第一讲：数学的起源与发展

前 言 一、数学史研究什么？为什么要学习数学史？一、数学史研究什么？为什么要学习数学史？ 数学史研究数学概念、数学方法和数学思想的起源与发展，及其与社会、 经济和一般文化的联系。对于深刻认识作为科学的数学本身，及全面了解整个 人类文明的发展都具有重要的意义。 庞加莱（法，18541912 年）语录：如果我们想要预见数学的将来，适当如果我们想要预见数学的将来，适当 的途径是研究这门科学的历史和现状。的途径是研究这门科学的历史和现状。 萨顿（比美， 1884-1956 年)：学习数学史倒不一定产生更出色的数学学习数学史倒不一定产生更出色的数学 家，但它产生更温雅的数学家，学习数学史能丰富他们的思想，抚慰他们的心家，但它产生更温雅的数学家，学习数学史能丰富他们的思想，抚慰他们的心 灵，并且培植他们高雅的质量。灵，并且培植他们高雅的质量。 二、关于数学的论述二、关于数学的论述 培根说：数学是思维的体操。 恩格斯说：“要辩证而又唯物地了解自然，就必须掌握数学。 ” 英国著名哲学家培根说：“数学是打开科学大门的钥匙。 ” 著名数学家霍格说：“如果一个学生要成为完全合格的、多方面武装的科学 家，他在其发展初期就必定来到一扇大门并且通过这扇门。在这扇大门上用每 一种人类语言刻着同样一句话：这里使用数学语言。 ” 数学是一门逻辑性很强的基础科学，人们通过运用数学推导出了种种概念、 原理与规律指导日常生活。有人把数学对于人类的意义比作生活中不能缺少盐。 数学是盐，所以，离开了数学，人们的生活将寸步难行。 数学是盐，所以，它将自己融化在生活的水里，让人们很难一眼看出它的存 在，但是细细品味和体会，数学又是无处不在的，它对于生活的各个方面都有 潜在的影响，当然，这种影响是用思维来实现的。 数学有一个美誉叫做“思维体操” ，多做一些“枯燥”的数学题 , 能够提高人 的逻辑思维能力。 康托尔说：“数学的本质在于它的自由。 ”数学是一门艺术，是一种生活工 具，是一门让我们的头脑变得更灵敏的科学。 数学史的分期： (1) 数学的起源与早期发展（公元前 6 世纪） ； (2) 初等数学时期（公元前 6 世纪16 世纪） ； (3) 近代数学时期（17 世纪18 世纪） ； (4) 现代数学时期（1820 年至今） 。 二、教学工作安排二、教学工作安排 授课形式：讲解与自学相结合，分 13 讲。 第一讲：数学的起源与早期发展； 第二讲：古代希腊数学； 第三讲：中世纪的东西方数学 I； 第四讲：中世纪的东西方数学 II； 第五讲：文艺复兴时期的数学； 第六讲：牛顿时代：解析几何与微积分的创立； 第七讲：18 世纪的数学：分析时代； 第八讲：19 世纪的代数； 第九讲：19 世纪的几何与分析 I； 第十讲：19 世纪的几何与分析 II； 第十一讲：20 世纪数学概观 I； 第十二讲：20 世纪数学概观 II； 第十三讲：20 世纪数学概观 III； 选 讲：数学论文写作初步。 作业：每一讲写 600 字左右的读书笔记，30%记入学期总成绩。 考查：每位同学选取一名数学家，以这数学家为主题写一篇数学史讲稿 （约 2000 字） ，并把讲稿内容制作成 PowerPoint 文档（约 15 分钟，58 张文 档） ，70%记入学期总成绩。 要求：讲稿用 A4 纸单面打印，连同 PowerPoint 文档于 2008 年 6 月 18 日 （第 17 周星期三）上交。 第一讲 数学的起源与早期发展 【主要内容主要内容】数与形概念的产生、河谷文明与早期数学、西汉以前的中国数 学。 第一节第一节 数与形概念的产生数与形概念的产生 从原始的“数”到抽象的“数”概念的形成，是一个缓慢、渐进的过程。 