2017年中考备考《矩形、菱形、正方形》专题复习（含解析）

2017年中考备考专题复习：矩形、菱形、正方形 一、单选题（共 12题；共 24分） 1、下列命题中，正确的命题是 ( ) A、两条对角线相等的四边形是矩形 B、两条角线互相垂直且相等的四边形是正方形 C、两条对角线相互垂直的四边形是菱形 D、两条对角线互相平分的四边形是平行四边形 2、平面直角坐标系中，四边形 顶点坐标分别是 A（ 3， 0）、 B（ 0， 2）、 C（ 3， 0）、D（ 0， 2），四边形 （ ） . A、矩形 B、菱形 C、正方形 D、梯形 3、如图， 在梯形 ， B=70 C=40， 点 E若 ， 0，则 长是 ( ) A、 7 B、 10 C、 13 D、 14 4、 如图，在 ， 6， 8， 10， P 为边 一动点， E， ， M 为 点，则 最小值为 ( ) A、 2 B、 、 、 3 5、如图，在直角梯形 ， 0， C， 分 点 E，交 点 H， 点 N下列结论： H； +1) 其中正确的是（ ） A、 B、 C、 D、 6、如图所示，四边形 梯形， 平分线，且 ，则 ） A、 2 B、 2 C、 D、 7、如图，在 ， 分 ， 按如下步骤作图： 第一步，分别以点 A、 D 为圆心，以大于 长为半径在 侧作弧，交于两点 M、 N； 第二步，连 接 别交 点 E、 F； 第三步，连接 第 3 页 共 26 页 第 4 页 共 26 页 若 ， ， ，则 长是（ ） . A、 2 B、 4 C、 6 D、 8 8、如图，在 ， 90， 垂直平分线 点 D ， 交 点 E ， 且， 添加一个条件，仍不能证明四边形 正方形的是（ ） . A、 、 、 、 、如图，正方形 对角线交于点 O ， 以 边向外作 ， 90，连接 ， 6， ，则另一直角边 长为（ ） . A、 B、 2 C、 8 D、 10 10、在矩形 ， 1， ， 分 C 点作 E，延长 ，下列结论中： 3确的是（ ） A、 B、 C、 D、 11、（ 2016深圳）如图， A， 0，点 D 在边 （与 B、 C 不重合），四边形 点 F 作 延长 线于点 G，连接 点 Q，给出以下结论： G； S S 四边形 ： 2； Q 其中正确的结论的个数是（ ） A、 1 B、 2 C、 3 D、 4 12、（ 2016苏州）矩形 平面直角坐标系中的位置如图所示，点 B 的坐标为（ 3， 4）， A 的中点，点 E 在 ，当 周长最小时，点 E 的坐标为（ ） A、（ 3， 1） B、（ 3， ） C、（ 3， ） D、（ 3， 2） 二、填空题（共 5题；共 5分） 13、已知梯形的上底 长为 a ， 中位线长为 m ， 那么这个梯形的下底长为 _. 14、如图，在等腰梯形 ， 等腰梯形 面积为 _ 15、（ 2016昆明）如图， E， F， G， H 分别是矩形 边的中点， ， ，则四边形面积是 _ 16、（ 2016义乌）如图，矩形 ， ， ， E 是 中点，直线 l 平行于直线 直线 l 与直线 间的距离为 2，点 F 在矩形 上，将矩 形 直线 叠，使点 A 恰好落在直线 l 上，则 长为 _ 17、（ 2016张家界）如图，将矩形 折，点 C 落在 Q 处，点 D 落在 E 处， 交于 F若 周长是_ 三、解答题（共 2题；共 15分） 18、已知：如图， ， 90， 平分线， 点 E ， 求证：四边形 正方形 19、如图，四边形 ， D， C (1)求证： C； 第 7 页 共 26 页 第 8 页 共 26 页 (2)若 E、 F、 G、 H 分别是 中点，求证：线段 线段 相垂直平分 四、综合题（共 3题；共 35分） 20、（ 2016泰安）如图，在四边形 ， 分 E 是 中点， (1)求证： D (2)过 E 作 延长 点 K，使 B 若点 H 是点 D 关于 对称点，点 F 为 中点，求证： 若 B=30，求证：四边形 菱形 21、（ 2016毕节市）如图，已知 ， C，把 A 点沿顺时针方向旋转得到 接 于点 F (1)求证： (2)若 ， 5，当四边形 菱形时，求 长 22、（ 2016包头）如图，已知一个直角三角形纸片 中 0， ， ， E、 C、 上点，连接 (1)图 ，若将纸片 一角沿 叠，折叠后点 A 落在 上的点 D 处，且使 S 四边形S ， 求 长； (2)如图 ，若将纸片 叠后点 处，且使 试判断四边形 形状，并证明你的结论； 求 长； (3)如图 ，若 延长线与 延长线交于点 N， ， ，求 的值 答案解析部分 一、单选题 【答案】 D 【考点】 平行四边形的判定，菱形的判定，矩形的判定，正方形的判定，命题与定理 【解析】 【解答】 本选项错误； 本选项错误； 本选项错误； 选项正确； 故选 D. 