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江苏 专用 高考 数学 复习 温习 基础 达标 演练 综合 创新 立异 备选 第六 解析 打包 苏教版

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1 2013 高考总复习江苏专用（理科）：第六篇 数列、推理与证明第31 讲 数列的概念与简单表示法（基础达标演练 +综合创新备选，含解析） A 级 基础达标演练 (时间： 45 分钟 满分： 80 分 ) 一、填空题 (每小题 5 分，共 35 分 ) 1已知数列， 1， 3， 5， 7， ， 2n 1， ，则 3 5是它的第 _项 解析 3 5 45 22 3 1. 答案 23 2 (2011 福州一模 )把 1,3,6,10,15,21 这些数叫做三角形数，这是因为这些数目的点子可以排成一个正三角形 (如图所示 ) 则第七个三角形数是 _ 解析 观察三角形数的增长规律，可以发现每一项与它的前一项多的点数正好是本身的序号，所以根据这个规律计算即可根据三角形数的增长规律可知第七个三角形数是 1 2 3 4 5 6 7 28. 答案 28 3 (2011 四川卷改编 )数列 前 n，若 1， 1 3Sn(n1) ，则 _. 解析 1， 33， 312 34 1， 348 34 2， 334 3， 34 4. 答案 34 4 4 (2011 四川绵阳二诊 )在数列 ， 229n 3，则此数列最大项的值是_ 解析 根据题意并结合二次函数的性质可得： 229n 3 2 292n 32 n 294 2 3 8418 ， n 7 时， 大项 08. 答案 108 5在函数 f(x) x 1,2,3， ，得到一个数列，则这个数列的前 5 项是 _ 答案 1, 2， 3， 2, 5 6在数列 ， 2， 1 n 1，则通项 _. 2 解析 由 1 n 1 可得， 1 n， 1 2 n 1， 2 3 n 2， 3， 2， 以上 n 1 个式子左右两边分别相加得， 2 3 n， 1 (1 2 3 n) n n2 1. 答案 n n2 1 7已知数列 前 n 项和 9n，第 k 项满足 5 8，则 k 的值为 _ 解析 9n， n2 时， 1 2n 10， 8 适合上式， 2n 10(n N*)， 5 2k 10 8，得 k 9. k 8. 答案 8 二、解答题 (每小题 15 分，共 45 分 ) 8已知数列 通项公式为 5n 4. (1)数列中有多少项是负数？ (2)n 为何值时， 求出最小值 解 (1)由 5n 4 0，解得 1 n 4. n N*， n 2,3. 数列中有两项是负数，即为 (2) 5n 4 n 52 2 94.又 n N*， n 2 或 n 3 时， 最小值，其最小值为 2. 9 ( )已知各项均为正数的数列 前 n 项和满足 1，且 6(1)(2)， nN*通项公式 解 由 16(1)(2)， 解得 1 或 2， 由已知 1， 因此 2. 又由 1 1 16(1 1)(1 2) 16(1)(2)， 得 1 3 0 或 1 因 0， 故 1 舍去 因此 1 3 0. 3 即 1 3，从而 公差为 3，首项为 2 的等差数列， 故 通项为 3n 1. 【点评】 解决已知数列的前 n 项和 通项 骤主要有： 第一步：令 n 1，由 f 出 第二步：令 n2 ，构造 1，用 n 1 或用 1代换 要结合题目的特点 ，由递推关系求通项； 第三步：验证当 n 1 时的结论是否适合当 n2 时的结论 适合，则统一 “ 合写 ” ；如果不适合，则应分段表示； 第四步：明确规范表述结论 . 10已知数列 ， 1 1a n (n N*， a R，且 a0) (1)若 a 7，求数列 的最大项和最小项的值； (2)若对任意的 n N*，都有 a 的取值范围 解 (1) 1 1a n (n N*， a R，且 a0) ， a 7， 1 12n 9. 