北京市丰台区2017届高三5月期末(二模)数学试题(理)含答案

12999 数学网 12999 数学网 丰台区 2017 年高三年级第二学期综合练习（ 二 ） 数 学 （理科） 2017. 05 （本试卷满分共 150 分 ， 考试时间 120 分钟） 注意事项： 1. 答题前，考生务必先将答题卡上的学校、年级、班级、姓名、准考证号用黑色字迹签字笔填写清楚，并认真核对条形码上的准考证号、姓名，在答题卡的“条形码粘贴区”贴好条形码。 2. 本次考试所有答题均在答题卡上完成。选择题必须使用 2B 铅笔以正确填涂方式将各小题对应选项涂黑，如需改动，用橡皮擦除干净后再选涂其它选项。非选择题必须使用标准黑色字迹签字笔书 写，要求字体工整、字迹清楚。 3. 请严格按照答题卡上题号在相应答题区内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试卷、草稿纸上答题无效。 4. 请保持答题卡卡面清洁，不要装订、不要折叠、不要破损。 第一部分 （选择题 共 40 分） 一、选择题 共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项 1. 已知集合 1 4 2, A x x B x x ，那么 （ A） (24), （ B） (24, （ C） 1+ ), （ D） (2 ),+ 2. 下列函数中 ， 既是偶函数又是 ()0+, 上 的 增函数的是 （ A） 3 （ B） （ C） 12 （ D） 3 ) 3. 在极坐标系中，点 ( 2 )4,到直线 c o s s i n 1 0 的距离等于 （ A） 22（ B） 2 （ C） 322（ D） 2 4. 下列双曲线中，焦点在 y 轴上且渐近线方程为 12的是 （ A） 22 14 （ B） 2 2 14x y （ C） 2 2 14y x （ D） 22 14 5. 已知向量 31()22 ，a， ( 3 1)，b ，则 ，（ A） 4（ B） 12999 数学网 12999 数学网 （ C） 2（ D） 236. 一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图为正方形，则 该几何体 最大的侧面 的面 积为 （ A） 1 （ B） 2 （ C） 3 （ D） 2 7. () 中所有 元素 的 和，且 1 2 3 4 5A , , , , ，若 () 整除，则符合条件的非空集合 A 的个数是 （ A） 10 （ B） 11 （ C） 12 （ D） 13 8. 血药浓度（ 指药物吸收后在血浆内的总浓度 . 药物在人体内发挥治疗作用时，该药物的血药浓度应介于最低有效浓度和最低中毒浓度之间 单位某药物后，体内血药浓度 及相关 信息如图所示： 根据图中提供的信息， 下列 关于成人使用该药物 的说法中 ， 不正确 的 个数 是 首次服用该药物 1 单位约 10 分钟后，药物发挥治疗作用 每次 服用该药物 1 单位，两次服药间隔小于 2 小时，一定会产生药物中毒 每 间隔 时服用该药物 1 单位，可使药物持续发挥治疗作用 首次服用该药物 1 单位 3 小时后，再次服用该药物 1 单位，不会发生药物中毒 （ A） 1 个 （ B） 2 个 （ C） 3 个 （ D） 4 个 第二部分 （ 非选择题 共 110 分 ） 二、填空题 共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分 9. 在复平面内，复数 3 4应的点的坐标为 10. 执行右图所示的程序框图，若输入 6x 的值为 6，则输出的 x 值为 12999 数学网 12999 数学网 11. 点 A 从 (10), 出发，沿单位圆按逆时针方向运动到点 B ，若点 B 的坐标是 34()55,记,则 = 12. 若 x， y 满足 1 1， ，y m且 22z x y的最大值为 10， 则 m 13. 已 知函数 f (x)的定义域 为 R . 当 0x 时， ( ) )f x x x ；当 时， ( ) ( )f x f x ；当 1x 时， ( 2) ( )f x f x ，则 (8)f 14. 已知 O 为 的外心， 且 B O B A B C若 90C ， 则 ； 若 60， 则 的最大值为 三、解答题 共 6 小题，共 80 分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程 15.（本小题共 13 分） 在锐角 中 ， 2 b . （） 求 A 的大小 ； （ ） 求 3 s i n c o s ( )6的 最大值 . 