吉林省长春市2017届高三质量监测数学理科试题（四）含答案

长春市普通高中 2017 届高三质量监测（四） 数学（理科） 一选择题：本大题共 12 小题，每小题 5分，共 60 分 且只有一项符合题目要求 . 虚数单位，则 234i i i i A. 0 B. i C. 2i D. 1 21| 4 1 2 , | 2 8xA x x x x B x ，则 B A. |4 B. |4 C. |2 D. | 2 4x x x 或 2 1=2 - 1 , x - 1 ，则函数 A. 1, B. 1, C. 1 ,2 . 下面四个残差图中可以反映出回归模型拟合精度较好的为 A. 图 1 B. 图 2 C. 图 3 D. 图 3 63 年左右，我国古代数学家刘徽用圆内接正多边形 的面积去逼近圆的面积求圆周率 ，刘徽称这个方法为“割圆术”，并且把“割圆术”的特点概括为“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣” 圆术”思想设计的一个程序框图 序 ， 则 输 出 的 n 的 值 为 ： （ 参 考 数 据 ：3 1 . 7 3 2 , s i n 1 5 0 . 2 5 8 8 , s i n 7 . 5 0 . 1 3 0 5 ） A. 48 B. 36 C. 30 D. 24 c o s 2 s i n 2f x x x的 图象向左平移8个单位后得到函数 下列说法中正确的是 A. 小值为 B. 小值为 C. 小值为 2 D. 小值为 2 该几何体的表面积为 A. 6 4 2 2 6 B. 4 6 2 2 5 C. 4 2 5 2 6 D. 4 6 2 2 6 022的展开式中， x 项的系数为 A. 152B. 152C. 15 D. 城市的火车站春运期间日接送旅客人数 X （单位：万）服从正态分布 26 , 0 则 日 接 送 人 数 在 6 万到 之 间 的 概 率 为（ 0 . 6 8 2 6 , 2 0 . 9 5 4 4 , 3 0 . 9 9 7 4P X P X P X ） A. B. C. 10. 球 面 上有 A,B,C 三点 ， 球 心 O 到平 面 距 离 是球 半 径的 13，且2 2 ,A B A C B C，则球 O 的表面积是 A. 81 B. 9 C. 814 22: 1 0 , 0a 的两个焦点， P 是双曲线 C 上的一点，若126P F P F a，且12最小内角的大小为 30 ，则双曲线 C 的渐近线方程为 A. 20 B. 20 C. 20 D. 20 22 x k ，若 2x 是函数 实数 k 的取值范围为 A. ,e B. 0,e C. ,e D. 0,e 二、填空题：本大题共 4小题，每小题 5 分，共 20 分 . 13. 已知实数 , 2 01 ，则 2z y x 的最小值为 . 14. 若非零向量 ,a b a b ，则向量 , . 15. 已知锐角三角形 ，角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c， 2 s i n 3 , 2 , 3a B b b c ，角 A 的平分线， D 在 ，则 . 16. 有甲、乙两人去看望高中数学张老师，期间他们做了一个游戏，张老师的生日是 m 月 老师把 m 告诉了甲，把 n 告诉了乙，然后张老师列出了如下 10 个日期供选择： 2 月5 日， 2 月 7 日， 2 月 9 日， 5 月 5 日， 5 月 8 日， 8 月 4 日， 8 月 7 日， 9 月 4 日， 9 月 6 日，9 月 9 日 说：“我不知道，但你一定也不知道”，乙听了甲的话后说，“本来我不知道，但现在我知道了”，甲接 着说“哦，现在我也知道了”，请问：张老师的生日是 . 三、解答题：本大题共 6小题，共 70 分 算过程 . 17.（本题满分 12 分） 等差数列 n 项 和 为列 比 数 列 ， 满 足1 1 2 2 5 2 33 , 1 , 1 0 , 2 .a b b S a b a ， （ 1）求数列 （ 2）若 2 , 为 奇 数为 偶 数，设数列 n 项和为218.