大学物理下(毛峰版)量子力学+习题及答案

第18章 量子力学基础 习题解答 1一波长为300nm的光子，假定其波长的测量精度为，即，求该光子位置 6 10 6 1 10 的不确定量。 解： 光子， h p 22 hh p 由测不准关系，光子位置的不准确量为 29 2 6 300 10 2.39 10 244410 xmm p 2原子的线度为，求原子中电子速度的不确定量。 10 10m 解：依题意，电子位置的不确定量为，由不确定关系，有 10 10xm 2 x xpx m v AA 34 6 3110 1.05 10 /0.6 10/ 22 9.1 1010 vm sm s m x 3波函数模的二次方的物理意义是什么？波函数必须满足哪些条件？ 解：波函数是描述粒子运动状态的函数，是微观粒子具有波动性的数学描述，波函数描述 的波是概率波，波函数模的平方表示粒子在空间出现的概率，即概率密度。波函数要满足 标准条件（即波函数必须是单值、连续和有限的）和归一化条件。 4波函数在空间各点的振幅同时增大 D 倍，则粒子在空间分布的概率会发生什么变化? 解：不变因为波函数是计算粒子 时刻空间各点出现概率的数学量概率是相对值则t 点的概率比值为：21、 2 2 2 1 2 2 2 1 D D 概率分布不变 5假设粒子只在一维空间运动，它的状态可用如下波函数来描写： 00, ( , ) sin0 i Et xxa x t Aexxa a 式中，E 和 a 分别为确定常数，A 为归一化系数，计算归化的波函数和概率密度。 解：根据波函数的归一化条件，有 2 222 00 ( , )sin1 2 aa xa x tdxAdxA a 得 2 A a 故归一化波函数为 axx a e a axx tx Et i 0sin 2 , 00 ),( 相应的概率密度( )P x 2 00, 2 sin0 xxa xxa aa 6已知粒子在一维矩形无限深势阱中运动，其波函数为： 13 ( )cos 2 x x aa )(axa 那么，粒子在处出现的概率密度为多少?ax 6 5 解： 22* ) 2 3 cos 1 ( a x a aa aa aa a a 2 1 ) 2 1 ( 1 4 cos 1 ) 4 (cos 1 4 5 cos 1 2 6 5 3 cos 1 2 22 22 7粒子在一维无限深势阱中运动，其波函数为： 2 ( )sin n n x x aa )0(ax 若粒子处于的状态，在 0区间发现粒子的概率是多少?1n 4 a 解：x a x a xwdsin 2 dd 2 2 在区间发现粒子的概率为： 4 0 a 4 00 2 0 2 44 )(dsin 2 dsin 2 a aa x aa x a a x a x a dwp 091 . 0 )(2cos1 2 12 4/ 0 x a d a x a 8宽度为的一维无限深势阱中粒子的波函数为，求：(1)归一化系数ax a n Ax sin)( ；(2)在时何处发现粒子的概率最大？A2n 解：(1)归一化系数 a xx 0 2 2 1dd 即 aa x a n x a n A n a xx a n A 00 222 )(dsindsin a x a n x a n A n a 0 2 )(d) 2 cos1 ( 2 1 22 22 A a nA n a A a 2 粒子的波函数 x a n a x sin 2 )( (2)当时， 2nx aa 2 sin 2 2 几率密度 4 cos1 12 sin 2 2 2 2 x aa x aa w 令，即,即，0 d d x w 0 4 sin 4 x aa , 0 4 sinx a , 2 , 1 , 0, 4 kkx a 4 a kx 又因，ax 04k 当和时有极大值， 4 a x ax 4 3 w 当时， 2 a x 0w 极大值的地方为，处 4 a a 4 3 9求一电子处在宽度为和 a=1m 的势阱中运动的能级值。把结果同室温(T=300K)下0.1anm 电子的平均平动动能进行比较，可得到什么结论？ 解：由电子在势阱中的能级公式得 当时，0.1anm 222 2 2 n n E ma 2 37.7eVn 当时，ma1 222 2 2 n n E ma 192 3.77 10eVn 在室温(T=300K)下电子的平均平动动能。 t 2 3.88 10eV 故对宏观问题，电子的量子效应可以忽略。 10质量为 m、电量为的粒子在点电荷所产生的电场中运动，求其定态薛定谔方程。 1 q 2 q 解：系统的势能函数为 12 0 ( ) 4 q q U r r 故其定态薛定谔方程为： 2 2 12 0 ( )( ) 24 q q E mr rr 11描述原子中电子定态需要哪几个量子数？它们的取值范围如何？它们各代表什么含义？ 解：主量子数 n：n=1，2，它基本上决定了原子中电子的能级； 角量子数，它决定了电子轨道角动量的大小，对能量也有一定影响；0,1,2,(1)lln： 磁量子数，它确定了电子轨道角动量的可能空间取向；lmm,2, 1, 0： 自旋磁量子数，它确定了电子自旋角动量的可能空间取向。 1 2 ss mm ： 12原子内电子的量子态由n、l、m、四个量子数表征。当n、l、m一定时，不同的量 s m 子态数目是多少？当n、l一定时，不同的量子态数目是多少？当一定时，不同的量子态n 数目是多少？ 解：(1) 2) 2 1 ( s m (2)，每个 有个，每个可容纳的个量子态) 12(2ll12 l l m l m 2 1 s m2 (3) 2 2n 13计算氢原子中 l = 4 的电子的角动量及其在外磁场方向上的投影值，并画出电子角动量 在磁场中空间量子化的示意图。L 解： 20) 14(4) 1(llL 磁场为方向，,，Z Z Lm 0m 1234 )4, 3, 2, 1, 0 , 1 , 2 , 3 , 4( Z L 14求出能够占据一个 d 支壳层的最多电子数，并写出这些电子的和值。m s m 解：分壳层的量子数，可