等差数列及其变式练习

等差数列及其变式练习 等差数列的基本公式是：an=a1+(n-1 )d , 例 1：1，3,5,7,9, A.7 C .11 D.16 【解析】答案为 C。这是一种很简单的排列方式，其特征为 相邻两个数字之间的差是一个常数从该题中我们很容易发 现相邻两个差均为 2，所以括号中的数字应为 10713l5 例 2：123,456,789, A.1122 B.101112 C.11112 D.100112 【解析】答案为 A)此题的第一项为 123，第二项为 456，第二项为 789，二项中相邻两数的差都是 333，所以 是一个等差数列，未知项应该是 789 + 333 = 1122)注意，解 答数字推理题时，应着眼于探寻数列中各数字间的内在规 律，而不能从数字表面上去找规律，例如本题从 123,456,789 这一排列的外在表现形式，便选择 101112，肯 定不对) 例 3：12,15，18，(),24,270 A.20 8.21 C.22 D.23 【解析】答案为 B)这是一个典型的等差数列，题中相 邻两数之差均为 3，未知项即 18+3=21,或 24-3 = 21，由此 可知第四项应该是 210 例 4：2,4,()，80 A .3 B .5 C .6 D .7 【解析】答案为 C)这是一个偶数数列，成等差数列 2.等差数列的变式其中的等差常数项为 2 等差数列的变式，一般是题十数列的前后两项的差或 和组成一个等差数列，或者前后两项的差或和所组成的数 列，它们的平方根或者几次根组成的数列是一等差数列等 等) 例 5：3,4,6,9,()，180 A.11 B.12 C.13 D.14 【解析】答案为 C)这道题表面看起来没有什么规律， 但稍加改变处理，就成为一道非常容易的题日。顺次将数 列的后项与前项相减，得到的差构成等差数列 1,2,3,4,5w w 显然，括号内的数字应填 13。在这种类型的题日中，虽然 相邻项之差不是一个常数，但这些差组成的数列都是一个 等差数列。可以把它们称为等差数列的变式。 例 6：1,4,9，16，25，490 A . 34 B .32 C .36 D .31 【解析】答案为 C)可作图分析 其中 3,5,7,9 是一差为 2 的等差数列，所以填人后面的 值应为 11，故为 25+11=36，故选 C 例 9：1 .01,2.02,3.04,5.07，()，13.160 A.7.09 B . 7.10 (：.8.10 D.8.11 【解析】答案为 D。将以上数字的规律分两部分来进 行分析，从整数部分看，第三项为前两项的和，以此类推， 故括号内数字的整数部分应为 8；从小数部分看(01,02,04,07 中，1,2,4,7 的后一项与前一项差分别为 1,2,3 是公差为 1 的 等差数列，所以后一项数字应为 7+4=11，故选 D 例 7：1，5，14,30,55，() A.90 8.91 C.64 D.80 【解析】答案为 B，我们可将题十数列前后两项数字的 差组成一数列，丙将差数组成的数列各数开平方 前后两数差的数列数列平方根组成的数 由此可见，1 应为 6,N 应为 36，故题十数列空项数字 应为 55+36=91，因而 B 项正确 (一)等比数列及其变式 数列相邻数之间的比值相等，整个数列依次递增或递 减等比数列的基本通项公式为： a = a a- , a = ak a- k(其中 a 为首项，a。为已知的 第 k 项，a0) 1.等比数列 例 8：2,4，8，16,32，() A.48 B.64 C.128 D.256 【解析】答案为 B。这是一个等比数列，题中后项除以 前项的值均为 2，故括号内的数为 64 例 9：2,6，18，54 ,() A.162 B.108 C.72 D.216 【解析】答案为 A。这显然是一个等比数列，后项与 前项相除得 3 例 10：万,2，()，4,4 万 A.2 涯 B .3 江 C .3 D .3 万 【解析】答案为 Ao 题中后项与前项相除得泛，故空缺 项应为 2 万 例 11：15，5， 【解析】答案为 Co 题十数列的前后相邻数字之比为 3解析答案为 B 此题是公比为 1 的等比数列，故括号内的 值应为 1。 2.等比数列的变式 等比数列的变式是指题十数列不呈现等比规律，但题 十数列各数字的和、差、积、商、方根等组成经过一条运 算后组成的数列，却呈现等比关系。 例 12：118，199,226,235，() A.238 8.246 C.253 D.255 【解析】答案为 A。这道题并不是直接表现为等比数 列，但是我们可以经过简单处理，得到一个等比数列，将 题中后项与前项依次相减，得到 81,27,9,()的等比数列，可 知()中应为 3。