七年级数学思维探究（二）聚焦绝对值（含答案）

祖冲之，中国古代著名的数学家和天文学家，于公元 429 年出生于建康（今江苏南京），祖冲之从小就对天文、数学知识产生浓厚的兴趣，“专攻数术，搜炼古今”，他在数学方面的成就，首推圆周率的计算，计算圆周率精确到小数点以后 7 位，是当时世界上最杰出的成就；在天文学方面，他编写了新的历法 大明历，这是当时最好的一部历法 2 聚焦绝对值 解读课标 绝对值是数学中的一个基本概念，这一概念是学习相反数、有理数运算、算术根的基础；绝对值又是数学中的一个重要概念，绝对值与其他知识融合形成绝对值方程、绝对值不等式、绝对值函数等，在代数式化简求值、解方程、解不等式等方面有广泛的应用 理解、掌握绝对值应注意以下几个方面： 1 脱去绝对值符号是解绝对值问题的切入点 脱去绝对值符号常用到相关法则、分类讨论、数形结合等知识方法 2 恰当地运用绝对 值的几何意义 从数轴上看 a 表示数 a 的点到原点的距离； 表示数 a 、数 b 的两点间的距离 3 灵活运用绝对值的基本性质 0a ； 222a a a； ab a b ； 0aa 问题解决 例 1 已知 2 0 2 0y x b x x b ，其中 0 20b ， 20 ，那么 y 的最小值为 _ 试一试结合已知条件判断每一个绝对值符号内式子的正负性，再去掉绝对 值符号 例 2 式子 a b b 的所有可能的值有 （ ） A 2 个 B 3 个 C 4 个 D 无数个 试一试 根据 a 、 b 的符号所有可能情况，去掉绝对值符号，这是解本例的关键 例 3 （ 1） 已知 2 2 0ab a ，求 1 1 1 11 1 2 2 2 0 0 6 2 0 0 6ab a b a b a b 的值 （ 2） 设 a 、 b 、 c 为整数，且 1a b c a ，求 c a a b b c 的值 试一试 对于 （ 1） ，由非负数的性质先导出 a 、 b 的值；对于 （ 2） ， 1 写成两个非负整数的和的形式又有几种可能？这是解 （ 2） 的突破口 例 4 阅读下列材料并解决有关问题： 我们知道 0000， 现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式，如化简代数式12 时，可令 10x 和 20x ，分别求得 1x ， 2x （称 1 ， 2 分别为 1x 与 2x 的零点值） 在有理数范围内，零点值 1x 和 2x 可将全体有理数分成不重复且不遗漏的如下 3种情况： （ 1） 1x ；（ 2） 12x ； （ 3） 2x 从而化简代数式 12 可分以下 3种情况： （ 1） 当 1x 时，原式 1 2 2 1x x x ； （ 2）当 12x 时，原式 1 2 3 ； （ 3） 当 2x 时，原式 1 2 2 1x x x 综上讨论，原式 2 1 13 1 22 1 2 ， 通过以上阅读，请你解决以下问题： （ 1） 分别求出 2x 和 4x 的零点值； （ 2） 化简代数式 24 试一试 在阅读理解的基础上化简求值 例 5 （ 1） 当 x 取何值时， 3x 有最小值？这个最小值是多少？ （ 2） 当 x 取何值时， 52x 有最大值？这个最大值是多少？ （ 3） 求 45 的最小值 （ 4） 求 7 8 9x x x 的最小值 分析 对于 （ 3） 、 （ 4） 可先运用零点分段讨论法去掉绝对值符号，再求最小值；也可利用绝对值的几何意义，即在数轴上找一表示 x 的点，使之到表示 4 、 5 的点（或表示 7 、 8 、 9 的点）的距离和最小 解 （ 1） 当 3x 时，原式有最小值，最小值为 0 （ 2） 当 2x 时，原式有最大值，最大值为 5 （ 3） 当 45x 时，原式有最小值，最小值为 1 （ 4） 当 8x 时，原式有最小值，最小值为 2 对于 （ 3） ，给出另一种解法： 当 4x 时，原式 4 5 9 2x x x ，最小值为 1； 当 45x 时，原式 4 5 1 ，最小值为 1； 当 5x 时，原式 4 5 2 9x x x ，最小值为 1 综上所述，原式有最小值等于 1 以退求讲 例 6 少年科技组制成一台单项功能计算器，对任意两个整数只能完成求差后再取绝对值的运算，其运算过程足：输入第一个整数 