七年级数学思维探究（27）图形生长的奥秘（含答案）

陈景润（ 1933 1996 ），福建省福州市人， 1953年毕业于厦门大学数学系，主要从事解析数论方面的研究 20 世纪 60 年代以来对筛法及其有关重要问题作了深入研究， 1960年 5 月证明了命题“ 12 ”，将 200 多年来人们未能解决的哥德巴赫猜想的证明大大推进了一步，这一结果被国际上誉为“陈式定理” 27 图形生长的奥秘 解读课标 从一个简单的、基本的图形开始，按照一定的规律，生长繁衍成复杂有趣而美丽的图形，并探寻图形的边长、周长、面积的变化规律，这类图形生长的问题是近年中考竞赛的一个热点问题 以“点”的方式扩散、以“面”的方式膨胀、以“体”的方式“堆砌”，是图形生长的常见形式，解图形生长问题的基本方法是： （ 1）分析图形生长的方式、规律； （ 2）分析相关数量的特征，找寻相关数量与图形序号的联系，观察发现，归纳猜想 问题解决 例 1 （ 1）观察图至图中小圆圈的摆放规律，并按这样的规律继续摆放，记第 n 个图中小圆圈的个数为 m ，则 m _ （用含 n 的代数式表示） （ 2）观察下列图形： 根据图的规律，图中的三角形的个数为 _ 试一试 对于（ 2），从寻找第 n 个图与第 1n 个图三角形个数的关系入手 例 2 （ 1）如图是一个水平摆放的小正方体木块，图是用这样的小正方形木块叠放而成，按照这样的规律，继续叠放下去，至第七个叠放的图形中，小正方体木块总数是（ ） A 25 B 66 C 91 D 120 （ 2）黑色等边三角形与白色正六边形的边长相等，用它们镶嵌图案，方法如下：白色正方形分上下两行，上面的一行的正六边形个数比下面一行少一个，正六边形之间的空隙用黑色的正三角形嵌满，按第 1、 2 、 3 个图案所示规律依次下去： 则第 n 个图案中，黑色正三角形和白色正六边形的个数分别是（ ） A 2 2 ， 21n B 22n ， 21n C 4n ， 2 3 D 4n ， 21n 试一试 略 m =5n=1时m =8n=2时m = 11n =3 时m = 14n =4 时 第 1个 第 2个 第 3个例 3 操作： （ 1）如图，先画一个等边三角形，每边长为 1； （ 2）如图，在图中，每边三等分中间的一份处再凸出一个等边三角形； （ 3）如图，在的边上，重复进行三等分，中间的一份处凸出一个等边三角形，按上述方法，就画出一个美丽的雪花图形 探究：图 试一试 每“生长一次”，边长变化的规律，以及每“生长一次”，新增三角形个数的规律，这是解本例的突破口 例 4 有一堆砖堆放如图，第 1层有 3 块，第 2 层有 8 块，第 3 层有 15块，如此继续下去，第 9 层有多少块？第 n 层有多少块？这样共 n 层的砖堆总共有多少块砖？ 试一试 从第 2 层起，每一层横里比上一层多一块，纵里也比上一层多一块，这是解本例的关键，亦可从分析每层砖的数据特征入手 例 5 如图的图案均是用长度相同的火柴棍按一定的规律拼搭而成的：第 1个图案需 7 根火柴，第 2 个图案需 13根火柴，依此规律，第 11个图案需多少根火柴？ 分析 当数据规律不明显时，可从分析图形构成入手 为使图形结构清晰，可适当改变图形 解 将图中各个图案右下角的一个正方形移除 3 根火柴后得如下图： 图中第 1个图案需要横向火柴 1 1 2 （根），纵向火柴 1 1 2 （根），共需 4 根火柴； 第 2 个图案需要横向火柴 1 2 2 5 （根），纵向火柴 1 2 2 5 （根），共需 10根火柴； 第 3 个图案需要横向火柴 1 2 3 3 9 （根），纵向火柴 1 2 3 3 9 （根），共需 18根火柴； 第 n 个图案需要横向火柴的根数是 31 2 32 ，纵向火柴的根数也是 32共需 3根火柴 故拼搭图中第 11个图案需火柴 1 1 1 1 3 3 1 5 7 （根） 图案设计 例 6 如图是一个由 12个相似的直角三角形组成的图案，像商标？像蜗牛？像台风眼？ 第 1个 第 2个第 3个第 4个第 1个 第 2个第 3个 第 4个 由简单的相似图形出发，展开想象的翅膀，开发头脑无尽的创意，你也能画出更美的图案 下列图案分别是由相似的正方形、正五边形、正六边形、圆组成的 数学冲浪 知识技能广场 1 观察下列图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第 8 个图形共有 _枚五角星 2 下列图形都是由同样大小的五角星按一定的规律组成，其中第个图形一共有 2 个五角星，第个图形一共有 8 个五角星，第个图形一共有 18个五角星，则第个图形中五角星的个数为_ 3 如图是用相同长度的小棒摆成的一组有规律的图案，图案（ 1）需要 4 根小棒，图案（ 2）需要 10根小棒，按此规律摆下去，第 n 个图案需要小棒 _根（用含有 n 的代数式表示） 4 用正三角形和正六边形按如图所示的规律拼图案，即从第二个图案开始，每个图案都比上一个图案多一个正六边形和两个正三角形，则第 n 个图案中正三角形的个数为 _（用含 n 的代数式表示） 5 下列图案是晋商大院窗格的一部分，其中“”代表窗纸上所贴的剪纸，则第 n 个图中所贴剪纸“”的个数为 _ （ 1） 漩涡 （ 2） 玫瑰花 （ 3） 