（本题满分 12 分） 某市对大学生毕业后自主创业人员给予小额贷款补贴，贷款期限分为 6 个月， 12 个月， 18个月， 24 个月， 36 个月五种，对于这五种期限的贷款政府分别补贴 200 元、 300 元、 300元、 400 元、 400 元，从 2016 年享受此项政策的自主创业人员中抽取了 100 人进行调查统计，选取贷款期限的频数如下表： 以上表中各种贷款期限的频率作为 2017 年自主创业人员选择各种贷款期限的概率 . （ 1）某大学 2017 年毕业生中共有 3 人准备申报此项贷款，计算其中恰有两人选择贷款期限为 12 个月的概率； （ 2）设给某享受此项政策的自主创业人员补贴为 X 元，写出 X 的分布列；该市政府要做预算，若预计 2017 年全市有 600 人 申报此项贷款，则估计 2017 年该市共要补贴多少万元 . 19.（本题满分 12 分） 如图，四棱柱1 1 1 1A B C D A B C D中，底面 菱形，1面 E 为 1 （ 1）证明：平面 平面 （ 2）若二面角 D 为 60 ，1 1,B求三棱锥 C 的体积 . 20.（本题满分 12 分） 如图，在矩形 ， 4 , 2 ,A B A D O为 中点， ,D ,上的点，且满足： C; 直线 交点在椭圆 22: 1 0a 上 . （ 1）求椭圆 E 的方程； （ 2）设 R 为椭圆 E 的右顶点， M 为椭圆 E 第一象限部 分上一点，作直于 y 轴，垂足为 N,求梯形 面积的最大值 . 21.（本题满分 12 分） 已知函数 2 x x e （ 1）当 0a 时，讨论函数 （ 2）在（ 1）的条件下，求函数 0,1 上的最大值； （ 3）设函数 x xg x ，求证：当 1a 时，对 0 , 1 , 2x g x x f x 恒成立 . 请考生在第 22、 23两题中任选一题作答，如果多做，则按照所做的第一题计分 . 22.（本题满分 10 分）选修 4坐标与参数方程 在平面直角坐标系 ，以坐标原点 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 1坐标方程为，曲线22 2 c o s:2 s i （ 为参数） . 的极坐标方程为，曲线（为参数） . （ 1）求曲线1 （ 2）极坐标系中两点 1 0 2 0, , , 2 都在曲线1221211 的值 . 23.（本题满分 10 分）选修 4等式选讲 （ 1 ） 已 知 函 数 10f x x x a a ， 若 不 等 式 5的 解 集 为 | 2 3x x x 或 ，求 a 的值； （ 2）已知实数 ,a b c R，且 a b c m ，求证： 1 1 1 9 b a c c b m 长春市普通高中 2017 届高三质量监测（四） 数学（理科）参考答案与评分标准 一、选择题（本大题共 12小题，每小题 5分，共 60分） 1. A 2. B 3. B 4. A 5. D 6. C 7. D 8. B 9. D 10. B 11. A 12. A 简答与提示： 1. 【命题意图】 本题考查复数的基本概念及运算 . 【试题解析】 A 由 2 1i 可知，原式 1 1 0 . 故选 A. 2. 【命题意图】 本题考查集合交、补运算 . 【试题解析】 B 由 | 2 4 A x x x 或 ， | 4B x x， 故 ( ) | 4 A B x x. 故选 B. 3. 【命题意图】 本题考查分段函数的图像与性质 . 【试题解析】 B 根据分段函数的 ()函数的 值域 为 ( 1, ) . 故选 B. 4. 【命题意图】 本题考查统计学中残差图的概念 . 【试题解析】 A 根据残差图显示的分布情况即可看出图 1显示的残差分布集中，拟合度较好，故选 A. 5. 【命题意图】 本题依据中华传统文化算法割圆术考查程序框图 . 【试题解析】 D 运行算法可获得结果 24，故选 D. 6. 【命题意图】 本题主要考查三角变换公式与三角函数的图像与性质 . 