湖南省衡阳市2017届高三第三次联考理数试题含答案

湖南省衡阳市 2017 届高三下学期第三次联考 理 科数学 第 卷（共 60 分） 一、 选择题：本大题共 12 个小题 ， 每小题 5 分 ， 共 60 分 有一项是符合题目要求的 . 虚数单位，复数 ),(1 2 ，则 ） A 0 B 2 C 1 D 2 合 1164|),(22 3|),( ， 则 的子集的个数是（ ） A 2 B 4 C 8 D 16 s s ， 02 ，则 )32（ ） A54B53C54D题组指派 5 名教师对数学试卷的选择题、填空题和解答题这 3 种题型进行改编，则每种题型至少指派一名教师的不同分派方法种数为（ ） A 150 B 180 C. 200 D 280 出的 S 值为 4 ，则判 断框内应填写（ ） A ?3i B ?5i C ?4i D ?4i 11 中，底面是正三角形，三棱柱的高为 3 ，若 P 是 111 的中心，且 三棱柱的体积为49，则 平面 成的角大小是 （ ） A6B4C. 3D324,2,1 1)s 2)( 的所有零点之和为 （ ） A 2 B 4 C. 6 D 8 格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体中最长的棱长为（ ） A 34 B 24 C. 6 D 52 ,( ，把 其起点沿逆时针方向旋转 角得到向量)c o ss in,s o s( ，叫做把点 B 绕点 A 逆时针方向旋转 角得到点P 上的每一点绕原点沿逆时针方向旋转4后得到点的轨迹是曲线222 则原来曲线 C 的方程是（ ） A 1 B 1 C. 222 D 122 1,别为双曲线 C ： 15422 左、右焦点 ， P 为双曲线 C 右支上一点，且 |2| 21 ，则 21外接圆的面积为（ ） A154B1516C. 1564D15256 中， D 是 中点， 是 的两个三等分点， 41则 的值是（ ） A 4 B 8 C. 87D4312.数学统综有如下记载：“有凹钱，取三数，小小大，存三角” 凹（或凸）函数（函数值为正）图象上取三个点，如果在这三点的纵坐标中两个较小数之和最大的数，则存在将这三点的纵坐标 值作为三边长的三角形” 2)( 2 在 2,31 2 )(,( )(,( )(,( 均存在)(),(),( 三边长的三角形，则实数 m 的取值范围为（ ） A 1,0 B )22,0C. 22,0(D 2,22第 卷（共 90 分） 二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上） 2 )2( 展开式中第三项为 0,120, D 是由 x 轴和曲线 )(及该曲线在点 )0,1( 处的切线所围成的封闭区域，则 222 在 D 上的最小值为 0 )12(， )( 数列 1n 项和为列 |)1(lo g)(21 ，则使得 )12()1( 立的 x 的范围是 三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分 明过程或演算步骤 .） 17. 已知数列 1a ，当 2n 时， 04411 列 2 1 （ . （ 1）求 证 ：数列 求 （ 2） 若 )6(4 n，如果对任意 都有 2221 ，求实数 t 的取值范围 . 2016 年该市新建住宅销售均价走势如下图所示，为抑制房价过快上涨，政府从 8 月份开始采取宏观调控措施， 10 月份开始房价得到很好的 抑制 . （ 1）地产数据研究院发现， 3 月至 7 月的各月均价 y （万元 /平方米）与月份 x 之间具有较强的线性相关关系，试建立 y 关于 x 的回归方程（系数精确到 政府若不调控，依此相关关系预测第 12 月份该市新建住宅销售均价； （ 2）地产数据研究院在 2016 年的 12 个月份中，随机抽取三个月的数据作样本分析，若关注所抽三个月的所属季度，记不同季度的 个数为 X ，求 X 的分布列和数学期望 . 参考数据及公式： 5125i )(51ii i； 回归方程 中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为： )()(， . 四棱柱 1111 中，底面 侧面 11是矩形， E 是 1 ， 22 （ 1）求证： ； （ 2）若平面 11平面 1成的锐二面角的大小为3，求线段 长度 . 圆 E ： )0(12222 0,5(1 F ，若椭圆上存在一点 D ，满足以椭圆短轴为直径的圆与线段 1切于线段 1中点 F . （ 1） 求椭圆 E 的方程； （ 2） 过坐标原点 O 的直线交椭圆 W ： 1429 2222 、 A 两点，其中点 P 在第一象限，过 P 作 x 轴的垂线，垂足为 C ，连结 延长交椭圆 W 于 B ，求证： . 21. 已知函数 2)2121)(（ a 为常数， 0a ） . （ 1）若21(一个极值点， 求 a 的值； （ 2）求证：当 20 a 时， )( ),21 上是增函数； （ 3）若对任意的 )2,1(a ，总存在 1,210 x，使不等式 )1()( 20 成立，求实数m 的取值范围 . 请考生在 22、 23、 24 三 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分 . 标系与参数方程 已知直线 l 的极坐标方程为22)4s ），圆 C 的参数方程为：其中 为参数） . （ 1）判断直线 l 与圆 C 的位置关系； （ 2）若椭圆的参 数方程为 为参数），过圆 C 的圆心且与直线 l 垂直的直线 l 与椭圆相交于 两点，求 | 等式选讲 已知函数 |2|)( （ 1）若不等式 6)( 解集为 32| 求实数 a 的值； （ 2）在（ 1）的条件下，若存在实数 n 使 )()( 成立，求实数 m 的取值范围 . 