【分析】解答本题的关键是熟练掌握通过对角线判定四边形是平行四边形或特殊平行四边形，必需具备互相平分的前提。 【答案】 B 【考点】 坐标与图形性质，菱形的判定与性质 【 解析】 【解答】图形如图所示： A（ 3， 0）、 B（ 0， 2）、 C（ 3， 0）、 D（ 0， 2）， ， ， 四边形 平行四边形， ， 四边形 菱形，故选 B 【分析】在平面直角坐标系中，根据点的坐标画出四边形 ， 再根据图形特点进行判断 【答案】 A 【考点】 三角形内角和定理，等腰三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，梯形 【解析】 【解答】 B=70， B=70 又 C=40， 0 E 四边形 平行四边形 D=3 E=0 故选 A 【分析】 根据平行线的性质，得 B=70，根据三角形的内角和定理，得 0，再根据等角对等边，得 E根据两组对边分别平行，知四边形 平行四边形，则D=3，从而求解 【答案】 B 【考点】 垂线段最短，直角三角形斜边上的中线，矩形的判定与性质，相似三角形的判定与性质 【解析】 【解答】 连结 ， ， ， 0， 0， 四边形 矩形， P M 是 中点， 根据直线外一点到直线上任一点的距离，垂线段最短， 即 ， 短，同样 最短， 当 ， ， ， 短时， 当 短时， = 故选 B 【分析】 先求证四边形 矩形，再根据直线外一点到直线上任一点的距离，垂线段最短，利用相似三角形对应边成比例即可求得 短时的长，然后即可求出 短时的长 【答案】 B 【考点】 等腰三角形的性质，直角梯形，相似三角形的判定与性质 第 11 页 共 26 页 第 12 页 共 26 页 【解析】 【解答】 如图，过 H 作 M， 分 M， 而在 所以容易判定 是错误的； 分 0， 而 H， 设 HM=x，那么 DH=x， C， 5， x= EN=x， D=H=（ +1)x， 即 = +1， = +1，即 +1)确； 由 得 0， H： 而 ， ， 正确； 所以正确的只有 故选 B 【分析】 如图，过 H 作 M，根据角平分线的性质可以得到 M，而在 H 以容易判定 是错误的； 设 HM=x，那么 DH=x，由于 0， C，由此得到 5，而此可以证明 等腰直角三 角形，又 分 0，由此可以证明 利用相似三角形的性质可以推出 后利用 对顶角相等即可证明 着得到 E，然后即可用 x 分别表示 由 以得到 利用 相似三角形的性质即可结论 ； 利用（ 2)的结论可以证明 后利用相似三角形的性质和三角形的面积公式即可证明结论 此题比较复杂，综合性很强，主要考查了梯形的性质，相似三角形的判定和性质以及等腰直角三角形的性质 【答案】 B 【考点】 等腰三角形的判定与性质，勾股定理，三角形中位线定理，梯形 【解析】 【解答】 平分线， 又 C， 过点 D 作 点 F，交 点 E， 腰三角形三线合一的性质）， 点 F 是 点， F， 中位线， ， = =1， F=2， 在 ， =4 ， 则 ， = =2 故选： B 【分析】 先判断 C，过点 D 作 点 F，交 点 E，由等腰三角形的性质，可得点 F 是 点，继而可得 中位线，继而得出 长度，在求出 后得出 值即可计算本题考查了梯形的知识、等腰三角形的判定与性质、三角形的中位线定理，解答本题的关键是作出辅助线，判断点 度较大 【答案】 D 【考点】 线段垂直平分线的性质，菱形的判定与性质，平行线分线段成比例 【解析】 【解答】： 根据作法可知： 线段 垂直平分线， E ， F ， ， 分 ， ， ， ， 同理 ， 四边形 菱形， E=F ， ， E=F=4， ， ， ， ， ， ， 故选： D 【分析】根据已知得出 线段 垂直平分线，推出 E ， F ， 求出， ， 得出四边形 菱形，根据菱形的性质得出 E=F ， 根据平行线分线段成比例定理得出 ，代入求出答案根据定理判定出四边形 菱形是解答此题的关键 【答案】 D 【考点】 线段垂直平分线的性质，正方形的判定 【解析】 【解答】 直平分 ， ， ， ， ， 四边形 菱形；当 ， 90，则 A 45， 45， 2 245 90， 菱形 正方形，故选项 A 不符合题意；当，利用正方形的判定得出，菱形 正方形，故选项 B 不符合题意；当 用正方形的判定得出，菱形 正方形，故选项 C 不符合题意；当 ，无法得出菱形 