2017年中考复习专题《一元二次方程》同步训练含答案

一元二次方程 1某县为发展教育事业，加强了对教育经费的投入， 2014 年投入 3000 万元，预计 2016年投入 5000 万元设教育经费的年平均增长率为 x，根据题意，下面所列方程正确的是（ ） A 3000（ 1+x） 2=5000 B 3000000 C 3000（ 1+x%） 2=5000 D 3000（ 1+x） +3000（ 1+x） 2=5000 2方程（ x 2） 2=9 的解是（ ） A ， 1 B 5， C 1， 7 D 11， 3有一 人患了流感，经过两轮传染后共有 100 人患了流感，那么每轮传染中平均一个人传染的人数为（ ） A 8 人 B 9 人 C 10 人 D 11 人 4如果 x=4 是一元二次方程 3x=么常数 a 的值是（ ） A 2 B 2 C 2 D 4 5方程 x 的解是（ ） A x=4 B x=2 C x=4 或 x=0 D x=0 6某商品经过两次连续降价，每件售价由原来的 55 元降到了 35 元设平均每次降价的百分率为 x，则下列方程中正确的是（ ） A 55（ 1+x） 2=35 B 35（ 1+x） 2=55 C 55（ 1 x） 2=35 D 35（ 1 x） 2=55 7方程 x（ x+2） =0 的根是（ ） A x=2 B x=0 C ， 2 D ， 8方程 x 的解是 9已知关于 x 的一元二次方程 2x a=0 （ 1）如果此方程有两个不相等的实数根，求 a 的取值范围； （ 2）如果此方程的两个实数根为 满足 ，求 a 的值 10已知关于 x 的一元二次方程 2=0 （ 1）若 x= 1 是方 程 的一个根，求 m 的值和方程 的另一根； （ 2）对于任意实数 m，判断方程 的根的情况，并说明理由 11已知关于 x 的方程 m+2） x+2m 1=0（ m 为实数）， （ 1）求证：方程有两个不相等的实数根； （ 2）当 m 为何值时，方程的两根互为相反数并求出此时方程的解 12刚回营地的两个抢险分队又接到救灾命令：一分队立即出发赶往 30 千米外的 A 镇；二分队因疲劳可在营地休息 a（ 0 a 3）小时再赶往 A 镇参加救灾一分队出发后得知，唯一通往 A 镇的道路在离营地 10 千米处发生塌方，塌方处地形复杂，必须由一分队用 1 小时打通道路已知一分队的行进速度为 5 千米 /时，二分队的行进速度为（ 4+a）千米 /时 （ 1）若二分队在营地不休息，问二分队几个小时能赶到 A 镇？ （ 2）若需要二分队和一分队同时赶到 A 镇，二分队应在营地休息几个小时？ （ 3）下列图象中， 分别描述一分队和二分队离 A 镇的距离 y（千米）和时间 x（小时）的函数关系，请写出你认为所有可能合理图象的代号，并说明它们的实际意义 13某商店购进一种商品，单价 30 元试销中发现这种商品每天的销售量 p（件）与每件的 销售价 x（元）满足关系： p=100 2x若商店每天销售这种商品要获得 200 元的利润，那么每件商品的售价应定为多少元？每天要售出这种商品多少件？ 14如图 ，在一幅矩形地毯的四周镶有宽度相同的边如图 ，地毯中央的矩形图案长 6 米、宽 3 米，整个地毯的面积是 40 平方米求花边的宽 15如图，张大叔从市场上买回一块矩形铁皮，他将此矩形铁皮的四个角各剪去一个边长为 1 米的正方形后，剩下的部分刚好能围成一个容积为 15此长方体箱子的底 面长比宽多 2 米，现已知购买这种铁皮每平方米需 20 元钱，问张大叔购回这张矩形铁皮共花了多少元钱？ 16如图所示，在长和宽分别是 a、 b 的矩形纸片的四个角都剪去一个边长为 x 的正方形 （ 1）用 a， b， x 表示纸片剩余部分的面积； （ 2）当 a=6， b=4，且剪去部分的面积等于剩余部分的面积时，求正方形的边长 一元二次方程 参考答案与试题解析 一、选择题 1某县为发展教育事业，加强了对教 育经费的投入， 2014 年投入 3000 万元，预计 2016年投入 5000 万元设教育经费的年平均增长率为 x，根据题意，下面所列方程正确的是（ ） A 3000（ 1+x） 2=5000 B 3000000 C 3000（ 1+x%） 2=5000 D 3000（ 