人从生产活动中认识到了具体的数，导致了记数法。 “屈指可数”表明人类记数 最原始、最方便的工具是手指。 如，手指计数（伊朗，1966） ，结绳计数（秘鲁，1972） （美国自然史博物 馆藏有古代南美印加部落用来记事的绳结，当时人称之为基普） ，文字 5000 年 （伊拉克，2001） （楔形数字） ，西安半坡遗址出土的陶器残片。 早期几种记数系统，如古埃及、古巴比伦、中国甲骨文、古希腊、古印度、 玛雅（玛雅文明诞生于热带丛林之中，玛雅是一个地区、一支民族和一种文明， 分布在今墨西哥的尤卡坦半岛、危地马拉、伯利兹、洪都拉斯和萨尔瓦多西部） 等。 世界上不同年代出现了五花八门的进位制和眼花缭乱的记数符号体系，足 以证明数学起源的多元性和数学符号的多样性。 第二节第二节 河谷文明与早期数学河谷文明与早期数学 一、河谷文明河谷文明 历史学家常把兴起于埃及、美索不达米亚、中国和印度等地域的古代文明 称为河谷文明。早期数学就是在尼罗河、底格里斯河与幼发拉底河、黄河与长 江、印度河与恒河等河谷地带首先发展起来的。 1古代埃及的数学 古埃及是世界上文化发达最早的几个地区之一，位于尼罗河两岸， 公元前 3200 年左右，形成一个统一的国家。尼罗河是埃及人生命的源泉，他们靠耕种 河水泛滥后淤土覆盖的田地谋生。尼罗河定期泛滥，淹没全部谷地，水退后， 要重新丈量居民的耕地面积。由于这种需要，多年积累起来的测地知识便逐渐 发展成为几何学。由于他们也得准备好应付洪水的危害，因此就得预报洪水到 来的日期。这就需要计算。 埃及人还把他们的天文知识和几何知识结合起来用于建造他们的神庙，使 一年里某几天的阳光能以特定方式照射到庙宇里。公元前 2900 年以后，埃及人 建造了许多金字塔，作为法老的坟墓。从金字塔的结构，可知当时埃及人已懂 得不少天文和几何的知识。例如基底直角的误差与底面正方形两边同正北的偏 差都非常小。 埃及文明上溯到距今 6000 年左右，从公元前 3500 年左右开始出现一些小 国家，公元前 3000 年左右开始出现初步统一的国家。 古代埃及可以分为 5 个大的历史时期：早期王国时期（公元前 3100前 2688 年） 、古王国时期（前 2686前 2181 年） 、中王国时期（前 2040前 1768 年） 、新王国时期（前 1567前 1086 年） 、后期王国时期（前 1085前 332 年） 。 （1）古王国时期：前 2686前 2181 年。埃及进入统一时代，开始建造金 字塔，是第一个繁荣而伟大的时代。 （2）新王国时期：前 1567前 1086 年。埃及进入极盛时期，建立了地跨 亚非两洲的大帝国。 直到公元前 332 年亚历山大大帝征服埃及为止。 埃及人创造了连续 3000 多年的辉煌历史，建立了国家，有了相当发达的农 业和手工业，发明了铜器、创造了文字、掌握了较高的天文学和几何学知识， 建造了巍峨宏伟的神庙和金字塔。 吉萨金字塔（公元前 2600 年） （刚果，1978） ，它显示了埃及人极其精确的 测量能力，其中它的边长和高度的比例约为圆周率的一半。 古埃及最重要的传世数学文献：纸草书，来自现实生活的数学问题集。 莱茵德纸草书（1858 年为苏格兰收藏家莱茵德购得，现藏伦敦大英博物馆， 主体部分由 84 个数学问题组成，其中还有历史上第一个尝试“化圆为化”的公 式） 。 莫斯科纸草书（1893 年由俄国贵族戈列尼雪夫购得，现藏莫斯科普希金精 细艺术博物馆，包含了 25 个数学问题） 。 埃及纸草书（民主德国，1981） 。 数学贡献：记数制，基本的算术运算，分数运算，一次方程，正方形、矩 形、等腰梯形等图形的面积公式，近似的圆面积，锥体体积等。 公元前 4 世纪希腊人征服埃及以后，这一古老的数学完全被蒸蒸日上的希 腊数学所取代。 