七年级数学思维探究（一）数形结合话数轴（含答案）

数与代数 刘徽（生于公元 250 年左右），是中国数学史上伟大的数学家，在世界数学史上也占有杰出的地位，他的杰作九章算术注和海岛算经是我国最宝贵的数学遗产 刘徽钻研学术严谨、求实，讲究“析理以辞，解体用图”，他善于启发，主张“告往而知来，举一隅而三隅反” 1 数形结合话数轴 解读课标 1 数形结合话数轴 数学是研究“数”和“形”的一门学科，从古希腊时期起，人们就已试图把它们统一起来 在日常生活中我们通常对有形的东西认识比较快，而对抽象的东西认识比较慢，这正是现阶段数学学习的特点，以形助数是数学学习的一个重要方法 运用数形结合思想解题的关键是建立数与形之间的联系，现阶段数轴是数形联系的有力工具，主要反映在： 1 利用数轴形象地表示有理数； 2 利用数轴直观地解释相反数； 3 利用数轴解决与绝对值有关的问题； 4 利用数轴比较有理数的大小 问题 例 1（ 1） 已知 a 、 b 为有理数，且 0a ， 0b ， 0 ，将四个数 a 、 b 、 a 、 b 按由小 到大的顺序排列是 _ （ 2） 已知数轴上有 A 、 B 两点， A 、 B 之间的距离为 1，点 A 与原点 O 的距离为 3 ，那么点 B 对 应 的数 是 _ 试一试 对于 （ 1） ，赋值或借助数轴比较大小；对于 （ 2） 确定 A 、 B 两点在数轴 上 的位置，充分考虑A 、 B 两点的多种位置关系 例 2 如图，数轴上标出若干个点，每相邻两点相距 1个单位，点 A 、 B 、 C 、 D 对应的数分别是整数a 、 b 、 c 、 d ，且 2 10，那么数轴的原点应是 （ ） A A 点 B B 点 C C 点 D D 点 试一试从寻找 d 与 a 的另一关系式 入 手 例 3 已知两数 a 、 b ，如果 a 比 b 大，试判断 a 与 b 的大小 试一试 因 a 、 b 符号未定，故 a 比 b 大有多种情形，借助数轴可直观全面比较 a 与 b 的大小 例 4 电子跳蚤落在数轴上的某点 0K ，第一步从 0K 向左跳 1个单位到 1K ，第一步由 1K 向右跳 2 个单位到 2K ，第三步由 2K 向左跳 3 个单位到 3K ，第四步由 3K 向右跳 4 个单位到 4K ，按以上规律跳了 100步时，电子跳蚤落在数轴上的点 100K 所表示的数恰是 试求电子跳蚤的初始位置 0K 点所表示的数 试一试 设 0K 点表示的数为 x ，把 1K 、 2K 、 100K 点所表示的数用 x 的式子表示 例 5 已知 数轴上的点 A 和点 B 之间的距离为 28 个单位长度，点 A 在原点的左 边，距离原点 8 个单位长度，点 B 在原点的右边 （ 1） 求 A 、 B 两点所对应的数 （ 2） 数轴上点 A 以每秒 1个单位长度出发向左运动，同时点 B 以每秒 3 个单位长度的速度向左运动，在点 C 处追上了点 A ，求 C 点对应的数 （ 3） 已知在数轴上点 M 从点 A 出发向右运动，速度为每秒 1个单位长度，同时点 N 从点 B 出发向右运动，速度为每秒 2 个单位长度，设线段 中点为 P （ O 为原点 )，在运动的过程中线段 M的值是否变化？若不变，求其值；若变化，请说明理由 分析与解 对于 （ 3） ，设 M 点运动时间为 t 秒，把 M 用 t 的式子表示 （ 1） A 、 B 两点所对应的数分别为 8 ， 20 ； （ 2） C 点对应的数为 22 ； （ 3） AM t ， 2 0 2 102 t （为什么？），则 1 0 1 0P O A M t t ，即 M 的值不变 生活启示 例 6 李老师从油条的制作中受到启发，设计了一个数学问题 如图，在数轴上截取从原点到 1 的对B ，对折后（点 A 与点 B 重合），固定左端向右均匀地拉成 1个单位长度的线段，这一过程称为一次操作（例如，在第一次操作后，原线段 的 14， 34均变成 12； 12变成 1 ；等等） 那么在线段 （除点 A 、点 B 外）的点中，在第二次操作后，求恰好被拉到与 1重合的点所对应的数字之和 分析 捕捉问题所蕴含的信息，阅读理解“一次操作”的意义：将线段沿中点翻折，中点左侧的点不动，中点右侧的点翻折到左侧的对应位置上，由原来的一个等分点变为两个等分点 解：原图 对折后 拉长后 对折后 拉长后 故在第二次操作后，恰好被拉到与 1重合的点所对应的数字之和是 13144 数学冲浪 