第七章x2检验

第七章 X2 检验 X2（称卡方）检验用途较广，但主要用于检验两个或两个以上样本率或构成比之间差别的 显著性，也可检验两类事物之间是否存在一定的关系。 一、两个率的比较 （一）X2 检验的基本公式 下页末行的例 3.1 是两组心肌梗塞病人病死率的比较，见 表 3.5，其中对照组未用抗凝药。两组病人的病死率不同，抗凝药组为 25.33%，对照组为 40.8%。造成这种不同的原因可能有两种：一种是仅由抽样误差所致；另一种是两个总体 病死率确实有所不同。为了区别这两种情况，应当进行 X2 检验。其基本步骤如下： 1首先将资料写成四格表形式，如表 3.6。 将每个组的治疗人数分为死亡与生存两部分，各占四格表中的一格，这些数字称为实 际频数，符号为 A，即实际观察得来的数字。 2.建立检验假设 为了进行检验，首先作检验假设：两种疗法的两总体病死率相等， 为 35%（即 70/200） ，记为 H0：1=2。即不论用或不用抗凝药，病死率都是 35%，所以 亦可以换一种说法：病死率与疗法无关。 上述假设经过下面步骤的检验后，可以被接受也可以被拒绝。当 H0 被拒绝时，就意 味着接受其对立假设即备择假设 H1。此例备择假设为两总体病死率不相等，记为 H1：12 因为我们观察的是随机现象，所以无论是接受或拒绝 H0 都冒有一定风险，即存在着 错判的可能性。一般要求，当错误地被拒绝的概率 不超过一定的数值，如 5%（或 0.05） ， 此值称为检验水准，记为 =0.05。 3计算理论频数 根据“检验假设”推算出来的频数称理论频数，符号为 T。计算方法 如下：假设两总体病死率相同，都是 35.0%，那么抗凝血组治疗 75 人，其死亡的理论频数 应为 7535.0%=26.25 人，而生存的理论频数为 75-26.25=48.75 人。用同样方法可求出对照 组的死亡与生存的理论频数，前者为 43.75 人。后者为 81.25 人。 然后，把这些理论频数 填入相应的实际频数格内，见表 3.6 括号内数字。 计算理论频数也可用下式（3.4） TRC=nRnC/N (3.4) 式中，TRC 为 R 行与 C 列相交格子的理论频数，nR 为与计算的理论频数同行的合计 数，nC 为与该理论频数同列的合计数，N 为总例数。 例如；表 3.6 第一行与第一列相交格子的理论频数（T1）为 T1 7570/200=26.25 用两种方法计算，结果是相同的。 4计算 2 值，计算 2 值的基本公式为： X2=（A-T）2/t （3.5） 式中，A 为实际频数，T 为理论频数，为求和符号。 将表 3.6 里的实际频数与理论频数代入式（3.5）即求得 2 值。此例 2=4.929。 从式 3.5 中可看出，实际频数与理论频数之差（A-T）愈小，所得的 2 值就愈小，理 论频数是根据检验假设推算出来的，若与实际频数相差不大，说明假设与实际情况符合， 于是就接受 H0，认为两病死率无显著差别；反之，若（A-T）大，则 2 值亦大，说明假 设与实际不符，就拒绝假设，认为两病死率有差别。但 2 值大还是小，要有一个比较的标 准，要查 2 值表（附表 1） ，查 2 值表前先要定自由度。 5求自由度 自由度是数学上的一个名词。在统计中，几个数据不受任何条件（如统 计量，即样本特征数）的限制，几个数据就可以任意指定，称为有几个自由度。若受到 P 个条件限制，就只有 n-p 个自由度了。例如在四格表中有四个实际频数，如没有任何条件 限制，则 4 个数字都可任意取值，有 4 个自由度，当 a b,，c d，a c，b d 都固定后，在 a、b、c、d 四个实际频数中，只能有一个频数可任意指定了，因此，四格表的自由度为 1。其计算公式为： =（R-1） （C-1） （3.6） 式中， 为自由度，R 为横行数，C 为纵列数。 四格表有 2 行和 2 列（注意：总计与合计栏不算在内） 。因此 =(2-1)(2-1)=1。 6求 P 值，作结论 根据自由度查 2 值表（附表 1） 。此表的左侧 为自由度，表内 数字 2 值，表的上端 P 是从同一总体中抽得此样本 2 值的概率。三者关系是：在同一自 由度下，2 值越大，从同一总体中抽得此样本的概率 P 值越小；在同一 P 值下，自由度越 大，2 值也越大。2 值与概率 P 呈相反的关系。2 检验的常用界值为： 20.05 在 =0.05 水准处接受 H0，差别不显著 20.0520.01 在 =0.05 水准处拒绝 HO，接受 H1，差别显著 220.01（）P0.01 在 =0.01 水准处拒绝 HO，接受 H1，差别显著 这里 是预定的检验水准。20.05（）是当自由度为 时与 P=0.05 相对应的 2 值， 简称 5%点，20.01（）是与 P=0.01 相对应的 2 值，简称 1%点。 