2 古代巴比伦的数学 古巴比伦是世界最早的文明美索不达米亚（Mesopotamia，希腊语的意 思是两河之间的土地。 ）文明（又称两河文明）发源于底格里斯河（Tigris）和 幼发拉底河（Euphrates）之间的流域苏美尔（Sumer）地区（中下游地区） ， 这个地区没有天然险阻可以抵挡入侵者，所以有着多样性的民族文化。 美索不 达亚是古巴比伦（Babylon）的所在，在今伊拉克（Iraq）共和国境内 公元前 3500 年进入文明,公元前 4000 年到公元前 2250 年是两河文明的鼎 盛时期， 旧约全书称其为“希纳国“（Land of Shinar） 。两河沿岸因河水泛滥 而积淀成肥沃土壤，史称“肥沃的新月地带“（南美的那个和“金三角“齐名的地 区堪称“罪恶的新月地带“） 。由于两河不象尼罗河一样是定期泛滥的，所以确定 时间就必须靠观测天象。住在下游的苏美人发明了太阴历，以月亮的阴晴圆缺 作为计时标准，把一年划分为 12 个月，共 354 天，并发明闰月，放置与太阳历 相差的 11 天。把一小时分成 60 分，以 7 天为一星期。还会分数、加减乘除四 则运算和解一元二次方程，发明了 10 进位法和 16 进位法。他们把圆分为 360 度，并知道 近似于 3。甚至会计算不规则多边形的面积及一些锥体的体积。 两河流域（美索不达米亚）文明上溯到距今 6000 年之前，几乎和埃及人 同时发明了文字“楔形文字” 。 （1）古巴比伦王国：公元前 1894前 729 年。汉穆拉比（在位前 1792 前 1750）统一了两河流域，建成了一个强盛的中央集权帝国，颁布了著名的 汉穆拉比法典 。 （2）亚述帝国：前 8 世纪前 612 年，建都尼尼微 （今伊拉克的摩苏尔 市） 。 （3）新巴比伦王国：前 612前 538 年。尼布甲尼撒二世（在位前 604 前 562 年）统治时期达到极盛，先后两次攻陷耶路撒冷，建成世界古代七大奇 观之一的巴比伦“空中花园” 。世界古代七大奇观指埃及金字塔、巴比伦空中花 园、阿苔密斯神殿、摩索拉斯陵墓、宙斯神像、亚历山大灯塔、罗德岛太阳神 铜像，他们是分布于西亚、北非和地中海沿岸的古迹，是古代西方人眼中的全 部世界，而中国的长城距他们太远了。记录者古希腊哲学家费隆拜占廷说过： “心眼所见，永难磨灭” 。 公元前 6 世纪中叶，波斯国家逐渐兴起，并于公元前 538 年灭亡了新巴比 伦王国。 了解古代美索不达米亚文明的主要文献是泥版，迄今已有约 50 万块泥版出 土。苏美尔计数泥版（文达，1982） 。 现在泥版文书中大约有 300 多块是数学文献：以 60 进制为主的楔形文记数 系统，长于计算，发展程序化算法的熟练技巧（开方根） ，能处理三项二次方程， 有三次方程的例子，三角形、梯形的面积公式，棱柱、方锥的体积公式。 泥版楔形文，普林顿 322（现在美国哥伦比亚大学图书馆，年代在公元前 1600 年以前，数论意义：整勾股数） 。 巴比伦泥板和彗星（不丹，1986） 。 3 西汉以前的中国数学 黄河壶口瀑布（中国，2002） 史记夏本纪大禹治水（公元前 21 世纪） 中提到“左规矩，右准绳” ， 表明使用了规、矩、准、绳等作图和测量工具，而且知道“勾三股四弦五” 。 考古学的成就，充分说明了中国数学的起源与早期发展。 1952 年在陕西西安半坡村出土的，至今六七千年的陶器上刻画的符号中， 有一些符号就是表示数字的符号。 在殷墟出土的商代甲骨文中，有一些是记录数字的文字，表明中国已经使 用了完整的十进制记数，包括从一至十，以及百、千、万，最大的数字为三万。 殷墟甲骨上数学（商代，公元前 1400前 1100 年，19831984 年间河南安阳 出土） 。 