（教师典型例题专讲）2014届高三数学一轮提能一日一讲（打包31套）
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（教师典型例题专讲）2014届高三数学一轮提能一日一讲（打包31套）,教师,典型,例题,高三,数学,一轮,一日,打包,31
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1 【教师典型例题专讲】 2014 届高三数学一轮提能一日一讲（ 11月 10 日） 一、选择题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，将答案填在题后括号内 1已知数列 前 n 项和 9n，第 k 项满足 53 时， . 6n n2 n ，6n 18 n 答案 C 5已知曲线 C： y 1x(x0)及两点 A1()和 A2()，其中 x21， 曲线 C 于 线 x 轴交于点 A3()，那么 ( ) A B C D 解析 由题意， 点的 坐标分别为 所以直线 方程为 y 1x 1 y 0，得 x 此， 答案 A 6等比数列 各项均为正 数， 2 1 024， 3 8，若对满足 28 的任意 t， k t m 都成立，则实数 m 的取值范围是 ( ) A ( ， 6 B ( ， 8 C ( ， 10 D ( ， 12 解析 2 1 024k 7， 32， 又 3 8， ，所以 q 2， 2n 1. 由 2t 1128 27t9 ，由题意知 m k t 3 而 k t 7 97 9 8，故选 B. 答案 B 二、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分将答案填在题中横线上 7 (2013 全国卷 )若数列 前 n 项和 2313，则 通项公式是 _. 解析 n2 时， 1 2313 23113 ，化简得： 21，又 313，得 1，故 以 1 首项，以 2 为公比的等比数列，所以 ( 2)n 1. 答案 ( 2)n 1 8已知等差数列 公差不为零， 3，且 等比数列，则 _ 解析 设 公差为 d(d0) ， 则 d， 4d. 又 d0 ， d 2 133， . 答案 (1， ) 9 设数列 若 1 2(n N*)，则称数列 “ 凸数列 ” ，已知数列 “ 凸数列 ” ，且 1， 2，则数列 2 013 项的和为 _ 解析 由 “ 凸数列 ” 的定义，可写出数列的前几项， 即 1， 2， 3， 1， 2， 3， 1， 2， 故数列 周期为 6 的周期数列 又 b 0， 故 13 3 1 2 3 4，故填 4. 答案 4 三、解答题：本大题共 3 小题，共 30 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 10 (本小题 10 分 )(2013 安徽凤阳二模 )已知数列 前 n 项和为 12， Snn(n 1)， n 1,2， . (1)证明：数列 n 1n 等差数列，并求 (2)设 3证： 1134 43 712. 综上，对于 n N*，总有 712 156. 6 所以数列 最大项的值 为 56，最小项的值为 712. 1 【教师典型例题专讲】 2014 届高三数学一轮提能一日一讲（ 11月 11 日） 一、选择题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，将答案填在题后括号内 1如图所示，下列长方体中由 如图所示的平面图形围成的是 ( ) 解析 实际进行操作， D 成立 答案 D 2将长方体截去一个四棱锥后，得到的 几何体的直观图如下图所示，则该几何体的俯视图为 ( ) 2 解析 如图所示，当俯视时， P 与 B， Q 与 C， R 与 D 重合，故选 C. 答案 C 3 (2013 重庆卷 )某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 ( ) C 200 D 240 解析 该几何体是上、下底面均为矩形，左、右侧面均为等腰梯形的多面体，求体积时把等腰梯形作为上、下底面，则几何体为一个高为 10 的四棱柱，于是 V 12(2 8)410 200. 答案 C 4已知 S， A， B， C 是球 O 表面上的点， 平面 C ， 1， 2，则球 O 的表面积等于 ( ) A 4 B 3 C 2 D 3 解析 如图所示，由 C 知， 过 A， B， C， D 四点小圆直径， 所以 C. 