北京市朝阳区2017届高三二模数学试卷（文）含答案

12999 数学网 12999 数学网 北京市朝阳区高三年级 第二 次综合练习 数学学科测试 （文史类） 考试时间 120 分钟 满分 150 分 ） 本试卷分为选择题 （共 40 分） 和非选择题 （共 110分） 两部分 第一部分（选择题 共 40 分） 一、选择题 ： 本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分 在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项 （ 1） 已知 i 为虚数单位， 则 复数 z (1 i)i 对应的点位于 （ A） 第一象限 （ B） 第二象限 （ C） 第三象限 （ D） 第四象限 （ 2） 已知 ， 则下列不等式一定成立的是 （ A） 11 B）2lo g ( ) 0（ C） 33 （ D） 11( ) ( )22 3） 执行如图所示的程序框图，则输出的 S 值是 （ A） 15 （ B） 29 （ C） 31 （ D） 63 （ 4） “ 0, 0”是“ 2”的 （ A） 充分而不必要条件 （ B） 必要而不充分条件 （ C） 充分必要条件 （ D） 既不充分也不必要条件 （ 5）将函数 ( ) f x x 图象上所有点 向右平 移 4个单位 长度 后得到函数 ()图象 ，若 () 区间 0, a 上单调递增，则实数 a 的最大值为 （ A） 8（ B） 4（ C） 2（ D） 34（ 6） 某 三 棱锥的三视图如图所示， 则 该 三 棱锥最长的棱长为 开始 1结束 输出 S 是 否 0k , 0S 2 20?S 12999 数学网 12999 数学网 （ A） 5 （ B） 22 （ C） 3 （ D） 32 （ 7） 已知过定点 (20) ， 的直线 l 与曲线 22相交于 ， 两点， 为坐标原点，当 的面积最大 时，直 线 l 的倾斜角为 （ A） 150 （ B） 135 （ C） 120 （ D） 30 （ 8）“现代五项”是由现代奥林匹克之父顾拜旦先生创立的运动项目，包含射击、击剑、游泳、马术和越野跑五项运动 、丙共三人参加“现代五项” 规定每一项运动的前三名得分都分别为 a ， b ， c （ 且 ,N ），选手最终得分为各项得分之和已知甲最终得 22 分，乙和丙最终各得 9 分，且乙的马术比赛获得了第一名，则游泳比赛的第三名是 (A)甲 （ B） 乙 （ C） 丙 （ D） 乙和丙都有可能 第 二部分 （非选择题 共 110 分） 二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分 （ 9） 已知集合 121， ( ) 0B x x x ，则 （ 10） 在平面直角坐标系中， 已知点 1,0A , 1,2B , 3, 1C ，点 ,P x y 为 边界及内部 的任意一点， 则 的 最 大 值为 （ 11） 已知平面向量 , ) ( 2 ) 4 a b a b ，且 2a ， 4b ，则 a 与 b 的夹角等于 . 1 2 俯视图 正视图 侧视图 1 2 12999 数学网 12999 数学网 （ 12）设函数31 , 0 ,(), 0 ,a x 则 (1)f ；若 ()实数 a 的取值范围是 （ 13） 已知双曲线 22 1 ( 0 , 0 )xy 与 抛物线 2 8有一个公共的焦点 F ，若 5，则 点 P 的 横 坐标是 ； 该双曲线的渐近线方程为 （ 14） 设 P 为曲线 1C 上动点， Q 为曲线 2C 上动点，则称 最小值为曲线 1C , 2C 之间的距离，记作 12( , )d C C 若 221 :2C x y， 222 : ( 3 ) ( 3 ) 2C x y ， 则12( , )d C C _； 若 3 : e 2 0， 4 : ln C x y，则 34( , )d C C _ 三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分 解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程 （ 15） （本小题 满分 13 分） 在 ，角 A B C， ， 的对边分别为 ， ，且 ， 3 2 s i n = 0c b C （）求 角 B 的大小 ； （） 若 3b ， 1c ，求 a 和 面积 （ 16） （本小题满分 13 分） 已知数列 3a，公比 13q的等比数列 设132 lo g 1*()nN （ ） 求证：数列 差数列； （） 设2n n nc a b， 求数列 n 项和 （ 17） （本小题满分 13 分） 某 中学 随机选取了 