第八单元 数学广角

第八单元 数学广角 本单元教材简析： “植树问题”通常是指沿着一定的路线，这条路线的总长度被树平均分成 若干段，由于路线不同、植树要求不同，路线被分成的段数和植树棵数之 间的关系就不同。现时生活中类似的问题还有很多，如安装路灯、花坛摆 花、站队中的方阵、锯木头、走楼梯，等等。 课标中关于第二学段目标有以下阐述：“应使学生经历从实际问题 中抽象出数量关系，并运用所学知识解决问题的过程。”“探求给定事物中隐 含的规律或变化趋势。” 本单元的教学内容大致分为三个部分： 一是探索不封闭线路上间隔现象中简单规律。 二是探索封闭线路上间隔现象中的简单规律。 三是综合应用。 本单元教学目标： 知识与技能： 1、使学生通过生活中的事例，初步体会解决植树问题的思想方法。 2、初步培养学生从实际问题中探索规律、找出解决问题的有效方 法的能力。 3、让学生感受数学在日常生活中的广泛应用，尝试用数学的方法 来解决实际生活中的简单问题，培养学生的应用意识和解决实际问题的能 力。 过程与方法： 通过观察、猜测、操作、交流等方式探索规律。 情感态度与价值观： 通过实践活动，培养学生应用所学知识解决实际问题的能力，体会数学 和现实生活的密切练习，并从小养成勤俭节约、合理安排开支的习惯。 本单元训练重点： 探索并认识间隔现象中的简单规律，并能将这种认识应用到解决简单的 实际问题之中。 本单元训练难点： 引导学生对不同现象中的规律进行沟通，帮助学生体会相应的数学模型。 课 题 第一课时 数学广角 三 维 目 标 知识 与 技能 1、认识不封闭曲线路上间隔排列中的简单 规律，并能将这种认识应用到解决类似的实际 问题之中。 2、培养学生观察能力、操作能力以及与人 合作的能力。 3、学生通过观察、操作、交流等活动探索 新知。 过程 与 方法 通过观察、操作及交流活动，探索并认识不 封闭曲线路上间隔排列中的简单规律。 情感 态度 与价 值观 通过实践活动，培养学生应用所学知识解决 实际问题的能力。 教学重点 理解植树问题中一条线段两端都植树的特 征，并能应用规律解决问题。 教学难点 基本规律的提炼和方法的应用。 媒体及 教具准备 每个同学准备几面小旗或几根小棒。 教学时间 2011-6-2 教学资源包 植树问题公式：直线植树： 距离/间隔 +1 = 棵数 四周植树： 距离/间隔 = 棵数 楼间植树：单边植树 距离/间隔 -1=棵数 双边植树 （ 距离/间隔 -1）*2=棵数 关于植树问题 植树问题这节课现在的案例很多，但因为这是一堂发展学生思维能力的课， 所以怎样的教学目标定位才是适合学生的发展的，应该说是很难把握的。其次是第一 节课要学生学到什么？是掌握其中一点（棵数 =段数+1），还是在此基础上，让学 生对这一问题有一个整体的把握，即既要理解 +1 的原因，又要理解 1 的原因，和 不加不减的原因。 教 学 设 计 集体备课个性设计 一、课前谈话。 同学们，学校有一块长 20 米的绿化带，老师要在 里面栽几棵树苗，想请你们当回小小设计师帮忙设计 行吗？（行）今天我们来研究研究植树问题中的奥秘 二、探究规律。 1出示题目 这条绿化带长 20 米，每 4 米栽一棵小树苗（两端 要栽），一共可以栽多少棵？可能会有部分学生会马 上列出算式：2045（棵） 理解题意 a、 指名读题，从题中你了解到了哪些信息？ b、 理解“两端”是什么意思？ 指名说一说，然后实物演示。 指一指哪里是小棒的两端？ 说明：两端要栽就是绿化带的两头要种。 