1x ，只显示不运算，接着再输入整数 2x 后则显示 12的结果，此后每输入一个整数都是与前次显示的结果进行求差取绝对值的运算，现小明将从 1到 1991这 1991个整数随意地一个一个地输入，全部输入完毕之后显示的最后结果设为 P ，试求出 P 的最大值，并说明理由 分析 先考虑输入个数较少的情形，并结合奇偶分析调整估值，一步步求出 P 的最大值 解 由于输入的数都是非负数，当 1 0x ， 2 0x 时， 12不超过 1x 、 2x 中最大的数，对 1 0x ， 2 0x ，3 0x ，则 1 2 3x x x不超过 1x 、 2x 、 3x 中最大的数，设小明输入这 1991个数的次序是 1x ， 2x ，1991x 相当于计算： 1 2 3 1 9 9 0 1 9 9 1x x x x x P ，因此 P 的值 1991 另外从运算奇偶性分析， 1x 、 2x 为整数， 12与 12奇偶性相同，因此 P 与 1 2 1 9 9 1x x x 的奇偶性相同 但 1 2 1 9 9 1 1 2 1 9 9 1x x x 偶数，于是断定 1990P 我们证明 P 可以取到 1990 对 1， 2 ， 3 ， 4 ，按如下次序： 1 3 4 2 0 ， 4 1 4 3 4 4 4 2 0k k k k ，对于 0k ， 1， 2 ，均成立 因此， 11988 可按上述办法依次输入最后显示结果为 0 ，而后 1 9 8 9 1 9 9 0 1 9 9 1 1 9 9 0 ，故 P 的最大值为 1990 数学冲浪 知识技能广场 1 数 a 在数轴上的位置如图所示 ， 且 12a ，则 37a_ 2 已知 5a ， 3b ，且 a b b a ，那么 _ 3 化简 1 1 1 1 1 1 1 12 0 0 4 2 0 0 3 2 0 0 3 2 0 0 2 2 0 0 2 2 0 0 1 2 0 0 1 2 0 0 4 _ 4 已知有理数 a 、 b 、 c 在数轴上的对应位置如图所示： ，1c a c a b 化简后的结果是 _ 5 已知整数 1a ， 2a ， 3a ， 4a ，满足下列条件： 1 0a ， 211 ， 322 ， 433 ，依次类推，则 2012a 的值为（ ） A 1005 B 1006 C 1007 D 2012 6 已知 ，化简 12 所得的结果是 （ ） A 1 B 1 C 23a D 32a 7 若 m 是有理数，则 一 定是 （ ） A 零 B 非负数 C 正数 D 负数 10c 有理数 a 、 b 、 c 的 大 小关系如图： ， 则下列式子中一定成立的 是 （ ） A 0 B a b c C a c a c D b c c a 9 化简 （ 1） 3 x ； （ 2） 12 10 阅读下面材料并回答问题 点 A 、 B 在数轴上分别表示实数 a 、 b ， A 、 B 两点之间的距离表示为 当 A 、 B 两点中有一点在原点时，不妨设点 A 在原点，如图， A B O B b a b ；当 A 、 B 两点都不在原点时， （ 1） 如图，点 A 、 B 都在原点的右边， A B O B O A b a b a a b ； （ 2） 如图，点 A 、 B 都在原点的左边， A B O B O A b a b a a b ； （ 3） 如图，点 A 、 B 在原点的两边， A B O A O B a b a b a b 综上，数轴上 A 、 B 两点之间的距离 AB a b 请回答： 数轴上表示 2 和 5 的两点之间的距离是 _， 数轴上表示 2 和 5 的两点之间的距离是 _，数轴上表示 1和 3 的两点之间的距离是 _； 数轴上表示 x 和 1 的两点 A 和 B 之间的距离是 _，如果 2，那么 x 为 _； 当代数式 12 取最小值 时 ，相应的 x 的取值范围是 _ 思维方法天地 11 已知 1a ， 2b ， 3c ，且 ，那么 a b c _ 12 在数 轴上，点 A 表示的数是 3 x ，点 B 表示的数是 3 x ，且 A 、 B 两点的距离为 8 ，则 x _ 13 已知 5x ， 1y ，那么 x y