福建省三明市2017届高中毕业班5月质量检查理科数学试题含答案

2017 年三明市普通高中毕业班质量检查 理科数学 第 卷 一、 选择题：本大题共 12 小题 ， 每小题 5 分 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1 已知集合 | 1 2 1 6 ， | B x x a，若 A B A ， 则实数 a 的取值范围是（ ） A 4a B 4a C 0a D 0a 2 已知 i 是虚数单位，则 复数 134的共轭复数在复平面内对应的点所在的象限为 （ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 3 6 名同学合影留念，站成两排三列，则其中甲乙两人不在同一排也不在同 一列的概率为（ ） A 15B 25C 49D 454 设 12, 22: 1 0 , 0xy 的左、右焦点， P 为 上一点， 2 线 1斜率为 34，则双曲线 的渐近线方程为 （ ） A B 2 C 3 D 2 5 执行如图所示 的 程序框图，运行相应的程序，若输入 x 的值为 2，则输出 S 的值为 （ ） A 64 B 84 C 340 D 1364 6 已知数列 前 n 项和为 且 1 1a ， *1 2 a n N ，则 2016S （ ） A 10083 2 3 B 201621 C 200923 D 200823 7 已知函数 ( ) s i n 2 c o sf x x x 0 的图象关于直线 x 对称，则 （ ） A 35B 35C 45D 458 在区域 0, | 11xx y x 中，若满足 0ax y 的区域 面积 占 面积的 13，则实数 a 的值是 （ ） A 23B 12C 12D 239 在四面体 ，若 3A B C D， 2D， 5A D B C， 则直线 D 所成角的余弦值为 （ ） A 13B 14C 14D 1310 函数 2|1 | |() 2xx n 的图象大致是 （ ） A B C D 11 已知 12,2: 1 ( 0 )a 的左、右焦点，点 P 在椭圆 C 上，线段 2 2 2相切于点 Q ， 且点 Q 为线段 2中点，则 22其中 e 为椭圆 C 的离心率）的最小值为 （ ） A 6 B 364C 5 D 35412 “牟合方盖”是我国古代数学家刘微在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体，它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一圆柱的侧面上，好似两个扣合（牟合）在一起的方形 伞（方盖） 如图，正边形 为体现其直观性所作的辅助线，若该几何体的正视图与侧视图都是半径为 r 的圆，根据祖暅原理，可求得该几何体的体积为（ ） A 383383 rC 31633163 r第 卷（共 90 分） 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分 13 已知向量 , 3,1a ， | | 1b ，且 ，则实数 14 511ax x的展开式中 2x 的系 数是 20，则实数 a 15 已知函数 2 c o sf n n n ，数列 足 1 ( )na f n f n n N ， 则1 2 2 na a a 16 对于定义域为 R 的函数 满足 00f ；当 ， 且 0x 时，都有 0xf x ；当 12，且 12f x f x 时 ， 120，则称 对称函数” 现给出四个函数： 211( ) ( 0 )2 1 20 ( 0 )x ； 1 1 ( 0 )2 ( 0 )n x ； 3232x x x ； ( ) 1xx e x 则其中是“偏对称函数”的函数个数为 三、解答题 ：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 在 中，角 ,对的边分别为 , 60B ， 4c （）若 6b ，求角 C 的正弦值及 的面积； （）若 ,C 上，且 E ， 23D ， 求 长 18 如图，在四棱锥 P 中，侧面 底面 底面 平行四边形，45， 2P， 22A B D P， E 为 中点，点 F 在线段 （）求证： C ； （）试确定点 F 的位置，使得直线 平面 成的角和直线 平面 成的角相等 