学生动手操作。 拿出小棒，同桌间互相说一说，画一画，摆一摆。 一， 活动引入。 1、请同学们在你 的纸上先画十个三 角形。（学生画） 再在每两个三角形 中间画一个圆形 （学生画） 2、现在数一数你 画了多少个圆形？ （学生回答 9 个） 3、两个三角形之 间的位置我们叫做 这两个三角形的间间 隔隔 4 4、现在数一数一、现在数一数一 共有多少个间隔？共有多少个间隔？ （学生回答（学生回答 9 9 个）个） 今天我们来探讨今天我们来探讨 “植树问题植树问题” 同桌互相讨论后，全班汇报交流 a、指名说一说：你一共摆了多少根小棒？ 上黑板上来摆给大家看一看。 b、数一数你们刚才摆的小棒，它们之间有几个间 隔？一共摆了几根小棒？ c、间隔与种树的棵数有什么关系？ 师说明：开始大家算出的 204=5，这个 5 并不 是表示可以栽 5 棵树，而是指共有 5 个间隔。 2改变题目条件变为： 这条绿化带长 20 米，每 5 米栽一棵树，（两端要 栽）一共可以载多少棵树？ 学生试解答 用小棒检验 说一说你的想法 间隔数与栽树的棵数又有什么关系呢？ 学生试说后，教师小结。 如果两端都要栽，植树的棵数间隔数 3出示例 学生独立解答 全班交流 三、应用规律 15 路公共汽车行驶路线全长 12 千米，相邻两 站的距离是 1 千米。一共有几个车站？ 2书 P118，做一做 四、课堂小结 通过这节课的学习，你有什么收获？ 五、作业布置 1.画一画：在一条线段上任意画几个点，数数点 的个数与分成的线段，看一看它们之间有什么关系？ 2.一条走廊长 24 米，每隔 3 米放一盆花（两端都 放），一共要放多少盆花？ 板书设计板书设计 植树问题 全长间隔=间隔数 两端都栽：间隔数+1=植树的棵数 练练 习习 设设 计计 1 在一段公路的一边栽 95 棵树，两头都栽，每两棵树之间相距 5 米，这段公路全长多 少米？ 2 公园大门前的公路长 80 米，要在公路两边栽上白杨树，每两棵树相距 8 米（两端也要种） 。园林工 人共需要准备多少棵树？ 教教 后后 记记 通过对教材和各种相关的教学资料的深入解读，我认为“植树问题”就 教学而言，可分为三个不同的教学活动或教学目标： 一、突出“分隔问题”，以“植树问题”为背景通过适当的教学手段帮 助学生清楚地认识到路灯问题、排队问题、锯木问题、爬楼问题等都与“植 树问题”有着相同的数学结构，让学生建构相应的数学模式。 二、明确引出“间隔数”与“所种树的棵数”这两者的关系，突出“一 一对应”的思想，并以此为基础分析植树问题三种不同的情况，即“两端都 种”“只种一端”与“两端都不种”。 三、以“植树问题”为背景清楚地总结出相关的计算公式“路的长度 间隔长度间隔数”，并通过公式的变式训练帮助学生更好地去掌握这一解 题模式。 植树问题本身就有一定的难度，所以本节课有少数学生还是没有搞清处 个条件之间的关系，必须通过练习来进一步强化。 课 题 第二课时第二课时 植树问题（二） 知识 与 技能 1、 探究两端都不种的植树问题。 2、培养学生动手操作，分析解决问题的能 力。 3、培养学生运用数学知识解决实际问题的 能力。 三 维 目 标 过程 与 方法 通过猜测操作，验证，交流的方式探究两端 都不种的植树问题。 情感 态度 与价 值观 通过实践活动，培养学生应用所学知识解决 实际问题的能力。 教学重点 理解植树问题中线段两端都不植树的特征， 并能应用规律解决问题。 教学难点 基本规律的提炼和方法的应用。 