学生“凑方程”现象的原因分析与对策

学生“凑方程”现象的原因分析与对策 对“还可以怎样列方程”的教学反思 彭永新 教学列方程解应用题，我发现好几位学生列出的方程都带有逆向思维的成分。比如 列方程解答下面各题：1.王老师买了一些笔记本，每本笔记本的单价是6.5元，一共付78 元，王老师买了多少本？学生的答案是78x6.5。2.中华人民共和国国旗法规定， 国旗的长是宽的1.5倍。一面国旗长144厘米，宽应是多少厘米？学生的答案是： 144x1.5。 课堂上我曾提出过这样的建议：在列方程解决实际问题时，我们一般按条件叙述的 顺序寻找等量关系，再列方程。那么学生为什么喜欢列这样的方程呢？带着这样的疑惑， 我找来了其中几位同学进行了简单交流： 师：我想了解一下，你们在列方程时，都是怎么想的？ 生：老师，您上课时不是说过，列方程时也可以这样列的吗？ 师：这样列方程本身没有问题。但我想了解一下你们为什么不根据单价数量=总价 列成6.5x=78，而列成78x6.5？ 生：我看到总价已经告诉我们了，要求数量，肯定要用除法计算。但如果直接用总 价除以单价等于数量，这样就不符合列方程的要求，所以就列成78x6.5。 师：哦！我明白了，你哪里是列方程解应用题，完全是“凑方程”啊！ 接着我简要地分析了列方程的几个步骤，重点强调“先找等量关系再列方程”的关 键要求，并特别指出按照题目的叙述顺序来找基本等量关系的思考方法，希望你们纠正 先推理后凑方程的算术思维方式，认真总结列方程解应用题的思考方法。 学生们很礼貌地向老师表示感谢，离开了办公室。办公室同事却饶有兴趣地讨论了 起来。有的说，学生之所以列成这样的方程，说明学生在建构方程思路的过程中，原有 的知识经验（算术思路）起着巨大的惯性作用，阻碍着学生对方程思想方法的理解。当 遇到逆向问题时，学生会条件反射般地根据题目的已知条件和问题之间的数量关系来进 行逆向推理。有的说，列方程解应用题教学之处不适宜让学生列不同的方程，因为除了 基本等量关系是按照题目叙顺序来列的外，其他的方程都是需要逆向思维的，不利于学 生巩固刚刚建立的方程思路。还有的说，其实学生这样列的方程本身并没有错误，随着 学习的深入，特别是越来越复杂的问题，他们想用算术方法也用不起来，到时候自然而 然地会选择列方程解答了，用不着费力气纠正的。 听了同事们的讨论，我沉思良久。我感觉到学生之所以喜欢列成那样的方程，显然 是受到教材上“还可以怎样列方程”的影响。按照教材的编排意图“还可以怎样列方程” “不仅有利于学生更完整地掌握列方程解决实际问题的方法，而且有利于学生体会列方 程解应用题的灵活性。 ”同时，教材分析也指出：“对不同的方程可以肯定，但不要求学 生一题多解。 ”为什么不要求？我的理解是担心学生的逆向思维对刚刚建立的方程思想方 法产生不利影响。那我们的教学中是否真的可以回避“还可以怎样列方程”？如果不能 绕开，又该怎样处理“还可以怎样列方程”？这样的要求对于方程思想的建构有着怎样 的教学意义？看来，简单的教学内容蕴含着不简单的教学问题！下面谈谈我对这一现象 反思后的粗浅认识。 1.多样中寻找本质，感悟方程思想方法的特点多样中寻找本质，感悟方程思想方法的特点 学生为什么喜欢“凑方程” ，固然与学生原有的算术思维惯性有关。但我们是否给了 学生一个扭转惯性的弹性空间，也很重要。列方程的本质就是建构一个模型，然后利用 模型来帮助我们解决问题。模型是什么呢？模型反映了数量间的基本等量关系。不管一 个什么实际问题，都有相应的基本等量关系，而不同的人可能有不同的理解。比如教材 例7(苏教版五下)提供的信息“小刚的成绩比小军的成绩少0.06米” ，有的人可能会认为 最基本的关系应当是小军的成绩-0.06=小刚的成绩。也有人认为是小军的成绩-小刚的成 绩=0.06米或者小刚的成绩+0.06米=小军的成绩。这种差异是因为每一个人的思维方式不 同而造成的。我们不可能要求所有的学生一开始都按照一个模式思维进行，教学必须依 赖学生自己主动的变化来接纳新的要求。