【试题解析】 C 由 ( ) c o s 2 s i n 2 2 c o s ( 2 )4f x x x x ，则( ) 2 c o s ( 2 ( ) ) 2 c o s ( 2 ) 2 s i n 28 4 2F x x x x . 故选 C. 7. 【命题意图】 本题考查三视图 . 【试题解析】 D 由图形补全法 ， 将图形补全为长方体，进而 获得 该 几何体的直观图 ，再求得 该几何体的表面积为 ： 1 1 1 12 2 2 2 4 2 2 2 3 4 2 2 4 6 2 2 62 2 2 2S . 故选 D. 8. 【命题意图】 本题考查二项式相关问题 . 【试题解析】 B 102()2x x的展开式中， x 的系数是 7 7 3102 1 5( ) ( )22 . 故选 B. 9. 【命题意图】 本题主要考查正态分布的相关知识 . 【试题解析】 D 0 . 6 8 2 6( 6 6 . 8 ) 0 . 3 4 1 32 . 故选 D. 10. 【命题意图】 本题主要考查球内的几何体的相关性质 . 【试题解析】 B 由题可知 直径，令球的半径为 R ，则2 2 2( ) ( 2 )3，可得 32R ，则球的表面积为 249. 故选 B. 11. 【命题意图】 本题考查双曲线的定义 . 【试题解析】 A 不妨设 12| | | |F ，则 12| | | | 2| | | | 6P F P F P F a，则 1| | 4PF a ，2| | 2PF a ，且 12| | 2FF c ，即 2|最小边，即 12 30，则 12直角三角形，且 2 2 3，即渐近线方程为 2 ， 故选 A. 12. 【命题意图】 本题是考查函数与导数的应用问题 . 【试题解析】 A 已知22( ) ( l n )x k ， 则 3 2( ( )e k ， 当 0x 时， 0xe 恒成立 ，因此 . 故选 A. 二、填空题（本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分） 13. 2 14. 1415. 37516. 8月 4日 简答与提示： 13. 【命题意图】 本题考查线性规划的相关知识 . 【试题解析】由题意可先画出 可行域，再由目标函数的几何意义，判断最优解为 (1,0)故， z 的最小值为 2 . 14. 【命题意图】本题考查向量的运算和几何意义 . 【试题解析】 由题意 2 2 2 2| | | | | | | | 2 a a b a b a b，则 220| b | ， 即 22 | | | | c o s | | a b b，故 1. 15. 【命题意图】 本题考查解三角形的问题 . 【试题解析】由正弦定理可得 2 s i n s i n 3 s i B ，可得3A ，由余弦定理可得7， 再 根据角分线定理可知， 375. 16. 【命题意图】 本题考查学生的逻辑推理能力 . 【试题解析】根据 甲说“我不知道，但你一定也不知道”， 可排除 5月 5日、 5月 6日、 9月 4日、 9月 6日、 9月 9日； 乙听了甲的话后，说“本来我不知道，但现在我知道了”， 可排除 2月 7日、 8月 7日；甲接着说“哦， 现在我也知道了”， 现在可以得知张老师生日为 8月 4日 . 三、解答题 17. (本小题满分 12分 ) 【命题意图】 本题考查等差数列、等比数列的相关知识 . 【试题解析】 (1)设等差数列 公差为 d ，等比数列 公比为 q . 1 1 2 2 5 2 33 , 1 , 1 0 , 2a b b S a b a= = + = - =Q 3 3 1 03 + 4 2 3 2q + + = - = +（ 2分） 2, 2= = （ 4分） 12 1 , 2 n b - = + = （ 6分） （ 2）由（ 1）知， ( 3 2 1 ) ( 2 )2n n n+= = +（ 8分） 111 ,22, += 为 奇 数为 偶 数（ 9分） 1 3 5 2 12 1 1 1 1 1( 1 ) ( 2 2 2 2 )3 3 5 2 1 2 1 = - + - + 鬃 ? - + + + + 鬃 ?