1+x） +3000（ 1+x） 2=5000 【考点】 实际问题抽象出一元二次方程 【专题】 123：增长率问题； 16 ：压轴题 【分析】主要考查增长率问题，一般用增长后的量 =增长前的量 （ 1+增长率），如果设教育经费的年平均增长率为 x，根据 “2014 年投入 3000 万元，预计 2016 年投入 5000万元 ”，可以分别用 x 表示 2014 以后两年的投入，然后根据已知条件可得出方程 【解答】解：依题意得 2016 年投入为 3000（ 1+x） 2， 3000（ 1+x） 2=5000 故选 A 【点评】找到关键描述语，就能找到等量关系，是解决问题的关键同时要注意增长率问题的一般规律 2方程（ x 2） 2=9 的解是（ ） A ， 1 B 5， C 1， 7 D 11， 【考点】 一元二次方程直 接开平方法 【分析】根据平方根的定义首先开方，求得 x 2 的值，进而求得 x 的值 【解答】解：开方得， x 2= 3 解得 ， 1 故选 A 【点评】（ 1）用直接开方法求一元二次方程的解的类型有： x2=a（ a 0）； b（ a，b 同号且 a 0）；（ x+a） 2=b（ b 0）； a（ x+b） 2=c（ a， c 同号且 a 0）法则：要把方程化为 “左平方，右常数，先把系数化为 1，再开平方取正负，分开求得方程解 ” （ 2）运用整体思想，会把被开方数看成整体 （ 3）用直接开方法求一元二次方程的解，要仔细观察 方程的特点 3有一人患了流感，经过两轮传染后共有 100 人患了流感，那么每轮传染中平均一个人传染的人数为（ ） A 8 人 B 9 人 C 10 人 D 11 人 【考点】 元二次方程的应用 【专题】 12Z：其他问题； 16 ：压轴题 【分析】本题考查增长问题，应理解 “增长率 ”的含义，如果设每轮传染中平均一个人传染的人数为 x 人，那么由题意可列出方程，解方程即可求解 【解答】解：设每轮传染中平均一个人传染的人数为 x 人， 第一轮过后有（ 1+x）个人感染，第二轮过后有（ 1+x） +x（ 1+x）个人感染， 那么由题意可知 1+x+x（ 1+x） =100， 整理得， x 99=0， 解得 x=9 或 11， x= 11 不符合题意，舍去 那么每轮传染中平均一个人传染的人数为 9 人 故选 B 【点评】主要考查增长率问题，可根据题意列出方程，判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解 4如果 x=4 是一元二次方程 3x=么常数 a 的值是（ ） A 2 B 2 C 2 D 4 【考点】 元二次方程的解 【分析】一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知 数的值即用这个数代替未知数所得式子仍然成立 【解答】解：把 x=4 代入方程 3x=6 12= 解得 a= 2， 故选： C 【点评】本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义 5方程 x 的解是（ ） A x=4 B x=2 C x=4 或 x=0 D x=0 【考点】 一元二次方程因式分解法 【专题】 11 ：计算题 【分析】本题可先进行移项得到： 4x=0，然后提取出公因式 x，两式相乘为 0，则这两个单项式必有一项为 0 【解答】解：原方程可化为： 4x=0，提取公因式： x（ x 4） =0， x=0 或 x=4 故选： C 【点评】本题考查了运用提取公因式的方法解一元二次方程的方法 6某商品经过两次连续降价，每件售价由原来的 55 元降到了 35 元设平均每次降价的百分率为 x，则下列方程中正确的是（ ） A 55（ 1+x） 2=35 B 35（ 1+x） 2=55 C 55（ 1 x） 2=35 D 35（ 1 x） 2=55 【考点】 实际问题抽象出一元二次方程 【专题】 123：增长率问题 【分析】如果设平均每次降价的百分率为 x，则第一次降价后的价格是 55（ 1 x），再在这个数的基础上降价 x，即可得到 35 元，可列出方程 【解答】解：设平均每次降价的百分率为 x， 则根据题意可列方程为： 55（ 1 