由此可推知答案。 例 13：7，16,34,70，() A.140 B.148 C.144 D.142 【解析】答案为 D。这也是一道变形了的等比数列题， 但比上题复杂些，相邻两项之间没有直接的偶数关系，后 一项减去常数 2 与前一项的商也为一个常数，也是 2。具体 来说，(16 一 2)=7=2,(34 一 2)=16=2，以此类推，答案应为 D 例 14：8，8，12,24,60,() A . 90 B.120 C.180 D.240 【解析】答案为 Co 题日中相邻两个数字之间后一项除 以前一项得到的商并不是一个常数，但它们是按照一定规 律排列的：1,1.5,2,2.5 因此括号内的数字应为 60x3=180 例 15：4,6，10,18，34,() A.50 B .64 C .66 D .68 【解析答案为 C。此数列表面上看没有规律，但它们 后一项与前一项的差分别为 2,4,8,16，是一公比为 2 的等比 数列，故括号中的值应为 34+16x2=34+32=66 例 16：0,1，3，6,15，31，() A.32 8.45 C.52 D.63 【解析答案是 D。后一数字与相邻前一数字的差分别 是 1,2,4,8,16，这是一个等比数列，故 16 后面应该是 32。 这种题型为二级等比数列。 (二)等差与等比数列混合 等差数列和等比数列的混合，相隔两项之间的差值或 比值相等，整个数字序列不一定是有序的 例 17：5,4，10,8，15，16 ,()，() A.20,18 B.18，32 0.20,32 D.18，32 【解析】答案是 C。此题是一道典型的等差、等比混合 题。其中奇数项是以 5 为首项、公差为 5 的等差数列，偶 数项是 4 为首项、公比为 2 的等比数列。这样，我们便可 知答案为 C 3 5 7 9 【解析】答案为 B。此题乍一看似乎无从人手，但仔细 分析便不难发现。此列分数的分母是以 7 为首项，公比为 2 的等比数列，而分子是以 3 为首项，公差为 2 的等差数列， 所以，正确答案为 B 例 18：2,3,4,9,6,27，8，() A.6 B.7 C.81 D.60 【解析】答案是 C。奇数项数字组成等差为 2 的等差数 列，偶数项组成等比为 3 的等比数列。 例 19：2,4，8，16,14，64,20,() A.25 B.35 C.256 D.270 【解析】答案为 C，奇数项组成等差为 6 的等差数列， 偶数项需要进一步化解才能找出规律：4,16,64,可以发现它 们之间存在等比因子为 4 的规律 例 20：4,2,2,3，6,15，() A.16 B.30 C.45 D.50 【解析】答案为 C。数列的规律在于数列中后一项数字 与相邻前一项数字之比依次为 0.5,1,1.5,2,2.5，比例数呈等 差关系，故第七项数字与 15 的比应当是 3，所以 45 才是正 确的选项。我们把这种题型称为二级等差数列 八种数列及其变式 1、等差数列 例题：12，17，22，27，()，37 解析：12 17 22 27 () 37 5 5 5 5 5 公差为 0，形成一个常数数列 答案：后一项与前一项的差为 5，括号内应填 32 (1)二级等差数列 例题：-2，1，7，16，()，43 解析：-2 1 7 16 () 43 3 6 9 12 15 新的公差为 3 的等差数列 答案：16+12=28 (2)二级等差数列的变式 例题：1，2，5，14，() 解析：1 2 5 14 () 1 3 9 27 公比为 3 的等比数列 答案：17+27=41 练习：20，22，25，30，37，() 解析：20 22 25 30 37 () 2 3 5 7 11 二级为质数列 答案：37+11=48 (3)三级等差数列及其变式 例题：1，10，31，70，133，() 解析：1 10 31 70 133 () 9 21 39 63 93 二级特征不明显 12 18 24 30 三级为公差为 6 的等差数列 答案：63+30=93，93+133=226 练习：0，1，3，8，22，63，() 解析：0 1 3 8 22 63 () 1 2 5 14 41 (122)二级特征不明显 1 3 9 27 (81) 三级为等比数列 答案：41+81=122，122+63=185 2、等比数列 例题：3，9，()，81，243 解析：后一项与前一项的比为 3 答案：27 (1)二级等比数列 例题：1，2，8，()，1024 解析：后一项与前一项的比得到 2，4，8，16 答案：8x8=64 (2)二级等比数列的变式 例题：2，4，12，48，() 解析：2 4 12 48 () 