2017年高考押题卷理科数学（二）含答案解析

理 科 数 学（二） 本试题卷共 6 页， 23 题 (含选考题 )。全卷满分 150 分。考试用时 120 分钟。 第 卷 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1已知集合 ( , ) | 1 , 0 1A x y y x x ，集合 ( , ) | 2 , 0 1 0B x y y x x ，则集合 ） A 1,2 B | 0 1 C 1,2 D 2已知复数 z 满足 11 ，则复数 z 在复平面内对应点在（ ） A第一象限 B第二象限 C第 三 象限 D第 四 象限 3九章算术中 “开立圆术 ”曰： “ 置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径 ” “开立圆术 ”相当于给出了已知球的体积 V，求其直径 d，公式 为3 169 如果球的 半径 为 13， 根据“开立圆术 ”的方法求球的 体积 为（ ） A 481B6C 481D64 已知函数 17 s i n c o s 03 2 6f x x x ，满足 364f ，则满足题意的 的最小值为（ ） A 13B 12C 1 D 2 5某几何体的三视图如图所示，设正方形的边长为 a，则该三棱锥的表面积为（ ） A 2a B 23a C 236 223a 6某工厂生产了一批颜色和外观都一样的跳舞机器人，从这批跳舞机器人中随机抽取了 8 个，其中有 2 个是次品，现从 8 个跳舞机器人中随机抽取 2 个分配给测验员，则测验员拿到次品的概率是（ ） A 328B 128C 37D 13287 如图所示，在梯形 ， B 2， 2， 2， 点 E 为 中点，若 向量 C 上的投影为 12，则 D（ ） A 2 B 12C 0 D 2 8已知等差数列 n 项和为 4， 16，数列 n nb a a ，则数列前 9 和 9T 为（ ） A 80 B 20 C 180 D 166 9 2015 年 12 月 16 日 “第三届世界互联网大会 ”在中国乌镇举办为了保护与会者的安全，将 5 个安保小组 全部 安排到指定三个区域内工作，且 这三个区域 每个 区域至少有一个安保小组，则这样的安排的方法共有（ ） A 96 种 B 100 种 C 124 种 D 150 种 10已知函数 x x ，有以下命题： 2 ,2 2； ； 的交点中有一个点的横坐标为 2， 其中推断正确的个数是（ ） A 0 B 1 C 2 D 3 11已知椭圆的标准方程为 22154，12,O 为原点， P 是椭圆在第一象限的点，则 12的取值范围（ ） A 50,5B 250,5C 350,5D 650,512已知正方体1 1 1 1A B C D A B C D的棱长为 1， E 为棱1F 为棱1满足1 : 1 : 2A F F A ，点 F、 B、 E、 G、 H 为面 三点 B、 E、 F 的截面与正方体1 1 1 1A B C D A B C D在棱上的交点，则下列说法错误的是（ ） A 132 余弦值为 6565D五边形 面积为 23 61144 第 卷 本卷包括必考题和选考题两部分。第 1321 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 2223 题为选考题，考生根据要求作答。 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分。 13 为了确定学生的答卷时间，需要确定回答每道题所用的时间，为此进行了 5 次实验，根据收集到的数据，如表所示： 题数 x（道） 2 3 4 5 6 所需要时间 y（分钟） 3 6 7 8 11 由最小二乘法求得回归方程 x a，则 a 的值为 _ （参 考 公式 ： 127x y ， a y ） 14若 2( 3 ) (1 )nx x的展开式 中常数项为 43，则2 2n 15 执行如图所示的程序框图，若输出 S 的值为 10332，则判断框中应填入的条件是 _ 16已知数列 n 项和为足 1213nn ， 32 ， 则数列 _ 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17 （本小题满分 12 分） 已知锐角三角形 内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，且满足2 2 2c o s c o s s i n s i n s i A A B ， s i n c o A B （ 1）求角 A、 B、 C； （ 2）若 2a ，求三角形 边长 b 的值及三角形 面积 18（本小题满分 12 分） 2017 年 3 月 29 日，中 国自主研制系全球最大水陆两栖飞机 于 2017年 5 月计划首飞 机的用途很多，最主要的是森林灭火、水上救援、物资运输、海洋探测根据灾情监测情报部门监测得知某个时间段全国有 