11_6435713_单级倒立摆的智能控制及其GUI动画演示.doc

1 存档日期： 存档编号： 论 文 题 目： 单级倒立摆的 智能控制及 画演示 姓 名： 系 别： 机电工程系 专 业： 电气工程及其自动化 班 级 、 学 号： 指 导 教 师： I 摘 要 倒立摆系统是一个典型的快速、多变量、非线性、 动态 系统，对 于 倒立摆的控制研究无论在理论上和方法上都有深远的意义。 本文主要研究内容是：首先概述自动控制的发展和倒立摆系统研究的现状；介绍倒立摆系统硬件组成，对单级倒立摆模型进行建模，并分析其稳定性 如何构成 ；研究倒立摆系统的几种控制 方式 ， 并 设计 出对应的 控制器，以 件为平台 为， 经行 大量的 模拟 仿真 实验 ， 对不同 控制方法的效果 及优缺点作出总结 ； 利用 件中的 件设计出模拟的倒立摆系统演示系统，让大家能直观的了解控制方法的作用。 关键词： 倒立摆， 制器 ， is a in of of of of on on of of UI In to of , 录 摘 要 . I . 绪论 . 1 题研究背景及意义 . 1 立摆系统介绍及其研究意义 . 1 论文的主要工作 . 2 2 单级倒立摆的数学模型 . 3 型的推导原理 . 3 级倒立摆系统描述 . 3 级倒立摆系统数学建模 . 4 章小结 . 5 3 最优控制方法设计 . 6 优控制概述 . 6 优控制器的 设计 . 7 优控制 真 . 10 章小结 . 14 4 单级倒立摆的 制系统设计 . 16 制概述 . 16 制系统设计的原理 . 17 杆角度控制 . 18 车位置控制 . 19 制算法的 真 . 20 章小结 . 24 5 基于 倒立摆 制动画演示 . 25 绍 . 25 示程序的构成 . 25 程序的实现 . 25 示界面的设计 . 26 示过程 . 27 章 小结 . 28 6 结论 . 29 致 谢 . 30 参考文献 . 31 附录 . 33 单级倒立摆的智能控制及 画演示 1 1 绪 论 题研究背景及意义 控制理论的发展，起于“经典控制理论”。早期最有代表性的自动控制系统是 18 世纪的蒸汽机调速器。 20 世纪前，主要集中在温度、压力、液位、转速等控制。 20 世纪起，应用范围 扩大到电压、电流的反馈控制，频率调节，锅炉控制，电机转速控制等。二战期间，为设计和制造飞机及船用自动驾驶仪、火炮定位系统、雷达跟踪系统及其他基于反馈原理的军用装备，促进了自动控制理论的发展。至二战结束时，经典控制理论形成以传递函数为基础的理论体系，主要研究单输入 性定常系统的分 析问题。经典控制理论的研 究对象是线性单输入单输出系统，用常系数微分方程来描述。它包含利用各种曲线图的频率响应法和利用拉普拉斯变换求解微分方程的时域分析法。这些方法现在仍是人们学习控制理论的入门之道 156。 立摆系统介绍及其研究意义 倒立摆控制系统 2是一个非线性动态系统 , 是作为理论教学及开展各种控制实验的理想平台。许多抽象的控制概念如控制系统的稳定性、可控性、系统收敛速度和系统抗干扰能力等，都可以利用倒立摆系统直接的展现出来。除了用于教学，在自动控制领域中，倒立摆系统的高阶次、不稳定、多变量、非线性和强耦合等特性使得许多现代控制理论的研究人员一直将它作为研究对象。他们通过对倒立摆系统的研究出新的控制方法，并将其应用于航天科技和机器人学等各种高新科技领域。倒立摆仿真或实物控制实验，已成为检验一个新的控制理论是否有效的试金石，同时也是产生一个新的控制方法必须依据的基础实验平台 3。 常见的倒立摆系统一般由小车和摆杆两部分构成，其中摆杆可能是一级、两级甚至多级。在复杂的倒立摆系统中，摆杆长度和质量均可变化。据研究的目的和方法不同，又有悬挂式倒立摆、球平衡系统和平行式倒立摆等 倒立摆的研究具有重要的工程背景。 机器人行走倒立摆系统。