19 某市政府为了引导居民合理用水，决定全面实施阶梯水价，阶梯水价原则上以住宅（一套住宅为一户）的月用水量为基准定价：若用水量不超过 12 吨时，按 4 元 /吨计算水费；若用水量超过 12 吨且不超过 14 吨时，超过 12 吨部分按 /吨计算水费；若用水量超过14 吨时，超过 14 吨部分按 /吨计算水费 为了了解全市居民月用水量的分布情况，通过抽样，获得了 100 户居民的月用水量（单位：吨），将数据按照 0 , 2 , ( 2 , 4 , , (1 4 , 1 6 分成 8 组，制成了如图 1 所示的频率分布直方图 （）假设 用 抽到的 100 户居民月用水量作为样本估计全市的居民用水情况 （ ） 现从全市居民中依次随机抽取 5 户，求这 5 户居民恰好 3 户居民的月用水用量都超过12 吨的概率； （ ） 试估计全市居民用水价格的期望（精确到 （）如图 2 是该市居民李某 2016 年 1 6 月份的月用水费 y （元）与月份 x 的散点图，其拟合的线性回归方程是 2 33 若李某 2016 年 1 7 月份水费总支出为 ，试估计李某 7 月份的用水吨数 20 已知椭圆 22: 1 ( 0 )xy 的右焦点 (1,0)F ， 椭圆 的左，右顶点分别为,过点 F 的直线 l 与椭圆交于 , 的面积是 的 面积的 3 倍 （）求 椭圆 的方程； （）若 x 轴垂直， , 上位于直线 侧的动点，且满足 ， 试问直线 斜率是否为定值，请说明理由 21 已知函数 22( ) ( 2 1 )xf x e a x x ， （）当 4a 时，求证：过点 (1,0)P 有三条直线与曲线 y f x 相切； （）当 0x 时， ( ) 1 0 ，求实数 a 的取值范围 请考生在（ 22）、（ 23）两题中任选一题作答 注意：只能做所选定的题目 如果多做，则按所做第一个题目记分，做答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑 22 选修 4标系与参数方程 在平面直角坐标系 ， 以 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，若直线 l 的极坐标方程为 2 c o s ( ) 2 04 ，曲线 C 的极坐标方程为： 2s in c o s ，将曲线 坐标不变，然后再向右平移一个单位得到曲线 1C （）求曲线 1C 的直角坐标方程； （）已知直线 l 与曲线 1C 交于 , (2,0)P ， 求 | | | |B 的值 23 选修 4等式选讲 已知函数 ( ) | 2 | | 2 1 |f x x a x ， （）当 3a 时，求关于 x 的不等式 ( ) 6的解集； （）当 时， 2( ) 1 3f x a a ，求实数 a 的取值范围 试卷答案 一、选择题 1 6 11、 12： 、填空题 13 2 14 2 15 2n 16 2 三、解答题 17 解：（） 60B ， 4c ， 6b ， 在 中，由正弦定理 得 34s i n 32s i ， 又 ，所以 ，则 C 为锐角，所以 6， 则 s i n s i n ( )A B C s i n c o s c o s s i B C 3 6 1 3 3 2 32 3 2 3 6 ， 所 以 的面积 1 3 2 3s i n 1 2 6 2 2 326S b c A （）设 BD x ，则 2BE x ， 23AE x ，又 60B ， 4c ， 在 中，由余弦定理得 221 2 1 6 4 2 4 2 c o s 6 0x x x ， 即 28 16 8，解得 1x ， 则 2， 所以 90， 在直角 中， 22 1 2 1 1 3A D A E D E 18 解：（）证明：在平行四边形 ，连接 因为 22， 2，45， 由余弦定理得 2 8 4 2 2 2 2 c o s 4 5 4 ，得 2， 所以 90， 即 C ， 又 /C ， 所以 C ， 又 2P， 22，所以 D ， C A ， 所以 平面 所以 C （）侧面 底面 D ， 所以 底面 所以直线,D 两互相垂直，以 A 为原点，直线 ,D 坐标轴，建立如图所示空间直角坐标系 A ，则 (0,0,0 ), ( 2,0,0 ), (0,2,0 ),A D C (2,2 0 ), ( 1,1,0 ), (0,0,2 )B E P ，所以 ( 