结合函数 f(x) 1 12x 9的单调性 可知 1 1(n N*) 数列 的最大项为 2，最小项为 0. (2)1 1a n 112n 2 对任意的 n N*，都有 并结合函数 f(x) 112x 2 5 2 6， 10 a 8. B 级 综合创新备选 (时间： 30 分钟 满分： 60 分 ) 4 一、填空题 (每小题 5 分，共 30 分 ) 1 (2011 广东惠州二模 )已知整数按如下规律排成一列： (1,1)， (1,2)， (2,1)， (1,3)，(2,2)， (3,1)， (1,4)， (2,3)， (3,2)， (4,1)， 则第 60 个数对是 _ 解析 按规律分组 第一组 (1,1) 第二组 (1,2)， (2,1) 第三组 (1,3)， (2,2)， (3,1) 则前 10 组共有 10112 55 个有序实数对 第 60 项应在第 11 组中即 (1,11)， (2,10)， (3,9)， (4,8)， (5,7) ， (11,1)因此第 60 个数对为 (5,7) 答案 (5,7) 2在数列 通项公式是 2，若对所有的 n N*，都有 1 实数k 的取值范围是 _ 解析 1 (n 1)2 k(n 1) 2 2，则 k (2n 1)对所有的 n N*都成立，而当 n 1 时， (2n 1)取得最大值 3，所以 k 3. 答案 ( 3， ) 3 (2011 合肥三检 )在数列 ， 12， 1 1 1an(n2) ，则 _. 解析 由题可知 1 1 1， 1 12， 1 112， 此数列是以 3 为周期的周期数列， 1 12. 答案 12 4已知 前 n 项和为 满足 n 1) n 1，则 _. 解析 由已知条件可得 1 2n 1. 2n 1 1， 当 n 1 时， 3， 当 n2 时， 1 2n 1 1 2n 1 2n， n 1 时不适合 3 n ，2n n 答案 3 n2n n 5已知数列 足： 3 1， 1 0， n N*，则 09 _； 14 _. 5 解析 依题意，得 09 03 3 1， 14 007 07 52 1 0. 应填 1,0. 答案 1,0 6 (2012 泰州月考 )数列 1,1,2,3,5,8,13， x,34,55， 中 x 的值为 _ 解析 观察数列中项的规律，易看出数列从第三项开始每一项都是其前两项的和 答案 21 二、解答题 (每小题 15 分，共 30 分 ) 7在数列 ，已知 1， 1 2n 1，求 解 由 1 2n 1，得 1 2n 1. 所以 1， 2， 22， 23， 1 2n 2(n2) ， 将以上各式左右两端分别相加，得 1 2 22 2n 2 2n 1 1， 所以 2n 1(n2) ，又因为 1 适合上式，故 2n 1(n1) 8 (2011 广州模拟 )已知数列 前 n 项和 n 且 1. (1)求数列 通项公式 (2)令 ln 否存在 k(k2 ，且 k N*)，使得 1， 2成等比数列若存在，求出所有符合条件的 k 值；若不存在，请说明理由 解 (1)法一 当 n2 时， 1 n 12 ，即 1n 1(n2) 所以 首项为 1 的常数数列，所以 1，即 n(n N*) 法二 同上，得 (n 1) 1 (n 1)以 2n(1 1)，即 21 1，所以 等差数列又由 1，得 2，得 1 (n 1)n(n N*) 法三 同上，得 1 1(n2) ， 所以 1 12 23 1 n 1n 2 32 211 n，当 n 1时 1， 6 也满足 n，所以 n(n N*) (2)假设存在 k(k2 ， k N*)，使得 1， 2成等比数列，则 2 ln ln n， 所以 2 ln kk 2) ln k k2 2 2k 222ln(k 1)2 1，这与 2 1矛盾 故不存在 k(k2 ， k N*)，使得 1， 2成等比数列 1 2013 高考总复习江苏专用（理科）：第六篇 数列、推理与证明第32 讲 等差数列及其前 n 项和（基础达标演练 +综合创新备选，含解析） A 级 基础达标演练 (时间： 45 分钟 满分： 80 分 ) 一、填空题 (每小题 5 分，共 35 分 ) 1 (2011 重庆卷改编 )在等差数列 ， 2， 4，则 _. 解析 设公差为 d.则 d 2. 0， 2n 2 210 2 18. 答案 18 2若 前 n 项和， 4，则 _ 解析 1142 22. 答案 22 3 (2011 泰州学情调查 )在等差数列 ， 0， n _. 解析 因为 0， 以 0，所以 0，所以 0，0， 从而当 n 6 或 7 时 答案 6 或 7 4在等差数列 ，若 39， 27，则 _. 解析 39， 27， 339,327， 13， 9. 2d 9 13 4， d 2， d 13 2 11， 999. 答案 99 5 (2011 苏锡常镇扬五市调研 )设等差数列 前 n 项和为 1 ,2 ，则 _ 解析 设 (n 1)d，则由 1 ，2 ， 解 1 4d4 ，2 5d3 ， 2 所以 615d 15(4d) 9(5d) 12,42 答案 12,42 6 (2011 南通调研 )设等差数列 公差为正数 ， 若 15， 80， 则 _. 解析 由 15 3得 10，16. 又公差 d 0， 所以 2，d 33(11d) 3(2 33) 335 105. 