江西省重点中学2017届高三第二次联考数学试题（理）含答案

江西省重点中学盟校 2017 届高三第二次联考 数学（理科）试卷 第 卷（共 60 分） 一、 选择题：本大题共 12 个小题 ,每小题 5 分 ,共 60 分 有一项是符合题目要求的 . 1复数 2 211i i的共轭复数的虚部是（ ） A i B i C 1 D 1 2已知集合 2 4 , 1 3M x x N x x ，则 M（ ） A 21 B 12 C 22 D 2 3下列命题中真命题的个数是（ ） 若 是假命题，则 都是假命题； 命题“ 32, 1 0x R x x ”的否定是“ 320 0 0, 1 0x R x x ”； 若 1: 1, : 1p x ，则 p 是 q 的充分不必要条件 设随机变量 X 服从正态分布 3,7N ，若 11P X C P X C ，则 3C A 1 B 2 C 3 D 4 4一个几何体的三视图如所示，则该几何体的外接球表面积为（ ） A 3 B 5 C 10 D 20 5“更相减损术”是出自九章算术的一种求最大公约数的算法，如下框图中若输入的 a 、b 分别为 198 、 90 ，则输出的 i 为（ ） A 3 B 4 C 5 D 6 6如图，在边长为 2 的正方形 ， M 是 中点，过 , 三点的抛物线与 向正方形内撒一粒黄豆落在阴影部分的概率是（ ） A 16B 13C 12D 237函数 s i n 0 ,2f x x 的图象如图所示，为了得到 c o 的图象，则只将 ） A向左平移4个单位 B向右平移4个单位 C向左平移12个单位 D向右平移12个单位 8如果实数 满足关系 10200 ，又 273xy 恒成立，则 c 的取值范围为（ ） A 9,5 B ,3 C 9,5 D 3, 9将 , 这 5 名同学从左至右排成一排，则 A 与 B 相邻且 A 与 C 之间恰好有一名同学的排法 有（ ） A 18 B 20 C 21 D 22 10若非零向量 , ，且，则称 a 被 b “同余”已知 b 被 a “同余”，则 在 a 上的投影是（ ） A 22 B 222 C 22 D 22 11已知 O 为坐标原点， F 是双曲线 22: 1 0 , 0a 的左焦点， 分别为左、右顶点，过点 F 做 x 轴的垂线交双曲线于点 ，连结 y 轴于点 E ，连接 ，若 M 是线段 中点，则双曲线 C 的离心率（ ） A 2 B 52C 3 D 7212已知函数 23221 , 2 l o g 2 l o g 4x x g x t ，若函数 1F x f g x在区间 1,2 2上恰有两个不同的零点，则实数 t 的取值范围（ ） A 5,42B 59,22C 94,2D 94,2第 卷（共 90 分） 二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上） 13已知函数 41 ,05l o g , 0 则 3 14在多项式 651 2 1的展开式中， 3的系数为 15已知 中， ， 120， 4若点 P 是边 的动点，且 B ， 离分别为 ，则 41最小值为 16已知数列 111 , 3 1a a n N ，若 23 1 2，n 项和，若不等式 122对一切的 恒成立，则实数 的取值范围是 三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分 明过程或演算步骤 .） 17设锐角三角形 内角 , 的对边分别为 cb,a, ， 222 3 b a c a c （ 1）求 B 的大小； （ 2）求 的取值范围 18通过对某城市一天内单次租用共享自行车的时间 50 分钟到 10 钟的 n 人进行统计，按照租车时间 50,60 ， 60,70 ， 70,80 ， 80,90 ， 90,100 分组做出频率分布直方图，并作出租用时间和茎叶图（图中仅列出了时间在 50,60 ， 90,100 的数据） （ 1）求 n 的频率分布直方图中的 ； （ 2）从租用时间在 80 分钟以上（含 80 分钟）的人数中随机抽取 4 人，设随机变量 X 表示所抽取的 4 人租用时间在 80,90 内的人数，求随机变量 X 的分布列及数学期望 19如图，在正四面体 ， O 是 的中心， 分别是 上的动点，且 ,1B E B A C F C A （ 1）若 面 求实数 的值； （ 2）若 12，正四面体 棱长为 22，求平面 平面 成的角余弦值 20已知椭圆 22: 1 0 , 0a 右顶点 2,0A ，离心率 32e （ 1）求椭圆 C 的方程； （ 2）设 B 为椭圆上顶点， P 是椭圆 C 在第 一象限上一点，直线 y 轴交于点 M ，直线 x 轴交于点 N ，问 与 面积之差是否为定值？