媒体及 教具准备 实物、小棒 教学时间 2011-6-3 教 学 设 计 集体备课个性设计 教学过程: 一、开门见山，直点主题 今天我们继续研究植树问题（师板书） 二、合作探究，发现规律 出示例 2 1、学生读题，理解题意 一复习引入。 题目：在一段公路 的一边栽 95 棵树， 两头都栽，每两棵 树之间相距 5 米， 这段公路全长多少 米？ “两馆间的小路”指的是哪一段？ “小路两旁”指的是要栽几边？ 2、学生互相合作，用小棒摆一摆 师提示：我们现在可以假设大象馆和猩猩馆相距 18 米，其它条件不变，用小棒摆一摆，说一说。 要求完成： 你一共摆了几根小棒 每一边的小棒根数和间隔数之间有什么关系？ 3、全班交流 4、教师小结 这种情况属于两端都不种的植树问题，即植树棵 数间隔个数1。 三、运用规律，解决问题。 1、在一条长 2000 米的路段一侧种树，每隔 10 米种一棵（两端不种），一共需要多少棵树苗？ 2、书第 119 做一做第 1 题（学生独立完成） 3、书第 119“做一做”第 2 题 学生独立完成后全班交流 请同学们根据我们 昨天学过的植树问 题的解决办法来解 决此问题? 今天我们来探讨另 一类植树问题：两 边不栽。 运用规律解决问题 1，小军从一楼走 到三楼用了 6 分钟，照这样 计算，他从一 楼走到九楼要 想一想：平均分成 5 段只需锯几次？ 师问：为什么要减 1？这相当于植树问题中的哪 种情况？ 4、完成第 119 思考题 四、课堂小结 通过这节课的学习，你又有哪些收获呢？ 多少分钟？ 2，一段长 10 米 的木头，锯成 5 段，每锯一 段需要 3 分钟， 一共需要多少 分钟？ 板书设计 植树问题 全长间隔=间隔数 两端都不种的植树问题，即：植树棵数间隔 个数1。 练练 习习 设设 计计 1、在两栋教学楼中间有一条 50 米的小路，在小路的两旁每隔 5 米放一 盆兰花（两头都不放），一共要放多少盆花？ 2、在一条全长 3 千米的公路两端装路灯（两端不要安装），每隔 20 米 安一座。一共要安装多少座路灯？ 教教 后后 记记 原本以为自己设计的教案已充分考虑到了学生的生活经验,结合了生活 实际,重视了数学思维培养,方法的渗透,是可行的。可在实际的教学过程中出 现了以下几个我没有预计到的状况： 导入受阻，耗时无效；课堂容量太大，教学内容太多，导致教学时间超时 5 分钟，无法顺利地完成预设的教学内容。 在教学过程中，因担心上不完，当遇到学生“答非所问”的时候就表现的 很急躁不能静下心来仔细地听完学生的发言； 课后，针对本节课出现的问题，我逐一进行了分析，找到了症结所在： 1在导入环节的设问没有充分考虑学生的感知，导致提问无效，在临 时补救时，就显得老师的语言重复啰嗦。 启示：一定要站在学生的角度进行换位思考，设问一定要合情（学情） 合理（常理）。教学的每一个环节都要注重细节。 2教学容量太大，内容太多。总想把自己的想法全部呈现出来，舍不 得“砍”。 启示：要根据学生情况把握好教学的度，学会取舍。 3教学时面对学生的生成，还不够冷静，比较急躁。 启示：充分预设。如果是公开课一定要试教。修身养性，磨练性格。 学生的学习需要一个过程，不能急于求成，要通过同一类型问题的多练 习来达到理解和巩固。 课 题 第三课时 植树问题（三） 知识 与 技能 1、借助围棋盘探讨封闭曲线（方阵）中的 植树问题。 2、初步培养学生从实际问题中探索规律， 找出解决问题的有效方法的能力。 