答案 105 7 (2011 南京模拟 )已知数列 前 n 项和为 211.若 1 12，则正整 数 k 的最小值为 _ 解析 因为 27 2 7p 26 2 6p 26 p 11，所以 p 15， 215n，1 4n 17(n2) ，当 n 1 时也满足于是由 1 8k 30 12，得 k 214 5.又 k N*，所以 k6 ，即 6. 答案 6 二、解答题 (每小题 15 分，共 45 分 ) 8 ( )设 d 为实数，首项为 差为 d 的等差数列 前 n 项和为 足 15 0. (1)若 5，求 (2)求 d 的取值范围 思路分析 第 (1)问建立首项 d 的方程组求解；第 (2)问建立首项 d 的方程，利用完全平方公式求范围 解 (1)由题意知 15 3， 8， 所以 510d 5，5d 8. 解得 7，所以 3， 7. (2)因为 15 0，所以 (510d)(615d) 15 0，即 29101 0， 故 (49d)2 8，所以 . 故 d 的取值范围为 d 2 2或 d2 2. 【点评】 方程思想在数列中常常用到，如求通项 般要建立首项 d(或公比 q)的方程组 9已知 前 n 项和， 1 12 n 1 2(n2 ， n 为正整数 )， 3 12. (1)令 2 证：数列 等差数列，并求数列 通项公式； (2)在 (1)的条件下，求 (1)证明 由 21 12 n 1 2，得 21 12 n 2，两式相减，得 21 12 n，即 2n 11 21，即 1 1，所 以 公差为 1 的等差数列 又 21，所以 n,2n，从而 n 12 n. (2)解 由条件得 2 12 n 1，所以 2 (n 2) 12n，又 1 Snn 12n 1 0，所以数列 n N*单调递 增，所以 2，又 12， 2 . 10已知数列 足 21 2n 1(n N*， n2) ，且 27. (1)求 (2)记 12n(t)(n N*)，问是否存在一个实数 t，使数列 等差数列？若存在，求出实数 t；若不存在，请说明理由 解 (1)由 27，得 223 1 27，所以 9. 又由 222 1 9，得 2. (2)假设存在实数 t，使得数列 等差数列， 则 21 1，即 2 12n(t) 12n 1(1 t) 12n 1(1 t)，即 441 1 t，所以 44 2n 12 22n 1 t 1，所以 t 1. 故存在 t 1，使得数列 等差数列 B 级 综合创新备选 (时间： 30 分钟 满分： 60 分 ) 一、填空题 (每小题 5 分，共 30 分 ) 1 (2011 广东深圳调研 (一 )已知 前 n 项和，若 1， 4，则 _ 解析 由等差数列的性质可知 等差数列，由 4 得 3，则 5以 4994. 答案 94 2数列 等差数列，若 1，且它的前 n 项和 么当 n _. 解析 由题意，可知数列 前 n 项和 以公差小于零，故 因为 1，所以 0， 等差数列的性质有 0， 0，所以 n 19. 答案 19 3 (2011 南京学期学情 )已知数列 是等差数列， n 项和，且 7n 1n 3 ，则 _. 解析 722 122 3 315. 答案 315 4已知数列 足递推 关系式 1 22n 1(n N*)，且 2n 为等差数列，则 的值是 _ 解析 由 1 22n 1，可得 12n 1 12 12n 1，则 1 2n 1 2n 12n 1 2n 1 1212n 12n 112 12n 1 ，当 的值是 1 时，数列 12n 是公差为 12的等差数列 答案 1 5 (2011 苏北四市调研 )已知数列 足 1， 2， 2，且对任意的正整数 i， j， k， l，当 i j k l 时，都有 12 010 i 12 010(值是 _ 解析 由题意得 10 09 08 09 10 所以 i 12 010 2 010(10) 故 12 010i 12 010 12 0102 010(a 1 10) 10. 5 下面求 10. 令 i 1， j n， k 2， l n 1，即 1，则 1 1，所以 以 2 为首项，以 d 1 为公差的等差数列， 所以 10 2 (2 010 1) 2 011. 所以 10 1 2 011 2 012. 答案 2 012 6已知 f(x)是定义在 R 上不恒为零的函数，对于任意的 x， y R，都有 f(x y) xf(y)yf(x)成立数列 足 f(2n)(n N*)，且 _. 解析 由 1 f(2n 1) 2f(2n) 2) 22n 1，得 12n 1 1，所以 首项为 1，公差为 1 的等差数列，所以 n， n2 n. 