当 =1 时，20.05（1）3.84，20.01（1）=6.63。本例自由度为 1，求得 2=4.929,介于 3.84 与 6.63 之间，或写成 20.05（1）P0.01。在 =0.05 水准处拒绝 H0，接受 H1，两总体率不等。对照组的病死率较抗凝 血组高。 在 =0.05 水准处拒绝 H0，说明若在同样情况下作 100 次判断，将有 5 次或不到 5 次 的机会，将原没有差别的两总体率错判为有差别，或说这样判断犯 I 型错误的概率不超过 5%。 下面将实例的检验步骤集中列出。 例 3.1 两组心肌梗塞病人的病死率可见于表 3.5，其中对照组未用抗凝药。抗凝血组 病死率为 25.33%，对照组为 40.80%，问两组病死率有无显著差别？ 表 3.5 两组心肌梗塞病人病死率比较 组别治疗人数死亡人数病死率（%） 抗凝血组751925.33 对 照 组1255140.80 总 计2007035.00 检验步骤如下： 1将资料列成四格表形式，如表 3.6。 表 3.6 四格表式样 死亡生存合计 抗凝血组19(26.25)56(48.75)75 对照组51（43.75）74(81.25)125 总 计70130200 2H0：两疗法的总体病死率相同，即 1=2 H1：两疗法的总体病死率不同，即 12 =0.05 3求理论频数 抗凝血组： 死亡人数为 7535.0%=26.25 人 存活人数为 75-26.25=48.75 人 对照组： 死亡人数为 12535.0%=43.75 人 存活人数为 125-43.75=81.25 人 把理论频数填入相对应的实际频数格内，见表 3.6 括号内数字。 4求 2 值 将表 3.6 里的数值代入式（3.5）得， 5求自由度，确定 P 值，作结论 =（2-1） （2-1）=1，2 0.05（1）=3.84,2 0.01（1）=6.63, 本例 2 =4.929,2 0.05（1）P0.01，在 =0.05 水准处拒绝 H0，接受 H1，即两总体病死率不等，对照组病死率较抗凝血组高。 上例告诉我们，两个样本病死率一大一小，在未作检验之前，很难说它们两总体率是 否有差别，为了作出正确判断，作 X2 检验。先假设两总体病死率相同，推算理论频数， 由实际频数与理论频数计算 2 值，二者相差越大，2 值也越大。本例得 2=4.929，根据 自由度为 1 时的 2 分布推断，从同一总体内抽样，出现 2 值等于或大于 4.929 的概率较 小，每一百次中在 5 次以下，1 次以上，因此检验假设被拒绝，而判断为有显著差别。 例 3.2 表 3.7 是六六六粉的两种配方进行野外烟剂灭黄鼠实验的观察结果。 表 3.7 六六六粉两种配方灭黄鼠的效果 烟薰后鼠洞情况 未盗开盗 开 合 计 (实验观察 洞数) 灭洞率 （%） 04 号配方13(16.63)9(5.37)2259.1 05 号配方80(76.37)21(24.63)10179.2 总 计933012375.6 （三）四格表中求 2 的专用公式 用上述基本公式（3.5）求 2 值，需要求出与实际 频数一一对应的理论频数，运算较繁。在四格表中，用下列专用公式较为简便。式中 a、b、c、d 为四格表中的实际频数，N 表示总例数（即 N=a b c d） 。 现仍以表 3.5 资料为例，先写成四格表形式，如表 3.8。 表 3.8 四格表求 2 值专用公式的符号 死 亡生存合 计 抗凝血组19(a)56(b)75(a b) 对照组51(c)74(d)125(c d) 70（a c）130(b d)200(N) 将实际频数代入式（3.8）得， 这里用专用公式求得的 2 值与前面用基本公式求得的结果完全不同，有时这两个公式 求得的结果小数点后几位可能稍有出入，这是由于受小数四舍五入的影响。 前面已介绍了连续性校正公式（3.7） ，为使运算更为简便，下面列出专用公式的连续 性校正公式（3.9） ，并以表 3.8 资料代入计算如下： 所得结果与式(3.7)求得的一致。 二、多个率或多个构成比的比较 （一）2K 表的专用公式，前面已讨论了，两个率的比较用四格表专用公式计算 2 值 较为简便。如果是多个率比较，就要列成 2K 表。这里的 K 暂为所比较的组数，2 为每个 组内所划分的类型数。求 2 值时本可用基本公式计算，但以用下列专用公式为便： 表 3.9 2K 表形式之一 a1 a2 b1 b2 n1 n2 aibiN 公式中符号的意义参阅表 3.9，以上两个公式的计算结果是完全一样的。 例 3.3 某地观察磺胺三甲氧吡嗪加增效剂（吡嗪磺合剂）预防疟疾复发的效果，用已 知有抗疟疾复发效果的乙胺嘧啶和不投药组作对照，比较三组的疟疾复发率，资料如表 3.10，问三组复发率有无显著差别？ 