16.（本小题共 13 分） 某社区 超市 购进了 A,B,C,D 四种新产品，为了解新产品的销售情况，该超市随机调查了 15 位顾客（记为 1 2 3 1 5 , , , ,）购买这四种新产品的情况，记录如下（单位： 12999 数学网 12999 数学网 件）： 顾 客 产 品 1 1 1 1 1 B 1 1 1 1 1 1 1 1 C 1 1 1 1 1 1 1 D 1 1 1 1 1 1 （ ）若该超市每天的客流量约为 300 人次，一个月 按 30 天计算，试估计产品 A 的月销售量（单位：件）； （）为推广新产品，超市向购买两种以上（含两种）新产品的顾客赠送 2 元电子红 包 、丙三人在该超市购物， 记 他们获得的电子红包的总金额为 X， 求 随机变量 X 的分布列和 数学 期望； （）若某顾客已选中产品 B，为提高超市销售业绩，应该向其推荐哪种新产品？（ 结果不需要证明 ） 17.（本小题共 14 分） 如图所示的几何体中， 四边形 等腰梯形， 22D，60 60 ， 四边形 正方形，平 面 平面 （）若点 G 是棱 中点，求证： 平面 （）求 直线 平面 成角的正弦值 ； （）在线段 是否存在点 H ，使 平面 平面 若存在，求 不存在，说明理由 . 12999 数学网 12999 数学网 18.（本小题共 13 分） 已知函数 ( ) e l x a x a . （ ） 当 时，求 曲线 ()y f x 在点 (1 (1),f 处的切线方程； （ ） 证明：对于 (0 e)a, ， ()e,1a 上有极小值 ， 且 极小值 大于 0. 19.（本小题共 14 分） 已知椭圆 E 的右 焦点与抛物线 2 4的焦点重合 ， 点 M 3(1 )2,在 椭圆 E 上 . （ ） 求椭圆 E 的方程； （） 设 ( 40),P ，直线 1y 与椭圆 E 交于 A,B 两点，若直线 B 均与 圆)0(222 切，求 k 的 值 . 20.（本小题共 13 分） 若无穷数列 k*N ， 对于00()n n n *N， 都有n k na a d （其中 d 为常数），则称 ()P k n d,” . （ ）若 (32 0)P , ”，且2 3a，4 5a，6 7 8 18a a a，求3a； （） 若无穷数列 穷数列 32，318，n n na b c，判断 (210)P , ”，并说明理由； 12999 数学网 12999 数学网 （） 设 ( 2 )P i d,”，又具有性质“2( 2 )P j d,”，其中 *N， ， ，互质 ，求证： 有性质“ 1( 2 )j i i , ” . 丰台区 20162017 学年度第二学期二模练习 高三数学（理科） 参考答案及评分参考 2017 05 一、选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C B A D B C B A 二、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分 9 (4 3)， 10 0 11 242512 4 13 2 14 12； 23三、解答题共 6 小题，共 80 分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程 15.（本小题共 13 分） 解 ： （ ） 由 正 弦 定 理 得2 s in s in s B ， . 2 分 因为 0B ， 所以 ， 从而2A， . 3 分 所以 1 因为 锐角 ， 所以6A . . 6分 （ ） 因为3 s i n c o s ( ) = 3 s i n c o s ( )6B C B A C .7 分 = 3 s in c o .9 分 12999 数学网 12999 数学网 =2+ )6B . 11 分当 3B时 ， 3 s i n c o s ( )6有最大值 2， 与 锐角 矛盾，故 3 s i n c o s ( )6无 最 大值 .13 分 16.（本小题共 13 分） 解： （ ） （件） ， . 3 分 答：产品 A 的月销售量约为 3000件 . . 4 分 （ ） 顾 客 购 买 两 种 （ 含 两 种 ） 以 上 新 产 品 的 概 率 为P . . 5 分 X 可取 0 ， 2 ， 4 ，6 ， . 6 分 ( = ) ( ) ， 123 3 3 6( = 2 ) ( )P X C ， 223 3 2 5 4( = 4 ) ( )P X C ， 33 2 7( = 6 ) ( ) ， 所以 X 的分布列为： X 0 2 4 6 P 365427. 