2 3 4 (5) 二级为自然数列 答案：48x5=240 练习：10，9，17，50，() 解析：9=1x10-1， 17=9x2-1， 50=17x3-1， 由此类推( )=77x2+9 答案：163 3、和数列 (1)两项和数列 例题：1，1，2，3，5，8，() 解析：前两项相加得到第三项， 括号内应填 13 练习：17，10，()，3，4，-1 解析：17-10=7（第 3 项）， 10-7=3（第 4 项）， 7-3=4（第 5 项）， 3-4=-1（第 6 项） 答案：17-10=7 (2)两项和数列的变式 例题：3，8，10，17，() 解析：3+8-1=10(第 3 项)， 8+10-1=17(第 4 项) 答案：10+17-1=26 练习：4，5，11，14，22，() 解析：每前一项与后一项的和 得到 9，16，25，36 （自然数平方数列） 答案：27 (3)三项和数列的变式 例题：0，1，1，2，4，7，13，() 解析：0+1+1=2(第 4 项)， 1+1+2=4(第 5 项)， 1+2+4=7(第 6 项)， 2+4+7=13(第 7 项) 答案：4+7+13=24 练习：1，1，1，2，3，5，9，() 解析：每三项相加之和减 1 得到第四项 答案：3+5+9-1=16 4、积数列 (1)两项积数列 例题：1，3，3，9，()，243 解析：1x3=3(第 3 项)， 3x3=9(第 4 项)， 3x9=27(第 5 项)， 9x27=243(第 6 项) 答案：27 练习：1，2，2，4，()，32 解析：1x2=2（第 3 项）， 2x2=4（第 4 项）， 2x4=8（第 5 项）， 4x8=32（第 6 项） 答案：8 (2)积数列变式 例题：2，5，11，56，() 解析：2x5+1=11(第 3 项)， 5x11+1=56(第 4 项) 答案：11x56+1=617 练习：3/2，2/3，3/4，1/3，3/8，() 解析：每两项相乘得到， 1，1/2，1/4，1/8，1/16 答案：1/6 5、平方数列 (1)典型平方数列(递增或递减) 例题：196，169，144，()，100 解析：142，132，122，(112)，102 答案：121 (2)平方数列的变式 例题：0，3，8，15，() 解析：各项都是平方数减 1 的形式 答案：52-1=24 练习：17，27，39，()，69 解析：各项分别为平方数列 加自然数列的形式 答案：72+4=53 (3)二级平方数列(平方数列的最新变化) 例题：1，4，16，49，121，() 解析：1 4 16 49 121 () 12 22 42 72 112 () 二级不看平方 1 2 3 4 5 三级为自然数列 答案：162=256 练习：1，2，3，7，46，() 解析：3=22-1， 7=32-2， 46=72-3， ()=462-7 答案：2109 6、立方数列 (1)典型立方数列(递增或递减) 例题：125，64，27，()，1 解析：53，43，33，(23)，13 答案：8 (2)立方数列的变式 例题：3，10，29，66，() 解析：各项都为立方数加 2 的形式 答案：53+2=127 练习：1/8，1/9，9/64，()，3/8 解析：各项分母变化为 2、3、4、5、6 的立方， 分子变化为 1、3、9、27、81 答案：27/125 7、组合数列 (1)数列间隔组合 例题：1，3，3，5，7，9，13，15，()，() 解析：二级等差数列 1，3，7，13，(21) 和二级等差数列 3，5，9，15，(23) 的间隔组合 答案：21，23 练习：1，3，3，6，7，12，15，() 解析：二级等差数列 1，3，7，15 和等比数列 3，6，12，(24) 的间隔组合 答案：24 (2)数列分段组合 例题：6，12，19，27，33，()，48 解析：6 12 19 27 33 () 48 6 7 8 6 (7) 8 答案：33+7=40 练习：2，2，4，12，12，()，72 解析：2 2 4 12 12 () 72 1 2 3 1 (2) 3 答案：12x2=24 (3)特殊组合数列 例题：1.01，2.02，3.04，5.08，() 解析：整数部分为和数列 1，2，3，5，(8)； 小数部分为等比数列 0.01，0.02，0.04，0.08，(0.16) 答案：8+0.16=8.16 8、其它数列 (1)质数列及其变式 例题：2，3，5，()，11，13 解析：质数是只能被 1 和本身整除的数 答案：7 练习：4，6，10，14，22，() 解析：各项除以 2 即得到质数列 2，3，5，7，11，(13) 答案：13x2=26 (2)合数列 例题：4，6，8，9，10，12，() 解析：除去质数列剩下的不含 1 的 自然数为合数列 答案：14 (3)分式最简式 例题：133/57，119/51，91/39， 49/21，()，7/3 解析：各项约分成最简分式的形式都为 7/3 答案：28/12 (4)无理式 (4)无理式 【例题 1】2，5，8 A 10 B 11 C 12 D 13 【解答】从上题的前 3 个数字可以看出这是一个典型的等差数列，即后面的数字与前面数 字之间的差等于一个常数。