正方形，故选项 D 符合题意 【分析】根据中垂线的性质：中垂线上的点到线段两个端点的距离相等，有 ， 菱形；由菱形的性质知，以及菱形与正方形的关系，进而分别分析得出即可 【答案】 D 【考点】 全等三角形的判定与性质，勾股定理，正方形的判定与性质 【解析】 【解答】过点 O 作 点 M ， 作 ， 交 延长线于点 N ， 90， 四边形 矩形， 正方形 对角线交于点 O ， 0， ， 180， 点 A ， O ， D ， E 共圆， 45， ， 四边形 正方形， ， 等腰直角三角形， ， 8， 8，在 ， 8 6 2， 2 8 10 【分 析】首先过点 O 作 点 M ， 作 ， 交 延长线于点 N ， 易得四边形 正方形，点 A ， O ， D ， E 共圆，则可得 等腰直角三角形，求得 长，继而证得 ， 得到 ， 继而求得答案 第 15 页 共 26 页 第 16 页 共 26 页 【答案】 D 【考点】 角平分线的性质，等腰三角形的性质，等边三角形的性质，矩形的性质 【解析】 【解答】 1， ， 2， 1 正三角形 分 45，即 一个等腰直角三角形 1， 1 分 45， 45 30 15 30（正三角形上的高的性质） 15， 正三角形上的高的性质可知： ， 3 所以正确的是 . 故选 D 【分析】这是一个特殊的矩形：对角线相交成 60的角利用等边三角形的性质结合图 中的特殊角度解答本题主要考查了矩形的性质及正三角形的性质 【答案】 D 【考点】 全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，正方形的性质，相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形 【解析】 【解答】解： 四边形 正方形， 0， F= 0， C=90= 在 ， ， G， 正确； C， C， 0， 四边形 矩形， 0， S G= S 四边形 ， 正确； B， C= 0， 5， 正确； E= C=90， E： E=Q 正确； 故选： D 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形 的判定与性质、正方形的性质、矩形的判定与性质、等腰直角三角形的性质；熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等和三角形相似是解决问题的关键由正方形的性质得出 0， F=出 出 G， 正确； 证明四边形 矩形，得出 S G= S 四边形 ， 正确； 由等腰直角三角形的性质和矩形的性质得出 5， 正确； 证出 出对应边成比例，得出 DQ 正确 【答案】 B 【考点】 坐标与图形性质，一次函数的应用，矩形的性质，轴对称 【解析】 【解答】解：如图，作点 D 关于直线 对称点 H，连接 交点为 E，此时 周长最小 D（ ， 0）， A（ 3， 0）， H（ ， 0）， 直线 析式为 y= x+4， x=3 时， y= ， 点 E 坐标（ 3， ） 故选： B 【分析】如图，作点 D 关于直线 对称点 H，连接 交点为 E，此时 周长最小，先求出直线 析式，再求出直线 交点即可解决问题本题考查矩形的性质、坐标与图形的性质、轴对称最短问题、一次函数等知识，解题的关键是利用轴对称找到点E 位置，学会利用一次函数解决交点问题，属于中考常考题型 二、填空题 【答案】 2 【考点】 梯形中位线定理 【解析】 【解答】根据题意得，下底 =2 中位线 则下底 =2【分析】根据 “梯形中位线平行于两底，并且等于两底和的一半 ”较易求解 【答案】 18 【考点】 等腰梯形的性质 【解析】 【解答】解：方法一： 过点 B 作 延长线于点 E，又 四边形 平行四边形，又等腰梯形 C=E， 等腰直角三角形， S 等腰梯形 = = =S =662 =18（ 方法二： 公共底边，又 高 高， 梯形 面积 = 积 + 积 = C=6 =18（ 故答案为： 18 【分析】通过作辅助线，把等腰梯形 面积转化成直角三角形的面积来完成 【答案】 24 【考点】 矩形的性质，中点四边形 【解析】 【解答】解： E， F， G， H 分别是矩形 边的中点， ， ， H=F=8， E=G=3 在 ， ， 同理可得 S 四边形 正方形 4S 8 4 34=48 24=24 故答案为： 24 【分析】先根据 E， F， G， H 分别是矩形 边的中点得出 H=F，E=G，故可得出 据 S 四边形 正方形 4S 题考查的是中点四边形，熟知矩形的对边相等且各角都是直角是解答此 