展开式与渐近函数的一致性

乘积 的展开式)21 ()( 1 l j je pN 与的渐近函数的一致性 )( 2e Nr 双筛法 （1）定义： 设是的素数，从数列中依次同时划去的倍数及p e N，3 , 2 , 1 , 0 ee NN, 1,pnp 其关于对称的自然数的方法，称为双筛法。 2 e N npNe （2）推论： （）对数列实施双筛后剩余的元素都是素数(自然数 除外） 。, 3 , 2 , 1 , 0 ee NN, 1,1 （）在数轴上，双筛后剩余的元素关于对称分布。 2 e N （）剩余元素之个数的等于区间上存在的“素数对”个数或再加 。 2 1 ),( eee NNN1 命题：设是偶数的素数因子，； 素数， i p e N1() e is N ej Np ，；根据包含排斥原理，对数列（）实施双(,)1 ej Np lj 1, 3 , 2 , 1 , 0 ee NN, 1, 筛后，剩余的元素个数的渐近函数是 ， 式中I。 2( ) e r N) 2 1 ( ln 2 )21 ()( 2 2 1 p e e l j je p p N bN pNp e N 证：由 )21 ()( 1 l j je pN). 1 1)( 2 1 1 ( 2 p Ne () 1 (1) e s N p ) 2 1).( 2 1)( 2 1 ( 21l ppp 再由： （1） ) 2 1 ( 2 1 ) 2 )( 2 1 ( 1 ) 1 1 ( pp p p p p p p p p 12 )21 ( 121 21 )11 ( 21 2 2 22 pp pp pp p p p （2） 22 2 2 2 ) 1( 1 1 ) 1( 1) 12( ) 1( 2 pp pp p pp （3）) ) 1( 1 1 () 1 1 ()21 ( 2 2 pp p 令 （4）blim p 6601 . 0 ) ) 1( 1 1 ( 2 2 p p （5） 2 1 lim(1) ln e e N e e N p e N N pN 将各式代入有： ) 1 1)( 2 1 1 ( 2 p Ne () 1 (1) e s N p ) 2 1).( 2 1)( 2 1 ( 21l ppp 23() 2 23() (1)(1)(1) 1 2(1) 2(2)(2)(2) e e s N e s N ppp N ppp ) 2 1 () 7 2 1)( 5 2 1)( 3 2 1 ( M p 2222 2 22 (, ) 111111 2(1) (1) (1)(1)()(1) 2352(1) M e p e pp M Npp p N ppp 2 2 (, ) 21 () ln2 e e p e Npp bNp Np 式中是的最大素数，是不超过的素数的个数。 M p e NM e N 此式恰是哈代，李特伍德猜想的的渐近函数式。此式可类比于不超过的素数)( 2e Nrx 个数，即素数定理：. x x x ln )(渐近于 的展开及实例 1 2 ()(1) l e j j N p 一般展开式： )21 ()( 1 l j je pN () 11 12 =() e s N l ee ij ij NN pp 11 1212 1212 () () 1 1 111 1() 124 () e e e s N s Nl l e iij iiijjj jiis Njjl N p pp pp p 111 1212 11212 ()1() 1 011 0() 12 ( 1)()() e kk k kek k s Nkk klk k k e iij iiijjj jiiis Njjj kk N p ppp pp () (, ) 1 (,) 1 12 ( 1)() e e ej l s Nl el j Npp j Np N p p 式中 是满足小于且与互素的素数个数。l e N e N 几个展开实例： 例 1：，；，； 3 3254 e N()2 e s N2 1 p3 2 p2l5 1 p 7 2 p 按包含排斥原理展开 10 2244661091420182754 7532 54 4 753 54 4 752 54 4 732 54 2 532 54 2 75 54 4 73 54 2 53 54 2 72 54 2 52 54 29 7 54 2 5 54 2182754 ) 7532 4 (54) 753 4 752 4 732 2 532 2 (54 ) 75 4 73 2 53 2 72 2 52 2 32 1 (54) 7 2 5 2 3 1 2 1 (5454 ) 7 2 1)( 5 2 1)( 3 1 1)( 2 1 1 (54 ) 2 1 ()( 2 1 j j e p N 双筛的结果；没有筛掉的元素是： ，；171113173741434753 直接计算结果： 7 5 7 7 5 5 3 3 2 2 1 54 例 2：，3, 5, 2, 1, 5220 121 2 ppplNe()2 e s N 按包涵排斥原理展开 1 ()(1 2) l ej j Np ) 3 2 1)( 5 1 1)( 2 1 1 (20 ) 352 2 (20) 53 2 32 2 52 1 (20 3 2 5 1 2 1 (2020 ） 53 20 2 32 20 2 52 20 3 20 2 5 20 2 20 20 352 20 2 2621241020 4 双筛的结果，没有筛掉的元素是：1，7，13，19。 直接计算：。 1 ()(1 2) l ej j Np 3 2 2 3 1 5 4 2 1 20) 3 2 1)( 5 1 1)( 2 1 1 (20 例 3：，5, 3, 2, 2,232 211 5 ppplNe()1 e s N 按包涵排斥原理展开 1 ()(1 2) l ej j Np ) 5 2 1)( 3 2 1)( 2 1 1 (32 ) 532 4 (32) 53 4 52 2 32 2 (32) 5 2 3 2 2 1 (3232 5 32 2 3 32 2 2 32 32 53 32 4 52 32 2 32 32 2 532 32 4 4861012201632 4 双筛的结果，没有筛掉的元素是：1，13，19，31。 直接计算： 1 ()(1 2) l ej j Np 2 . 3) 5 2 1)( 3 2 1)( 2 1 1 (32 与存在关系式：)2( 2 n r )32( 2 n r n n n n n n n n n n n bbbb r 2ln 22 ) 2ln 3ln 1 ( 6 2ln) 2ln 3ln 1 ( 22(6 )3ln2(ln )22(6 )32(ln )32(4 )32( 2 222 ) 22 2 )2( ) 2ln 3ln 1 ( 6 2 2 n r n 可得到： )32( 6 1 )32() 2ln 3ln 1 ( 6 1 )2( 22 2 2 nn n n rrr 参考文献： 1 初等数论：潘承洞 潘承彪著 1997,6 月 北京大学出版社 2 组合数学：屈婉玲 著 1997，9 月 北京大学出版社 3 王元论哥