题中第二个数字为 5，第一个数字为 2，两者的差为 3，由观察 得知第三个、第二个数字也满足此规律，那么在此基础上对未知的一项进行推理，即 8+3= 11，第四项应该是 11，即答案为 B。 【例题 2】3，4，6，9，()，18 A 11 B 12 C 13 D 【解答】答案为 C。这道题表面看起来没有什么规律，但稍加改变处理，就成为一道非常 容易的题目。顺次将数列的后项与前项相减，得到的差构成等差数列 1，2，3，4，5， 。显然，括号内的数字应填 13。在这种题中，虽然相邻两项之差不是一个常数，但这些 数字之间有着很明显的规律性，可以把它们称为等差数列的变式。 【例题 3】3，9，27，81 A 243 B 342 C 433 D 135 【解答】答案为 A。这也是一种最基本的排列方式，等比数列。其特点为相邻两个数字之 间的商是一个常数。该题中后项与前项相除得数均为 3，故括号内的数字应填 243。 【例题 4】8，8，12，24，60，() A 90 B 120 C 180 D 240 【解答】答案为 C。该题难度较大，可以视为等比数列的一个变形。题目中相邻两个数字 之间后一项除以前一项得到的商并不是一个常数，但它们是按照一定规律排列的；1，1.5 ，2，2.5，3，因此括号内的数字应为 603=180。这种规律对于没有类似实践经验的应试 者往往很难想到。我们在这里作为例题专门加以强调。该题是 1997 年中央国家机关录用大 学毕业生考试的原题。 【例题 5】8，14，26，50，() A2 y3 c8 3 s( h! Q A 76 B 98 C 100 D 【解答】答案为 B。这也是一道等比数列的变式，前后两项不是直接的比例关系，而是中 间绕了一个弯，前一项的 2 倍减 2 之后得到后一项。故括号内的数字应为 502-2=98。 【例题 6】5，4，10，8，15，16，()， A 20，18 B 18，32 C 20，32 D 18， 【解答】此题是一道典型的等差、等比数列的混合题。其中奇数项是以 5 为首项、等差为 5 的等差数列，偶数项是以 4 为首项、等比为 2 的等比数列。这样一来答案就可以容易得 知是 C。这种题型的灵活度高，可以随意地拆加或重新组合，可以说是在等比和等差数列 当中的最有难度的一种题型。 【例题 7】34，35，69，104，() A 138 B 139 C 173 D 179 【解答】答案为 C。观察数字的前三项，发现有这样一个规律，第一项与第二项相加等于 第三项，34+35=69，这种假想的规律迅速在下一个数字中进行检验，35+69=104，得到了 验证，说明假设的规律正确，以此规律得到该题的正确答案为 173。在数字推理测验中， 前两项或几项的和等于后一项是数字排列的又一重要规律。育路教育社区. s“ B$ 6 b# : o* l( d 【例题 8】5，3，2，1，1，() A -3 B -2 C 0 D 2 【解答】这题与上题同属一个类型，有点不同的是上题是相加形式的，而这题属于相减形 式，即第一项 5 与第二项 3 的差等于第三项 2，第四项又是第二项和第三项之差所以 ，第四项和第五项之差就是未知项，即 1-1=0，故答案为 C 【例题 9】2，5，10，50，() A 100 B 200 C 250 D 500 【解答】这是一道相乘形式的题，由观察可知这个数列中的第三项 10 等于第一、第二项之 积，第四项则是第二、第三两项之积，可知未知项应该是第三、第四项之积，故答案应为 D 【例题 10】100，50，2，25，() A 1 B 3 C 2/25 D 2/5 【解答】这个数列则是相除形式的数列，即后一项是前两项之比，所以未知项应该是 2/25 ，即选 C。 【例题 11】1，4，9，()，25，36 A 10 B 14 C 20 D 16 【解答】答案为 D。这是一道比较简单的试题，直觉力强的考生马上就可以作出这样的反 应，第一个数字是 1 的平方，第二个数字是 2 的平方，第三个数字是 3 的平方，第五和第 六个数字分别是 5、6 的平方，所以第四个数字必定是 4