3、渗透生活中处处有数学的累想。 过程 与 方法 通过猜测操作，验证，交流的方式探究封闭曲 线中的植树问题。 三 维 目 标 情感 态度 与价 值观 通过实践活动，培养学生应用所学知识解决实 际问题的能力。 教学重点 从封闭曲线（方阵）中发现植树问题的规律。 教学难点 规律的提炼和实际应用。 教学时间 2011-6-9 媒体及 教具准备 1、每个学生准备一副围棋 2、教师准备 33 格，44 格，55 格方格 纸 教学资源包 专题分析： 一、在线段上的植树问题可以分为以下三种情形。 1、如果植树线路的两端都要植树，那么植树的棵数应比要分的段数多1，即： 棵数=段数+1。 2、如果植树线路只有一端要植树，那么植树的棵数和要分的段数相等，即：棵 数=段数。 3、如果植树线路的两端都不植树，那么植树的棵数比要分的段数少1，即： 棵数=段数1。 4、如果植树路线的两边与两端都植树，那么植树的棵数应比要分的段数多 1，再乘二，即：棵树 =段数+1 再乘二。 二、在封闭线路上植树，棵数与段数相等，即：棵数=段数。 三、在方形线路上植树，如果每个顶点都要植树。则棵数=（每边的棵数 1） 边数。 教 学 设 计 集体备课个性设计 教学过程: 一、直入主题 今天我们将利用围棋来探讨相关的植树问题。 二、探索 1、探索每边放 3 粒棋子的方法 (1)出示 33 格方格纸，最外层每边放 3 个棋子， 最外层可以摆放多少个棋子？ (2)学生试答 (3)动手验证：两人一组动手摆一摆 (4)全班交流，说说自己的想法 可能会出现的方法： 直接数 32+2=8 331=8 248 3448 2、探索每边摆 4 粒棋子的方法 （1）出示 44 格方格纸。要求最外层每边放 4 个棋子，最外层可以摆放多少个棋子？ （2）动手操作，学生分组摆放，并说一说自己的 想法。 二， 探究。 直接让学生画一个 正方形，每每条边 画 19 个棋子，而且 每个个角上都画。 探究 1，计算一下一共 画了多少个棋 子? 2、数一数验证你计 算的对吗? 3、通过计算和数一 数你发现了什么? （3）汇报交流。说一说自己的想法。 （4）问：你们喜欢哪种方法？为什么？ 3、探索每边摆放 5 粒棋子的方法。 （1）出示 55 格方格纸。要求最外层每边能放 5 个棋子，最外层可以摆放多少个棋子？ （2）动手操作，学生分组摆放，并说一说自己的 想法。 （3）汇报交流。说一说自己的想法。 （4）问：你们喜欢哪种方法？为什么？ 三、总结规律 （1）师：如果我要求棋盘的最外层每边放 19 个 棋子，最外层一共摆放多少棋子？ 你觉得用棋子摆方便吗？ 根据自己的经历，填写下表 每边放的个数每边间隔数最外层总数 3 4 5 19 说一说你发现了什么规律？ 2、根据学生回答老师小结： 间隔数边数最外层的总数 四、运用规律 1、 如果最外层每边放 100 个棋子，最外层一共 可以摆放多少个棋子？200 个呢？ 2、 做一做 P121 五、作业设计： 1、 64 名学生在操场上做游戏。大家围成一个正 方形，每边人数相等。四个定点都有人，每边各有几 名学生？ 2、某校四年级同学排成一个方阵参加体操表演。 外层每边有 8 人，里层一共有多少人？这两层一共有 多少人？ 板书设计 植树问题 封闭曲线中的植树问题：间隔数边数最外层的总数 练练 习习 设设 计计 1、一个圆形的跑道 400 米，如果每隔 10 米竖一块警示牌，共需要多少块警示牌？ 2、学校图书馆前摆了一个方阵花坛，这个花坛的最外层每边各摆放 12 盆花，最外层共 摆了多少盆花？