8 分 所以8 3 6 5 4 2 7 4 5 0 1 8( ) 0 2 4 61 2 5 1 2 5 1 2 5 1 2 5 1 2 5 5 . . 10 分 （ ） 产 品D . 13 分 17.（本小题共 14 分） （ ） 证明： 由已知得 ，且 =D . 因为 等腰梯形，所以有 ，所以 =D 所以 ，且 =G ， 12999 数学网 12999 数学网 故四边形 平行四边形 , 所以 2 分 因为 平面 平面 所以 4 分 解： （ ） 因为四边形 正方形， 所以 C . 因 为 平面 平面 平面 面 C ， 平面 所以 平面 在 ，因为 60， 22D， 所以 由余弦定理， 得 3， A 5 分 在等腰梯形 ，可得 1B. 如图 ,以 D 为原点，以 B ， 所在直线分别为 ,， 建立空间坐标系， 6 分 则 (0,0,0)D ， (1,0,0)A ， (0,0,1)E ， (0, 3,0)B ， 13( , ,1)22F ， 所以 ( 1, 0,1) ， 13( , ,1)22， (0, 3 , 0). 设 平 面 法 向 量 为 ( , , )x y zn ， ， 7 分 所以 3013 022yx y z ，取 1z ，则 2, 0 ，得(2,0,1)n 8 分 设 直线 平面 成的角为 ， 则 s i n c o s , 12999 数学网 12999 数学网 1010 9 分 所以 平面 成的角的正弦值为1010 . 10 分 （ ）线段 不 存在点 H ，使 平面 平面 证明如下： 11 分 假设线段 存在点 H ，设 13( , , ) ( 0 1 )22H t t ， 则 13( , , )22D H t 设平面 法向量为 ( , , )a b cm ， 由 0,13 022aa b t c ， 取 1c ，则 20,3a b t ， 得2(0, ,1)3 tm 12 分 要 使 平面 平面 只需0 13 分 即 22 0 0 1 1 03 t ， 此方程无 解 所以 线段 不 存 在 点 H ，使 平面 平面 14 分 18.（本小题共 13 分） 解： （ ） () 定 义 域 为(0, ) ， 1 分 因为 ， 所 以 ( ) e e ( l n 1 )xf x x ， 所以e( ) x . 2 分 因为 (1)0f ，(1) 0f ， 3 分 所以 曲线 ()y f x 在点 (1,(1)f 处 的 切 线 方 程 12999 数学网 12999 数学网 0y . 4 分 （ ） 因为 0 , 所以 ( ) ex x 在区间 (,1) 调 递 增 函数 . 5 分 因为e( ) e e 0 ，(1) e 0 ， 6 分 所以0(,1), 使得0e =0 7 分 所以0(, )， ( ) 0 ；0( ,1)，( ) 0 ， 8 分 故 ()0( , )ea 调 递 减 ， 在0( ,1) 调 递增， 9 分 所以 ()() 10 分 因为00, 0 001( ) = e ( l n 1 ) ( l n 1 )f x a x a . 11 分 设 1( ) = ( )g x a ， ( ,1) 则221 1 ( 1 )( ) ( ) x a x x x ， 12 分 所以 ( ) 0 ， 即 () ,1)以 ( ) (1) 0g x g， 即0( ) 0所以函数 () 极 小 值 大 于0 13 分 19.（本小题共 14 分） 12999 数学网 12999 数学网 解： （ ） 因 为 抛 物 线 2 4的 焦 点 坐 标 为 (1,0) , 所以1c , . 1 分 所以22332 ( ) 2 422a ，. 3 分 即 2a 2 2 4 1 3b a c ， 所以 椭圆 E 的 方 程 为22143.5 分 （）设1 1 2 2( , ) , ( , )A x y B x y， 因为直线 圆 2 2 2x y r ( 0)r 相切， 所以0， .7 分 即12044， 通分得1 2 2 112( 4 ) ( 4 ) 0( 4 ) ( 4 )y x y ， 所以1 2 2 1( 1 ) ( 4 ) ( 1 ) ( 4 ) 0k x x k x x ， 整理，得1 2 1 22 ( 4 1 ) ( ) 8 0k x x k x x . .9 分 联立 221431，得 22( 3 4 ) 8 8 0k x k x ， 所以1 2 1 22288,3 4 3 4kx x x ，. 11分 代 入 ， 得 1k . . 14 分 20.（本小题共 13 分） 解 ： （ ） 因为 质“ (3,2,0)P ” ， 所