从日常生活中所见到的任何重心在上、也是支点在下的控制问题，到空间飞行器和各类伺服云台的 稳定，都和倒立摆系统的稳定控制有很大相似性，故对其稳定控制在实际中有很多用场，如海上钻井平台的稳定控制、卫星发射架的稳定控制、火箭姿态 单级倒立摆的智能控制及 画演示 2 控制、飞机 安全着陆、化工过程控制等 4。 论文的主要工作 一、 为了对被控对象有一个充分的认识，文中首先建立了倒立摆系统的数学模型，并线性化处理 了 在平衡点 的 系统，得到 了倒立摆 系统的线性化模型 ;在此模型 的基础上 ， 对 系统的稳定性、能控性和能观性 进行分析， 阐述了倒立 摆系统的运动规律和各个变量之间的相互关系。 二、 目前 有多种方法可以 稳定控制 倒立摆系统 ，本文 主要简述了两 种 常见 的控制器 ，包括 制和最优 制， 基于上述理论方法设计了控制器，并实现了对倒立摆的 真 ， 分析了它们的特点 。 三、 通过 的 具设计出倒立摆最优 制的模拟效果动画。 单级倒立摆的智能控制及 画演示 3 2 单级倒立摆的数学模型 型的推导原理 推导 控制系统的数学模型有两种 基本 方法。 方法一 ，对系统各部分的运动机理进行分析，根据它们所依据的物理规律 建立对应 的运动方程， 整合后即 成为描述整个系统的方程。 方法二 ， 通过 给系统施加某种测试 参数 ，记录其输出，并用适当的数学模型去逼近 ，这种方法适用于 系统运动 过程 复杂因而 难以 分析或不可能分析的情况。 系统的建模原则： （ 1） 建模之前，要 对 系统的特征和运动机理 进行一个全面细致的了解 ， 确定 研究 的目标以及系统对于 准确性要求，分析 时选用正确的方法 。 （ 2） 按照 确定的分析法 ， 确定建立何种数学模型 ； （ 3） 系统规定的误差范围内 ， 对分析方法的准确性进行考量 ，然后建立 简洁正确 的数学模型。 因为 倒立摆 有比较规则的 形状， 并且 是一个 极不 稳定 的动态系统， 且不能利用通过 测量 其频率特 性来 获取数学模型 ，因此非常适合利用 数学工具 对其进行 进行理论 推导 。 级倒立摆系统描述 在控制理论研究中经常把小车倒立摆系统作为研究对象，研究过程中 只要 认定是 小车倒立摆系统， 即认为 数学模型已经定型。 并且 小车倒立摆的数学模型与驱动系统有关， 因此此模型只适用于执行机构是直流电机的情况下，并不适用于交流电机驱动的倒立摆系统 。本文分析 的倒立摆系统即为直流电机作为动力核心 。小车倒立摆系统是检验控制方式好坏的一个典型对象，其特点是高阶次、不稳定、非线性、强耦合，只有采取有效的控制方式才能稳定控制。 1 单级倒立摆的智能控制及 画演示 4 图中 u 是施加于小车的水平方向的作用力， x 是小车的位移， 是摆的倾斜角。若不给小车施加控制力，倒摆会向左或向右倾斜，控制的目的是当倒摆出现偏角时，在 水平方向上给小车以作用力，通过小车的水平运动，使倒摆保持在垂直的位置。即控制系统的状态参数，以保持摆的倒立稳定 。 级倒立摆系统数学建模 为了建立倒立摆系统的数学模型，先作如下假设 : （ 1） 倒立摆与摆杆均为匀质刚体。 （ 2） 忽略 倒立摆运动过程中的 摩擦。 构参数 倒立摆是不稳定的，如果没有适当的控制力作用在它的上面，它将随时可能向 任何方向倾倒。这里只考虑二维问题，即认为倒立摆只在平面内运动。控制力u 作用于小车上。摆杆长度为 L，质量为 m，小车的质量为 M，小车瞬时位移为x，摆杆瞬时位置为 ( ) 在外力的作用下，系统产生运动。假 设摆杆的重心位于其几何中心。设输入为作用力 u，输出为摆角 。 统的运动方程 图 2系统中小车和摆杆的受力分析图。其中， N 和 P 为小车 与摆杆相互作用力的水平和垂直方向的分量。 注意：在实际倒立摆系统中 监测 和执行 机构 的正负方向已经 事先 确定， 因此得到如下 矢量方向定义图， 图中箭头所指 方向 即 为 倒立摆系统的 矢量正方向。 