算筹（1971 年陕西千阳县西汉墓出土）是中国古代的计算工具，它的起源 大约可上溯到公元前 5 世纪，后来写在纸上便成为算筹记数法。至迟到春秋战 国时代，又开始出现严格的十进位制筹算记数（约公元前 300 年） 。怎样用算筹 记数呢？公元 34 世纪成书的孙子算经记载说：“凡算之法，先识其位， 一纵十横，百立千僵，千十相望，万百相当。 ” 为了避免涂改，在唐代以后，我国又创用了一种商业大写数字，又叫会计 体：壹、贰、叁、肆、伍、陆、柒、捌、玖、拾、佰、仟、万。 中国传统数学的最大特点是建立在筹算基础之上，是中国传统数学对人类 文明的特殊贡献，这与西方及阿拉伯数学是明显不同的。 我国是世界上首先发现和认识负数的国家。战国时法家李悝（约公元前 455前 395 年）曾任魏文侯相，主持变法，我国第一部比较完整的法典法经 （现已失传）中已应用了负数， “衣五人终岁用千百不足四百五十” ，意思是说， 5 个人一年开支 1500 钱，差 450 钱。甘肃居延海附近（今甘肃省张掖市管领） 发现的汉简中有“负四筭（sun，筹码，同算） ，得七筭，相除得三筭”的句子。 在 2002 年中国考古发现报告会上，介绍了继秦始皇陵兵马俑坑之后秦代考 古的又一重大发现：湖南龙山里耶战国秦汉时期城址及秦代简牍。2002 年 7 月，考古人员在湖南龙山里耶战国秦汉古城出土了 36000 余枚秦简，记录的 是秦始皇二十六年至三十七年（即公元前 221前 210 年）的秦朝历史，其中 有一份完整的“九九乘法口诀表” 。 在管子 、 荀子 、 战国策等先秦典 籍中，都提到过“九九” ，但实物还是首次发现，这是我国有文字记录最早的乘 法口诀表。 4古印度的数学 古印度在数学方面取得了辉煌的成就，在世界数学史上占有重要的地位。 自哈拉巴文化时期起，古印度人用的就是十进制记数法，大约到了 7 世纪 以后，才有位值法记数，开始时还没有“零”的符号，只用空一格表示，直到 9 世纪后半叶才有“零”的符号。这时古印度的十进位值制记数法才算完备了。 这项发明是古印度人对人类进步的一大贡献。科学史还表明：古印度的十进位 值制记数法有可能源自中国。 现存最早的古印度数学著作是准绳经 ，这是一部讲述祭坛修筑的书， 大约成书于公元前 5 世纪到公元前 4 世纪，书中讲到了一些几何学知识，如勾 股定理，圆周率 3.09 等。在太阳悉檀多一书中，已有用三角学进行计算 的记载，给出了最早的三角函数表。499 年成书的圣使集中，数学内容有 66 条，其中包括有算术运算、乘方、开方以及一些代数学、几何学和三角学的 规则。圣使给出的圆周率为 3. 16。 1013 世纪是古印度数学取得辉煌成就时期，出现了著名的数学四大家。 梵藏于 628 年写戍赞明满悉擅多 ，书中对许多数学问题进行了深入的探讨。 梵藏是古印度最早引进负数概念的人，他提出了负数的运算方法。他对“零” 作为一个数已有一定认识，但他错误地认为零除以零等于零。梵藏提出了解一 般二次方程的规则。在几何学方面，他给出了以四边形的边长求四边形面积的 正确公式。他给出的圆周率为 3.1623。 大雄继续前人的工作。他约于 830 年写成计算精华一书，在书中大雄 认识到零乘以汪一数都等于零，但他错误地认为零除一个数仍等于这个数。一 个分数除另一个分数等于把这个分数的分子、分母颠倒后与那个分数相乘。有 迹象表明大雄可能已接触过中国古代的数学著作，因而受到中国古代数学的影 响。 室利驮罗也是一位数学家。现存的室利驮罗的数学著作有算法概要一 书(1020 年成书)。据说他还有一部专门论述二次方程的著作。他的主要工作是 研究二次方程的解法。在古印度数学发展史上作明的贡献最大，在他著的历 数全书头珠中的嬉