知识技能广场 1 数轴上 有 A 、 B 两点，若点 A 对应的数是 2 ，且 A 、 B 两点的距离为 3 ，则点 B 对 应 的数是 _ 2 电影哈利波特中，小哈利波特穿墙进入“ 394站台”的镜头（如示意图中的 M 站台），构思奇妙，能给观众留下深刻的印象，若 A 、 B 站台分别位于 2 ， 1 处， 2B ，则 N 站台用类似电影中的方法可称为“ _站台” 1210864202)1434( )1878( )0 (1 )3814181201878( )1434( )3858( )0 (1 )34121120 141434( )1878 ,38 ,58( )0 1,12( )140 120 1,12( )1878 ,38 ,58( )1434( )1210 3 已知 点 A 、 B 、 P 在数轴上，点 B 表示的数为 6 ， 8， 5，那么点 P 表示的数是 _ 4 如图所示，按下列方法将数轴的正半轴绕在一个圆（该圆周长为 3 个单位长，且在圆周的三等分点处分别标上了数字 0 、 1、 2 ）上：先让原点与圆周上数字 0 所对应的点重合，再将正半轴按顺时针方向绕在该圆周上，使数轴上 1、 2 、 3 、 4 、所对应的点分别与圆周上 1、 2 、 0 、 1L 所对应的点重合 这样，正半轴上的整数就与圆周上的数字建立了一种对应关系 （ 1） 圆周上的数字 a 与数轴上的数 5 对应，则 a _； （ 2） 数轴上的一个整数点刚刚绕过圆周 n 圈（ n 为正整数）后，并落在圆周上数字 1所对应的位置，这个整数是 _（用含 n 的代数式表示） 5 有理数 a 、 b 在数轴上的位置如图所示： ， 则下列各式正确的是 （） A 0 B 0 C 0 D 0 6 文具店、书店、玩具店依次坐落在一条东西走向的大街上，文具店在书店西 20 米，玩具店位于书店东 100米处，小明以书店沿街向东走了 40 米，接着又向东走了 60 米，此时小明的位置在 （ ） A 文具店 B 玩具店 C 文具店西边 40 米 D 玩具店东 60 米 7 将一刻度尺如图所示放在数轴上 （ 数轴的单位长度是 1 ，刻度尺上的“ 0、“ 1 5 c m ”分别对应数轴上的 和 x ，则 （ ） A 9 10x B 10 11x C 11 12x D 12 13x 8 在数轴上任取一条长度为 119999的线段，则此线段在这条数轴上最多能盖住 的整数点的个数是 （ ） A 1998 B 1999 C 2000 D 2001 9 一个跳蚤在一条直线上，从 O 点开始，第 1次向右跳 1个单位，紧接着第 2 次向左跳 2 个单位，第 3次向右跳 3 个单位，第 4 次向左跳 4 个单位依此规律跳下去，当它跳第 100次落下时，求落点处离 单位表示） 10 已知数轴上有 A 、 B 两点， A 、 B 之间的距离为 1，点 A 与原点 O 的距离为 3 ，求 所有满足条件的点 B 与原点 O 的距离的和 思维方法天地 11 在数轴上，点 A 、 B 分别表示 13和 15，则线段 中点所表示的数是 _ 12 在数轴上，表示数 22a的点 M 与表示数 33a的点 N 关于原点对称，则 a 的值为 _ 13 数形相伴 （ 1） 如图所示 ， 点 A 、 B 所代表的数分别为 1 ，2 ，在数轴上画出与 A 、 B 两点的距离和为 5 的点（并标上字母） N 2 10 32 1210 432 2 105432 10106A 321 52 2） 若数轴上点 A 、 B 所代表的数分别为 a 、 b ，则 A 、 B 两点之间的距离可表示为 AB a b ，那么，当 1 2 7 时， x _； 当 1 2 5 时，数 x 所对应 的 点在数轴上的位置是在_ 14 点 A 、 B 分别是数 3 、 12在 数轴上 对应 的点，使线段 数轴向右移动为 且线段 ，则点 A 对应的数是 _， 点 A 移动 的距离是 _ 15 点 1A 、 2A 、 3A 、 n 为正整数）都在数轴上，点 1A 在原点 O 的左边，且 1 1，点 2A 在点 1A 的右边，且 212；点 3A 在点 2A 的左边，且 323，点 4A 在点 3A 的右边，且 434，依照上述规律，点 2008A 、 2009A 所表示的数分别为 （ ） A 2008， 2009 B 2008 ， 2009 C 1004， 1005 D 1004 ， 1004 16 