这个花坛一共要多少盆花？ 教学反思 教学中，我创设了情境，向学生提供多次体验的机会，为学生创设了 一种民主、宽松、和谐的学习氛围，给了学生充分的时间与空间。如果说 生活经验是学习的基础，生生间的合作交流是学习的推动力，那么借助图 形帮助理解是学生建构知识的一个拐杖。有了这根拐杖，学生们才能走得 更稳、更好。因此，在教学过程中，我注重了对数形结合意识的渗透。直 接例题导入，引导学生可以画图模拟实际栽树，并演示画图栽树的过程， 由于我把例题的数据改大了，因此在模拟实际画图时发生了矛盾，数字太 大，不可能全部画下来或是太麻烦、太浪费时间了，就此向学生渗透复杂 问题简单化的思想，让学生自主选择短距离的路用画图的方式得出结果。 另外在学习本节课的封闭图形的植树问题时，与上两节课学习的植树 问题进行对比学生，更有利学习掌握。 课 题 第四课时 单元复习 知识 与 技能 进一步认识间隔排列中的简单规律，并能应 用到解决实际问题中去，感受数学在生活中的 应用。 过程 与 方法 运用不同的方法解决问题，提示学生发散思维 能力进一步感受数学内在的规律与联系。 三 维 目 标 情感 态度 与价 值观 在学习过程中体验数学问题的探索性，激发 学生对数学的好奇心和求知欲，认识理论为实 践服务的观点。 教学重点 从实际问题几乎引导学生在解决问题的分析 思考过程中逐步发现隐含于不同的情形中的规 律。 教学难点 规律的提炼和实际应用。 教具准备 小棒 教学时间 2011-6-10 教 学 设 计 集体备课个性设计 教学过程: 一、提问引入课题 有关植树问题我们已经研究 3 节课了，这 3 节课 中你都遇到了几种类型的问题，能给它们归归类吗？ 同学们，生活中有许许多多的数学问题，对于具 体问题，要具体分析、认真考虑，才能得到正确答案! 下面就有这么几个问题等待大家找到正确答案一 起来试试吧! 二、指导练习 1、练习二十 1 学生独立完成 汇报交流 明确：敲钟的用时问题，钟敲响 5 下，实际中间 共有_个间隔。 2、练习二十 2 学生独立完成汇报交流，巡视 间辅导，对有困难的可以引导学生画线段图帮助理解 题意。 相邻两站的距离是 1 千米，表示什么意思？ 3、练习二十 3 16 根电线杆排列起来，间隔是 多少段呢？ 复习归类 1、如果植树线路的两 端都要植树，那么植 树的棵数应比要分的 段数多 1，即：棵数= 段数+1。 2、如果植树线路 只有一端要植树，那 么植树的棵数和要分 的段数相等，即：棵 数=段数。 3、如果植树线路 的两端都不植树，那 么植树的棵数比要分 的段数少 1，即：棵数 =段数1。 4、如果植树路线 的两边与两端都植树， 那么植树的棵数应比 要分的段数多 1，再 乘二，即：棵树 =段数 +1 再乘二。 二、在封闭线路 上植树，棵数与段数 相等，即：棵数 =段数。 三、在方形线路 上植树，如果每个顶 点都要植树。则棵数 =（每边的棵数 1） 边数。 独立解答 汇报交流 4、练习二十 4 画一圆圈，任意点几点数数 点的个数与分成的段数。 它们之间有什么关系？ 这道题与前面 3 题相比点数与段数的关系有区别 吗？ 你知道这是为什么吗？ 5、练习二十 5 找一找题目中的哪些数量发生 了变化。 6、练习二十 6 观察插图，明确题意：小组交 流 7、练习二十 7 桌子并在一起了还是每张桌子 坐 6 人吗？为什么？ 三、课堂练习 1、小新把贝壳放在桌上，每 5 厘米放一颗到 20 厘米处，可以放几颗？ 