10 起灾情，其中森林灭火 2 起，水上救援 3 起，物资运输 5 起现从 10 起灾情中任意选取 3 起， （ 1） 求三种类型灾情中各取到 1 个的概率； （ 2） 设 X 表示取到的森林灭火的数目，求 X 的分布列与数学期望 19 （本小题满分 12 分） 如图所示，直棱柱1 1 1 1A B C D A B C D， 底面 平行四边形， 1 1 1 3A A A B B D ， 2， E 是边11F 是边1 （ 1） 求证：1F； （ 2） 当1C F ， （ ）求证： 平面1 （ ） 求 面1 1 1所成的二面角的余弦值 20 （本小题满分 12 分） 设椭圆 C： 22 10xy 的左顶点为 2,0 ， 且 椭圆 C 与直线6 32相切 （ 1）求椭圆的标准方程； （ 2）过点 0,1P 的动直线与椭圆 C 交于 A， B 两点，设 O 为坐标原点，是否存在常数 ，使得7O A O B P A P B ？ 请 说明理由 21 （本小题满分 12 分） 设函数 x ， （ 1） 求证 ： 211fx x ； （ 2）当 x 1 时， l n ( 1 )f x x a x 恒成立，求 a 的取值范围 请考生在 22、 23题中任选一题作答 ,如果多做 ,则按所做的第一题计分。 22 （本小题满分 10 分） 已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与 x 轴非负半轴重合，直线 l 的极坐标方程为 3 c o s s i n 6 0 ，圆 C 的参数方程为 5 c o s i ， （ 1）求直线被圆所截得的弦长 ； （ 2） 已知点 0, 2P ， 过 P 的 直线 l 与 圆 所 相交于 不同 的两点，求 B 23 （本小题满分 10 分） 已知点 ,P a b 在圆 C： 22x y x y , 0, 上， （ 1） 求 11最小值； （ 2） 是否存在 a ， b ，满足 1 1 4 ？如果存在，请说明理由 理科数学（二）答案 第 I 卷 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 【答案】 C 【解析】 根据题意可得， 12，解得 12，满足题意 01x ，所以集合 1,2 故 选 C 2 【答案】 D 【解析】 设复数 iz a b ， , ， 则 iz a b ， 因为 11 ，所以 2 1 1 ，所以 2( 1) 2 1 ，所以可得 2221 ，解得5343 ，所以 54，所以复数 z 在复平面内对应点 54,33在 第 四象限 上 故 选D 3 【答案】 D 【解析】 根据公式3 169 ，32 1639V， 解 得 16V故 选 D 4 【 答案 】 C 【 解 析 】 根 据 题 意 可 得 ， 17 1 s i n c o s s i n s i 6 3 2 3f x x x x x 3 s ，因为 364f ， 所 以 3 3s i 3 4 ，26 3 6 k 或 5 2,6 Z， 解得 12 1k 或 12 3k， 又 0 ，显然 故 选 C 5 【 答案 】 D 【解析】 如图所示， 该几何体是正方体的内接正三棱锥，所以三棱锥的棱长为 2a ，因此此几何体的表面积 2 214 2 s i n 6 0 2 32S a a 故 选 D 6 【 答案 】 D 【解析】 根据题意可得 11 262 22288 13C C 2 8P 故 选 D 7 【 答 案 】 A 【解析】 以 B 为原点， x 轴， y 轴建系如图， 2， 2， 0, 2A ， 0,0B ， 2,0C ， D 的纵坐标为 2 ， 点 E 为 中点， 20,2E， 若 向量 向量 的投影为 12，设向量 C 的夹角为 ，所以 1c o ，过 D 作 足为 F，在 c o s ，所以 12所以 3,22D，所以 22,2，3 ,22 ， 所以 3 1 2C E B D 8 【 答案 】 C 【解析】 设等差数列 d，因为1n n nb a a ，所以1 1 2n n nb a a ，两式相减1 1 2 1 2n n n na a a a d 为常数，所以数列 因为 且 4， 16，所以1 1 2 2 4b a a S ，3 3 4 4 2 12b a a S S ，所以等差数列 1242，所以前 n 项和公式为 1442 222，所以 9 180T 故 选 C 9 【 答案 】 D 【解析】 三个区域至少有一个安保小组 ，所以可以把 5 个安保小组分成三组，一种是按照1、 1、 3， 另一种是 1、 2、 2；当按照 1、 1、 3 来分时共有 1 1 3 35 4 31322C C C A 6 0，当按照1 、 2 、 2 来 分时 共 有 2 2 1 35 3 12322 9 0， 根 据分 类 计数 原理知 共 有， 故12 150N N N ， 选 D 10 【 答案 】 C 【解析】 根据题意可以得到函数的定义域为 R，值域为 R，所以 