答案 n2 n 二、解答题 (每小题 15 分，共 30 分 ) 7在等差数列 ，公差 d 0，前 n 项和为 45， 18. (1)求数列 通项公式； (2)令 c(n N*)，是否存在一个非零常数 c，使数列 为等差数列？若存在，求出 c 的值；若不存在，请说明理由 解 (1)由题设，知 等差数列，且公差 d 0， 则由 45，18， 得 d 2d 45，4d 18. 解得 1，d 4. 4n 3(n N*) (2)由 cn 4n2n c 2n n 12n c ， c0 ， 可令 c 12，得到 2n. 1 2(n 1) 2n 2(n N*)， 数列 公差为 2 的等差数列 即存在一个非零常数 c 12，使数列 为等差数列 8在数列 ， 1， 1 1 14221，其中 n N*. (1)求证：数列 等差数列； 6 (2)设 ( 2)问数列 是否存在三项，使它们可以构成等差数列？如果存在，求出这三项；如果不存在，说明理由 (1)证明 因为 1 221 1 221 22 1 141 221 41 221 2(n N*)，且 221 1 2 所以，数列 2 为首项， 2 为公差的是等差数列 (2)解 由 (1)得 ( 2)2n，假设 存在三项 中 m n p， m， n， p N*)成等差数列，则 22 n 2m 2p，所以 2n 1 2m 2p,2n m 1 1 2p m n p， m， n，p N*，所以 n m 1， p m N*，从而 2n m 1为偶数， 1 2p 以 2n m 1与 1 2p 所以数列 不存在可以构成等差数列的三项 1 2013 高考总复习江苏专用（理科）：第六篇 数列、推理与证明第33 讲 等比数列及其前 n 项和（基础达标演练 +综合创新备选，含解析） A 级 基础达标演练 (时间： 45 分钟 满分： 80 分 ) 一、填空题 (每小题 5 分，共 35 分 ) 1设 公比为正数的等比数列，若 1， 16，则数列 7 项的和为 _ 解析 设数列 公比为 q(q 0)，前 n 项和为 1， 16，得 16，所以 q 2，从而得 q 127. 答案 127 2设数列 n 项和为 t， 2 (t 1)1 0，则 _数列，通项 _. 解析 由 2 (t 1)1 0， 得 2 1 t(1 所以 2 1， 所以 21 t，又 t，所以 等比数列，且 t 1 答案 等比 (2011 南京模拟 )已知正数数列 任意 p， q N*都有 q 4，则 _. 解析 令 p n， q 1，得 1 0，所以 公比为 以 4，所以 2n， 29 512. 答案 512 4 (2011 泰州模拟 )数列 正项等比数列，若 2，且 1 61(n N， n2) ，则此数列的前 4 项和 _. 解析 由 2， 1 62，得 1 62，所以 q 6.又 q 0，所以 q 2， 1. 所以 q 1 241 2 15. 答案 15 5已知等比数列 前 n 项和 t5 n 2 15，则实数 t 的值为 _ 2 解析 15t 15， 45t， 4t， 由 等比数列知 45t 215t15 4 t，显然 t0 ，所以 t 5. 答案 5 6 (2011 南京模拟 )已知各项都为正数的等比数列 ， 4， 14，则满足 1 2 19的最大正整数 n 的值为 _ 解析 由等比数列的性质，得 4 0)，所以 2，所以 14 12，于是由 2，)1 q 12， 解得 8，q 12， 所以 8 12 n 1 12 n 4. 于是由 1 2 1 12 3(n 3) 18 n 3 19，得 n 31 ，即 n4. 答案 4 7 (2011 宿迁联考 )设 2， 1 21， 21 1， n N*，则 11 _. 解析 由题意得 21 1 3， 1 1 21 1 1 2 21 1 2(1) 1 21， 1 1 2(1)， 故 1 11 2，故 数列 1是以 4 为首项， 2 为公比的等比数列 1 2n 1， n 1 1. 答案 22 012 1 二、解答题 (每小题 15 分，共 45 分 ) 8 (2011 扬州模拟 )设数列 首项 a 14，且 1 1214， 记 1 14， n 1,2,3， . (1)求 (2)判断数列 否为等比数列 ，并证明你的结论 3 解 (1)14 a 14， 1212a 18. (2)因为 14 12a 38，所以 1214a 316，所以 140 ， 14 12 a 14 ，14 14 a 14 . 