题的关键 【答案】 2 或 4 2 【考点】 矩形的性质，翻折变换（折叠问题） 【解析】 【解答】解：如图，当直线 l 在直线 方时，连接 直线 l 于 M， 四边形 矩形， A= B=90， C， ， C=2， E=C=2， 等腰直角三角形， 5， 0， l l， = 点 A、点 M 关于直线 称， 5， F= 2， 2 当直线 l 在直线 方时， E=2 ， 综上所述 长为 2 或 4 2 故答案为 2 或 4 2 第 19 页 共 26 页 第 20 页 共 26 页 【分析】本题考查翻折变换、矩形的性质、等腰直角三角形的性质和判定，解题的关键是正确画出图形，注意有两种情形，属于中考常考题型当直线 接 ，只要证明 等腰直角三角形即可利用 决问题，当直线 C 下方时，由 到 E，由此即可解决问题 【答案】 8 【考点】 勾股定理，矩形的性质，翻折变换（折叠问题），相似三角形的判定与性质 【解析】 【解答】解：设 AH=a，则 D a， 在 ， 0， ， AH=a， H=8 a， ， 即（ 8 a） 2=42+， 解得： a=3 0， 0， 又 0， = = = C E+H=D=12， C C 故答案为： 8 【分析】设 AH=a，则 D a，通过勾股定理即可求出 a 值，再根据同角的余角互补可得出 而得出 据相似三角形的周长比等于对应比即可求出结论本题考查了翻折变换、矩形的性质、勾股定理以及相似三角形的判定及性质，解题的关键是 找出 题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，通过勾股定理求出三角形的边长，再根据相似三角形的性质找出周长间的比例是关键 三、解答题 【答案】 解答：证明： ， 90， 又 90， 四边形 矩形， 平分线，且 ， ， ， 矩形 正方形 【考点】 角平分线的性质，矩形的判定，正方形的判定 【解析】 【分析】要注意判定一个四边形是正方形，必须先证明这个四边形为矩形或菱形 【答案】 （ 1）证明：过点 B 作 延长线于点 M，如图 1， 四边形 平行四边形， M= M= 在 ， ， C； （ 2）证明：连接 图 2， E， F， G， H 分别是 中点， ， 四边形 平行四边形， 由（ 1）知， C， G， 菱形， 相垂直平分 【考点】 全等三角形的判定与性质，菱形的判定与性质，中点四边形 【解析】 【分析】（ 1）由平行四边形的性质易得 M= M= 全等三角形判定定理及性质得出结论； （ 2）连接 E， F， G， H 分别是 中点，易得四边形平行四边形，由平行四边形的性质及（ 1）结论 得 菱形，易得 相垂直平分 四、综合题 【答案】 （ 1）证明： 分 又 0， 0， 又 E 是 中点， E， ， D （ 2）证明： 证明：连接 0，点 H、 D 关于 称， E， 点 G 是 中点， G， 点 F 为 中点， H， 0， 又 B=30， B= 又 B， C，即四边形 平行四边形。 B= 四边形 菱形 【考点】 直角三角形斜边上的中线，菱形 的判定与性质，相似三角形的判定与性质 【解析】 【分析】（ 1）欲证明 D需推知 可；（ 2） 连接 建直角 用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、等腰对等角以及等量代换得到： 0，即 利用 “在直角三角形中， 30 度角所对的直角边等于斜边的一半 ”、 “直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 ”推知四边形 四边形 题考查了四边形综合题，需要熟练掌握相似三角形的判定 与性质， “直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 ”、 “在直角三角形中， 30 度角所对的直角边等于斜边的一半 ”以及菱形的判定才能解答该题，难度较大 【答案】 （ 1）证明：由旋转的性质得： C， D， B， 在 ， ， 第 23 页 共 26 页 第 24 页 共 26 页 （ 2）解： 四边形 菱形，且 5， 5， 由（ 1）得： D， 5， 直角边为 2 的等腰直角三角形， ， 即 ， F=C=， D 2 【考点】 全等三角形的判定与性质，菱形的性质，旋转的性质 【解析】 【分析】（ 1）由旋转的性质得到三角形 三角形 等，以及 C，利用全等三角形对应边相等，对应角相等得到两对边相等，一对角相等，利用 等即可； （ 2）根据 5，四边形 菱形，得到 5，再由 D，得到三角