-+ 211 2 13 2 1=-+. （ 12分） 18. (本小题满分 12 分 ) 【命题意图】本小题主要考查学生对概率统计知识的理解，同时考查学生的数据处理能力 . 【试题解析】 (1)由题意知，每 人 选择贷款期限为 12个月的概率为 25， （ 2分） 所以 3人 中恰有 2人 选择此贷款的概率为 223 2 3 3 6()5 5 1 2 5鬃 =（ 6分） (2)由题意知，享受补 贴 200元的概率为1 15P=,享受补 贴 300元的概率为2 35P=， 享受补 贴 400元的概率为3 15P=，即随机变量 X 的分布列为 （ 9分） X 200 300 400 P 153515（ 10分） 2 0 0 9 0 0 4 0 0( ) 3 0 0555= + + =， 6 0 0 3 0 0 1 8 0 0 0 0w =? 元 . 所以， 2017年政府需要补 贴 全市 600人 补贴款 18万元 . （ 12分） 19. (本小题满分 12分 ) 【命题意图】本题以四棱柱为载体，考查平面与平面垂直，以及二面角、体积等问题 . 【试题解析】 （ ） 证明：连接 设 交点为 F ，连接 因为 E 为 1 F 为 点，所以 1/B ，所以 平面 又因为 平 面 ，所以平面 平面 （ 6分） （ ） 由于四边形 菱形，所以以 F 为坐标原点， 分别以 ,，建立空间直角坐标系， 设 FA a ， FD b ， 有 221， ( ,0,0)， ( ,0,0) (0, ,0)1(0,0, )2E ，有 1( , 0, )2AE a ， ( , , 0 )AD a b ， 设平面 法向量为1 ( , , 2 )n b a ，平面 0,1,0)n ， （ 8分） 由题意知 121212| | 1c o s 6 0 | c o s , |2| | | | ，解得 22. （ 10分） 所以菱形 正方形， 所以三棱锥 C 的体积 1 1 13 2 1 2V E F A D C D . （ 12分） 20. (本小题满分 12分 ) 【命题意图】本小题考查椭圆的标准方程 及面积最值问题 ，考查学生的逻辑思维能力和运算求解能力 . 【试题解析】 （ ）设 点 C 为 ( , ) 1( 2, )， 1( ,2)由题可知， 1 1 112 2,2 4 2 2 2 4y x x x ， （ 4分） 从而有 422，整理得 2 2 14x y，即为椭圆方程 . （ 6分） （ ） (2,0)R ，设 00( , )M x y ，有 2001 42， 从而所求梯形面积001 ( 2 )2S x y 22001 ( 4 ) ( 2 )4 ， （ 8分） 令 02 , 2 4t x t ， 341 44S t t， 令 3 4 2 3 24 , 1 2 4 4 ( 3 )u t t u t t t t ， （ 10分） 当 (2,3)t 时， 344u t t单 调递增， 当 (3,4)t 时， 344u t t单调递减，所以当 3t 时 S 取最大值 334. （ 12分） 21. (本小题满分 12分 ) 【命题意图】 本小题主要考查函数与导数的知识，具体涉及到导数的运算，用导数来研究函数的单调性等，考查学生解决问题的综合能力 . 【试题解析】 （ ） 2( ) ( 2 )x e a x x ，令 ( 0 可得， 0x 或 2. （ 2分） 又 0a ，则可知 () ,0) 和 2( , )a 上单调递减；在 20, a上单调递增 . （ 4分） （ ）在（ ）条件下，当 2 1a ，即 20a 时， ()0,1 上单调递增， 则 ()1) ； （ 6分） 当 2 1a，即 2a 时， ()0, a单调递增，在 2( , )a 上单调递减， 则 ()224() . （ 9分） （ ）要证 ( ) ( ) 2g x xf x，即证 3 2 ) 2x ， （ 10分） 令 3( ) ( 2 ) xh x x e ，则 3 2 2( ) ( 3 2 ) ( 1 ) ( 2 2 )x x x e e x