又 平 面 设 棱长构造的长方体， 得体对角线长为 12 12 2 2 2R， 所以 R 1，球 O 的表面积 S 4 4 . 答案 A 5 (2013 湖南卷 )已知 棱长为 1 的正方体的俯视图是一个面积为 1 的正方形，则该正方体的正视图的面积 不可能 等于 ( ) A 1 B. 2 C. 2 12 D. 2 12 解析 由俯视图的面积为 1 可得底面与 水平面平行，当正方体正放时，正视图的面积最小为 1，正方体旋转其正视图为其对角面时，面积最大为 2， 2 12 1，故不可能 答案 C 6 (2013 唐山一模 )点 A， B， C， D 均在同一球面上，其中 正三角形， 平面 26，则该球的体积为 ( ) A 32 3 B 48 C 64 3 D 16 3 4 解析 如图所示 ， 外心 ， 过 O 做 D ， 面 33 3. E 为 中点 面 O 1， 3. 2 3. R 2 3. V 43 (2 3)3 32 3 . 答案 A 二、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分将答案填在题中横线上 7 (2013 陕西卷 )某几何体的三视图如图所示，则其体积为 _ 解析 由三视图可知，该几何体为底面半径为 1，高为 2 的圆锥的一半，则体积 V 13 2 12 3. 答案 3 5 8 (2013 安徽江南十校联考 )一个正方体削去一个角所得到的几何体的三视图如图所示 (图中三个四边形都是边长为 2 的正方形 )，则该几何体外接球的体积为 _ 解析 由三 视图可知，直观图为正方体 1 以其外接球的直径为正方体的体对角线的长度： 22 22 22 2 3， V 球 43 ( 3)3 4 3 . 答案 4 3 9如图所示，在正方体 F 为线段 E 为线段 下列结论中正确的为 _ 存在点 E 使 D 1 6 不存在点 E 使 平面 0 三棱锥 体积为定值 解析 中，若存在点 E 使 D 1， 则 平面 而 平面 B，故 错； 当 E 为 1B. 由 平面 ， 平面 错； 当 E 与 A 1时 C 1而 D 1，所以 D 1，故 错； 因为 距离为定值， 面积也为 定值， 所以三棱锥 体积为定值，故 正确 答案 三、解答题：本大题共 3 小题，共 30 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 10 (本小题 10 分 )(2013 山西晋城一模 )如图所示，在边长为 5 2的正方形 A 为圆心画一个扇形，以 O 为圆心画一个圆， M， N， K 为切点，以扇形为圆锥的侧面，以圆 O 为圆锥底面，围成一个圆锥，求圆锥的表面积与体积 解 设圆锥的母线长为 l，底面半径为 r，高为 h， 由已知条件得 l r 2r 2 2，2 2 ，解得 r 2 ， l 4 2. 所以 S 10 ， h 30， V 13 2 303 . 11 (本小题 10 分 )如图所示 ， 在直三棱柱 5， 6， D， 7 E 分别是 1C 的中点 (1)求证： 平面 (2)求三棱锥 E 体积 解 (1)证明：取 点 G，连接 因为 E 是 中点， 所以 12由直棱柱知， 而 D 是 以 所以四边形 平行四边形 所以 又 面 平面 所以 平面 (2)解：因为 以 平面 所以 由 (1)知， 平面 所以 1312G 16364 12. 8 12 (本小题 10 分 )下图是一个几何体的直观图、正 (主 )视图、侧 (左 )视图、俯视图其中俯视图为正方形，正 (主 )视图为直角梯形，侧 (左 )视图为等腰直角三角形，且 中线 (1)若 F 为 中点，求证： 面 (2)证明： 面 解 (1)由几何体的三视图可知，底面 正方形， 面 2 F 为 中点， 又 面 (2)取 中点 M，连接 于点 N，连接 12由已知得 12 平行四边形 面 9 1 【教师典型例题专讲】 2014 届高三数学一轮提能一日一讲（ 11月 12 日） 一、选择题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，将答案填在题后括号内 1 (2013 安徽卷 )在下列命题中， 不是 公理的是 ( ) A平行于同一个平面的两个平面相互平行 B过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面 C如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内 D如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 解析 立体几何中 的公理有四个， B， C， D 都是，第四个为空间平行线的传递性，而 公理推证出来的，故选 A. 