40 名 男生 ， 将他们的身高作为样本进行统计，得到 如图所示 的 12999 数学网 12999 数学网 分布直方图 观察图中数据，完成下列问题 （ ）求 a 的值及 样本中男 生身高在 185,195 （单位 : 的人数 ； （） 假设 同一组中的 每个数据可用 该组区间的中点值 代替， 通过样本估计该校全体男生的平均身高； （ ）在样本中，从身高在 145,155) 和 185,195 （单位 : 内 的 男 生中任选两人，求这两人的身高都不低于 185 概率 （ 18） （本小题满分 14 分） 如图， 在三 棱柱 1 1 1A B C A B C 中， 1底面 90 ， 1C，1 2， D 是棱 1中点 （ ） 求证：11 （）求三棱锥1B C 体积； （ ） 在线段 是否存在点 Q ，使 得1C？ 请说明理由 A B C 1 组距 频率 45 1555 165 175 a 185 高 (O 195 200 12999 数学网 12999 数学网 （ 19） （本小题 满分 14 分） 已知椭圆 W ： 222 14( 0)b 的一个焦点坐标为 ( 3,0) . （ ） 求 椭圆 W 的方程和离心率 ； （） 若椭圆 W 与 y 轴交于 A ， B 两点 （ A 点在 B 点的上方 ）， M 是椭圆上异于 A ， B 的任意一点，过点 M 作 MN y 轴于 N ， E 为线段 中点，直线 直线1y 交于点 C ， G 为线段 中点， O 为坐标原点 求 的大小 （ 20） （本小题 满分 13 分） 已知函数 ( ) x x x ， 2()2ag x x x a ()aR （ ）若直线 0m 与曲线 ()y f x 和 ()y g x 分别交于 ,设曲线 ()y f x 在点 M 处的切线为 1l ， ()y g x 在点 N 处的切线为 2l . （）当 时，若1l 2l，求 a 的值； （） 若12求 a 的最大值 ； （）设函数 ( ) ( ) ( )h x f x g x在其定义域内 恰 有两个不同的极值点1x，2x， 且12 若 0 ， 且21l n 1 l 恒成立， 求 的取值范围 北京市朝阳区高三年级第二 次综合练习 数学学科测试 （文史类） 、 选择题 ： 本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分 题号 （ 1） （ 2） （ 3） （ 4） （ 5） （ 6） （ 7） （ 8） 答案 B D C A B C A B 二、 填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分 . 题号 （ 9） （ 10） （ 11） （ 12） （ 13） （ 14） 答案 12 3 3 2； ( ,1 3; 3 2 ； 2 2 三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分 算步骤或证明过程 . 12999 数学网 12999 数学网 （ 15） （本小题满分 13 分） 解： （） 因为 3 2 s i n = 0c b C ， 所以 3 s i n 2 s i n s i n 0C B C. 因为 0 C，所以 C ， 所以 3. 因为 0 B， 且 ， 所以 3B 6 分 （） 因为 3b ， 1c ， 所以由余弦定理 2 2 2 2 c o sb a c a c B ， 得 22 1( 3 ) 1 2 12 ，即 2 20 . 解得 2a 或 1a （舍） . 所以 2a . 1 1 3 3= s i n 2 12 2 2 2a c B 13 分 （ 16） （本小题满分 13 分） 解： （） 由已知得： 11 1 1( ) ( )3 3 3 . 1312 l o g ( ) 1 = 2 13 （ *nN ） . 则1 2 ( 1 ) 1 2 1 2b n n . 所以 数列 以 1 为首项， 2 为公差的等差数列 . 6 分 （ ） 由 （） 知， 2 41，则 数列 2以 3 为首项， 4 为公差的等差数列 . 2 1( ) 4 13 nn n nc a b n . 则 1 1 1. . . ( ) 3 7 . . . ( 4 1 )3 9 3 . 即 11 ( ) 33113n+ (3 4 1)2 . 12999 数学网 12999 数学网 即 2 1 1 12 ( )2 2 3 n n ( *nN ). 13 分 （ 17）（本小题满分 13 分） 解： （） 根据题意， ( 0 . 0 0 5 0 . 0 2 0 0 . 0 2 5 0 . 0 4 0 ) 1 0 1a . 