x） 2=35； 故选 C 【点评】掌握好增长率问题的一般规律，找到关键描述语，找到等量关系是解决问题的关键 7方程 x（ x+2） =0 的根是（ ） A x=2 B x=0 C ， 2 D ， 【考点】 一元二次方程因式分解法 【专题】 16 ：压轴题； 44 ：因式分解 【分析】本题可根据 “两式相乘值为 0，这两式中至少有一式值 为 0”来解题 【解答】解： x（ x+2） =0， x=0 或 x+2=0， 解得 ， 2 故选 C 【点评】本题考查了一元二次方程的解法，解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法 8方程 x 的解是 0 或 4 【考点】 一元二次方程因式分解法 【专题】 16 ：压轴题； 44 ：因式分解 【分析】此题用因式分解法比较简单，先移项，再提取公因式，可得方程因式分解的形式，即可求解 【解答】解：原方程可化为： 4x=0， x（ x 4） =0 解得 x=0 或 4； 故方程的解为： 0， 4 【点评】本题考查了一元二次方程的解法，解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法，此题方程两边公因式较明显，所以本题运用的是因式分解法 9已知关于 x 的一元二次方程 2x a=0 （ 1）如果此方程有两个不相等的实数根，求 a 的取值范围； （ 2）如果此方程的两个实数根为 满足 ，求 a 的值 【考点】 的判 别式； 与系数的关系 【分析】（ 1）方程有两个不相等的实数根，必须满足 =40，从而求出 a 的取值范围 （ 2）利用根与系数的关系，根据 + = 即可得到关于 a 的方程，从而求得 【解答】解：（ 1） =（ 2） 2 4 1 （ a） =4+4a 方程有两个不相等的实数根， 0即 4+4a 0 解得 a 1 （ 2）由题意得： x1+， x1 a ， ， a=3 【点评】本题综合考查了一元二次方程的根的判别式和根与系数的关系 10已知关于 x 的一元二次方程 2=0 （ 1）若 x= 1 是方程 的一个根，求 m 的值和方程 的另一根； （ 2）对于任意实数 m，判断方程 的根的情况，并说明理由 【考点】 的判别 式； 元二次方程的解； 一元二次方程因式分解法 【分析】（ 1）直接把 x= 1 代入方程即可求得 m 的值，然后解方程即可求得方程的另一个根； （ 2）利用一元二次方程根的情况可以转化为判别式 与 0 的关系进行判断 【解答】解：（ 1）因为 x= 1 是方程 的一个根， 所以 1+m 2=0， 解得 m=1， 方程为 x 2=0， 解得 1， 所以方程的另一根为 x=2； （ 2） 4ac=， 因为对于任意实数 m， 0， 所以 0， 所以对于任意的实数 m， 方程 有 两个不相等的实数根 【点评】本题主要是根据方程的解的定义求得未知系数，把判断一元二次方程的根的情况转化为根据判别式判断式子的值与 0 的大小关系的问题 11已知关于 x 的方程 m+2） x+2m 1=0（ m 为实数）， （ 1）求证：方程有两个不相等的实数根； （ 2）当 m 为何值时，方程的两根互为相反数并求出此时方程的解 【考点】 的判别式； 与系数的关系 【专题】 11 ：计算题； 14 ：证明题 【分析】（ 1）只要证得 =40，就说明方程有两个不相等的实数根 （ 2）方程的两 根互为相反数，说明 m+2=0，从而求得 m 的值，再代入原方程求出此时方程的解 【解答】（ 1）证明： a=1， b=m+2， c=2m 1， =4 m+2） 2 4（ 2m 1） =（ m 2） 2+4 （ m 2） 2 0， （ m 2） 2+4 0 即 0， 方程有两个不相等的实数根 （ 2）解： 方程两根互为相反数， 两根之和 =（ m+2） =0， 解得 m= 2 即当 m= 2 时，方程两根互为相反数 当 m= 2 时，原方程化为： 5=0， 解得： ， 【点评】（ 1）一元二次方程根的情况与判别式 的关系： 0方程有两个不相等的实数根； =0方程有两个相等的实数根； 0方程没有实数根 （ 2）解题时注意方程两根互为相反数，说明 b=0 12刚回营地的两个抢险分队又接到救灾命令：一分队立即出发赶往 30 千米外的 A 镇；二分队因疲劳可在营地休息 a（ 0 a 3）小时再赶往 A 镇参加救灾一分队出发后得知，唯一通往 A 镇的道路在离营地 10 千米处发生塌方，塌方处地形复杂 ，必须由一分队用 1 小时打通道路已知一分队的行进速度为 5 千米 /时，二分队的行进速度为（ 4+a）千米 /时 （ 1）若二分队在营地不休息，问二分队几个小时能赶到 A 镇？ （ 2）若需要二分队和一分队同时赶到 A 镇，二分队应在营地休息几个小时？ （ 3）下列图象中， 分别描述一分队和二分队离 A 镇的距离 y（千米）和时间 x（小时）的函数关系，请写出你认为所有可能合理图象的代号，并说明它们的实际意义 【考点】 次函数的应用 【专题】 16 ：压轴题； 26 ：开 放型 【分析】（ 1）根据题意可直接求出二分队赶到 A 镇的时间为 =8 小时； （ 2）先求出一分队需要的时间是 7 小时，分两种情况考虑： 若二分队在塌方处需停留； 若二分队在塌方处不停留，经过讨论后舍去第一种取第二种情况即二分队应在营地休息 1 小时或 2 小时； （ 3）根据实际题意可知合理的图象为（ b），（ d） 【解答】解：（ 1）若二分队在营地不休息， 则 a=0，速度为 4 千米 /时，行至塌方处需 （小时）， 因为一分队到塌方处并打通道路需要 （小时）， 故二分队在塌方处需停留 时，所以二分队在营地不休息赶到 A 镇需（小时）； （ 2）一分队赶到 A 镇共需 （小时） 若二分队在塌方处需停留，则后 20 千米需与一分队同行， 故 4+a=5，则 a=1， 这与二分队在塌方处停留矛盾，舍去； 若二分队在塌方处不停留，则（ 4+a）（ 7 a） =30， 即 3a+2=0， 解得 ， 经检验 ， 均符合题意 答：二分队应在营地休息 1 小时或 2 小时； （ 3）合理的图象为（ b），（ d） 理由是： 图象（ b）表明二分队在营地休息时间过长（ 2 a 3），后于一分队赶到 A 镇； 图象（ d）表明二分队在营地休息时间恰当（ 1 a 2），先于一分队赶到 A 镇 【点评】此题主要考查利用一次函数的模型解决实际问题的能力和读图能力要先根据题意列出函数关系式，再代数求值解题的关键是要分析题意根据实际意义准确地列出解析式，再把对应值代入求 解，并会根据图示得出所需要的信息 13某商店购进一种商品，单价 30 元试销中发现这种商品每天的销售量 p（件）与每件的销售价 x（元）满足关系： p=100 2x若商店每天销售这种商品要获得 200 元的利润，那么每件商品的售价应定为多少元？每天要售出这种商品多少件？ 【考点】 元二次方程的应用 【专题】 124：销售问题 【分析】本题的等量关系是每件商品的利润 每天的销售量 =每天的总利润依据这个等量关系可求出商品的售价，然后代入 p 与 x 的关系式中求出 p 的值 【解答】解：设每件商品的售价应定为 x 元 ，每天要销售这种商品 p 件 根据题意得：（ x 30）（ 100 2x） =200， 整理得： 80x+1600=0， （ x 40） 2=0， x1=0 p=100 2x=20； 故，每件商品的售价应定为 40 元，每天要销售这种商品 20 件 【点评】解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解 14如图 ，在一幅矩形地毯的四周镶有宽度相同的边如图 ，地毯中央的矩形图案长 6 米、宽 3 米，整个地毯的面积是 40 平方米求花边的宽 【考点】 元二次方程的应用 【专题】 121：几何图形问题 【分析】本题可根据地毯的面积为 40 平方米来列方程，其等量关系式可表示为： （矩形图案的长 +两个花边的宽） （矩形图案的宽 +两个花边的宽） =地毯的面积 【解答】解：设花边的宽为 x 米， 根据题意得（ 2x+6）（ 2x+3） =40， 解得 ， ， 不合题意，舍去 答：花边的宽为 1 米 【点评】本题可根据关键语句和等量关系列出方程，判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解 15如图，张大叔从市场上买回一块矩形铁皮，他将此矩形铁皮的四个角各剪去一个边长为 1 米的正方形后，剩下的部分