试卷答案 一、选择题 1 6 11、 12： 、填空题 13 60； 1456 ； 15 4 ； 16 02x 三、解答题 17.（ 1）证明：当 2n 时，11111 224212 1 04411 211 nn 2)21)(1(1 n . （ 2） 22 ,42(21 ，根据单调性可知 411 令 2221 n 是关于调递增， 当410y 即可， 022141 2 41t. 18、解：（ 1） 计算可得： 5x ， ， 5 2110 ， 所以 0 0 41 0b ， 1 . 0 7 2 0 . 0 6 4 5 0 . 7 2 5a y b x ， 所以从 3 月份至 6 月份 y 关于 x 的回归方程为 0 0 5 . 将 2016 年的 12 月份 12x 代入回归方程得： 0 . 0 6 0 . 7 5 0 . 0 6 1 2 0 5 1 . 4 7 ， 所以预测 12 月份该市新建住宅销售均价约为 元 /平方米 （ 2）根据题意， X 的可能取值为 1， 2， 3 312411 55 ， 3343123 27355 ， 272 1 1 3 55P X P X P X ， 所以 X 的分布列为 因此， X 的数学期望 1 2 7 2 7 1 3 61 2 35 5 5 5 5 5 5 5 19、解： (1)证明 ： 因为底面 侧面 11矩形 ， 所以 ， 1 ， 又因为 1 ， 所以 面 11 因为 面 11 所以 . (2)由 (1)可知 ， 又因为 1 ， 且 ， 所以 1E 平面 设 G 为 中点 ， 以 E 为原点 ， 1, 在直线分别为 x 轴 ， y 轴 ， z 轴建立空间直角坐标系 ， 如图 0,0,1(),0,1,0(),0,1,1(),0,0,0( 设 1 ， 则 ),0,0(1 ),2,1(1 设平面 1一个法向量为 ),( ， 因为 )0,1,1( ),0,0(1 ， 令 1x ， 得 )0,1,1( n . 设平面 11一个法向量为 ),( 111 ， 因为 ）（ 0,0,1 ),1,1(1 ， 令 11z ， 得 )1,0( . 由平面 11平面 1成的锐二面角的大小为3， 得3c o s|,c o s| 解得 1a 1 20、解：（ ）连接 2 O( 为原点 ，2由题意知：椭圆的右焦点为 )0,5(2F 因为 21的中位线，且 1 ， 所以 22 所以 2221 ，故 11 21在 1中， 21212 即 5)( 222 又 22 ， 解得 4,9 22 所求椭圆 E 的方程为 14922 ( )法一：由（ ）得椭圆 W 的方程 为 12 22 根据题意可设 ),( 则 )0,(),( 则直线 方程为 )(2 过点 P 且与 直的直线方程为 )( 来源 ： Z+xx+ 并整理得： 222222 又 P 在 椭圆 W 上，所以 12 22 所以 12 22 即 、 两直线的交点 B 在椭圆 W 上 ， 所以 法二：由（ ）得椭圆 W 的方程为 12 22 根据题意可设 ),( 则 )0,(),( ，PA nk m，2AC nk m所以直线 : ( )2 y x 22()212ny x y ，化简得 2 2 222( 1 ) 2 022n n 所以 22222 因为， 所以 3222232Bm m nx ， 则 3222 2 2n m n 所以32232222232m n ，则 1 ， 即 B 来源 ： 学 ，科 ， 网 Z， X， X， K 21、解：2 212 ( ) 122( ) 2 , ( )11 122aa x x x a xa x （ ）由已知，得 1( ) 02f 即 2 2122a a ， 2 2 0 , 0 , 2 .a a a a 经检验， 2a 满足条件 （ ）当 02a 时， 222 1 2 ( 2 ) ( 1 ) 0,2 2 2 2a a a a aa a a 2 21,22a a 当 12x时， 2 2 02ax a 01 ， ( ) 0, 故 (),)2 上是增函数 . （ ）当 (1,2)a 时，由（ ）知， () ,12上的最大值为 11( 1 ) l n ( ) 1 ,22f a a 于 是问题等价于：对任意的 (1,2)a ，不等式211l n ( ) 1 ( 1 ) 022 a a m a 恒成立 . 记211( ) l n ( ) 1 ( 1 ) , ( 1 2 )22g a a a m a a 则 1( ) 1 2 2 ( 1 2 ) ,11 ag a m a m a 当 0m 时 ， 有2 ( 1 2 ) 2 ( 1 ) 1 0m a m m a ，且 0, ( )1 a 在区间（ 1， 2）上递减，且 (1) 0g ，则 0m 不可能使 ( ) 0恒成立，故必有 当 0m ，且 21( ) ( 1 ) a 若 1 112m，可知 ()区间 1(1 , m i n 2 , 1 )2D m上递减，在此区间 D 上有( ) (1) 0g a g，与 ( ) 0恒成立矛盾，故 1 112m ，这时 ( ) 0 ，即 ()（ 1， 2）上递增，恒有 ( ) (1) 0g a g满足题设要求 . 01 112 ，即 14m， 所 以，实数 m 的取值 范围为 1 , )4 22、解： (1)将直线 l 的极坐标方程 2s i n ( )42，化为直角坐标方程 ： 01 将圆 C 的参数方程化为普通方程 ： 4)2( 22 圆心为 )2,0( C ， 半径 2r . 圆心 C 到直线 l 的距离为 d 3222r ， 直线 l 与圆 C 相离 . (2)将椭圆的参数方程化为普通方程为 22143， 直线 l ： 01 斜率为 11 k ， 直线 l 的斜率为 12 k ， 即倾斜角为4， 则直线 l 的参数方程为 c o s 42 s (t 为参数 )， 即22222 (t 为参数 )， 把直线 l的参数方程22222 代入 22143， 整理得 082167 2 *) 由于 087