答案 A 2 下列命题正确的是 ( ) A l3 l3 l3D 解析 对于 A，直线 于 C，直线 时而不共面；对于 D，直线 一个点时不一定共面，所以选 B. 答案 B 3设 a， b 为两条直线， ， 为两个平面，且 a ， a ，则下列结论中不成立的是 ( ) A若 b ， a b，则 a B若 a ， ，则 a C若 a b， b ，则 a D若 ， a ， b a，则 b 思路分析 根据空间中的平行、垂直关系的判定和性质定理逐个进行判断 解析 对于选项 A，若有 b ， a b，且已知 a ，所以根据线面平行的判定定理，可得 a 正确 对于选项 B，若 a ， ，则根据空间线、面的位置关系，可知 a 或 a ，而由已知可知 a ，所以 a 正确 对于选项 C，若 a b， b ，所以 a 或 a a ，所以 a 正确 2 对于选项 D，由 a ， b a，可得 b ，所以 b 或 b b 错误 故选 D. 答案 D 4 (2013 全国卷 )已知 m， n 为异面直线， m 平面 ， n 平面 l 满足 lm， l n， l ， l ，则 ( ) A 且 l B 且 l C 与 相交，且交线垂直于 l D 与 相交，且交线平行于 l 解析 m， n 为异面直线， m 面 ， n 面 ，则 ， 一定相交，不一定垂直，但交线一定垂直于直线 m， n，又 l m，且 l n，则 l 平行于 和 的交线，故选 D. 答案 D 5 如图所示，在四边形 ， 45 ， 90 ，将 起，使平面 平面 成三棱锥 A 在三棱锥 A ，下列命题正确的是 ( ) A平面 平面 B平面 平面 平面 平面 D平面 平面 析 由题意知，在四边形 ， 在三棱锥 A ，平面 平面 平面的交线为 所以 平面 此有 又因为 D，所以 平面 是得到平面 平面 答案 D 6 (2013 江西卷 )如图所示，正方体的底面与正四面体的底面在同一 平面 上，且方体的六个面所在的平面与直线 交的平面个数分别记为 m， n，那么 m n ( ) 3 A 8 B 9 C 10 D 11 解析 取 点 G，连 接 以 面 以 面 以 正方体的左右面平行，与上下前后四个面均相交，n 4，而 底面内与上底面平行，与四个侧面都相交，所以 m 4， m n 8，故选 A. 答案 A 二、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分将答案填在题中横线上 7 (2013 贵州贵阳一模 )在正方体 M， N 分别为 异面直线 成角的余弦值 为 _ 解析 如图所示， 取 中点 E，连接 中点 F，连接 此 直线 夹的锐角或直角为异面直线 成的角 设 1，连接 ， 52 ， 54 ， 174 . 由 余弦定理得 25. 答案 25 8. 4 (2013 北京卷 )如图所 示，在棱长为 2 的正方体 E 为 中点，点P 在线段 点 P 到直线 _ 解析 点 在面 的距离，点 E 上，设为 P ，问题等价求为 P C 的最小值，当 P C ， P 时 P C 2122 1 2 55 答案 2 55 9. 如图所示， 圆 O 的直径，点 C 在圆周上 (异 于点 A， B)，直线 直于圆 O 所在的平面，点 M 为线段 中点有以下四个命题： 平面 平面 平面 平面 平面 其中正确的命题是 _(填上所有正确命题的序号 ) 解析 错误， 面 正确； 错误，否则，有 与 盾； 正确，因为 平面 答案 三、解答题：本大题共 3 小题，共 30 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 10. 5 (本小题 10 分 )(2013 西安五校联考 )如图所示， 在多面体 边形 1， 12(1)求证：平面 平面 (2)求证： 平面 证明 (1) 四边形 1， 2. 2. 