跟只可能是两个都是实数根或两个共轭虚根; 解实系数一元二次方程,首先要判断的符号,以确定跟的情况. 2.实系数一元二次方程跟与系数的关系: 方程的两根为 2 0( , ,0)axbxca b cR a ,则() 12 ,x xC 12 12 b xx a c x x a 注:时()式成立,为虚数时()式也成立; 12 ,x xR 12 ,x x 若为虚数,则,且 1 x 21 xx 2 121121 2Re;| bc xxxx xx aa 【基础练习】 1.在复数集内,方程的解集为_. 2 230xx 12 , 12 ii 2.若是方程的一个根,则等于_26_. 32i 2 20( ,)xbxcb cRc 2.方程的一个虚根的模为,则 =_9_. 2 2810()xxttR 5t 3.方程的两个根均为虚数,且两个根的模之和为 2,则实数的 22 36(1)10xmxm m 值为_. 2 4.若实系数一元二次方程的根为,则这个方程为( B ) 12 13 ,13xi xi A. B. C. D. 2 220xx 2 240xx 2 220xx 2 240xx 5.方程在复数集内的根的个数为( C ) 42 560xx A.2 B.3 C. 4 D.5 6.在复数集内分解因式:_ _. 2 23xx 123123 2()() 44 ii xx 【例题解析】 例 1. 在复数集中解方程： 22 (1)2340;(2)40xxxmx)(Rm 分析 解实系数一元二次方程要首先计算判别式，以确定根的情况 解 (1)，所以该方程有一对共轭虚根， 2 4230bac 所以方程的根为： 12 323323 , 4444 xi xi (2)， 2 16m 当时，即或时，；0 4m 4m 2 1,2 16 2 mm x 当时，即，若；若；0 4m 4,2mx 4,2mx 当时，即时，0 44m 2 1,2 16 22 mm xi 例 2. 已知是实系数一元二次方程的两个虚根，且，求, 2 0axbxc 2 R 分析 实系数一元二次方程的两个虚根共轭，又zRzz 解 是实系数一元二次方程的两个虚根，, 2 0axbxc, 又因为 22222 333 ,(),()1,R 所以是 的立方根，又() 1 13 , 22 i 例 3. 已知方程（）的两根为，若，求实数的01 2 pxxRp 21 xx或1| 21 xxp 值. 解：（1）当，即时，04 2 p22pp或 2 4 , 2 4 2 2 2 1 pp x pp x 则，由4| 2 21 pxx514 2 pp 高三第一轮复习 复数中的方程问题 3 （2）当，即时，04 2 p22p 2 4 , 2 4 2 2 2 1 ipp x ipp x 则，由 2 21 4|pxx314 2 pp 综上。35或p 例 4.已知且关于的方程的两个根分别为，求tRx 2 20xxt , | 分析 在求的表达式时，方程的根是实数还是虚数，在变形时方法完全不|, 同所以很有必要区分是实根还是虚根，即对 分类讨论, t 解 44 ,2,tt 当即时， ，0 1t ,R 222 |(|)2| 2 2(01), ()22|422| | 2 1(0). t tt tt 当即时， 为一对共轭虚根，0 1t , ,| | ，则 2 | |,| 2tt 综上可知： 2(01), |2 1(0), 2(1). t tt tt 例 5. 已知关于的方程有实根，求纯虚数的值x 2 (12 )(31)0xi xmim 分析 关于虚系数一元二次方程求实根，我们所掌握的工具只有方程根的概念。即方程的根 满足该方程，所以可将实数根代入方程，用复数相等来解题 解 设实数根为，又设，代入原方程整理，得： 0 x(0,)mbi bbR ，由复数相等的定义， 2 0000 (3 )(21)0,xxbxix bR 得 解方程组，得，。 2 00 0 30, 210. xxb x 12 1 , 2 1 0 bxim 12 1 【变式】有关于的一元二次方程x0)2()(tan 2 ixix),(CxR （1）若此方程有一实数根，求锐角的值； （2）求证：对任意的实数，原方程不可能有纯虚数根. 解：（1）设原方程的实数根为，则，即x0)2()(tan 2 ixix ，解得； 01 02tan 2 x xx 4 1tan, 1 x （2）假设（）时，原方程有纯虚数根（） ，代入原方程，得 0 R 0 bi0b ，从而有，该方程组无解，得证。0) 1tan(2 0 2 ibbb 01tan 02 0 2 b bb 【巩固练习】 1.,方程一定有实数根的充要条件是(D ) kR 2 (3 )40xki xk A. B.或 C. D.| 4k 22 5k 22 5k 3 2k 4k 2.对关于的方程,下列说法正确的是(C ) x 2 0xpxq A.若方程有实根,则为非负实数; 2 4pq B.若虚数为方程的一个根,则为方程的另一个根; 0 z 0 z C.若方程有两个实数根,则都不是虚数; , p q D.若为虚数,则方程两根均为虚数;, p q 3.方程的实数解为_2_. 2 (2)(5)(22 )0i xi xi 4.已知为方程的解,则_-1_. , 2 10xx 20002000 5解关于的方程。 x 2 40()xaxaR 解：当或时；当时4a 4a 2 1 (16) 2 xaa44a 2 1 (16) 2 xaa i 6.设关于的方程的两根的模的和为 2,求实数的值. x 22 36(1)10xmxm m 解：当时，即或时，方程有二实根，0 35 2 m 35 2 m ，； 2 12 1 0 3 m x x 1212 | | 2xxxx 即或（舍去） ；|2(1)| 20mm2m 当时，即时，方程有两共轭虚根，0 3535 22 m ，或（舍去） ； 1211 | 2| 2| 1xxxx 2 2 121 1 |12 3 m x xxm 2m 高三第一轮复习 复数中的方程问题 5 综上所述，或。0m 2 7.已知复数为虚数单位且,求的取值范围. (1) ,zaai iaR| z 解：， 2 |1,Rzaaa ， 2 4 1 ,) 3 aa 。 3 | ,) 2 z 8.已知,设方程有虚数根;不等式对一切2c :P 2 60xxc:Q|2| 2xxc 恒成立.如果两个命题中有且只有一个是正确的,求的范围. xR,P Qc (4,9 9. 设，在复数集中解方程。0aazz 2 2 解一：设， （）yixzRyx, axyiyxyx22 2222 或， ayxyx x 2222 2 0 ayxyx y 2222 2 0 解得或。 )11 ( 0 ay x )11( 0 ax y 所以方程解为或)11(aziaz)11 ( 解二：，为实数或纯虚数。Razz2 2 z （1）若，则原方程化为Rz ，02| 2 azz)11(az （2）若为纯虚数，设，z)0,(yRyyiz 原