从这个意义上讲， “还可以怎样列方程”体现了 对不同学生的思维习惯的尊重，同时也为学生对基本数量关系的概念形成提供经验生长 的空间。因此，我以为“还可以怎样列方程”不仅不要回避，相反应主动地让学生呈现 出来，以此来引发学生的学习活动的深入开展，并在此过程中逐步感悟方程思想方法。 为了更好地帮助学生感受方程思路的特点，还可以进行顺逆问题的对比练习。比如 出示：下面各组题你觉得哪一题适合用方程解答？ A1：商场销售彩电，原价2000元，为迎春回馈消费者，每台优惠200元，现价多少元？ A2：商场销售彩电，为迎春回馈消费者，每台优惠200元，现价销售2000元，求原价 多少元？ B1：白兔有200只，是黑兔的5倍，黑兔有多少只？ 3 B2：白兔有200只，黑兔是白兔的5倍，黑兔有多少只？ C1：平行四边形底200米，高80米，它的面积是多少平方米？ C2：平行四边形底200米，面积是16000平方米，求它的高是多少米？ 这样让学生在具有顺逆情境的实际问题的对比中，充分感悟到抓住基本的等量关系 对于解决逆向问题的简单方便，从而形成寻找最本质数量关系的思想方法经验。 2.2.多样中渗透灵活，丰富解决问题的策略意识多样中渗透灵活，丰富解决问题的策略意识 列方程解决问题的关键是找到问题中数量之间的相等关系，把已知和未知更紧密地 联系在一起，看成地位相同的量共同参与运算。这是与列式解答的算术思路截然不同的。 但这并不是说列方程就不能进行逆向思维，相反因为逆向思维的参与而使得方程呈现出 多样性。就拿薛同学所举的第二个例子来说，如果薛同学不是用凑方程的思考方式，而 是先想到周长的一半就是长与宽的和（这就是先构建一个数学模型） ，这样就把原本两步 解答的方程变成一步解答了。这个简化方程过程就是逆向思维助推的结果。其实，从长 远来看，采用什么方法解决问题，不是以我们的主观想法来决定的，而是要根据题目的 特点和具体的情景，来决定采用什么方法。解题的关键在于深入思考，弄清情景，情景 才是决定我们采用何种解决问题的策略的唯一标准，而不应该在于用方程还是算术方法。 在我看来，逆向思维、推理分析等思维能力的培养，依然是相当重要的。人往往更倾向 于按着正常的习惯思考问题，如此下去便容易使我们形成所谓的定向思维，这样下去对 于数学的学习是非常不利的（这里强调的是思维固化） ，所以我们要重视适当地引导学生 学会反向思考的方法。但话又说回来，重视逆向思维，并不是提倡算术方法，更不是鼓 励学生在列方程过程中大量地使用逆向推理。重要的是为学生今后遇到复杂问题时在分 析数量关系与选择解决问题的策略上提供一些“直觉”经验，可以帮助学生更快一些、 更准一些把握住题目里的等量关系，从而列出更简单一点的方程。 站在这一角度我们再来看“还可以怎样列方程” ，除了突出数量间的本质关系外，也 要尊重学生不同的寻找等量关系的思维模式（这里强调的是根据不同的等量关系模型列 方程，与算术思路要做截然区分的） 。为了更好地帮助学生增强学生找等量关系能力，我 认为在列方程解决问题的教学前可以适当做一些数量关系的“举一反三”训练，以帮助 学生提高寻找和调整等量关系的能力，进而增强列方程解决问题的策略意识。 比如：出示“妈妈比小明大26岁”这句话，请学生说出三个等量关系： A：（ ）的年龄26岁（ ）的年龄， B：（ ）的年龄26岁（ ）的年龄， C：（ ）的年龄（ ）的年龄26岁。 根据“妈妈买一件衣服付了100元，营业员找回12元”这些信息，说出： A：（ ）的钱（ ）的钱=（ ）的钱 B：（ ）的钱（ ）的钱=（ ）的钱 C：（ ）的钱 +（ ）的钱=（ ）的钱 这样的训练，可以帮助学生更好地深入情境，理解题目中的数量关系，而不至于陷 入唯一的基本思路“绝境”上。如果学生具有灵活寻找等量关系的能力，那么我们就不 用担心学生会像薛妈妈所说的那样对以后的学习产生思维的“混乱”了，相反，学生的 思维会在一个更高平台上应对自如。 通过“还可以怎样列方