说明理由 21设常数 20 , 0 , l f x a （ 1）若 x 处取得极小值为 0 ，求 和 a 的值； （ 2）对于任意给定的正实数 、 a ，证明：存在实数0x，当0， 0 请考生在 22、 23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分 . 22选修 4标系与参数方程 在平角直角坐标系 ，以 O 为极点， x 轴非负半轴为极轴建立坐标系，曲线 M 的极坐标方程为 4 ，直线 l 的参数方程为 co m （ t 为参数， 0 ）， 射线 ,44 与曲线 M 交于 , 三点（异于 O 点） （ 1）求证： 2O B O C O A ； （ 2）当12时，直线 l 经过 两点，求 m 与 的值 23选修 4等式选讲 若关于 x 的不等式 26 的解集为 4833 （ 1）求 a 的值； （ 2）若 1b ，求 1 2 3at 的最大值 江西省重点中学盟校 2017 届高三 第二次联考 数学（理科）试卷答案 一、选择题 1 6 11、 12： C 解析 因 为函数 1)()( 零点为方程 1)4lo lo 222 根，易知 1)0( f ，所以 )0(4lo g2)lo 222 ，故 04lo lo 22 令 ，则 23,0m ，问题转化为 0422 2 23,0m 上有两个不同的实解，即 422 2 23,0令 422 2 230( m， 则 )230(29)21(2 2 9y，结合图像可知29,4t. 二、填空题 )1,( 三、解答题 17 (1)由 222 ,根据余弦定理得23B. 又 B 为锐角三角形 的内角，得6B. (2)由（ 1）知 )3s i n(3)65s i n(c i nc 由 为锐角三角形且6 A， 故23 A. 65332 A，23)3s 21 A，23)3s 323 A， 故 CA 的取值范围为 )23,23(. (1)由题意可知，样本容量 , z . (2)由题意可知，租用时间在 )90,80 内的人数为 5，租用时间在 100,90 内的人数为 2 ，共7 人 人中租用时间在 )90,80 内的人数 X 的可能取值为 4,3,2 ，则 723510)2(472225 743520)3(471235 71355)4(470245 故720714743722)( 1）取 中点 G ，连接 , O 是正 的中心 点 O 在 ，且 2 当 时， 面 2即 X 2 3 4 P 72 74 71 32. （ 2）当21时，点 分别是 的 中点 . 建立如图所示的空间直角坐标系 ，依题设 2则)0,13(),0,1,3(),22,0,0(),0,2,0( )2,21,2 3(),2,1,0( , 则 )2,2,3()2,21,2 3( , 设平面 法向量为 ),( 则 0223033 不妨令 1z ，则 )1,52,56( n， 又平面 一个法向量为 )1,0,0(m . 设所求二面角为 ，则33335co s . 20. 解：依题意得,23,2222 12，则椭圆 C 的方程为 14 22 设 )0,0)(,(0000 44 202 )2(2:00 xx 0x 得220 0 x 22111 0 0 x M, 11:00 0y 得10 0 y 1212 0 0 y N, N 21)(21222 88442122 4844421)221)(12(21000000000000000020200000 yy x. 2222)(2)()(2)( 2223222)(2)2()()()2( ， 02 43)( 323 43a. 将 4322222223)(4)394)()(43654)( 当 ),0( x 时 , 0)( )(减； ),( x 时 , 0)( )(增； 故当 x 时 , )(极小值 f, 令 0)( f ,解得 323243, . ( )因为 22 , 记 ,故只需证明 :存在实数0x,当0 , 0)( 方法 1 )ln( , 设 0, 则2121 . 易知当 4x 时 , 02y ,故 0 又由 0 得 :242 即 22 )24( 取 220 )24( 则当 0时 , 恒有 0)( 即当0 , 恒有 0)( 立 . 方法 2 由 ,得 :x 1)(, 故 )(区间 ),( a 上的增函数 ,2 n , 则 2()( ,因为 2212 )1(1)11(2 , 故有 212()( 2, 令 0)21 2 得 : 28)4 设0取 020 ,则当0 , 恒有 0)( 即 0)( 立 . 22.（）由已知： c o 4c o s (4),4c o s (4 4c c 4)4c 4 . （）当12时，点 的极角分别为64,34 ， 代入曲线 M 的方程得点 的极径分别为： 32)6c o s