应用 法来建立系统的动力学方程过程如下： 分析小车水平方向所受的合力，可以得到方程： 小 车 a)小车隔离受力图 （ b）摆杆隔离受力图 图 2 单级倒立摆的智能控制及 画演示 5 通过对 摆杆水平方向的受力进行分析 可以得到下面等式： 22 ( s i n )dN m x （ 2 即： 2c o s s i nN m x m l m l 把这个等式代入上式中，就得到系统的第一个运动方程： s o s)( 2 （ 2 接下来推出 系统的第二运动方程，我们对摆杆垂直方向上的合力进行 了 分析，得到下面方程： 22 ( c o s )dP m g m （ 2 即： 2s i n c o sP m g m l m l （ 2 力矩平衡方程如下： c （ 2 注： 上式 中力矩的方向，由于 s in,c o sc o s, ，故等式前面有负号。 合并这两个方程， 经过处理 ，得到第二个运动方 程： c o ss i n)( 2 g （ 2 章小结 因为倒立摆系统具有非常典型的非线性、变量多以及不稳定性，以倒立摆系统作为被控对象的控制系统可以直观的表现许多抽象的控制概念。因此这一章的目的是建立单级倒立摆的数学模型，通过对倒立摆数学模型的推导，加深对系统建模和模型线性化问题的了解，同时对系统建立数学模型也是一个系统分析、设计的前提，一个准确又简练的数学模型可以极大的减少后期的工作量，降低解决问题的难度。 单级倒立摆的智能控制及 画演示 6 3 最优控制方法设计 优控制概述 控制系统的最优控制问题一般提法为：对于通过动态方程来描述的系统，在特定的初始和最终状态条件下，在系统所规定的控制系统集合中寻找一个控制，令测试系统的性能目标函数最优化。 最优控制问题的完整描述要包括以下个方面。 （ 1） 系统的动态方程，大多数情况下只需要有系统的状态方程。对于连续的系统，其状态方程为 , （ 3 对于离散系统，其状态方程为 ,1 （ 3 系统状态方程指出了系统内部状态由于系统控制输入的改变而变化，或者说是内部状态的一种约束关系。 （ 2） 系统状态的始端和终端条件。系统的状态方程定义了系统状态在整个控制过程中的约束关系，始端和终端条件却给出了系统状态在系统控制开始和结束时刻的约束条件。端点条件包括以下三种类型：固定端、自由端、和可变端。 固定端就是指时间和状态值都确定的端点。例 如，初始时间00固定就是称初始固定条件，而终端时间 其终端状态 固定就称终端固定条件。一般来说，最简单的状态就是始、终端都确定的状态。 自由端是指端点时间固定，但端点 的状态值不受任何限制。分为始端或终端自由两种。 可变端就是端点时间及其状态值都不确定的端点。但它一般都有一定的约束条件，例如 0 0, ff （ 3） 系统控制域。在实际控制系统中，控制输入 常是无法任意取值的，例如作为伺服电机，其输出力矩就有最大力矩的限制。因此多数最优控制问题 中，必须给定一个允许的控制域。 单级倒立摆的智能控制及 画演示 7 （ 4） 系统目标泛函，即系统的性能指标。因为最优控制问题中的性能指标一般都是一个函数的函数，即泛函，所以称系统目标泛函。 对于连续时间系统，目标泛函一般为 ,（ 3 对于离散时间系统，目标泛函一般为 10,3 以上泛函称为综合型，其第一部分表示对系统的终端状态的要求，而第二部分表示对系统的整个控制过程的要求。 如果系统目标泛函只取以上指标中的第一项，即 （ 3 或 （ 3 那么称为终端型性能指标。反之若只取其中第二部分，即 ,（ 3 或 10, （ 3 则称为积分型性能指标。 最优控制问题就是在上述（ 1），（ 2），（ 3）点所定义的问题空间内找到一个控制 使得系统目标泛函 J 达到最大或最小。这样的控制 称为系统的最优控制 ，将 代入系统方程就可以解得系统的状态轨迹 。 优控制器的设计 我们的输入是脉冲量，并且在设计控制器时，只 能对 摆杆 的 角度进行控制，而 对 小车的位移 并不做考量 。 但是 ，对一个倒立摆系统来说，把它作为单输出系统是 不严谨也不够科学 ， 因此如果将倒立摆 系统 作为 多输出系统 来设计 ，用状态空间法分析要相对简单一些，在这一 节 我们将设计一个对摆杆 角度 和小车位移都 单级倒立摆的智能控制及 画演示 8 进行控制的 系统 。 