90 ， A， 平面 又 面 平面 平面 (2)取 中点 E，连接 12 四边形 面 面 6 平面 12 四边形 平行四边形 又 四边形 四边形 面 面 平面 E， 平面 平面 面 平面 11. (本小题 10 分 )(2013 江苏卷 )如图所示，在三棱锥 S ，平面 平面 B 作 足为 F，点 E， G 分别是棱 中点求证： (1)平面 平面 (2)解 (1)因为 足为 F，所以 F 是 中点又因为 E 是 中点，所以 7 因为 面 面 所以 平面 同理 平面 F E， 所以平面 平面 (2)因为平面 平面 交线为 面 所以 平面 C平面 以 又因为 A， 面 所以 平面 因为 面 以 12 (本小题 10 分 )(理 )(2013 广东卷 )如下图 (左 )所示，在等腰直角三角形 ， A 90 ， 6， D， E 分别是 的点， 2， O 为 中点将 E 折起，得到如下图 (右 )所示的四棱锥 A 中 A O 3. (1)证明： A O 平面 (2)求二面角 A B 的平面角的余弦值 解 (1)由题意，得 3， 3 2， 2 2. 连接 ，由余弦定理可得 2 5. 由翻折不变性可知 A D 2 2， 所以 A A 以 A O 同理可证 A O O， 所以 A O 平面 图 1 8 (2)(传统法 )过 O 作 延长线于 H，连接 A H，如图 1. 因为 A O 平面 以 A H 所以 A 二面角 A B 的平面角 结合 3， 45 ，得 3 22 ， 从而 A H 2 302 . 所以 A H 155 ，所以二面角 A B 的平面角的余弦值为 155 . 图 2 (向量法 )以 O 点为原点，建立空间直角坐标系 O 图 2 所示， 则 A(0,0 ， 3)， C(0， 3,0)， D(1， 2,0)， 所以 (0,3， 3)， ( 1,2， 3) 设 n (x， y， z)为平面 A 法向量，则 n 0，n 0，即 3y 3z 0， x 2y 3z 0，解得 y x，z 3x， 令 x 1，得 n (1， 1， 3)， 即 n (1， 1， 3)为平面 A 一个法向量 由 (1)知， (0,0， 3)为平面 一个法向量， 所以 n， n |n| | 33 5 155 ， 即二面角 A B 的平面角的余弦值为 155 . 12 (本小题 10 分 )(文 )(2013 北京卷 )如图所示，在四棱锥 P ， 2面 底面 F 分别是 中点求证： 9 (1)底面 (2)平面 (3)平面 平面 证明 (1)因为平面 底面 且 直于这两个平面的交线 以 底 面 (2)因为 2 E 为 中点， 所以 所以 平行四边形 所以 又因为 面 面 所以 平面 (3)因为 且 平行四边形， 所以 由 (1)知 底面 所以 所以 平面 所以 因为 E 和 F 分别是 中点， 所以 所以 所以 平面 所以平面 平面 1 【教师典型例题专讲】 2014 届高三数学一轮提能一日一讲（ 11月 13 日） 一、选择题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，将答案填在题后括号内 1定义运算： (a b x 2，若关于 x 的不等式 (a b 解得 答案 D 2若方程 2a 0 有解，则实数 a 的取值 范围是 ( ) A 3,1 B ( ， 1 C 1， ) D 1,1 解析 令 f(x) 2 f(x)的值域是 1,3，因为方程 2a 0 一定有解，所以 1 a3 ，所以实数 a 的取值范围是 3,1 答案 A 3若函数 f(x)， g(x)分别为 R 上的奇函数，偶函数，且满足 f(x) g(x) 有 ( ) A f(2)f(2) e 22 0， 因此 g(0)0得 即函数 f(x)在 (2， ) 上单调递增 ， 因此有 f(4)0，f 12 a1 b 1 a 3 在坐标平面内画出该不等式组表示的平面区域，阴影部分表示的四边形的四个顶点的坐标分别为 ( 3， 4)， ( 1， 2)， ( 3,2)， ( 5,4)，验 证得：当 a 5， b 4 时， a 2b 取得最大值 3；当 a 3， b 4 时， a 2b 取得最小值 a 2b 的取值范围是 ( 11,3) 答案 D 二、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分将答案填在题中横线上 7若函数 f(x) x 1)(a0， a1) 的定义域和值域都是 0,1，则 a _. 解析 f(x) x 1)的定义域是 0,1， 0 x1 ，则 1 x 12. 当 a1 时， 0 a(x 1)1， a 2； 当 00 且 f(1)h(1) 0， 即 g(x)g 1x ； 当 x1 时， h(x)h(1) 0， 即 g(x)g 1x . 12. 6 (本小题 10 分 )如图所示，动圆 t3，与椭圆 1 相交于 A、B、 C、 D 四点，点 2的左、右顶点 (1)当 t 为何值时 ，矩形 面积取得最大值？