不正确， 正确； 由于 c o sf x x x ，所以 c o sf x x x ，所以 f x f x ，且 f x f x ，故此函数是非奇非偶函数，所以 不正确；当 2x时， x x，即 的交点中有一个点的横坐标为 2；所以 正确 故 选 C 11 【 答案 】 B 【 解 析 】 设 P 00,005x， 1555e ，1055 5P F x ，2055 5 x， 2 2 20 0 01 45P O x y x ，则01220 202 5 2 5551 1 4455 P ，因为005x，所以20445x ，所以201415 x，所以202525505145 x，所以 12 2505P F P 故 选 B 12 【 答案 】 C 【解析】 因为面11/A D B 面1交线为 交线为 以 A 正确；因为11/A F 1 : 1 : 2A F F A，所以1 1 1: 1 : 2M A A B ，所以1 12所以1 32在 1211B M B B B M132 ，所以 B 正确；在 1， E 为棱 1中点，所以 1以1 1在 221152E N C E C N ，所以5；因为 2211 52M N M B N B ， 在 ，2 2 2c o B N M N B M B N 26565，所以 C 错误；因为 2 6 5c o N，所以 61s i N，所以 12 61s i n 4B N M B N ，根据题意可得， 14G E N B M ， 19M F H B M ，所以 2 3 6 1144B M N G E N M F S 故 选 C 第 卷 本卷包括必考题和选考题两部分。第 1321 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 2223 题为选考题，考生根据要求作答。 二、填空题：本大题共 4 小 题，每小题 5 分。 13 【答案】 【 解 析 】 由 题 意 可 知 ， 23456 45x ， 3 5 7 9 1 1 75y ， 515211 . 8()x y ，所以 7 4 1 . 8 0 . 2a 14 【 答案 】 21 【解析】 根据题意可得 2(1 )展开式的通项为 2C x，当 r 0 时， 2(1 )常数项为 1， 2( 3 ) (1 )nx x的常数项为 3，而 122C 2 Cr ，令102r ，解得 r 2，所以当 r 2 时， 2( 3 ) (1 ) nx x 的常数项为 2 22，综上，2( 3 ) (1 ) 的展开式中常数项为 2 23 2 43，整理得 2 2 0 0 ，解得 n5，或 n 4（舍去），则 5 252222 2 2 1n x d x x d x x 15 【 答案 】 6n （注 ：此题类似于 5n 等 符合题意的答案均可 ， 答案不唯一 ） 【解析】 当 1n 时， 2 7 5022S ， 当 2n 时，25 2 2 7 1 32 2 4S ， 当 3n时， 1 3 6 7 1 3 1 2 74 8 4 8 8S ， 当 4n 时， 2 7 8 5 38 1 6 1 6S ， 当 5n 时， 10332S ，所以 判断框中应填入的条件是 6n 16 【 答案 】1213 3 2【解析】 由1 1 1 1121 3a S a ，解得1 29a ， 当 2n 时，1 1 11112 1 2 1 2 233n n n n n n S a a a a 11133， 解得1 12233nn ， 两边同时乘以 32 113 3 22 2 3nn ， 由 32 ，所以 11132 ，则 112 3 ， 所以数列 1是一个等比数列， 所以2116，32112，43124， ， 112 3 ， 将上述式子相加，可得1111111621 1 2 1 1116 1 2 3 3 22 ， 而1 3 2 12 9 3c ，所以 111 1 1 2 113 2 3 3 3 2nn 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17 （本小题满分 12 分） 【 答案 】 （ 1）4A ， 512B，3C ； （ 2） 622b ， 33=4 【 解析】 （ 1）因为 A， B 均为锐角， s i n c o A B ， s i n c o s c o s s i n c o s c o s s i n s i A B A B A B ， s i n c o s s i n s i n c o s c o s c o s s i A B A B A B ， s i n c o s s i n c o s c o s s i B A B B B 为锐角， c o s s ， ，则 A 的大小为4， 3 分 在 ， 2 2 2c o s c o s s i n s i n s i A A B ， 2 2 21 s i n 1 s i n s i n s i n s i A A B ， 2 2 2s i n s i n s i n