下面的公式即倒立摆系统的 状态方程 ： （ 3 设定 倒立摆 的 相关参数为： M 小车质量 g m 摆杆质量 g b 小车摩擦系数 *m*m T 采样时间 根据以上的 条件， 可建立如下的 状态方程系数矩阵： 01 8 1 4 2 1 0100 0001C； 00面来判断一下系统的能控能观性。 系统的能控矩阵的秩 23 4r a n k B A B A B A B 。 系统的能观矩阵的秩 23 4r a n k C C A C A C A 。 故系统是能控能观的。因此 通过给 系统加上最优控制器 可以 使得系统闭环稳定， 同时符合 暂态性能指标。 采用 优控制算法进行控制器设计时， 关键就是 取得 反馈向量 K 的值 ，而通过上节 推导 可知 ，设计系统状态反馈控制器时，主要的 问题 同样是 二次型性 能指标泛函中加权矩阵 Q 和 R 的 取值 。 如何才能 使问题 思路清晰并且 加权矩阵具有比较明确的物理意义 是设计关键。 在这里 我们 令 Q 取为对角阵。假设 44332211000000000000 这样得到的性能指标泛函为 单级倒立摆的智能控制及 画演示 9 022444233322222111 （ 3 由上式可以 看出，表了 对加 严格， 占据了更大 比重 的性能指标 ， 也就是减小了 r 是对控制量 u 的平方加权，当 r 相对较大时， 代表了 控制费用增加， 此时控制能量较小，反馈减弱， 系统动态反应迟缓，但是当 r 值 变 小时，系统 的 控制费用 也相应 减小， 此时 反馈增加，系统动态响应 更加 迅速。 由于 一阶倒立摆系统在运行过程中，系统的输出量 x 和 作为 主要的被控量，由于 11Q 代表小车位置的权重，而33因此在选取加权对角阵 Q 的各元素值时 ， 只选取 了 11Q 、33Q，而 04422 但是在 选取 Q 和 R 时需要注意 以下几点 ： （ 1）我们采用的系统模型是线性化的结果， 所以要求 系统能够在线性范围内 工作， 此时 各状态量不应过大。 （ 2） 为了 克服系统的非线性摩擦，闭环系统 需要 一对共轭 复数极点，但系统对噪声过于敏感 ，因此需要控制 系统主导极点的模 在一定范围内避免 系统频带过宽 ，导致 系统不能正常工作。 （ 3）加权矩阵 R 的减小，会导致大的控制能量，应注意控制 U 的大小 ，将系统执行机构的能力 控制在额定范围内 ， 避免 放大器处于 过 饱和状态。 控制系统如 图 3示，图中 R 是施加在小车上的阶跃输入，四个状态量分别 是 小车位移 x 、小车速度 x 、摆杆位置 和摆杆角速度 ，输出 ,括小车位置和摆杆角度。我们要设计 的目标是 ，当给系统施加一个阶跃输入时，摆杆会摆动， 但通过控制器的调整然后回到 垂直位置， 并且 小车到达新的命令位置。 x A x B xKy 图 3控制系统图 单级倒立摆的智能控制及 画演示 10 优控制 真 最优控制仿真程序如下： % 最优控制 % 确定开环极点的程序如下 M = 0.5;m = 0.2;b = I = g = l = 0.3;p = I*(M+m)+M*m*l2; A = 0 1 0 0;0 -(I+m*l2)*b/p (m2*g*l2)/p 0; 0 0 0 1;0 -(m*l*b)/p m*g*l*(M+m)/p 0; B = 0; (I+m*l2)/p; 0; m*l/p ; C = 1 0 0 0;0 0 1 0; D = 0; 0; p = ) % 求向量 K x = 1;y = 1; Q = x 0 0 0;0 0 0 0; 0 0 y 0 0 0 0 0; R = 1; K = ,B,Q,R) % 计算 (); B; C D; T = 0:; U = 0.2*); % 求阶跃响应并显示，小车位置为虚线，摆杆角度为实线 Y,X = c,c,T); ,Y(:,1),:,T,Y(:,2),-) 1）运行 以确定系统的开环极点为 0、 以看出有一个极点位于 S 平面的右半部分，这说明开环系统不稳定。 （ 2）在取 1011 44222211 ， 的条件下，得到反馈控制向量 4 5 9 5 6 0 K （ 3） 制的阶跃响应如图 3示。 其中，实线表示摆杆角度，虚线表示小车位置。从图中可以看出，系统响应 单级倒立摆的智能控制及 画演示 11 的超调量很小，而且摆杆的稳定和上升所消耗的时间偏长，小车向相反的方向移动是像预计的跟随摆杆移动。 0 0 . 5 1 1 . 5 2 2 . 5 3 3 . 5 4 4 . 5 5- 0 . 2 5- 0 . 2- 0 . 1 5- 0 . 1- 0 . 0 500 . 0 50 . 1C a r t P o s i t i o nP e n d u l u m A n g l 统响应曲线 可以发现， 在 Q 矩阵中，增加 11Q 降低摆杆稳定所消耗的时间和上升时间，并且使摆 杆的摆动幅度减小。在这里取 450011 Q ，在 15033 Q，则 2 0 . 2 2 61 0 2 . 3 4 0 53 6 . 2 5 4 7 . 0 8 2-=K 响应曲线如图 3示。 单级倒立摆的智能控制及 画演示 12 0 0 . 5 1 1 . 5 2 2 . 5 3 3 . 5 4 4 . 5 51 0a r t P o s i t i o nP e n d u l u m A n g l 统响应曲线 此时，如果再增加 11Q 和33统的响应还会改善。但在保证 11Q 和33统响应已经满足要求了。 上述的设计中，是在输出信号得到反馈之后与系数矩阵 K 相乘，然后再减去输入量，即可得到控制信号。但是，这样会导致输入和反馈的量纲相异，因此为了不发生这样的矛盾，我们可以给输入乘以一个增益 图 3示 x A x B xKR y 制系统框图 此时具有量纲匹配的最优控制 真文件 下： % 最优控制（量纲匹配） % 确定开环极点的程序如下 M = 0.5;m = b = = g = 单级倒立摆的智能控制及 画演示 13 l = I*(M+m)+M*m*l2; A = 0 1 0 0; 0 -(I+m*l2)*b/p (m2*g*l2)/p 0; 0 0 0 1; 0 -(m*l*b)/p m*g*l*(M+m)/p 0; B = 0; (I+m*l2)/p; 0;m*l/p ; C = 1 0 0 0;0 0 1 0; D = 0;0; p = ); % 求向量 K x = 5000; y = 100; Q = x 0 0 0; 0 0 0 0; 0 0 y 0 0 0 0 0; R = 1; K = ,B,Q,R) % 计算 制矩阵 (); B; C; D; % 计算增益 n = 1 0 0 0; ,B,K); ; % 求阶跃响应并显示，小车位置为虚线，摆杆角度为实线 T = 0:; U = 0.2*); Y,X = c,c,T); ,Y(:,1),:,T,Y(:,2),-) 仿真的过程中需要用到输入 /输出匹配系数函数 于它不是 此需要将其拷贝到 件中，并将其与源文件 起复制到 作区内，方可正常仿真， 下： % 求取输入输出匹配系数 = ,B,C,D,K) s = ,1); Z = 1,s) 1; N = A,B;C,D)*Z; N(1:s); 单级倒立摆的智能控制及 画演示 14 N(1+s); K*% 用函数 计算 N ，运行程序，计算出： K = ) =0= n al eN ba r 可以看出，事实上 K 向量中与小车位置 x 对应的那一项相等。此时系统的响应曲线如图 3 0 0 . 5 1 1 . 5 2 2 . 5 3 3 . 5 4 4 . 5 5- 0 . 2- 0 . 1 5- 0 . 1- 0 . 0 500 . 0 50 . 10 . 1 50 . 20 . 