蜘蛛网 （ 4） 海螺背影n=1 n=2 n =3 n =4 图 图 图 （ 1） （ 2） （ 3） （ 4）第一个图案第二个图案第三个图案 6 如图是一块瓷砖的图案，用这种瓷砖来铺设地面 如果铺成一个 22 的正方形图案（如图），其中完整的圆共有 5 个，如果铺成一个 33 的正方形图案（如图），其中完整的圆共有 13个，如果铺成一个 44 的正方形图案（如图），其中完整的圆共有 25 个 若这样铺成一个 10 10 的正方形图案，则其中完整的圆共有 _个 7 观察下表，填表格后再解决问题： 序号 1 2 3 n 图形 的个数 8 24 的个数 1 4 （ 1）完成上表； （ 2）试求第几个图形中的“”的个数与“”的个数相等 8 已知一个面积为 S 的等边三角形，现将其各边 n （ n 为大于 2 的整数）等分，并以相邻等分点为顶点向外作小等边三角形，如图所示，当 时，共向外作出了多少个小等边三角形？这些小等边三角形的面积和为多 少？（用含 k 的式子表示） 9 某体育馆用大小相同的长方形镶嵌地面，第一次铺 2 块，如图；第二次把第一次铺的完全围起来，如图；第三次把第二次铺的完全围起来，如图；依此方法，第 n 次铺完后，用字母 n 表示第n 次镶嵌所使用的木块数为 _ 10 如图是一个树形图的生长过程，依据图中所示的生长规律，第 15行的实心圆点的个数等于 _ （ 1） （ 2） （ 3） n=3 n=4n=5 11 在图中取阴影等边三角形各边的中点，连成一个等边三角形，将其挖去，得到图；对图中的每个阴影等边三角形各边按照先前的做法，得到图；如此继续，如果图的等边三角形面积为 1，则第 n 个图形中所有阴影三角形面 积的和为 _ 12 如图，第（ 1）个多边形由正三角形“扩展”而来，边数记为 3a ，第（ 2）个多边形由正方形“扩展”而来，边数记为 4a ，依此类推，由正 n 边形“扩展”而来的多边形的边数记为 3 （ 1）求 5a 的值； （ 2）当3451 1 1 1na a a a 的结果是 197600 时，求 n 的值为 _ 13 用大小相同的正六边形瓷砖按如图所示的方式来铺设广场，中间的正六边形瓷砖记为 A ，定义为第一组；在它的周围铺上 6 块同样大小的正六边形瓷砖，定义为第二组；在第二组的外围用同样大小的正六边形瓷砖来铺满，定义为第三组，按这种方式铺下去，用现有的 2005块瓷砖最多能完整地铺满多少组？还剩几块瓷砖？ 应用探究乐园 14 在下图中，每个正方形由边长为 1的小正方形组成： （ 1）观察图形，请填写下列表格： 正方形边长 1 3 5 7 n （奇数） 第 6 行第 5 行第 4 行第 3 行第 2 行第 1 行 （ 1） （ 2） （ 3）（ 4） n=2n=3 n=4n=5 n=6黑色小正方形个数 正方形边长 2 4 6 8 n （偶数） 黑色小正方形个数 （ 2）在边长为 1的正方形中，设黑色小正方形的个数为 1p ，白色小正方形的个数为 2p ，问是否存在偶数 n ，使 215？若存在，请写出 n 的值；若不存在，请说明理由 15 将棱长为 1正方体按如图方式放置，求第 20 个几何体的表面积 27 图形生长的奥秘 问题解决 例 1（ 1） 32n （ 2） 161 图有 1 4 5个，图有 1 4 3 4 17 个，图有 21 4 3 4 3 4 5 3 个，图有231 4 3 4 3 4 3 4 1 6 1 个 例 2（ 1） C 1 5 9 1 3 1 7 2 1 2 5 9 1 ； （ 2） D 例 3 图 3n，图 例 4 第 9 层有 99 块，第 n 层有 2块，这样的 n 层砖堆共有 3 1 4 2 5 3 2 1 2 1 2 2 2 3 2 3 2n n n n 2 2 2 2 111 2 3 2 1 2 3 1 2 1 1 1 2 766n n n n n n n n n n （块） 数学冲浪 1 25 2 72 3 62n 4 22n 5 5 3 1 3 2 （个） 6 221 0 1 0 1 1 8 1 （个） 7 （ 1）略；（ 2）由 28，得 8n 或 0n （舍去） 8 时，共向外作了 23k 个小等边三角 形，每个小等边三角形的面积为21 ，这些小等边三角形的面积为 2232123 9 2 2 1 2 3 2 2 8 6n n n n n 10 377 各行的实心圆点数组成斐波那契数列 11 134n12 （ 1） 1na n n， 5 30a ；（ 2） 199n 13 铺满 n 组时，所用瓷砖总数为 1 6 1 6 2 6 1 1 3 1n n n 当 26n 时， 1 3 1 1 9 5 1 2 0 0 5 ，当 27n 时， 1 3 1 2 1 0 7 2 0 0 5 ，故最多能完整地铺满26 组，还剩 2005 1951 54（块）瓷砖 14 （ 1）略；（ 2） n 为偶数时， 1 2， 22 2p n n ，由题意得 2 2 5 2n n n ， 12n 或 0n （舍去） 故存在偶数 12n ，使得 215 15 由图呈现的规律知，第 20 个几何体有 20 层，从上往下第 1层有 1个正方体，第 2 层有 33 个正方体，第 3 层有 55 个正方体，第 20 层有 39 39