2、小新把 7 颗贝壳放在桌上，每两颗之间距离是 5 厘米，从第一颗到第七颗的距离是多少厘米？ 四、拓展练习 小新在桌上等距摆了 8 个贝壳，已知第 1 颗到第 8 颗的距离为 56 厘米，求每两颗之间的距离是多少？ 五、总结 应结合同学们的学习探索过程及交流情况，进行 全方位评值，肯定同学们得到的有价值的知识，指正 学生在探索知识的活动中出现的错误。 板书设计板书设计 两端都要植树 棵数=段数+1。 一端要植 棵数=段数。 两端都不植树 棵数=段数1。 两边与两端都植树 棵树=段数+1 再乘二。 在封闭线路上植树 棵数=段数。 在方形线路上植树， 则棵数=（每边的棵数 1）边数。 单元教学反思单元教学反思 “植树问题”是四年级上册的内容，总体看来本单元的教学比较吃力，学 生学起来较有难度。 教材将植树问题分为几个层次：两端都栽、两端不栽、环形情况以及方 阵问题等。其侧重点是：在解决植树问题的过程中，向学生渗透一种在数学学 习上、研究问题上都很重要的数学思想方法化归思想，同时使学生感悟 到应用数学模型解题所带来的便利。本课的教学，并非只是让学生会熟练解 决与植树问题相类似的实际问题，而是把解决植树问题作为渗透数学思想方 法的一个学习支点。借助内容的教学发展学生的思维，提高学生一定的思维 能力。本节课主要教学两端都栽的植树问题，这节课主要目标是向学生渗透 复杂问题从简单入手的思想。使学生有更多的机会从周围的事物中学习数学 和理解数学，体会到数学就在身边，体验到数学的魅力。因此在设计这节课时 ，我主要是运用这样的教学理念：以问题情境为载体，以认知冲突为诱因，以 数学活动为形式，使学生经历生活数学化，数学生活化的全过程，从中学到解 决问题的思想方法。一、创设浅显易懂的生活原型，让数学走近生活。创设与 学生的生活环境和知识背景密切相关的、学生感兴趣的学习情境有利于学生 积极主动地投入到数学活动中。课前活动时，我选择学生的小手为素材，引入 植树问题的学习。学生在手指并拢、张开的活动中，清晰地看出手指的个数与 空格数之间是相差 1 的。使学生直观认识并总结出了间隔和植树棵数的关系 ，为下面的学习作了铺垫，同时也激起了学生的学习兴趣。在处理教材时我把 例题改为条件开放的植树问题，不规定间距，同时改小数据，将路的长度变 成 20 米。如此修改的意图是，让学生在开放的情境中，突现学生的知识起点 ，从而用一一对应的思想方法让学生理解多 1 少 1 的原因，建立起深刻、整体 的表象，提炼出植树问题解题的方法。 在这里数据小了，便于学生利用线段 图操作，建立数形结合，有利于学生的思考，降低了学习的难度。二、注重学 生的自主探索，体验探究之乐。体验是学生从旧知识向隐含的新知识迁移的 过程。教学中，我创设了情境，向学生提供多次体验的机会，为学生创设了一 种民主、宽松、和谐的学习氛围，给了学生充分的时间与空间。如果说生活经 验是学习的基础，生生间的合作交流是学习的推动力，那么借助图形帮助理 解是学生建构知识的一个拐杖。有了这根拐杖，学生们才能走得更稳、更好。 因此，在教学过程中，我注重了对数形结合意识的渗透。教学中我先激励学生 自己做设计师，想办法设计植树方案，在学生自主探索的过程中很多学生采 用了画线段图的方式，交流时利用多媒体再现线段图，让学生看到把一条线 段平均分成 4 段，加上两个端点，一共有 5 个点，也就是要栽 5 棵树。使学生 发现植树时准备树苗的问题并不能简单的用除法来解决