2 5C a r t P o s i t i o nP e n d u l u m A n g l 系统响应曲线 从系统曲线上反映出，小车位置跟踪输入信号，并且摆杆超调足够小，稳态误差满足要求，上升时间和稳定时间也符合了设计指标。 章小结 最优控制理论是现代控制理论中的重要内容，过去因为许多复杂的计算难以实现，但随着计算机技术的不断进步，复杂的计算可以通过计算机进行处理，因此最优控制 在工程技术应用的越来越广泛。 而最用控制算法（ 目的是在一定性能指标下，使系统获得最佳的控制效果，达到最小的状态误差。 在仿真的过程中我首先对倒立摆系统如何缩短稳定时间和上升时间进行了仿真，通过不断的调试，使得系统的响应时间满足了设计要求。然后为了使系统 单级倒立摆的智能控制及 画演示 15 输入和反馈的量纲相互匹配，给输入乘以了增益 后进行仿真之后使得小车位置跟踪输入信号，而且摆杆超调最够小，稳态误差满足了要求，上升时间和稳定时间也满足设计指标。 单级倒立摆的智能控制及 画演示 16 4 单级倒立摆的 制系统设计 制概述 在工业自动 化设备中，常采用由比例、积分、微分控制策略形成的校正装置作为系统的控制器。 自从计算机进入控制领域以来，用数字计算机代替模拟计算机调节器组成计算机控制系统 ， 可以用软件 编写 实现 制算法， 并且运用 计算机的逻辑功能，更加灵活 的控制工业中的自动化设备 。在生产过程中数字制 器 是一种 比较常见 的控制 器 ， 它通过 将偏差的比例、积分、和微分 进行线性组合 由此 构成控制量，对被控对象进行控制， 因此被 称为 制器。 制器 至今依旧 是应用最广泛的工业控制器。 制简单易懂，使用中不需精确的系统模型等先决条件，因 而成为应用最为广泛的控制器。 当今的自动控制技术都是基于反馈的概念。反馈理论包括 三个要素 ：测量、比较和执行。 反馈的过程就是 测量关心的变量， 和 期望值 进行比对 ， 得到 误差 后调节控制系统的响应。 制由比例单元（ P）、积分单元（ I）和微分单元（ D）组成。其输入 e (t)与输出 u (t)的关系为 01 ( )d e tu t K e t e t d t TT d t （ 4 因此它的传递函数为： ( ) ( )( ) ( )1+1=（ 4 需设定三个参数（ 可。在很多情况下，并不一定需要全部三个单元，可以取其中的一到两个单元，但比例控制单元是必不可少的。 制之所以广泛使用： 首先， 用范围广。虽然很多工业过程是非线性或时变的，但通过简化可以变成基本线性和动态特性不随时间变化的系统，这样 可控制了。 其次， 数较易整定。也就是， 数 以根据过程的动态特性及时整定。如果过程的动态特性变化，例如可能由负载的变化引起 系统动态特性变化， 数就可重新整定。 单级倒立摆的智能控制及 画演示 17 第三， 制在实践中也不断的得到改进 。 在一些情况下针对特定的系统设计的 制控制得很好，但它们仍存在一些问题需要解决 。比如： 在以 模型为基础 的自整定中 ， 如何替 数的重新整定 实时 寻找 并 保持好过程模型 是比较困难的 。闭环工作时， 如果控制 过程中插入一个测试信号。 此时 制器就会产生 扰动，所以基于模型的 数自整定在工业应用不是太好。 在 基于控制律的 自整定中 ， 难以区分干扰是由负载变化还是由过程动态特性变化 引起 的 ，因此 在 干扰的影响 下 控制器会 发生 超调， 造 成系统产生一个多余的自适应转换。另外， 目前还没有一个比较 成熟的方法 来对 基于控制律的系统 进行稳定分析 ， 所以 参数整定 并不是完全可靠， 因此，许多 系统本身 整定参数的 动整定通常是指根据开环状态确定的简单过程模型自动计算 数。 但 旧存在不可弥补的 缺点： 控制非线性、时变、耦合 或者当 参数和结构 呈现动态的 复杂 过程中 ，发挥 地不是太好。最重要的是，如果 制器控制 的 过程 过于复杂 ， 此时无论如何调整 参数 作的效率都不太尽如人意。 即便存在 这 些缺点， 依旧是最简单 最 高效 的控制 方法。 制系统设计的原理 在模拟控制系统中，控制器中最常用的控制规律是 制