并求出其最大面积； (2)求直线 2B 交点 M 的轨迹方程 解 (1)设 A(则矩形 面积 S 4| 由 1 得 1 从而 1 1922 94. 当 92， 12时， t 5时，矩形 面积最大，最大面积为 6. (2)由 A( B( 3,0)， ,0)知直线 y 3(x 3) 直线 方程为 y 3(x 3) 由 得 9(9) 又点 A(椭圆 故 1 将 代入 得 1(x 3， y0) 因此点 M 的轨迹方程为 1(x 3， y0) 1 【教师典型例题专讲】 2014 届高三数学一轮提能一日一讲（ 11月 14 日） 1 (2013 江西卷 )已知集合 M 1,2， i 为虚数单位， N 3,4， M N 4，则复数 z ( ) A 2i B 2i C 4i D 4i 解析 由 M N 4，得 4，则 z 4i 4i，故选 C. 答案 C 2 (2013 陕西卷 )设全集为 R，函数 f(x) 1 ，则 ( ) A 1,1 B ( 1,1) C ( ， 1 1， ) D ( ， 1) (1， ) 解析 f(x) 1 ，即 1 的解集，故 M x| 1 x1 由补集的运算，知 ( ， 1) (1， ) 答案 D 3 (2013 湖南卷 )函数 f(x) 2图象与函数 g(x) 4x 5 的图象的交点个数为 ( ) A 3 B 2 C 1 D 0 解析 在同一平面直角坐标中作出 y f(x)和 y g(x)的图象， g(x) 4x 5 的顶点(2,1)， 21，所以 (2,1)位于 y f(x)图象下方，故交点个数为 2. 答案 B 2 4 (2013 全国卷 )执行右面的程序框图，如果输入的 N 10，那么输出的 S ( ) A 1 12 13 110 B 1 12！ 13！ 110！ C 1 12 13 111 D 1 12！ 13！ 111！ 解析 由程序框图的循环结构可知： T 1， S 0 1 1， K 2； T 12， S 1 12， K 3； T123123 ， S 112123 ， K 4； T 110！ ， S 1 12！ 13！ 110！ ， K 1110； 停止循环，输出 S，故选 B. 答案 B 5设 f(x)是周期为 2 的奇函数，当 0 x1 时， f(x) 2x(1 x)，则 f 52 等于 ( ) 3 A 12 B 14 析 f(x)是周期为 2 的奇函数， f 52 f 52 2 f 12 f 12 2 12 1 12 12. 答案 A 6如果实数 x， y 满足等式 (x 2)2 3，那么 ) B. 33 C. 32 D. 3 解析 x 2)2 3 和原点连线的斜率利用 图形易知 yx 3. 答案 D 7已知对于任意的 k R，直线 y 1 0 与椭圆 1 恒有公共点，则实数 ) A (0,1) B (0,5) C 1,5) (5， ) D 1， ) 解析 直线 y 1 过定点 (0,1)，只要 (0,1)在椭圆 1 内部即可从而 m1 ，又因为椭圆 1 中 m5 ，所以 m 的取值范围是 1,5) (5， ) 答案 C 8如图所示，在棱柱的侧棱 各有一动点 P， Q 满足 P， Q， 其体积之比为 ( ) 4 A 3:1 B 2:1 C 4:1 D. 3:1 解析 将 P， Q 置于特殊位置： P Q B，此时仍满足条件 0，且易有 选 B. 答案 B 9 (2013 安徽卷 )“ a0” 是 “ 函数 f(x) |(1)x|在区间 (0， ) 内单调递增 ”的 ( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 解析 由二次函数的图象和性质知 f(x) |(1)x|在 (0， ) 内单调递增，只需 f(x)的图象在 (0， ) 上与 x 轴无交点，即 a 0 或 1 21 10 时正切函数在其定义域内各长度为一个周期的连续区间内为增函数， 排除 A、 C，又当 | |1 时正切函数的最小正周期长度小于 ， y 2 ， 2 内不连续，在这个区间内不是减函数，这样排除 D. 答案 B 13若等比数列的各项均为正数，前 n 项的和为 S，前 n 项的积为 P，前 n 项倒数的和为 M，则有 ( ) A P B P SM n D SM n 解析 取等比数列为常数列： 1,1,1， ，则 S n， P 1， M n，显然 P2 SM 选项 B 和 D 排除，这时选项 A 和 C 都符合要求 再取等比数列： 2,2,2， ，则 S 2n， P 2n， M 时有 SM n，而 P 以A 选项不正确 答案 C 14 (2013 全国卷 )已知函数 f(x) c，下列结论中错误的是 ( ) A R， f( 0 B函数 y f(x)的图象是中心对称图形 C若 f(x)的极小值点，则 f(x)在区间 ( ， 调递减 6 D若 f(x)的极值点，则 f( 0 解析 f(x) c； f(x)或者在 ( ， ) 上为增函数，或者存在极值点 (21 1 1 则 ( ) A 递减数列 B 递增数列 C 1为递增数 列， 递减数列 D 1为递减数列， 递增数列 解析 1 令 a， a 为常数， a 2a. 