x y _ 14 （ 1） 11 的最小值为 _ （ 2） 1 1 2 1 3x x x 的最小值为 _ 15 有理数 a 、 b 在数轴上对应的位置如图所示： ， 则代数 式1 111aa b a ba a a b b 的值为 （ ） A 1 B 0 C 1 D 2 16 若 22 1 0 ，则 2的值为 （ ） A 4 B 1 C 0 D 4 17 如图，已知数轴上点 A 、 B 、 C 所对应的数 a 、 b 、 c 都不 为 0 ，且 C 是 中点 如果 2 2 2 0a b a c b c a b c ， 那么原点 O 的位置在 （ ） A 线段 B 线段 延长线上 C 线段 D 线段 延长线 上 18 设 1m x x ，则 m 的最小值为 （ ） 0 O (A ) A 图 10-1 0 B 1 C 1 D 2 19 已知点 A 在数轴上对应的数为 a ，点 B 对 应 的数为 b ，且 24 1 0 ， A 、 B 之间的距离记作 （ 1） 求线段 长 （ 2） 设点 P 在数轴上对应的数为 x ，当 2B时，求 x 的值； （ 3） 点 P 在 A 的 左 侧， M 、 N 分别是 点 P 在 A 的左侧移动时，式子 M的值是否发生改变？若不变，请求其值；若发生变化，请说明理由 20 已知 a b c a b b c a b c ， 且 a 、 b 、 c 都不等于 0 ，求 x 的所有 可能值 应用探究乐园 21 绝对值性质 （ 1） 设 a 、 b 为有理数，比较 与 的大小 （ 2） 已知 a 、 b 、 c 、 d 是有理数， 9 ， 16 ，且 25a b c d ，求 b a d c 的值 22 已知 数轴 上 两点 A 、 B 对应的数分别为 1 ， 3 ，点 P 为数轴上一动点，其对应的数为 x （ 1） 若点 P 到点 A 、点 B 的距离相等，求点 P 对应的数 （ 2） 数轴上是否存在点 P ，使 点 P 到点 A 、 点 B 的距离之和为 5 ？若存在，请求出 x 的值； 若 不存在，请说明理由 （ 3） 当点 P 以每分钟 1个单位长的速度从 O 点向左运动时，点 A 以每分钟 5 个单位长的速度向左运动，点 B 以每分钟 20 个单位长的速度向左运动，问它们同时出发，几分钟后 P 点 到 点 A 、点 B 的距离相等？ 2 聚焦绝对值 问题解决 例 l 20 2 0 2 0 2 0 2 0 4 0y x b x x b x b x x b x ，当 20x 时， y 的值最小为 20 例 2 A 分 0a ， 0b ； 0a ， 0b ； 0a ， 0b ； 0a ， 0b 四种情况讨论 例 3 （ 1）由 20 ， 20a，得 2a ， 1b 原式 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 0 0 7111 2 2 3 3 4 2 0 0 7 2 0 0 8 2 2 3 2 0 0 7 2 0 0 8 2 0 0 8 2 0 0 8 （ 2）因 a 、 b 、 c 为整数，且 1a b c a ， 故 与 一个为 0 ，一个为 1，从而 1b c b a a c 所以，原式 1 1 0 2 例 4 （ 1）分别令 20x和 40x，分别求得 2x 和 4x ， 2x 和 4x 的零点值分别为 2x 和 4x （ 2）当 2x 时，原式 2 4 2 4 2 2x x x x x ；当 24x 时，原式 2 4 6 ；当 4x 时，原式 2 4 2 2x x x 综上讨论，原式 2 2 2 ,6 2 4 ,2 2 4 数学冲浪 1 2 2 2 或 8 3 0 4 12 5 B 1a ， 2a ， 3a ， 4a ， 5a ， 6a ， 7a ， 8a 对应的数分别为 0 ， 1 ， 1 ， 2 ， 2 ， 3 ， 3 ， 4 6 A 7 B 8 C 9 （ 1）原式 3333 （ 2）原式 2 3 21 2 12 3 1 10 3 ， 3 ； 4 1x ； 1或 3 12x 11 2 或 0 12 4 13 2 分 x ， y 同号、 x ， y 异号两种情形讨论 14 （ 1） 2 （ 2） 25