0 , 2 , 2 )， ( 2 , 0 , 2 ) ， ( 2 , 2 , 2 )， 设 ( 0 , 1 )， 则 ( 2 , 2 , 2 ) ， ( 2 , 2 , 2 2 )F ， 所以 ( 2 1 , 2 1 , 2 2 ) ， 易得平面 法向量 (0, 0,1)m 设平面 法向量为 ( , , )n x y z ， 由 0n ， 0n ， 得 2 2 02 2 0 ，令 1x ，得 (1,1, 1)n 因为直线 平面 成的角和此直线与平面 成的角相等， 所以 | c o s , | | c o s , |E F m E F n ，即 | | | | | | | | | | |E F m E F m E F n，所以62| 2 2 | | |3 ， 即 3 | 1 | | 3 1 | ，解得 33，所以 33 19 解：（）（）由题意，从全市居民中依次随机抽取 5 户，每户居民月用水量超过 12吨的概率为 110，因此这 5 户居民恰好 3 户居民的月用水量 都 超过 12 吨的概率为 3 3 25 1 9 8 1( ) ( )1 0 1 0 1 0 0 0 0 （）由题设条件及月均用水量的频率分布直方图，可得居民每月的水费数据分组与概率分布表如下： 月用水量 x （吨） (0,12 (12,14 (14,16 价格 X (元 /吨 ) 4 率 P 以全市居民用水价格的期望 ( ) 4 0 . 9 4 . 2 0 . 0 6 4 . 6 0 . 0 4 4 . 0 4 吨 （）设李某 2016 年 1 6 月份的月用水费 y （元）与月份 x 的对应点为( , ) ( 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 )y i ，它们的平均值分别为 , 1 2 6 2 1 6x x x x ，又点( , )直线 2 33上，所以 40y ，因此 1 2 6 240y y y ，所以 7 月份的水费为 2 9 4 4 0 5 4 元 设居 民月用水量为 t 吨，相应的水费为 ()，则 4 0 1 2( ) 4 8 ( 1 2 ) 6 . 6 1 2 1 46 1 . 2 ( 1 4 ) 7 . 8 1 4 1 6t t ，即4 0 1 2( ) 2 6 . 6 3 1 . 2 1 2 1 47 . 8 4 8 1 4 1 6t t t ， 当 13t 时， ( ) 6 . 6 1 3 3 1 . 2 5 4 . 6 ， 所以李某 7 月份的用水吨数约为 13 吨 20 解法一：（）因为 的面积是 的面积的 3 倍， 所以 3F ， 即 3( )a c a c ，所以 22，所以 2 3b ， 则椭圆 的方程为 22143 （）当 ， 则 0， 设直线 斜率为 k ，则直线 斜率为 k ， 不妨设点 C 在 x 轴上方， 3(1, )2C， 设 1 1 2 2( , ) , ( , )A x y B x y， 则 直线方程为 3 ( 1)2y k x ，代入 22143中整理得 22( 3 4 ) 4 ( 2 3 )k x k k x 24 1 2 3 0 ， 1 24 ( 2 3 )1 ( 3 4 )k ； 同理2 24 ( 2 3 )1 ( 3 4 )k 所以 212 286( 3 4 )，12 224( 3 4 )k ， 则 1 2 1 21 2 1 2( ) 2 12y k x x kk x x x x ， 因此直线 斜率是定值 12 解法二： （）同解法一 （）依题意知直线 斜率存在，所以设 程： y kx m代入 22143中整理得 2 2 2( 4 3 ) 8 4 1 2 0k x k m x m ， 设 1 1 2 2( , ) , ( , )A x y B x y， 所以12 2843k ， 212 24 1 243k ， 2 2 2 26 4 4 ( 4 3 ) ( 4 1 2 )k m k m 221 6 (1 2 3 9 ) 0 当 ， 则 0， 不妨设点 C 在 x 轴上方， 3(1, )2C， 所以 12123322011，整理得1 2 1 232 ( ) ( ) 2 3 02k x x m x x m ， 所以 224 1 2 32 ( )4 3 2 28( ) 2 3 043km ， 整理得 21 2 1 2 ( 2 ) 9 6 0k m k m ， 即 ( 6 3 ) ( 