归纳可知 2a. 点 A 在以 2a 为长轴的椭圆上 归纳知 | 1 ， A 点越接近 D 点， 8 递增数列 答案 B 1 【教师典型例题专讲】 2014 届高三数学一轮提能一日一讲（ 11月 15 日） 1 (本小题 15 分 )(2013 山东烟台二模 )设数列 各项都为正数，其前 n 项和为 知对任意 n N*， (1)证 明数列 等差数列，并求数列 通项公式； (2)证明 11 1 当 n 1时， 2得 1(0 舍去 )； 当 n2 时，有 21 1 1. 于是 221 1 1， 即 21 1. 于是 1 1，即 (1)(1) 1. 因为 10，所以 1 1(n2) 故数列 首项为 1，公差为 1 的等差数列 所以数列 通项公式为 n. (2)证明：因为 n，则 n n2 ， 1n n 21n1n 1 ， 所以 11 12 1 12 12 13 1n 1n 1 2 1 1n 1 b0)的右焦点为 F，上顶点为 A， P 为 圆 (y 3)2 1 的一条直径，若与 行且在 2的直线 l 恰好与圆 (1)求椭圆 (2)若 最大值为 49，求椭圆 解 (1)由题意可知直线 l 的方程为 (3 2)c 0，因为直线 l 与圆 y 3)2 1 相切 ，所以 d |3c 3c 2c| 1，即 2而 e 22 . 2 (2)设 P(x， y)，圆 为 1(c0)，又 ( ( (y 3)2 1 (y 3)2 217( c y c) 当 c3 时， ( 17 249， 解得 c 4，此时椭圆方程为 1； 当 03，故舍去 综上所述，椭圆 1. 3 (本小题 15 分 )(2013 湖南卷 )过抛物线 E： 2py(p0)的焦点 F 作斜率分别为 k1， 相交于点 A， B， 相交于点 C， D，以 D 为直径的圆 M，圆 N(M， N 为圆心 )的公共弦所在直线记为 l. (1)若 ， ，证明： ， ， 以 00，所以点 M 到直线 l 的距离 d |2p|5 p|21|5 p 2 14 2 785 . 故当 14时 ， d 取最小值 7. 由题设 ， 7 7 55 ， 解得 p 8. 故所求的 抛物线 E 的方程为 16y. 4 (本小题 15 分 )(2013 福建卷 )已知函数 f(x) x 1 a R， e 为自然对数的底数 ) (1)若曲线 y f(x)在点 (1， f(1)处的切线平行于 x 轴，求 a 的值； (2)求函数 f(x)的极值； (3)当 a 1 时，若直线 l： y 1 与曲线 y f(x)没有公共点，求 k 的最大值 解 (1)由 f(x) x 1 f( x) 1 又曲线 y f(x)在点 (1， f(1)处的切线平行于 x 轴， 得 f(1) 0，即 1 0，解得 a e. 4 (2)f( x) 1 当 a0 时， f( x)0， f(x)为 ( ， ) 上的增函数， 函数 f(x)无极值 当 a0 时，令 f( x) 0，得 a， x ln a. x ( ， ln a)， f( x)0， f(x)在 ( ， ln a)上单调递减，在 (ln a， ) 上单调递增， 故 f(x)在 x ln a 处取得极小值， 且极小值为 f(ln a) ln a，无极大值 综上，当 a0 时，函数 f(x)无极值； 当 a0 时， f(x)在 x ln a 处取得极小值 ln a，无极大值 (3)当 a 1 时， f(x) x 1 1令 g(x) f(x) (1) (1 k)x 1 则直线 l： y x 1 与曲线 y f(x)没有公共点， 等价于方程 g(x) 0 在 R 上没有实数解 假设 k1，此时 g(0) 10， g 1k 1 1 1e 1k 10，知方程 g(x) 0 在 R 上没有实数解 k 的最大值为 1. 