s i n s i A A B ， 2 2 2a b c a b ， 1， 3C ， 6 分 53 4 1 2B 7 分 （ 2）根据正弦定理 得 s i n 5 622 s i n 2 s i n ( )s i n 1 2 6 4 2 ， 9 分 1 1 3 6 2 3 3= s i n 2 =2 2 2 2 4 a b 12 分 18 （本小题满分 12 分） 【 答案 】 （ 1） 14； （ 2） 35 【解析】 （ 1） 令 A 表示事件 “三种类型灾情中各取到 1 个 ”， 则由古典概型的概率公式有 1 1 12 3 5310C C C 1； 6 分 （ 2） 随机变量 X 的取值为： 0， 1， 2，则 7 分 38310C 7( 0 )C 1 5 ， 8 分 1228310( 1 )C 1 5 ， 9 分 2128310( 2 )C 1 5 ， 10 分 X 0 1 2 P 715715115 7 7 1 30 1 21 5 1 5 1 5 5 12 分 19 （本小题满分 12 分） 【 答案 】 （ 1） 见解析； （ 2） （ ） 见 解析 ， （ ） 6 6161 【解析】 （ 1）因为 底面1 1 1 1是平行四边形，所以1 1 1 1 3A B B D D C ， E 是11以11直棱柱1 1 1 1A B C D A B C D，因为1底面1 1 1 1，1面1 1 1 1，所以1为11C，所以1平面 又面 所以1 4 分 （ 2） （ ） 由（ 1） 知1 在矩形11为1 E 1，1 2B C C F， 1R t R F F C E 1C F B F E C ，1C B F C F E ， 90 ， F ， 又 1D E E F E， 平面1 8 分 （ ） 以1别以111x 轴， y 轴， z 轴， 如图建系 ： 则 1 0,0,0D， 2,3,3B ， 0,3,2F ， 0,0,3D 所以 1 2, 3, 3 1 0, 3, 2 1 0, 0, 3， 设面1 ,n x y z ， 则 1100n D F ， 解得 2 3 3 03 2 0x y ， 令 1z ， 所以2312 ， 所以 12, , 123n ， 由 已知 可知1面1 1 1 1， 所以1 1 1的一个法向量， 设面1 1 1所成的二面角为 ， 则 116 6 6 1c o n 所以面1 1 1所成的二面角的余弦值为 6 6161 12 分 20 （本小题满分 12 分） 【 答案 】 （ 1） 22143， （ 2） 存在 ， 2 【解析】 （ 1）根据题意可知 2a ，所以 222 14， 1 分 由 椭圆 C 与直线 6 32相切，联立 得222 146 32 ， 消去 y 可得 ： 2 2 26 1 2 6 3 6 4 0b x x b ， 3 分 0 ，即 2 221 2 6 4 6 3 6 4 0 ， 解得 ： 2()0b 舍或 3， 所以椭圆的标准方程为 22143 5 分 （ 2）当过点 P 的直线 斜率存在时，设直线 方程为 1y ，设 两点的坐标分别为 11, 22, 联立 得 221431 ，化简 223 4 8 8 0k x k x ， 所以 12 212 28438430 恒 成 立， 7 分 所以1 2 1 2 1 2 1 2 ( 1 ) ( 1 ) O A O B P A P B x x y y x x y y 2 1 2 1 21 1 1k x x k x x 22228 (1 ) (1 ) 8 14 3 4 3 2222 4 4 4 3 2 4 3 143 224 2343k ， 所以当 2 时， 7O A O B P A P B ； 10 分 当过点 P 的直线 斜率不存在时，直线即与 y 轴重合，此时 0 , 3 0 , 3， ，所以 3 ( 3 1 ) ( 3 1 ) 3 2O A O B P A P B ， 所以当 2 时， 7O A O B P A P B ； 综上所述，当 2 时， 7O A O B P A P B 12 分 21 （本小题满分 12 分） 【 答案 】 （ 1） 见解析， （ 2） 1,2 【解析】 （ 1）要 证 明 211fx x ， 即 11， 又因为 0x ， 也就是 要证明 ， 即 0 ， 下面 证明 0 恒 成立， 1 分 令 g x x x ， 111 ，令 0， 得 1x ， 3 分 可知 ： 0,1 上 递 增 ， 在 1, 上 递 减， 所以 1 l n 1 1 1 0g x g ， 即 证 5 分 （ 2） 当 1x 时， l n ( 1 )f x x a x 恒成立 ， ln l n ( 1 )1x x a ， 即 2l n 1x x a x 0， 令 2l n 1h x x x a x ， 1x ， l n 1 2h x x a x ， 令 l n 1 2H x x a x ，所以 1 1 22 x ， 6 分 当 a 0 时 ， 0恒 成立， 所以 1, 上 递增， 1 1 2 0h x