2 2 3 ) 0k k m ，所以 2 2 3 0 或 6 3 0k 当 2 2 3 0 时，直线 定点 3(1, )2C，不合题意； 当 6 3 0k 时， 12k，符合题意， 所以直线 斜率是定值 12 21 解法一：（）当 4a 时， 22( ) ( 4 2 1 )xf x e x x ， 22( ) 2 ( 4 2 1 )xf x e x x 2 2 2( 8 2 ) 2 ( 4 6 )x e x x 设直线与曲线 ()y f x 相切，其切点为 00( , ( )x f x ， 则曲线 ()y f x 在点 00( , ( )x f x 处的切线方程为： 0 0 0( ) ( ) ( )y f x f x x x ， 因为切线过点 (1,0)P ， 所以 0 0 0( ) ( ) (1 )f x f x x ， 即 02 200( 4 2 1 )xe x x 02 20 0 02 ( 4 6 ) (1 )xe x x x， 02 0 ， 3008 1 4 1 0 ， 设 3( ) 8 1 4 1g x x x ， ( 2 ) 3 5 0g ， (0) 1 0g ， (1) 5 0g ， (2) 37 0g ( ) 0在三个区间 ( 2 , 0 ) , ( 0 , 1) , (1, 2 ) 上至少各有一个根 又因为一元三次方程至多有三个根，所以方程 38 1 4 1 0 恰有三个根， 故过点 (1,0)P 有三条直线与曲线 ()y f x 相切 （）当 0x 时， ( ) 1 0 ，即当 0x 时， 22( 2 1 ) 0xe a x x 当 0x 时， 2212 1 0xa x x e ， 设 221( ) 2 1xh x a x x e ，则 22211( ) 2 2 2 ( 1 )x a x a ， 设21( ) 1xm x a x e ，则21()xm x a e （ 1）当 2a 时， 0x ， 22 2，从而 ( ) 0 （当且仅当 0x 时，等号成立） 21( ) 1xm x a x e 在 ( ,0 上单调递 增 ， 又 (0) 0m ， 当 0x 时， ( ) 0， 从而当 0x 时， ( ) 0 ， 221( ) 2 1xh x a x x e 在 ( ,0 上单调递 减 ， 又 (0) 0h ， 从而当 0x 时， ( ) 0，即 2212 1 0xa x x e 于是当 0x 时， ( ) 1 0 （ 2）当 2a 时，令 ( ) 0 ，得22 0xa e， 121 ( ) 02 ， 故当 12( 1 ( ) , 0 2时， 222( ) ( ) 0x ， 21( ) 1xm x a x e 在 12( 1 ( ), 02 n a上单调递减， 又 (0) 0m ， 当 12( 1 ( ) , 0 2时， ( ) 0， 从而当 12( 1 ( ) , 0 2时， ( ) 0 ， 221( ) 2 1xh x a x x e 在 12( 1 ( ), 02 n a上单调递增，又 (0) 0h ， 从而当 12( 1 ( ) , 0 )2时， ( ) 0，即 2212 1 0xa x x e 于是当 12( 1 ( ) , 0 2时， ( ) 1 0 ， 综合得 a 的取值范围为 2, ) 解法二：（）当 4a 时， 22( ) ( 4 2 1 )xf x e x x ， 22( ) 2 ( 4 2 1 )xf x e x x 2 2 2( 8 2 ) 2 ( 4 6 )x e x x ， 设直线与曲线 ()y f x 相切，其切点为 00( , ( )x f x ， 则曲线 ()y f x 在点 00( , ( )x f x 处的切线方程 为 0 0 0( ) ( ) ( )y f x f x x x ， 因为切线过点 (1,0)P ， 所以 0 0 0( ) ( ) (1 )f x f x x ， 即 02 200( 4 2 1 )xe x x 02 20 0 02 ( 4 6 ) (1 )xe x x x， 02 0 ， 3008 1 4 1 0 设 3( ) 8 1 4 1g x x x ，则 2( ) 2 4 1 4g x x ，令 ( ) 0 得 712x 当 x 变化时， () ()变化情况如下表： x 7( , )12 71277( , )12 127127( , )12 () + 0 - 0 + () 极大值 28 7