5 (本小题 15 分 )(2013 陕西卷 )已知函数 f(x) x R. (1)若直线 y 1 与 f(x)的反函数的图象相切，求实数 k 的值； (2)设 x0，讨论曲线 y f(x)与曲线 y m0)公共点的个数； (3)设 (x)在 (2， ) 上单调递增， (x)在 (0， ) 上的最小值为 (2) 当 0区间 (0,2)内存在 m，使得 (m，在 (2， ) 内存在 得 ( (x)的单调性知，曲线 y y m 在 (0， ) 上恰有两个公共点 综上所述，当 x0 时， 若 0线 y f(x)与 y (3)可以证明 f a f f b f a f a f f b f a a b eab 126 b 1 2a 1(ba) (*) 令 (x) 21 1(x0) ， 则 ( x) 12 22x 2 42 x 2x 20( 仅当 x 0 时等号成立 )， (x)在 0， ) 上单调递增 x0 时， (x) (0) 0. 令 x b a，即得 (*)式，结论得证 1 【教师典型例题专讲】 2014 届高三数学一轮提能一日一讲（ 11月 16 日） 1 (本小题 15 分 )(2013 山东淄博一模 )已知向量 m A B ， 2 A ， n (1,2 m n 中 A， B， C 分别为 三边 a， b， c 所对的角 (1)求角 C 的大小； (2)若 2 S 3，求边 c 的长 解 (1) m n B) 2 B)， 在 ， A B C 且 00， 00，得 2. 2 又 f(x)过点 3 ， 1 ， 23 6 12 1， 得 00) (1)求证： 平面 (2)若直线 成角的正弦值为 67，求 k 的值； (3)现将与四棱柱 状和大小完全相同的两个四棱柱拼接成一个新的四棱柱规定：若拼接成的新四棱 柱形状和大小完全相同，则视为同一种拼接方案问：共有几种不同的拼接方案？在这些拼接成的新四棱柱中，记其中最小的表面积为 f(k)，写出 f(k)的解析式 (直接写出答案，不必说明理由 ) 解 (1)取 中点 E，连接 3 3k， 四边形 平行四边形 4k. 在 ， 4k， 3k， 5k， 90 ，即 E 平面 面 A， 平面 (2)以 D 为原点， 方向为 x， y， z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系， 则 A(4k,0,0)， C(0,6k,0)， k,3k,1)， k,0,1)， 所以 ( 4k,6k,0)， (0,3k,1)， (0,0,1) 设平面 法向量 n (x， y， z)，则由 n 0， n 0，得 460，3z 0. 取 y 2，得 n (3,2， 6k) 4 设 成角为 ，则 | n | n| n| 613 67，解得 k 1，故所求 k 的值为 1. (3)共有 4 种不同的方案 f(k) 7226k， (本小题 15 分 )(文 )(2013 陕西卷 )如图所示，四棱柱 底面 O 是底面中心， 底面 2. (1)证明：平面 平面 (2)求三棱柱 解 (1)由题设知， 四边形 平行四边形 又 面 平面 1C， 四边形 又 面 平面 又 B， 平面 平面 (2) 平面 三棱柱 又 121， 2， 1. 又 S 12 2 2 1， S 1. 5 4 (本小题 15 分 )(理 )(2013 重庆卷 )某商场举行的 “ 三色球 ” 购物摸奖活动规定：在一次摸奖中，摸奖者先从装有 3 个红球与 4 个白球的袋中任意摸出 3 个球，再从装有 1 个蓝球与 2 个白球的袋中任意摸出 1 个球根据摸出 4 个球中红球与蓝球的个数，设一、二、三等奖如下： 奖级 摸出红、蓝球个数 获奖金额 一等奖 3 红 1 蓝 200 元 二等奖 3 红 0 蓝 50 元 三等奖 2 红 1 蓝 10 元 其余情况无奖且每次摸奖最多只能获得一个奖级 (1)求一次摸奖恰好摸到 1 个红球的概率； (2)求摸奖者在一次摸奖中获奖金额 X 的分布列与期望 E(X) 解 设 i 个红球， j 个蓝球，则 Ai(i 0,1,2,3)与 Bj(j 0,1)独立 (1)恰好摸到 1 个红球的概率为 P( 1835. (2)X 的 所有可能值为： 0,10,50,200，且 P(X 200) P( P( 31105； P(X 50) P( P( 32105； P(X 10) P( P( 1312105435； P(X 0) 1 1105 2105 435 67. 