如图： ， 数轴上标出若干个点，每相邻两点相距 1 个 单位，点 A 、 B 、 C 、 D 对应的数分别是整数 a 、 b 、 c 、 d ，且 29，那么数轴的原点对应点是 （ ） A A 点 B B 点 C C 点 D D 点 17 有理数 a 、 b 、 c 在数轴上的位置如图，式子 a b a b b c 化简结果为 （ ） A 23a b c B 3 C D 18 不相等的有理数 a 、 b 、 c 在数轴上对应点分别为 A 、 B 、 C ，若 a b b c a c ，那么点 B（ ） A 在 A 、 C 点右边 B 在 A 、 C 点左边 C 在 A 、 C 点之间 D 以上均有可能 19 在数轴上， N 点与 O 点的距离是 N 点与 30 所对应点之间的距离的 4 倍，那么 N 点表示的数是多少？ 20 已知数轴上有 A 、 B 、 C 三点，分别代表 24 、 10 、 10，两只电子蚂蚁甲、乙分别从 A 、 C 两点同时相向而行，甲的速度为 4 个单位秒 （ 1） 问多少秒后甲到 A 、 B 、 C 的距离和为 40 个单位？ （ 2） 若乙的速度为 6 个单位秒，两只电子蚂蚁甲、乙分别从 A 、 C 两点同时相向而行，问甲、乙在数轴上的哪个点相遇？ （ 3） 在 （ 1） 、 （ 2） 的条件下，当甲到 A 、 B 、 C 的距离和为 40 个单位时，甲调头返回，问甲、乙还能在数轴上相遇吗？若能，求出相遇点；若不能，请说明理由 应用探究乐园 21 操作与探究 对数轴上的点 P 进行如下操作：先把点 P 表示的数乘以 13，再把所得数对应的点向右平移 1 个单位，得到 点 P 的对应点 P 点 A ， B 在数轴上，对线段 的每个点进行上述操作后得到线段 其中，点 A ， B 的对应点分别为 A ， B 如图所示，若点 A 表示的数是 3 ，则点 A 表示的数是 _；若点 B 表示的数是 2 ，则点 B 表示的数是 _；已知线段 的点 E 经过上述操作后得到的对应点 E 与点 E 重合，则点 E 表示的数是 _ 22 一动点 P 从数轴上的原点出发，沿数轴的正方向以每前进 5 个单位、后退 3 个单位的程序运动，已知点 P 每秒前进或后退 1个单位，设 示第 n 秒点 P 在数轴上的位置所对应的数 （ 如 4 4x ， 5 5x ，6 4x ） ，求 2011x 所对应的数 2 3 401数形结合话数轴 问题解决 例 1 （ 1） b a a b （ 2） 4 或 2 或 2 或 4 例 2 B 由图知 7 ，又 2 10，得 3a 例 3 当点 B 在原点的右边时， 0 ，则 ；当点 A 在原点的左边时， 0 ，则 ；当点 A 、 B 分别在原点的右、左两侧时， 0 ，这时无法比较 a 与 b 的大小关系；当点 A 正好在原点位置时， 0 ，则 ；当点 B 正好在原点位置时， 0 ，则 例 4 设 0K 点表示的有理数为 x ，则 1K 、 2K 、 100K 点所表示的有理数分别为 1x ，12x ， 1 2 3x ， 1 2 3 4 9 9 1 0 0x ，由题意得 1 2 3 4 9 9 1 0 0 1 9 . 9 4x 数学冲浪 1 5 或 1 2 1133 3 或 7 4 （ 1） 2 ； （ 2） 31n 5 A 6 A 7 C 8 C 9 1 2 3 4 9 9 1 0 0 5 0 ，落点处与 O 点距离为 50 个单位长 10 12 11 115点所表示的数是 1 1 123 5 1 5 12 6 13 （ 1）如图所示，点 C 、 D 两点即为所求 （ 2） 3x 或 4 ；点 C 的左边或点 D 的右边 14 74； 194为 ( )15322 ， A 对应数为 1 5 732 2 4 ，点 A 移动的距离为 ( )7 19344 15 C 16 C 17 C 18 C 19 24 与 40 20 （ 1）设 x 秒后甲到 A 、 B 、 C 距离和为 40 ( )1 0 2 4 1 4 ( )10 10 20 当甲在 A 、 B 之间时 ( ) ( )4 1 4 4 1 4 4 2 0 4 0x x x ，得 2x 当甲在 B 、 C 之间时 ( ) ( )4 4 1 4 2 0 4 1 4 4 0x x x ，得 5x ，即 2 秒或 5 秒后 （ 2）设 x 秒后相遇 ( ) ( )4 6 1 0 2 4x 10 34x 2 4 3