猜想 公比为 12的等比数列 证明如下： 因为 1 1 14 1214 12 114 1412114 12bn(n N*)，所以 首项为 a 14，公比为 12的等比数列 9 (2011 南通无锡调研 )设数列 前 n 项和为 知 a， 1 3n， n N*，且 a3. (1)设 3n，求数列 通项公式； (2)求数列 通项公式 解 (1)依题意， 1 1 3n，即 1 23n， 由此得 1 3n 1 2(3n) 因此 a 3 为首项， 2 为公比的等比数列 因此，所求通项公式为 (a 3)2n 1， n N*. (2)由 (1)知 3n (a 3)2n 1， n N*，于是，当 n2 时， 1 3n (a 3)2 n 1 3n 1 (a 3)2 n 2 23 n 1 (a 3)2n 2. 又 a， 所以 a， n 1，23 n 1 a n 2， n2. 10 (2011 镇江统考 )已知公差大于零的等差数列 前 n 项和为 满足 65，18. (1)求数列 通项公式 (2)若 1 i 21， i 的值； (3)是否存在常数 k，使得数列 等差数列？若存在，求出常数 k；若不存在，请说明理由 4 解 (1)因为 18， 又 65， 所以 18x 65 0 的两个根 又公差 d 0， 所以 所以 5， 13. 所以 d 5，3d 13， 解得 1， d 4. 所以 4n 3. (2)由 1 i 21， 以 181 (4i3)2，解得 i 3. (3)由 (1)知， n1 n n2 4 2n. 假设存在常数 k，使数列 等差数列， 由等差数列通项公式，可设 b， 得 2(k 1)n 2b 恒成立，可得 a 2， b 0， k 1. 所以存在 k 1 使得 等差数列 B 级 综合创新备选 (时间： 30 分钟 满分： 60 分 ) 一、填空题 (每小题 5 分，共 30 分 ) 1已知 等比数列， n 项和若 2 4，则 _. 解析 设数列 公比为 q，则由等比数列的性质知， 2 2. 由 4知， 22 54， 12 2 54 14. 18，即 q 12. 18 2， 16， 6 1 1251 12 31. 答案 31 2 (2011 江苏卷 )设 1 中 q 的等比数列， a2， 的等差数列，则 q 的最小值为 _ 5 解析 由题意知 q， q1 ， 1， 2 且 ，那么有 且 . 故 q 3 3，即 q 的最小值为 3 3. 答案 3 3 3 (2011 山东日照二模 )在等比数列 ，若 a(a0) ， b，则 _. 解析 因为 等比数列，所以 ， 而得 答案 已知数列 足 lg 1 1 lg xn(n N*)，且 1，则 lg( _. 解析 由 lg 1 1 lg xn(n N*)得 lg 1 lg 1， 110， 数列 公比为10 的等比数列， 100 0 100， 10100( 10100， lg( 0100 100. 答案 100 5 (2011 泰州模拟 )已知数列 足 31 4(n N*)且 9，其前 n 项和为 满足不等式 |n 6| 1125的最小正整数 n 是 _ 解析 由 31 4 得， 1 1 13(1)(运用构造数列法 )， 1是以 1 8 为首项，以 13为公比的等比数列， 所以 1 8 13 n 1，所以 8 13 n 1 1. 所以 8 1 13 13 2 13 n 1 n 81 13 13 n 6 13 n6 n， 所以 |n 6| 13 n6 13 n6 1125，即 3n 750. 将 n 5,6,7 代入验证符合题意的最小正整数 n 7. 6 答案 7 6 (2011 盐城调研 )已知 公差不为 0 的等差数列， 等比数列，其中 2， 1， 2存在常数 ， ，使得 对每一个正整数 n 时成立，则 _. 解析 由题意，可设 2 (n 1)d， 1，于是由 得 2 d q， 3d 得 d d ，q 4， 所以 2n， q 22n 2，代入 ，得 2n (2n 2) ，即 2n(1 ) 2，所以 1， 2 0， 解得 2， 2. 故 22 4. 答案 4 二、解答题 (每小题 15 分，共 30 分 ) 7设数列 前 n 项和为 知 1， 1 42. (1)设 1 2证明：数列 等比数列； (2)求数列 通项公式 (1)证明 由已知有 42，解得 32 5， 故 23.又 2 2 1 41 2 (42) 41 4 于是 2 21 2(1 2即 1 2因此数列 首项为 3，公比为 2 的等比数列 (2)解 由 (1)知等比数列 3，公比 q 2， 所以 1 232 n 1，于是 12n 1 34， 因此数列 首项为 12，公差为 34的等差数列， 2 (n 1)3434n14， 所以 (3n 1)2 n 2. 