解得 所以 样本中学生身高在 185,195 内 （单位 : 的人数为 4 0 0 1 0 4 4 分 （ ） 设样本中 男 生身高的平均值为 x ，则 1 5 0 0 . 0 5 1 6 0 0 . 2 1 7 0 0 . 4 1 8 0 0 . 2 5 1 9 0 0 . 1x 7 . 5 3 2 6 8 4 5 1 9 1 7 1 . 5 所以， 该校 男生的平均身高 为 171.5 8 分 （ ） 样本中男 生身高在 145,155) 内的人有 4 0 0 5 1 0 2 （个）， 记 这两人 为 , 由（）可知， 学生身高在 185,195 内的人有 4 个， 记 这四人 为 , , ,a b c d 所以， 身高在 145,155) 和 185,195 内 的男生共 6 人 从这 6 人中任意选取 2 人 ， 有 , , , , , , , , , , , , , ,a b a c a d a A a B b c b d b A b B c d c A c B d A d B A B， 共 15种情况 设所选 两人的身高都不低于 185 事件 M ， 事件 M 包括 , , , , ,a b a c a d b c b d c d， 共 6 种情况 所以 ， 所选 两人的身高都不低于 185 概率为 62() 1 5 5 13 分 （ 18） （本小题满分 14 分） 解： （） 在三棱柱1 1 1A B C A B C中，11B C 且 平面 11面 所以11 4 分 12999 数学网 12999 数学网 （ ） 因为1面 90 ， 所以1C， C ， 则 平面11即 平面1所以11 11 1 13 3 2B C C D C C B C C C A C B C 1 1 12 1 13 2 3 . 9 分 （ ） 因为在侧面11中，112A，1C， D 是棱1 所以11 4 5 , 4 5A D C A D C 因为 平面 1 所以 1 D . 所以1面 又1面1 所以平面 平面1平面 面1C D， 过点 C 作 D 于 Q ，所以 平面 1 则 所以在线段 存在点 Q ，使得1C. 14 分 （ 19） （本小题 满分 14 分） 解： ( )依题意， 2a ， 3c ，所以 2 2 2 1b a c . 则椭圆 W 的方程为 2 2 14x y. 离心率 32ce a. 4 分 ( )设 , ) 0x ，则 , )y， E 00( , )2x y 又 A (0,1) ，所以直线 方程为002 ( 1 )1 令 1y ，则 , 1)1 x y 12999 数学网 12999 数学网 又 B (0, 1) ， G 为线段 中点，所以 , 1)2 (1 )x y 所以 00( , )2 y，00 00( , 1 )2 2 (1 ) ， 0 0 0 000( ) ( 1 )2 2 2 (1 )x x G E y 22 200 0004 4 ( 1 )xx 因为点 M 在椭圆 W 上，则 2 200 14x y，所以 220044 则 20 001 4 ( 1 ) G E 0011 0 因此 E 故 90 14 分 （ 20） （本小题 满分 13 分） 解： ( ) 函数 () 0. ( ) 1 x x ， ( ) 1g x . （） 当 时， (e) 2f ， (e) e 1. 因为12所以 ( e ) ( e ) 1 . 即 2( e 1) = 1a . 解得 32. 3 分 ( )因为12则 ( ) ( )f m g m 在 +0， 上有解 . 即 m 在 +0， 上有解 . 设 ( ) x x a x， 0x ， 则 11() x . （ 1）当 0a 时 ， ( ) 0 恒成立 ，则函数 () +0， 上为增函数 . 1 当 0a 时 ， 取 ， ( e ) e ( 1 e ) 0 .a a aF a a a 取 ， ( e ) =1 e 0, 12999 数学网 12999 数学网 所以 () +0， 上存在零点 . 2 当 0a 时 ， ( ) x x 存在零点 ， 1x ， 满足题意 . （ 2）当 0a 时 ， 令 ( ) 0 ， 则 1 则 ()0 ) 为增函数 ， 1( , )a 上 为减函数 . 所以 ()1( ) l n 1 0 . 解得 10 取 1x ， (1)= 0. 因此当 1(0, ， 方程 ( ) 0在 +0， 上有解 . 所以， a 的最大值是 1e. 8 分 另解：函数 () 0. ( ) 1 x x ， ( ) 1g x . 则 ( ) 1 m m ， ( ) 1g m a m . 因为12则 ( ) ( )f m g m 在 +0， 上有解 . 即 在 +0， 上有解 . 因为 0m ，所以 令 0x ). 21 l n( ) 0x . 得 . 当 (0,e)x ， ( ) 0 ，