综上知 X 的分布列为 X 0 10 50 200 P 67 435 2105 1105 从而有 E(X) 0 67 10 435 50 2105 200 1105 4(元 ) 4 (本小题 15 分 )(文 )(2013 江西八所重点 高中模拟 )某省 重点中学从高二年级学生中随机地抽取 120 名学生，测得身高 (单位： 况如下表所示： 分组 频数 频率 160,165) 6 165,170) 27 6 170,175) 42 175,180) 36 180,185) 185,190 3 计 120 1 (1)请在频率分布表中的 ， 位置上填上适当的数据，并补全频率分布直方图； (2)现从身高在 180 190 这些同 学中随机地抽取两名，求身高为 185 上 (包括 185 同学被抽到的概率 解 (1)表中的 的数据为 6， 的数据为 频率分布直方图如图所示 (2)记身高在 180 185) 人编号为 a， b， c， d， e， f，身高在 185,190 人编号为 1,2,3. 从中抽取 2 人的所有可能情况为 (a， b)， (a， c)， (a， d)， (a， e)， (a， f)， (a,1)，(a,2)， (a,3)， (b， c)， (b， d)， (b， e)， (b， f)， (b,1)， (b,2)， (b,3)， (c， d)， (c， 7 e)， (c， f)， (c,1)， (c,2)， (c,3)， (d， e)， (d， f)， (d,1)， (d,2)， (d,3)， (e， f)， (e,1)，(e,2)， (e,3)， (f,1)， (f,2)， (f,3)， (1,2)， (1,3)， (2,3)，共 36 种，其中抽到身高在185 上 (包括 185 同学有 21 种，故所求概率为 P 2136 712. 5 (本小题 15 分 )(理 )(2013 山东聊城一模 )本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多某自行车租车点的收费标准是每年每次不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收费 2 元 (不足一小时的按一小时计算 )有甲、乙两人相互独立 地来该自行车租车点租车骑游 (各租一车一次 )设甲、乙两人两小时内还车的概率分别为 14， 12，两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为 12， 14，两人租车时间都不会超过四小时 (1)求甲、乙两人所付的租车费用相同的概率； (2)设甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量 ，求 的分布列和数学期望 解 (1)由题意得，甲、乙两人在三小时以上且不超过四小时还车的概率分别为 14， 14， 记 “ 甲，乙两人所付的租车费用相同 ” 为事件 A， 则 P(A) 14 12 12 14 14 14 516， 即甲、乙两人所付的租车费用相同的概率为 516. (2)随机变量 的所有可能取值为 0,2,4,6,8，且 P( 0) 14 12 18； P( 2) 14 14 12 12 516； P( 4) 12 14 14 12 14 14 516； P( 6) 12 14 14 14 316； P( 8) 14 14 116. 的分布列为 0 2 4 6 8 P 18 516 516 316 116 所以 E( ) 0 18 2 516 4 516 6 316 8 116 72. 5 (本小题 15 分 )(文 )(2013 银川、吴忠部分中学联考 )在一次考试中， 5 名学生的数 8 学、物理成绩 如下表所示： 学生 2 4 学 x(分 ) 89 91 93 95 97 物理 y(分 ) 87 89 89 92 93 (1)要从 5 名学生中选 2 名参加一项活动，求选中的学生中至少有一人的物理成绩高于90分的概率； (2)请在所给的直角坐标系中画出它们的散点图，并求这些数据的线性回归方程 参考公式：回归直线的方程是 y a，其中 bi 1x yi 1x 2， a y . 解 (1)从 5 名学生中任取 2 名学生的所有情况为： ( ( ( (3)、 ( ( ( ( ( (共 10 种情况 其中至少有一人的物理成绩高于 90 分的情况有： ( ( ( (3)、 ( ( (共 7 种情况 故选中的学生中至少有一人的物理成绩高于 90 分的概率 P 710. (2)散点图如图所示 9 可求得： x 89 91 93 95 975 93， y 87 89 89 92 935 90， i 15(x )(y ) 30， i 15(x )2 ( 4)2 ( 2)2 02 22 42 40， b 3040 a y 故所求的线性回归方程是 y 1
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