8 (2010 苏北四市调研二 )设 前 n 项和，若 n N*)是非零常数，则称该数列为 “ 和等比数列 ” (1)若数列 2首项为 2，公比为 4 的等比数列，试判断数 列 否为 “ 和等比数列 ” ； (2)若数列 首项为 差为 d(d0) 的等差数列，且数列 “ 和等比数列 ” ，试 7 探究 d 与 解 (1)因为数列 2首项为 2，公比为 4 的等比数列，所以 224 n 1 22n 1，因此，2n 1，设数列 n 项和为 4以 “ 和等比数列 ” (2)设数列 前 n，且 k(k0) ，则由 等差数列，得 n n2d， 22n n2 d，所以 2n n2 n n2 d k. 对于 n N*都成立，化简得 (k 4)(k 2)(2d) 0， 则有 k d 0，k d 0. 因为 d0 ，所以 k 4， d 2因此， d 与 d 2 1 2013 高考总复习江苏专用（理科）：第六篇 数列、推理与证明第34 讲 数列求和（基础达标演练 +综合创新备选，含解析） A 级 基础达标演练 (时间： 45 分钟 满分： 80 分 ) 一、填空题 (每小题 5 分，共 35 分 ) 1数列 1 2n 1的前 n 项和 _. 解析 n 1 22 n 2n 1. 答案 n 2n 1 2 (2011 安徽 )若数列 通项公式是 ( 1)n(3n 2)，则 _. 解析 设 3n 2，则数 列 以 1 为首项， 3 为公差的等差数列，所以 ( ( ( ( ( 53 15. 答案 15 3 (2011 海南二模 )数列 112， 314， 518， 7116， 的前 n 项和 _. 解析 由题意知已知数列的通项为 2n 1 12n，则 n 2n2 121 1212 1 12n. 答案 1 12n 4 (2011 三门峡一检 )已知数列 通项公式是 1n n 1，若前 n 项和为 10，则项数 n _. 解析 1n n 1 n 1 n， ( 2 1) ( 3 2) ( n 1 n) n 1 1.令 n 1 1 10，得 n 120. 答案 120 5数列 是等差数列， 5， 7，且 前 20 项的和为 _ 解析 由题意知 为等差数列，所以 前 20 项和为： 72 720. 2 答案 720 6等比数列 前 n 项和 2n 1，则 _. 解析 当 n 1 时， 1， 当 n2 时， 1 2n 1 (2n 1 1) 2n 1， 又 1 适合上式 2n 1， 4n 1. 数列 以 1 为首项，以 4 为公比的等比数列 44 13(4n 1) 答案 13(4n 1) 7已知等比数列 ， 3， 81，若数列 足 数列 11的前 n _. 解析 设 等比数列 公比为 q，则 27，解得 q 1 33 n 1 3n，故 n， 所以 11 1n n 1n 1n 1. 则数列 11的前 n 项和为 1 12 12 13 1n 1n 1 1 1n 1 1. 答案 1 二、解答题 (每小题 15 分，共 45 分 ) 8已知 等差数列，且 6， 0. (1)求 通项公式； (2)若等比数列 足 8， 前 n 项和公式 解 (1)设等差数列 公差为 d. 因为 6， 0， 所以 2d 6，5d 0. 解得 10， d 2. 所以 10 (n 1)2 2n 12. (2)设等比数列 公比为 q. 因为 24， 8， 所以 8q 24，即 q 3. 所以 前 n 项和公式为 q 4(1 3n) 3 9 (2011 重庆 )设 公比为正数的等比数列， 2， 4. (1)求 通项公式； (2)设 首项为 1，公差为 2 的等差数列，求数列 前 n 项和 解 (1)设 q 为等比数列 公比，则由 2， 4 得 22q 4，即 q 2 0，解得 q 2 或 q 1(舍去 )，因此 q 2. 所以 通项为 22 n 1 2n(n N*) (2) 22 n1 n n2 2 2n 1 2. 10已知首项不为零的数列 前 n 项和为 对任意的 r， t N*，都有 . (1)判断 否是等差数列，并证明你的结论； (2)若 1， 1，数列 第 n 项是数列 第 1项 (n2) ，求 (3)求和 解 (1)等差数列 证明如下： 因为 ，令 t 1， r n，则由 ，得 所以当 n2 时， 1 (2n 1) n 1 时此式也成立，所以 1 2a1(nN*)， 即 以 2 (2)当 1 时，由 (1)知 n 1) 2n 1， 依题意，当 n2 时， 1 21 1， 所以 1 2(1 1)，又 1 2， 所以 1是以 2 为首项， 2 为公比的等比数列，所以 1 22 n 1，即 2n 1. (3)因为 (2n 1)(2n 1) (2n 1)2 n (2n 1) 12 32 2 (2n 1)2 n 1 3 (2n 1)，即 12 32 2 (2n 1)2 n 212 2 32 3 (2n 1)2 n 1 2 ，得 (2n 3)2 n 1 6. B 级 综合创新备选 (时间： 30 分钟 满分： 60 分 ) 一、填空题 (每小题 5 分，共 30 分 ) 1 (2011 浙江台州调研 )已知 首项为 1 的等比数列， 前 n 项和，且 94 数列 1 项和为 _ 解析 设数列 公比为 q1 ，且 q 1 q，解得 q 2，所以数列 1 为首项， 12为公比的等比数列，由求和公式可得 3116. 