表 3.10 三个组的疟疾复发率 组 别观察例数复发例数复发率（%） 吡嗪磺合剂 乙胺嘧啶 对 照 1996 473 484 76 27 53 3.81 5.71 10.95 合 计29531565.28 2 检验步骤如下： 1将表 3.10 资料写成 2K 表形式，见表 3.11。注意：这里必须把各组的观察例数分 为复发和未复发两部分，这样表 3.10 就为写成 23 表。 表 3.11 三个组疟疾复发率的比较 复发未复发合 计 吡嗪磺合剂7619201996 乙胺嘧啶27446473 对 照53431484 合 2H0：三个总体复发率相同 H：三个总体复发率不全相同 =0.05 3求 2 值 将表 3.11 的数值代入式（3.10） （因为在表 3.11 中，各组的 a 值较小，计 算较方便）得： 4求自由度，确定 P 值，作结论 =（K-1） （2-1）=（3-1） （2-1）=2，查 2 值表得 20.01(2)=9.21，本例 2=39.9220.01(2)，P0.05） ，说 明吡嗪磺合剂有预防疟疾复发的作用，其效果不低于乙胺嘧啶。 本例 2K 表的 2 是指得发、未复发两项，K 为比较的组数，K=3。如果比较组数只有 2，而构成每组的项数则多于 2，如甲状腺肿的型别构成可分为弥漫型、结节型、混合型三 种。这类资料亦同样可用 2K 表专用公式进行检验。这时把 2 作为比较组数，K 作为项数， 检验方法同上，表 3.12 是 2K 表的另一种形式。 表 3.12 2K 表形式之二 a1a2 b1b2 ai bi n1n2N 例 3.4，为研究不同地域甲状腺型别的构成有无显著差别，某省对两个县的居民进行甲 状腺肿调查，得资料如表 3.13，问甲乙两县各型甲状腺肿患者构成比有无显著判别？ 表 3.13 某省甲乙两县甲状腺肿患者型别构成比较 县名弥漫型结节型混合型合计 甲县48624492 乙合计61926255936 检验步骤如下： 1H0：两总体甲状腺肿型别构成相同 H1：两总体甲状腺肿型别构成不同 =0.05 2求 2 值， 将表 3.13 中的数值代入式 3.10 得： 3求自由度，确定 P 值，作结论。 =（3-1） （2-1）=2，查 2 值表得 20.01(2)=9.21,本例，2=494.36，P20.01(2)，P0.05） ，说 明吡嗪磺合剂有预防疟疾复发的作用，其效果不低于乙胺嘧啶。 本例 2K 表的 2 是指得发、未复发两项，K 为比较的组数，K=3。如果比较组数只有 2，而构成每组的项数则多于 2，如甲状腺肿的型别构成可分为弥漫型、结节型、混合型三 种。这类资料亦同样可用 2K 表专用公式进行检验。这时把 2 作为比较组数，K 作为项数， 检验方法同上，表 3.12 是 2K 表的另一种形式。 表 3.12 2K 表形式之二 a1a2 b1b2 ai bi n1n2N 例 3.4，为研究不同地域甲状腺型别的构成有无显著差别，某省对两个县的居民进行甲 状腺肿调查，得资料如表 3.13，问甲乙两县各型甲状腺肿患者构成比有无显著判别？ 表 3.13 某省甲乙两县甲状腺肿患者型别构成比较 县名弥漫型结节型混合型合计 甲县48624492 乙合计61926255936 检验步骤如下： 1H0：两总体甲状腺肿型别构成相同 H1：两总体甲状腺肿型别构成不同 =0.05 2求 2 值， 将表 3.13 中的数值代入式得： 3求自由度，确定 P 值，作结论。 =（3-1） （2-1）=2，查 2 值表得 20.01(2)=9.21,本例，2=494.36，P0.01,在 =0.05 水准处拒绝 H0，接受 H1，甲、乙两县甲状腺肿型别构成有差别（P0.01） 。甲县以弥漫型 为主，而乙县结节型较多，地域与患者的型别构成具有一定的关系。 此类资料经 2 检验作结论，如果不显著，说明两组资料的构成比来自同一总体，没有 显著差别。如果结论显著，说明两组的构成比来自不同总体，差别有显著性。同时要指出 两组构成的主要区别。 （二）RC 表的通用公式当资料的行数和列数都超过 2 时称 RC 表。对此种资料作假 设检验时，可用基本公式但运算较繁，如果用 RC 表的通用公式计算 2 值，较为简便。 式中，Aij 为 i 行第 j 列的实际频数，ni 为第 i 行的合计数，nj 为第 j 行列的合计数， N 为总频数。 这个公式也系由基本公式（3.5）推导出来，式（3.12）也可用以求四格表、2K 表资 料的 X2 值，故称通用公式，用此公式不需计算理论频数，与基本公式（3.5）相比，较为 简便。 例 3.5 某院肝胆外科在手术中观察了胆结石的部位与类型得资料如表 3.14,试分析两者 间有无关系存在？ 表 3.14 胆结石类型与部位的关系 例 数百 分 比结石部位总