答案 3116 2 (2011 江南十校二模 )若数列 等比数列，且 1， q 2，则 11 11的结果可化为 _ 解析 2n 1，设 11 12 2n 1，则 12 12 3 12 2n 1121 1414 23 1 14n . 答案 23 1 14n 3数列 1， 11 2， 11 2 3， 的前 n 项和 _. 解析 由于 数列的通项 11 2 3 n 2n n 2 1n 1n 1 ， 2 1 12 12 13 13 14 1n 1n 1 2 1 1n 1 21. 答案 21 4 (2011 北京 )在等比数列 ， 12， 4，则公比 q _； | | | _. 解析 8， q 2. | | |12 22 2n 1 12. 答案 2 2n 1 12 5 (2011 南京模拟 )已知 等差数列 前 n 项和，且 35 值为_ 5 解析 因 35 1111102 d 35 6652 d，即 8d 7，所以 1717162 d 17(8d) 177 119. 答案 119 6 (2010 杭州模拟 )等差数列 公差不为零， 7， 列 足条件 _. 解析 设 公差为 d0 ，由 (7 2d)2 (7 3d)(7 d) 所以 d 2 或 d 0(舍去 ) 所以 7 (n 4)2 2n 1. 又 22 n 1 2n 1 1， 故 (22 1) (23 1) (24 1) (2n 1 1) (22 23 2n 1) n 2n 2 n 4. 答案 2n 2 n 4 二、解答题 (每小题 15 分，共 30 分 ) 7设 等差数列， 各项都为正数的等比数列， 且 1， 21， 13. (1)求 通项公式； (2)求数列 n 项和 解 (1)设 公差为 d， 公比为 q，则依题意有 q 0 且 1 2d 21，1 4d 13， 解得 d 2，q 2. 所以 1 (n 1)d 2n 1， 1 2n 1. (2)2n 12n 1 ， 1 321 522 2n 32n 2 2n 12n 1 ， 22 3 52 2n 32n 3 2n 12n 2 . ，得 2 2 22 222 22n 2 2n 12n 1 6 2 2 1 12 122 12n 2 2n 12n 1 2 21 12n 11 12 2n 12n 1 6 2n 32n 1 . 8在各项均为正数的等比数列 ，已知 23，且 3 (1)求数列 通项公式； (2)设 数列 前 n 项和 解 (1)设 比为 q，由题意，得 q 0，且 23，352即 a1 q 3，25q 3 0. 解得 3，q 3 或 65，q 12(舍去 ) 所以数列 通项公式为 33 n 1 3n， n N*. (2)由 (1)可得 n，所以 n3 n. 所以 13 23 2 33 3 n3 n. 所以 313 2 23 3 33 4 n3 n 1 两式相减，得 2 3 (32 33 3n) n3 n 1 (3 32 33 3n) n3 n 1 33 n3n 1 3 nn 12 . 所以数列 前 n 项和为 3 nn 14 . 1 2013 高考总复习江苏专用（理科）：第六篇 数列、推理与证明第35 讲 数列的综合应用（基础达标演练 +综合创新备选，含解析） A 级 基础达标演练 (时间： 45 分钟 满分： 80 分 ) 一、填空题 (每小题 5 分，共 35 分 ) 1在等比数列 ，各项都是正数，且 12 _. 解析 设等比数列 公比为 q(q 0)，则由题意得 2以 2以 2q 1 0，解得 q 1 2.又 q 0，因此有 q 1 2，故 q2 (1 2)2 3 2 2. 答案 3 2 2 2 (2011 广东揭阳一模 )数列 公差不为 0 的等差数列，且 连续的三项，则数列 公比为 _ 解析 设数列 公差为 d(d0) ，由 2d)2 a1(6d)，解得 2d， 故数列 公比 q 222. 答案 2 3有一种细菌和一种病毒，每个细菌在每秒钟杀死一个病毒的同时将自身分裂为 2 个，现在有一个这样的细菌和 100 个这样的病毒，问细菌将病毒全部杀死至少需要 _秒 解析 设至少需 n 秒钟，则 1 21 22 2n 1100 ， 2n 1100 ， n7. 答案 7 4已知各项均不为 0 的等差数 列 满足 220，数列 等比数列，且 _. 解析 因为 等差数列，所以 2以已知等式可化为 40，解得 4 或 0(舍去 )，又 等比数列，所以 16. 答案 16 5在如图所示的表格中，如果每格填上一个数后，每一行成等差数列，每一列成等比数列，那么 x y z 的值为 _. 2 4 1 2 2 x y z 解析 由题知表格中第三列中的数成首项为 4，公比为 12的等比数列，故有 x ， 52，故第四列的公比为 12，所以 y 5 12 3 58，同理 z 6 12 4 38，故 x y z 2. 答案 2 6等比数列 前 n 项和为 知 等差数列，则等比数列 公比为_ 解析 设等比数列 公比为 q(q0) ， 由 43得 4( 3( 即 3q 0， 又 q0 ， q 13. 答案 13 7设关于 x 的不等式 x 2nx(n N*)的解集中整数的个数为 列 前 n 项和为 _ 解析 由 x 2nx(n N*)， 得 0 x 2n 1， 因此知 2n. 2 10 100. 答案 10 100 二、解答题 (每小题 15 分，共 45 分 ) 8 (2010 江苏 )设各项均为正数的数列 前 n 项和为 知 2列 公差为 d 的等差数列 (1)求数列 通项公式 (用 n， d 表示 )； (2)设 c 为实数，对满足 m n 3k 且 m n 的任意正 整数 m， n， k，不等式 证： c 的最大值为 92. (1)解 由题意知， d 0， (n 1)d (n 1)d. 又 2以 3 3( 所以 3( d)2 ( 2d)2，整理，得 3 2 d 0，所以 d， d (n 1)d 当 n2 时， 1 (n 1)2(2n 1)合 n 1 情形 故所求 (2n 1)(2)证明 由 c c c 成立 又 m n 3k 且 m n，所以 2( (m n)2 9 92，所以 c92. 故 c 的最大值为 92. 9 (2011 山东青岛模拟 )已知等差数列 前 n 项和为 3， 36. (1)求数列 通项公式； (2)若数列 等比数列且满足 3， 前 n 项和为 解 (1) 数列 等差数列， 3( 3( 36. 3， 9， 3d 6， d 2. 又 d 1， 2n 1. (2)由等比数列 满足 3， 24， 得 8， q 2. 3， 3， 1， 2n 1， (2n 1)2 n 1. 11 32 52 2 (2n 3)2 n 2 (2n 1)2 n 1， 则 212 32 2 52 3 (2n 3)2 n 1 (2n 1)2 n， 两式相减，得 (1 2)11 22 22 2 22 n 2 22 n 1 (2n 1)2 n， 即 1 2(21 22 2n 1) (2n 1)2 n 1 2(2n 2) (2n 1)2 n (3 2n)2 n 3. (2n 3)2 n 3. 10定义一种新运算 *，满足 n*k n k 1(n， k N*， 为非零常数 ) (1)对于任意给定的 k 值，设 n*k(n N*)，求证：数列 等差数列； (2)对于任意给定的 n 值，设 n*k(k N*)，求证：数列 等比数列； 4 (3)设 n*n(n N*)，试求数列 前 n 项和 (1)证明 因为 n*k(n N*)， n*k n k 1(n， k N*， 为非零常数 )，所以 1 (n 1)*k n*k (n 1) k 1 n k 1 k 1. 又 k N*， 为非零常数，所以 等差数列 (2)证明 因为 n*k(k N*)， n*k n k 1(n， k N*， 为非零常数 )，所以 1bkn kn*k n k 1 为非零常数，所以 等比数列 (3)解 n*n n n 1(n N*， 为非零常数 )， 0 2 3 2 n n 1， 当 1 时， 1 2 3 n n n2 ； 当 1 时， S n 2 2 3 3 n n. ，得 1 n 2n . 综上，得 n n2 ，1 n 2n B 级 综合创新备选 (时间： 30 分钟 满分： 60 分 ) 一 、填空题 (每小题 5 分，共 30 分 ) 1已知 等差数列， 15， 55，则过点 P(3， Q(4， 直线的斜率为 _ 解析 5542 d，所以 515 10d 55，即 d 3 2d 4. 答案 4 2数列 通项 其前 n 项和为 _ 解析 注意到 且函数 y 最小正周期是 3，因此当 n 是正整数时，1 2 1212(n 1)2 (n 2)2 3n 72，其中 n 1,4,7， ， ( ( ( 31 72 34 72 328 72 32 7210 470. 5 答案 470 3 ( )对正整数 n，若曲线 y x)在 x 2 处的切线与 y 轴交点的纵坐标为 数列 1 的前 n 项和为 _ 解析